预习篇 6.2.4 向量的数量积 【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高一数学寒假进阶学习讲义（人教A版2019）

6.2.4 向量的数量积 【题型1】 数量积的定义 【基础知识】 如果两个非零向量 ，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作:，即 解释 (1) 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功; (2) 规定：零向量与任一向量的数量积是; (3) 若，那我们说与垂直，记作； (4) 数量积是一个实数，不再是一个向量； (5) 注意确定向量的夹角，其中与的夹角，而与的夹角. （6）。 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·重庆·期中）在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 【例2】（24-25高三上·安徽·期中）在中，已知，点O是的外心，则（    ） A．16 B．8 C．4 D． 【巩固练习】 1（多选）（23-24高一下·广西百色·阶段练习）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D． 2（24-25高三上·天津河西·期中）设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 3（24-25高三上·四川南充·阶段练习）在中，边上的中线，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（    ）    A．为定值 B．不为定值，有最大值 C．为定值 D．不为定值，有最小值 【题型2】向量的数量积与夹角 【经典例题】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知平面向量的夹角为，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知向量，满足，，且，的夹角为． (1)求； (2)若，求实数的值． 【巩固练习】 1（2024高三·全国·专题练习）已知和为非零向量，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·全国·课后作业）已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3（22-23高二下·广东深圳·期末）已知平面向量，的夹角为，且，． (1)； (2)求； (3)若与垂直，求实数的值． 【题型3】 向量的投影 【基础知识】 1 向量在向量上的投影  是非零向量，向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于. 2 向量在向量上的投影向量  是非零向量，向量在向量上的投影：. 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·四川达州·期中）已知空间单位向量，的夹角为，向量，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（23-24高三上·云南·阶段练习）已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·海南海口·阶段练习）若，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3（24-25高二上·山东泰安·开学考试）已知，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．3 B． C． D． 4（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形中，且与交于点，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【题型4】数量积的最值或范围 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）已知非零向量，满足，则，的夹角最大为（    ） A． B． C． D． 2（2024高三·全国·专题练习）已知是圆上不同的两点，且．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知平面向量，当最小时，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【A组---基础题】 1（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）如图，网格纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于向量，，，的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 2（2024高三·全国·专题练习）已知外接圆圆心为，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3（2024·浙江杭州·模拟预测）已知，为单位向量，，，若，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 4（24-25高三上·江苏淮安·期中）已知是单位向量，满足，则在方向上的投影为（    ） A． B． C． D．1 5（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知向量，满足，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 6（2024高三·全国·专题练习）已知是边长为的正边上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7（多选）（23-24高一下·河北邯郸·阶段练习）下面给出的关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 8（多选）（21-22高三上·山东菏泽·期末）如图，顺次连接正五边形的不相邻的顶点，得到五角星形状，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 9（23-24高一下·北京大兴·期中）已知向量，，，与的夹角为，则 ，当的值最小时，实数的值为 . 10（24-25高二上·云南昭通·期中）已知，，. (1)求的值； (2)当为何值时，与垂直？ 11（23-24高二上·广东佛山·开学考试）已知C是平面上一点，，． (1)若，求的值； (2)若，求的最大值． 【B组---提高题】 1（23-24高一下·四川成都·期中）设O是的外心，，，分别为角A，B，C对应的边，已知，则的范围是 A． B． C． D． 2（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知为单位向量，满足，则的最小值为 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.4 向量的数量积 【题型1】 数量积的定义 【基础知识】 如果两个非零向量 ，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作:，即 解释 (1) 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功; (2) 规定：零向量与任一向量的数量积是; (3) 若，那我们说与垂直，记作； (4) 数量积是一个实数，不再是一个向量； (5) 注意确定向量的夹角，其中与的夹角，而与的夹角. （6）。 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·重庆·期中）在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积的定义求解. 【详解】△ABC中，，，，与的夹角为角的补角， 则. 故选：C 【例2】（24-25高三上·安徽·期中）在中，已知，点O是的外心，则（    ） A．16 B．8 C．4 D． 【答案】B 【分析】由已知得，则，代入数值计算即可． 【详解】解：如图，过点O作于D，可知， 则 故选: 【巩固练习】 1（多选）（23-24高一下·广西百色·阶段练习）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D． 【答案】CD 【分析】利用数量积的运算律判断AB；利用数量积推理判断C；由共线向量的意义判断D. 【详解】对于A，由向量的运算法则，得A正确； 对于B，向量数量积满足分配律，B正确； 对于C，由，得，当时，满足题设，C错误； 对于D，是与共线的向量，是与共线的向量，而与无任何关系，D错误. 故选：CD 2（24-25高三上·天津河西·期中）设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据平面向量数量积定义可知当夹角为时，数量积也成立，即可得出结论. 【详解】若，则与的夹角可能为，不一定是钝角，因此充分性不成立； 若与的夹角为钝角，则可得，因此可得，所以充分性成立， 即“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B 3（24-25高三上·四川南充·阶段练习）在中，边上的中线，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】利用，由数量积定义计算即可． 【详解】因为， 所以. 故选：B. 4（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（    ）    A．为定值 B．不为定值，有最大值 C．为定值 D．不为定值，有最小值 【答案】C 【分析】先记的中点为，然后利用是等腰三角形，得到，再利用向量数量积的几何意义求解即可. 【详解】如图，记的中点为，由题可知，， ，，所以. 故选：C.    【题型2】向量的数量积与夹角 【经典例题】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知平面向量的夹角为，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解已知条件中的等式得到，然后分别求出和的值，由向量的数量积公式求出与的夹角. 【详解】由可得，化简得， 解得或（舍去），则， 因为， ， 所以， 又，所以． 故选：D. 【例2】（22-23高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知向量，满足，，且，的夹角为． (1)求； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积的运算律有，结合已知即可求模长； （2）由向量垂直及数量积运算律列方程求参数值即可. 【详解】（1）由，则. （2）由题意， 所以. 【巩固练习】 1（2024高三·全国·专题练习）已知和为非零向量，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量数量积的运算性质计算出的值，即可得出结论. 【详解】因为，则， 即，解得， 又因为、均为非零向量，故，即与的夹角为． 故选：C. 2（24-25高二上·全国·课后作业）已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知可得，根据数量积的运算律可得答案. 【详解】∵与垂直，∴， ∴， 所以，因为，所以. 故选：D. 3（22-23高二下·广东深圳·期末）已知平面向量，的夹角为，且，． (1)； (2)求； (3)若与垂直，求实数的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据数量积公式，即可求解；（2）利用向量数量积运算律，代入数量积，即可求解；（3）根据向量垂直，则，再结合向量数量积的运算律和公式，即可求解. 【详解】（1）； （2） （3）由题意可知， 即，解得： 【题型3】 向量的投影 【基础知识】 1 向量在向量上的投影  是非零向量，向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于. 2 向量在向量上的投影向量  是非零向量，向量在向量上的投影：. 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·四川达州·期中）已知空间单位向量，的夹角为，向量，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出向量在方向上的投影数量，再根据投影向量的定义得结论． 【详解】， 所以向量在方向上的投影向量为， 故选：B． 【巩固练习】 1（23-24高三上·云南·阶段练习）已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合向量的投影的定义和计算方法，即可求解. 【详解】由题意知，向量且向量与的夹角为， 所以向量在上的投影为， 又因为，所以向量在上的投影向量为. 故选：A. 2（24-25高二上·海南海口·阶段练习）若，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件及投影向量的求解方法，即可得出在向量上的投影向量为，化简即可. 【详解】因为，向量与向量的夹角为， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 3（24-25高二上·山东泰安·开学考试）已知，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用投影向量的公式列出方程，求出. 【详解】由题意得，故，所以. 故选：D 4（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形中，且与交于点，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，利用向量数量积的定义及投影向量的意义求解即得. 【详解】在直角梯形中，且，过作于， 则，故，从而. 因此， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C 【题型4】数量积的最值或范围 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的运算量，结合即可求解. 【详解】取中点为，连接，显然， 则 . 故选：A 【巩固练习】 1（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）已知非零向量，满足，则，的夹角最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知，，从而求得，求得夹角最大值. 【详解】由题知，，即， 又， 则，即，的夹角最大为 故选：C 2（2024高三·全国·专题练习）已知是圆上不同的两点，且．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得，，再由平面向量数量积的运算律可得，即可得到结果. 【详解】如图，取的中点，连接， 则，， 所以， ， 所以，即． 因为，，所以． 又，所以，即的取值范围为． 故选：D． 3（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知平面向量，当最小时，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的模长公式计算得到关于的一元二次函数，根据二次函数的图象对称性可得时最小，代入，整理得即可得解. 【详解】设的夹角为，由， 由二次函数的图象可知，当且仅当时，取最小值，此时值最小， 将代入即得：，因，故. 故选：D. 【A组---基础题】 1（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）如图，网格纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于向量，，，的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的定义即可判断. 【详解】由平面向量数量积的定义得 由图可知，夹角为锐角，则,故A错误； 夹角为钝角，则,故B错误； 夹角为锐角，则,故C正确； 夹角为锐角，则，故D错误. 故选：C. 2（2024高三·全国·专题练习）已知外接圆圆心为，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出草图，运用平行四边形法则，结合外接圆圆心特征，得到平行四边形为菱形，进而得到和为等边三角形，得解. 【详解】由，得， 如图所示，结合向量加法的平行四边形法则可得四边形为平行四边形， 又因为为外接圆圆心，所以， 所以平行四边形为菱形，和为等边三角形， 所以向量的夹角为． 故答案为：. 3（2024·浙江杭州·模拟预测）已知，为单位向量，，，若，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用，计算出，所以，即可得解． 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以与的夹角为． 故选：A． 4（24-25高三上·江苏淮安·期中）已知是单位向量，满足，则在方向上的投影为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据向量数量积运算公式，求得在方向上的投影，进而可得投影. 【详解】，，， 即，在上投影向量，所以在方向上的投影为1. 故选：D. 5（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知向量，满足，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】掌握平面向量的数量积. 【详解】, , , 又, ,即, , , . 故选：A. 6（2024高三·全国·专题练习）已知是边长为的正边上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用向量的线性运算及数量积的定义，即可求解. 【详解】由在边上运动，且为边长为的正三角形， 所以， 又，所以，    故选：D. 7（多选）（23-24高一下·河北邯郸·阶段练习）下面给出的关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的数量积定义及运算性质逐一分析即可. 【详解】因为数与向量相乘为向量，所以，故正确； 向量的数量积满足交换律，所以，故正确； 根据数量积定义知，数量积为一实数， 所以为，表示与共线的向量， 而为，表示与共线的向量， 所以不一定成立，故错误； 根据数量积定义知，故正确； 故选：. 8（多选）（21-22高三上·山东菏泽·期末）如图，顺次连接正五边形的不相邻的顶点，得到五角星形状，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据正五边形的几何特征，结合数量积的运算，向量的加减运算对选项进行逐项判断即可. 【详解】由正五边形的对称性可得，每个正五边形的内角为， 对于A，在中，， 则，进而， 所以，同理可得，故四边形是平行四边形， 所以，故A正确； 对于B，由对称性可得，且， 所以，故B正确； 对于C，假设，因为，所以， 由对称性可得，所以，得是等边三角形， 则，所以，故C不正确. 对于D，要证，即证四边形是平行四边形， 因为五边形为正五边形，所以， 因为在中，，所以， ，进而， 所以，同理可得，故四边形是平行四边形， 故D正确. 故选：ABD. 9（23-24高一下·北京大兴·期中）已知向量，，，与的夹角为，则 ，当的值最小时，实数的值为 . 【答案】 【分析】根据数量积的运算公式得到的值，再由，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】，； ， 由二次函数性质，当时取得最小值， 故答案为：；. 10（24-25高二上·云南昭通·期中）已知，，. (1)求的值； (2)当为何值时，与垂直？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合条件，按照数量积的运算律计算可得结果； （2）利用第（1）问的结论，根据向量垂直的数量积关系计算可求出的值. 【详解】（1）因为，，， 所以，则. （2）若与垂直，则， 从而，解得：. 11（23-24高二上·广东佛山·开学考试）已知C是平面上一点，，． (1)若，求的值； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的几何意义做出图形，然后根据向量的线性运算及数量积运算法则进行计算即可；（2）令为的中点，则结合当三点共线时，最大，即可求解. 【详解】（1）如图①，因为，所以，且， 则 ， 又，则， 又因为    （2）如图②，令为的中点， 则所以三点共线， 若形成三角形，则有, 故 所以当三点共线时，最大，为， 此时,故的最大值为 【B组---提高题】 1（23-24高一下·四川成都·期中）设O是的外心，，，分别为角A，B，C对应的边，已知，则的范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交外接圆于，是的直径，根据数量积的运算律与定义计算，最终化为的函数，可得取值范围． 【详解】如图所示，延长交外接圆于，是的直径，∴，，， ， ， ，令，所以当时，有最小值． ，，所以，所以的范围是． 故选：B． 2（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知为单位向量，满足，则的最小值为 【答案】 【分析】设，，分析可知点在直线上，点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆，结合图形分析求解即可. 【详解】设，，为坐标原点， 由可知：点在直线上，点在直线上， 由，可知点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆， 则， 可知当且仅当点为，且点为时，取到最小值1. 故答案为：1. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$