预习篇 6.2.3 向量的数乘运算【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高一数学寒假进阶学习讲义（人教A版2019）

6.2.3 向量的数乘运算 【题型1】向量的数乘 【基础知识】 向量数乘运算 一般地，我们规定实数与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作； 它的长度与方向规定如下： (1)； (2) 当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与方向相反. 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·河南郑州·期中）点在线段上，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高一下·全国·随堂练习）已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．与的方向相同 D．与的方向相反 2（23-24高二下·陕西商洛·期中）已知向量是非零向量，则方向上的单位向量为（    ） A． B． C． D．（且） 3（23-24高一下·湖北荆州·期末）已知，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 4（23-24高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（　　） A．与的方向不是相同就是相反 B．若共线，则 C．若，则 D．若，则 【题型2】向量的混合运算 【基础知识】 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量 对于任意向量，以及任意实数，，，恒有. 【经典例题】 【例1】（2024·辽宁·模拟预测）在平行四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2024·江苏南通·模拟预测）在梯形中，，且，点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 2（23-24高一下·北京·阶段练习）在梯形ABCD中，，，与相交于点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 3（2024·四川德阳·模拟预测）在 △ABC 中，点 D 在边 BC 上，且 E为AD 的中点，则 （    ） A． B． C． D． 4（多选）（24-25高三上·吉林·阶段练习）已知是所在平面内一点，为边的中点，且，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型3】向量共线问题 【基础知识】 两个向量共线 共线定理 非零向量与向量共线有且只有一个实数，使得 当时的方向与的方向相同； 当时，的方向与方向相反； 当 时，. 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【巩固练习】 1（22-23高一下·河北邯郸·阶段练习）已知向量不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 2（24-25高三上·山东·期中）已知向量，不共线，，，若，，三点共线，则（    ） A． B．. C．1 D．2 【题型4】 三点共线定理 【基础知识】 三点共线定理 若 (1) 如图一，若三点共线，则； (2) 如图二，若点和点在同侧，则； (3) 如图三，若点和点在异侧，则； 图一 图二 图三 特殊的，在三角形中，点是的中点，则. 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知在中，M是线段BC上异于端点的任意一点．若向量，则的最小值为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【巩固练习】 1（24-25高一上·上海·课堂例题）如图所示，两射线与交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内（不含边界）的有（    ） ①；②；③；④. A．①② B．①②④ C．①②③ D．③④ 2（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知，点D在线段BC上（不包括端点），向量，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 3（23-24高一下·山东临沂·期末）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型5】 平面向量线性运算的应用 【经典例题】 【例1】（多选）（24-25高三上·河南安阳·期中）已知中，点是边的中点，点是所在平面内一点且满足，则下列结论正确的有（    ） A．点是中线的中点 B．点在中线上但不是的中点 C．与的面积之比为1 D．与的面积之比为 【巩固练习】 1（23-24高一下·贵州毕节·阶段练习）已知，向量，，满足条件，．则 是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 2（2023高一·全国·专题练习）已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 3（24-25高二上·湖南·开学考试）已知是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（    ） A．3 B．4 C． D． 【A组---基础题】 1（22-23高一下·天津·阶段练习）设都是非零向量，则下列四个条件中，一定使成立的是（    ） A． B． C． D． 2（2023高二下·北京·学业考试）已知平面内的两个非零向量，满足，则与（    ） A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反 3（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知点在线段上，且，则（    ） A． B． C． D． 4（22-23高一下·河南南阳·阶段练习）已知在中，为的中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 5（23-24高一下·全国·课后作业）设，，分别是的边，，上的点，且，，，则与之间的关系为（    ） A．反向平行 B．同向平行 C．一定不平行 D．不能判断两个向量的关系 6（23-24高一上·辽宁大连·期末）如图，在中，，点是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 7（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 8（24-25高三上·江西南昌·期中）若点为所在平面内，且满足，则（    ） A． B． C． D． 9（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在平行四边形ABCD中，G为的重心，满足，则（    ） A． B． C．1 D． 10（23-24高一下·河南·期中）已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （   ） A．点为的内心 B．点为的外心 C． D．为等边三角形 11（多选）（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，为的中点，为的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【B组---提高题】 1（21-22高一·全国·课后作业）已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2（23-24高三上·辽宁辽阳·期末）在中，，D为AB的中点，，P为CD上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.3 向量的数乘运算 【题型1】向量的数乘 【基础知识】 向量数乘运算 一般地，我们规定实数与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作； 它的长度与方向规定如下： (1)； (2) 当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与方向相反. 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·河南郑州·期中）点在线段上，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】因为点在线段上，且， 所以，，，故A正确，BCD错误. 故选：A. 【巩固练习】 1（24-25高一下·全国·随堂练习）已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．与的方向相同 D．与的方向相反 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用共线向量的定义判断即得. 【详解】非零向量，满足，则与的方向相同，且，ABD错误，C正确. 故选：C 2（23-24高二下·陕西商洛·期中）已知向量是非零向量，则方向上的单位向量为（    ） A． B． C． D．（且） 【答案】A 【分析】由数乘向量的运算以及单位向量的定义直接判断即可. 【详解】因为，且与向量方向相同，所以为方向上的单位向量. 故选：A 3（23-24高一下·湖北荆州·期末）已知，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数乘向量的模的意义即可得解. 【详解】由数乘向量的模的意义可知，故AB错误，C正确， 当或时，，故D错误. 故选：C. 4（23-24高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（　　） A．与的方向不是相同就是相反 B．若共线，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据向量共线的性质，即可结合选项逐一判断. 【详解】对于A,当时，，由于零向量的方向是任意的，故A错误， 对于B，当时，此时共线，但不能得到，故B错误， 对于C，，的方向不确定，故不能得到，C错误， 对于D，若，则，故D正确， 故选：D 【题型2】向量的混合运算 【基础知识】 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量 对于任意向量，以及任意实数，，，恒有. 【经典例题】 【例1】（2024·辽宁·模拟预测）在平行四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用平行四边形法则和三角形法则，结合线性运算法则解题即可. 【详解】如图，由题意,可知是的中点， 所以 ． 故选：C． 【巩固练习】 1（2024·江苏南通·模拟预测）在梯形中，，且，点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】依题意可得 ． 故选：D 2（23-24高一下·北京·阶段练习）在梯形ABCD中，，，与相交于点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 结合题意，应用向量加减、数乘的几何意义逐项判断即可得. 【详解】对A：，故A正确； 对B：由，故，故， 则，故B正确； 对C：由，故， 故C错误； 对D：，故D正确. 故选：C. 3（2024·四川德阳·模拟预测）在 △ABC 中，点 D 在边 BC 上，且 E为AD 的中点，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由及向量的加减运算即可解． 【详解】如图所示：    因为，所以， 得, 得, 得, 故选：C 4（多选）（24-25高三上·吉林·阶段练习）已知是所在平面内一点，为边的中点，且，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】连接，利用向量的线性运算即可求解. 【详解】    连接，因为为边的中点，所以， 又因为，所以， 所以，所以，故A正确；BC错误； 由，可得，所以，故D正确. 故选：AD. 【题型3】向量共线问题 【基础知识】 两个向量共线 共线定理 非零向量与向量共线有且只有一个实数，使得 当时的方向与的方向相同； 当时，的方向与方向相反； 当 时，. 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】D 【分析】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线. 【详解】对于A，，与不共线，A不正确； 对于B，，，则与不共线，B不正确； 对于C，，，则与不共线，C不正确； 对于D，， 即 ，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确． 故选：D． 【巩固练习】 1（22-23高一下·河北邯郸·阶段练习）已知向量不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量定理逐项判断即可得解. 【详解】对于A，令，即，则有，无解， 因此不存在t，使得，即 三点不共线，A错误； 对于B，，则，又直线MN，NQ有公共点N， 因此 ，，三点共线，B正确； 对于C，，令，即， 则有，无解，因此不存在m，使得，即三点不共线，C错误； 对于D，令，即，则有，无解， 因此不存在n，使得，即三点不共线，D错误. 故选：B 2（24-25高三上·山东·期中）已知向量，不共线，，，若，，三点共线，则（    ） A． B．. C．1 D．2 【答案】D 【分析】因为，，三点共线，则与共线，由此可以根据向量共线的性质列出等式，进而求出与的关系，最后得出的值. 【详解】由于，，三点共线，所以与共线. 存在实数，使得，即. 因为，不共线，根据向量相等的性质，若，则. 由，将其代入可得. 故选：D. 【题型4】 三点共线定理 【基础知识】 三点共线定理 若 (1) 如图一，若三点共线，则； (2) 如图二，若点和点在同侧，则； (3) 如图三，若点和点在异侧，则； 图一 图二 图三 特殊的，在三角形中，点是的中点，则. 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知在中，M是线段BC上异于端点的任意一点．若向量，则的最小值为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【分析】根据三点共线的结论可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可得答案. 【详解】由题意M是线段BC上异于端点的任意一点，向量可得， 且，，所以， 当且仅当，结合，即，时，等号成立， 故的最小值为18． 故选：C 【巩固练习】 1（24-25高一上·上海·课堂例题）如图所示，两射线与交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内（不含边界）的有（    ） ①；②；③；④. A．①② B．①②④ C．①②③ D．③④ 【答案】A 【分析】在题图中的阴影区域内任取点E，连接交于点F，则由共线定理得，，然后逐个验证即可. 【详解】依题意，在题图中的阴影区域内任取点E，连接交于点F， 则有，其中，. 因为， 所以①，满足条件； ②，满足条件； ③，不满足条件； ④，不满足条件. 故选：A. 2（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知，点D在线段BC上（不包括端点），向量，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算确定，且，再将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知向量且点D在线段BC上（不包括端点）， 则设，则, 则，结合，可得，且， 故， 当且仅当，结合，即时取得等号， 即 的最小值为， 故选：D 3（23-24高一下·山东临沂·期末）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】运用向量线性运算及三点共线结论即可求得结果. 【详解】连接，如图所示， 因为， 所以， 又因为，， 所以， 又因为、、三点共线， 所以， 所以. 故选：C. 【题型5】 平面向量线性运算的应用 【经典例题】 【例1】（多选）（24-25高三上·河南安阳·期中）已知中，点是边的中点，点是所在平面内一点且满足，则下列结论正确的有（    ） A．点是中线的中点 B．点在中线上但不是的中点 C．与的面积之比为1 D．与的面积之比为 【答案】ACD 【分析】由平面向量的线性运算得到，则AB可判断，利用三角形中线的性质得，则CD可判断. 【详解】因为的中点为，所以. 又，所以， 所以，即为的中点，A正确，B错误. 由A正确可知，，所以C，D正确. 故选：ACD. 【巩固练习】 1（23-24高一下·贵州毕节·阶段练习）已知，向量，，满足条件，．则 是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】首先由条件判断点是的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状. 【详解】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则，    所以是等边三角形. 故选：C 2（2023高一·全国·专题练习）已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】A 【分析】取线段的中点，则，依题可得，即可得答案. 【详解】取线段的中点，则. 动点满足：，， 则，即，所以， 又，所以三点共线，即点的轨迹是直线， 一定通过的重心. 故选：A. 3（24-25高二上·湖南·开学考试）已知是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】在上取点，使得，在上取点，使得，即可确定点的位置，再求出、、与的关系，即可得解. 【详解】在上取点，使得，在上取点，使得， 在上取点，使得，在上取点，使得， 连接、，则、，因为， 所以与交于点，    又，， 所以， 所以. 故选：B 【A组---基础题】 1（22-23高一下·天津·阶段练习）设都是非零向量，则下列四个条件中，一定使成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单位向量的含义及向量的方向相同，然后即可得出正确的选项． 【详解】由题意可知，分别表示与，同向的单位向量， 因为，所以，同向， 对于A，，，方向相反，故A错误； 对于B，，与可能方向相同或相反，故B错误； 对于C，，，方向相同，故C正确； 对于D，，不能确定，的方向，故D错误. 故选：C. 2（2023高二下·北京·学业考试）已知平面内的两个非零向量，满足，则与（    ） A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反 【答案】D 【分析】根据向量的共线及模的关系确定选项即可. 【详解】因为两个非零向量，满足， 所以为共线反向向量，且模不相等， 所以ABC错误，D正确. 故选：D 3（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知点在线段上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，画出草图，可明确两向量的关系. 【详解】因为点在线段上，且. 根据题意，可得图形： 可设，则，， 且与方向相反，所以. 故选：C 4（22-23高一下·河南南阳·阶段练习）已知在中，为的中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】如图， ． 故选：D 5（23-24高一下·全国·课后作业）设，，分别是的边，，上的点，且，，，则与之间的关系为（    ） A．反向平行 B．同向平行 C．一定不平行 D．不能判断两个向量的关系 【答案】A 【解析】利用向量的线性运算，求得 ，由此判断出两者反向平行. 【详解】 故选：A. 【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量共线的条件，属于基础题. 6（23-24高一上·辽宁大连·期末）如图，在中，，点是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为即，点为的中点， 所以 ， 所以. 故选：D. 7（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【答案】B 【分析】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线. 【详解】，,则不存在唯一，使得，故A错误. ，，则. 则，则，两个向量由公共点. 故A，B，D三点共线.故B正确. 同理，,则不存在唯一，使得，故C也错误. ，，则， 则不存在唯一，使得，故D也错误. 故选：B. 8（24-25高三上·江西南昌·期中）若点为所在平面内，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的运算，确定点位置，根据长度关系可求面积之比. 【详解】如图所示， 因为， 所以可得， 所以与共线，且， 所以. 故选：D. 9（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在平行四边形ABCD中，G为的重心，满足，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由题意作图，根据重心的几何性质得到，再利用平面向量的线性运算即可得解. 【详解】如图，设与相交于点，为的重心， 可得为的中点，， 所以 ， 又， 所以，则. 故选：C. 10（23-24高一下·河南·期中）已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （   ） A．点为的内心 B．点为的外心 C． D．为等边三角形 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量数量积运算律，结合向量加减计算判断得解. 【详解】在中，由为的垂心，得， 由，得， 则，即，又， 显然，同理得，因此点为的外心，B正确，无判断ACD成立的条件. 故选：B 11（多选）（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，为的中点，为的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ACD 【分析】根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理，即可判断选项. 【详解】选项A：因为为的中点，所以，故A正确． 选项B：，故B错误． 选项C：因为为的中点，所以，又为的中点，所以，则，所以，，所以，（另解：因为，且三点共线，所以），故C正确． 选项D：，故D正确． 故选：ACD 【B组---提高题】 1（21-22高一·全国·课后作业）已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】在，上分别取点，，使得，，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断. 【详解】在，上分别取点，，使得，，则． 以，为邻边作平行四边形，如图，    则四边形是菱形，且． 为的平分线．   ，      即， ． ，，三点共线，即在的平分线上． 同理可得在其它两角的平分线上， 是的内心． 故选：B． 2（23-24高三上·辽宁辽阳·期末）在中，，D为AB的中点，，P为CD上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中点可知，根据模长关系可得，设，结合平面向量的线性运算以及基本定理可得，用表示，结合模长运算求解. 【详解】因为D为AB的中点，则， 可得，即，解得， 又因为P为CD上一点，设， 则， 可得，解得，即， 则， 可得，即. 故选：D. 【点睛】关键点睛：1.根据模长关系可得； 2.设，根据平面向量基本定理求得； 3.以为基底表示，进而运算求解. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$