预习篇 6.2.1--6.2.2 向量的加法运算+向量的减法运算 【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高一数学寒假进阶学习讲义（人教A版2019）

6.2.1--6.2.2 向量的加法运算+向量的减法运算 【题型1】 向量加法的运算 【基础知识】 1向量加法的三角形法则 已知向量非零向量在平面内取任意一点作，则向量叫做与的和，记作，即. 解释 (1) 物理知识告诉我们，质点经过，两次位移，相当于从点直接到点的位移结果相同，位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型； (2) 若质点超过两个呢？若下图，同理可得, 相当于”首尾相接”. 2 向量加法的平行四边形法则 以同一点为起点的两个已知向量，，以,为邻边作，则以为起点的向量 （是的对角线）就是向量与的和. 如下图，，则； 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 解释 一个物体同时收到两个外力与的作用，那如何确定合力呢？由物理知识可知，合力在以,为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长. 力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型. 【经典例题】 【例1】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 【例2】（23-24高一下·山西吕梁·期中）在矩形中，，设，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【巩固练习】 1（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）化简 （    ） A． B． C． D． 2（2021高一·上海·专题练习） 为非零向量，且，则（    ） A．，且与方向相同 B．是共线向量且方向相反 C． D．无论什么关系均可 3（23-24高一下·甘肃定西·阶段练习）在正六边形中，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 4（22-23高一下·广西·期末）在矩形中，，，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 5（24-25高一下·全国·课后作业）若在中，，，且，，则的形状是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 6（20-21高一·全国·课后作业）是正三角形，给出下列等式： ①；②； ③；④． 其中正确的有 ．(写出所有正确等式的序号) 7（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）在中，，，，P为所在平面内的动点，且．则的最大值为（   ） A．12 B． C． D． 【题型2】向量三角不等式 【基础知识】 一般地 , 我们有 当且仅当方向相同时等号成立. 解释 当，不共线时，由三角形三边关系，可得; 当，反向时，， 当，同向时，， 综上，当且仅当方向相同时等号成立. 同理易得，故. 【经典例题】 【例1】（21-22高一·湖南·课后作业）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（20-21高一·全国·课后作业）设，是任一非零向量，则在下列结论中: ①；②；③；④；⑤. 正确结论的序号是（    ） A．①⑤ B．②④⑤ C．③⑤ D．①③⑤ 2（2023高一·全国·课后作业）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3】相反向量 【基础知识】 1 相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作. 解释 (1) 与数的相反数是类似； (2) ; (3) 零向量的相反向量仍是零向量. 2 向量的减法 向量加上的相反向量，叫做与的差，即, 求两个向量差的运算叫做向量的减法.向量的减法可以转化为向量的加法进行. 【经典例题】 【例1】（23-24高一·全国·课后作业）向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B．为实数0 C．与方向相同 D． 【巩固练习】 1（23-24高一下·全国·课后作业）下列等式中，正确的个数为（    ） ①②③④⑤⑥． A．3 B．4 C．5 D．6 2（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．若方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在同一条直线上的向量 3（2024高二上·山东枣庄·学业考试）等于（   ） A． B． C． D． 4（多选）（23-24高一下·山东烟台·开学考试）若非零向量与是相反向量，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．与方向相反 【题型4】向量减法的几何意义 【基础知识】 向量减法的几何意义 当同起点时，可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 解释 设，，，连接，由向量减法的定义知， ， 在四边形中，，，所以是平行四边形，所以. 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·全国·课后作业）已知向量，，，求作和. 【例2】（23-24高一下·北京东城·阶段练习）在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【巩固练习】 1（23-24高一下·北京东城·期末）如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高一下·湖南衡阳·期末）在矩形中，若，且，则（    ） A．3 B．1 C．2 D．4 3（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面内任意两个向量，，则（    ） A． B． C． D． 4（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知向量与的夹角为，，与同向，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 5（23-24高一下·全国·课后作业）已知非零向量满足，且，则 . 6（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，已知在矩形中，，.设，求. 【题型4】向量加法、减法的运用 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·全国·课后作业）如图，小船要从处沿垂直河岸的方向到达对岸处，此时水流的速度为6km/h，测得小船正以8km/h的速度沿垂直水流的方向向前行驶，求小船在静水中速度的大小及方向. 【巩固练习】 1（2024高一下·全国·专题练习）某人在无风条件下骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度大小为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高一下·全国·课后作业）如图，已知电线AO与天花板的夹角为，电线AO所受拉力，绳BO与墙壁垂直，所受拉力．求和的合力． 3（22-23高一·全国·课堂例题）求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点为O，且O是AC，BD的中点． 求证：四边形ABCD是平行四边形．    4（21-22高一·全国·课后作业）在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？ 【A组---基础题】 1（云南省2024年春学期期末普通高中学业水平合格性考试数学试卷）（   ） A． B． C． D． 2（2016高一·全国·课后作业）若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误的是 A． B． C． D． 3（23-24高一下·贵州遵义·期末）如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 4（23-24高一下·浙江·期末）如图是一个机器人手臂的示意图.该手臂分为三段，分别可用向量代表.若用向量代表整条手臂，则（    ） A． B． C． D． 5（23-24高一下·上海浦东新·期末）如图,A,B,C,D是平面上的任意四点,下列式子中正确的是 A． B． C． D． 6（23-24高一下·浙江杭州·期中）若 ，则 的取值范围是（    ） A．[3，7] B． C． D． 7（2020高三下·全国·专题练习）若非零不共线的向量满足，则（    ）． A． B． C． D． 8（多选）（23-24高一下·四川成都·阶段练习）对于菱形ABCD，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 9（多选）（23-24高一下·陕西西安·期中）关于平面向量，，下列命题中正确的有（    ） A．若，则存在，使得 B．若非零向量，满足，则 C． D． 10（23-24高一下·全国·课后作业）若，且，则与所在直线的夹角是 . 11（24-25高一·上海·随堂练习）如图，在各小题中，已知，分别求作． 12（23-24高一下·全国·课后作业）雨滴在下落一定时间后是匀速运动的，无风时雨滴下落的速度为，现有东风且风速为2m/s，那么雨滴将以多大的速度着地？这个速度的方向怎样？ 【B组---提高题】 1（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）设单位向量，，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二下·浙江·期中）已知是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（    ）    A．7 B．12 C．14 D．16 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.1--6.2.2 向量的加法运算+向量的减法运算 【题型1】 向量加法的运算 【基础知识】 1向量加法的三角形法则 已知向量非零向量在平面内取任意一点作，则向量叫做与的和，记作，即. 解释 (1) 物理知识告诉我们，质点经过，两次位移，相当于从点直接到点的位移结果相同，位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型； (2) 若质点超过两个呢？若下图，同理可得, 相当于”首尾相接”. 2 向量加法的平行四边形法则 以同一点为起点的两个已知向量，，以,为邻边作，则以为起点的向量 （是的对角线）就是向量与的和. 如下图，，则； 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 解释 一个物体同时收到两个外力与的作用，那如何确定合力呢？由物理知识可知，合力在以,为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长. 力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型. 【经典例题】 【例1】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 【答案】答案见解析 【分析】根据向量加法的平行四边形法则及共线向量的加法法则即可得解. 【详解】（1）作法：在平面内任意取一点，作，，则，如图所示． （2）在平面内任意取一点，作，，，则，如图所示． 【例2】（23-24高一下·山西吕梁·期中）在矩形中，，设，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意，得，延长至，使，连接，证出四边形是平行四边形，从而，最后得出，即可得出结果. 【详解】解：， 延长至，使，连接， 由于，∴， 四边形是平行四边形， ， ， . 故选:C 【巩固练习】 1（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）化简 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法运算律即可求解. 【详解】. 故选：B. 2（2021高一·上海·专题练习） 为非零向量，且，则（    ） A．，且与方向相同 B．是共线向量且方向相反 C． D．无论什么关系均可 【答案】A 【分析】根据向量加法的性质及三角形边之间的关系即可得出答案. 【详解】当两个非零向量不共线时，的方向与的方向都不相同，且； 当两个非零向量同向时， 的方向与的方向都相同，且； 当两个非零向量反向时且，的方向与的方向相同，且， 所以对于非零向量 ，且，则，且与方向相同. 故选：A. 3（23-24高一下·甘肃定西·阶段练习）在正六边形中，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算即可求解. 【详解】设正六边形的中心为， 所以，又因为，， 所以. 故选：A 4（22-23高一下·广西·期末）在矩形中，，，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】根据向量的加法运算法化简，根据矩形的特征可求对角线的长度，进而可求模长． 【分析】在矩形中，由，可得， 又因为，故，故． 故选：A. 5（24-25高一下·全国·课后作业）若在中，，，且，，则的形状是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据条件便有，再由便可得出，从而便可得到为等腰直角三角形． 【详解】解：如图，   ； ； 为等腰直角三角形． 故选：D． 6（20-21高一·全国·课后作业）是正三角形，给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的有 ．(写出所有正确等式的序号) 【答案】①③④ 【分析】作出图形，结合平面向量加法法则可判断①②③④的正误. 【详解】对于①，，，，①正确； 对于②，，如下图所示，以、为邻边作平行四边形， 由平面向量加法的平行四边形法则可得，显然，②错误； 对于③，以、为邻边作平行四边形，则， 以、为邻边作平行四边形，则. 由图可知，，即，③正确； 对于④，，，因为，④正确. 故答案为：①③④. 7（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）在中，，，，P为所在平面内的动点，且．则的最大值为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知求出点P的轨迹为圆，再由平面向量的平行四边形法则得出，的最大值即圆心到定点的距离加上半径，代入化简求值即可． 【详解】P为所在平面内的动点，且，点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， ，，，取的中点，则， . 故选：B. 【题型2】向量三角不等式 【基础知识】 一般地 , 我们有 当且仅当方向相同时等号成立. 解释 当，不共线时，由三角形三边关系，可得; 当，反向时，， 当，同向时，， 综上，当且仅当方向相同时等号成立. 同理易得，故. 【经典例题】 【例1】（21-22高一·湖南·课后作业）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量模的三角不等式可求得的取值范围. 【详解】因为，所以，，即. 故选：C. 【巩固练习】 1（20-21高一·全国·课后作业）设，是任一非零向量，则在下列结论中: ①；②；③；④；⑤. 正确结论的序号是（    ） A．①⑤ B．②④⑤ C．③⑤ D．①③⑤ 【答案】D 【分析】根据向量线性运算可确定为零向量，由此可判断得到结果. 【详解】， 又是任一非零向量，，，，①③⑤正确. 故选：D. 2（2023高一·全国·课后作业）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量模长的三角不等式可求得的取值范围． 【详解】由向量模长的三角不等式可得，当且仅当、的方向相同时，等号成立； ，当且仅当、的方向相反时，等号成立， 因此，的取值范围是， 故选：A． 【题型3】相反向量 【基础知识】 1 相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作. 解释 (1) 与数的相反数是类似； (2) ; (3) 零向量的相反向量仍是零向量. 2 向量的减法 向量加上的相反向量，叫做与的差，即, 求两个向量差的运算叫做向量的减法.向量的减法可以转化为向量的加法进行. 【经典例题】 【例1】（23-24高一·全国·课后作业）向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B．为实数0 C．与方向相同 D． 【答案】D 【分析】根据相反向量的定义，即可判断选项. 【详解】向量，互为相反向量，则，模相等、方向相反，所以，故A错误； ，故B错误；与方向相反，故C错误；，故D正确. 故选：D. 【巩固练习】 1（23-24高一下·全国·课后作业）下列等式中，正确的个数为（    ） ①②③④⑤⑥． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据向量加减法的概念和相反向量的概念分别判断即可. 【详解】根据向量的运算及相反向量的概念知①②③④⑤正确，⑥错误，所以正确的个数为5． 故选:C． 2（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．若方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【分析】根据共线向量，相反向量的定义即可求解. 【详解】，方向相反，但模不一定相等，与不一定是相反向量，故A错误； 相反向量的模相等，且为平行向量，但不是相等向量，故B错误； 由有向线段和向量的定义知，C正确； 共线的两个非零向量也可能不在同一条直线上，故D错误． 故选：C 3（2024高二上·山东枣庄·学业考试）等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的加减法法则计算． 【详解】， 故选：D． 4（多选）（23-24高一下·山东烟台·开学考试）若非零向量与是相反向量，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．与方向相反 【答案】BCD 【分析】根据相反向量的定义，即可判断选项. 【详解】根据相反向量的定义可知，，两个向量模相等，即，且方向相反. 故选：BCD 【题型4】向量减法的几何意义 【基础知识】 向量减法的几何意义 当同起点时，可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 解释 设，，，连接，由向量减法的定义知， ， 在四边形中，，， 所以是平行四边形，所以. 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·全国·课后作业）已知向量，，，求作和. 【答案】详见解析 【分析】根据向量加减法的三角形法则作图即可. 【详解】由向量加法的三角形法则作图： 由向量三角形加减法则作图： 【点睛】本题主要考查了向量加减法的三角形法则，属于中档题. 【例2】（23-24高一下·北京东城·阶段练习）在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算，结合模的定义及等边三角形的定义即可判断. 【详解】，，则， 是等边三角形. 故选：A 【巩固练习】 1（23-24高一下·北京东城·期末）如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的加法减法运算法则即可求解. 【详解】由题图可知，. 故选：C. 2（23-24高一下·湖南衡阳·期末）在矩形中，若，且，则（    ） A．3 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据矩形的性质，结合向量的加减法法则即可得解． 【详解】解：由于四边形为矩形，所以 故， 故选：D 3（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面内任意两个向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的加减法法则，结合向量的模及三角形三边的关系逐一分析判断即可. 【详解】当向量同向或至少有一个为零向量时，，故A错误； 当时，，故BC错误； 若，为共线向量且方向相同，则有， 若向量方向相反，则有. 若，不共线，如图，令，，则， 所以， 综上，故D正确. 故选：D. 4（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知向量与的夹角为，，与同向，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件判断出当何时取得最小值，并解直角三角形求得这个最小值. 【详解】设，由于，所以以为邻边的平行四边形是菱形，对角线相互垂直平分，设对角线相交与，则，画出图像如下图所示.，而与同向，所以与同向，所以的最小值为，在中，，所以. 故选：B 【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 5（23-24高一下·全国·课后作业）已知非零向量满足，且，则 . 【答案】4 【分析】根据向量加减运算及向量的模长可得出平行四边形OACB是矩形，由矩形对角线相等得解. 【详解】如图所示，设，， 则， 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则， 由于， 故， 所以是直角三角形，， 从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形， 根据矩形的对角线相等得，即. 故答案为：4 6（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，已知在矩形中，，.设，求. 【答案】 【分析】延长直线,使得直线上一点满足,同理,延长直线,使得直线上一点满足,画出图形,则,进而求解即可 【详解】延长直线,使得直线上一点满足,同理,延长直线,使得直线上一点满足, 如图所示, 则,, 则 【点睛】本题考查向量的加法,减法在几何中的应用,考查向量的模 【题型4】向量加法、减法的运用 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·全国·课后作业）如图，小船要从处沿垂直河岸的方向到达对岸处，此时水流的速度为6km/h，测得小船正以8km/h的速度沿垂直水流的方向向前行驶，求小船在静水中速度的大小及方向. 【答案】小船在静水中的速度的大小为，方向与水流方向的夹角为，其中，. 【分析】设表示小船垂直于河岸行驶的速度，表示水流的速度，作出符合实际问题的平行四边形，解三角形，即可求出. 【详解】设表示小船垂直于河岸行驶的速度，表示水流的速度，如图： 连接BC，过点B作AC的平行线，过点A作BC的平行线，两条直线交于点D， 则四边形ACBD为平行四边形， 所以就是小船在静水中的速度. 在中，，， ， ， ∴小船在静水中的速度的大小为10 km/h，方向与水流方向的夹角为，其中，. 【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则在实际问题中的应用，数形结合，属于中档题. 【巩固练习】 1（2024高一下·全国·专题练习）某人在无风条件下骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法的运算性质，即可求解. 【详解】选项A，B表示的是向量（速度），选项C，D表示的是向量模的运算（速度的大小）. 表示的是某人骑自行车时顺风行驶的速度大小，表示的是某人骑自行车时逆风行驶的速度大小. 故选：D. 2（23-24高一下·全国·课后作业）如图，已知电线AO与天花板的夹角为，电线AO所受拉力，绳BO与墙壁垂直，所受拉力．求和的合力． 【答案】与的合力大小为，方向为与成角竖直向上． 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，作出受力分析图，然后计算即可. 【详解】如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力， 在中，， ，， ∴，∴， ∴与的合力大小为，方向为与成角竖直向上． 3（22-23高一·全国·课堂例题）求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点为O，且O是AC，BD的中点． 求证：四边形ABCD是平行四边形．    【答案】证明见解析 【分析】根据向量的线性运算即可求证. 【详解】证明：由题知，， 因此 ． 所以AB，DC平行且相等，因此四边形ABCD是平行四边形． 4（21-22高一·全国·课后作业）在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？ 【答案】船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为 【分析】如图所示，表示水流的速度，表示船实际航行的速度，表示船行驶的速度，在中，可得,从而得，，即可得答案. 【详解】解：设表示水流的速度，表示船实际航行的速度，表示船行驶的速度， 则四边形为平行四边形. 所以，， 因为，于是， 所以，， 故船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为. 【A组---基础题】 1（云南省2024年春学期期末普通高中学业水平合格性考试数学试卷）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法的三角形法则可得结果. 【详解】. 故选：C. 2（2016高一·全国·课后作业）若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相反向量的定义逐项判断即可． 【详解】解：由平行向量的定义可知项正确； 因为和的方向相反，所以，故项正确； 由相反向量的定义可知，故选项正确； 由相反向量的定义知，故项错误； 故选：C． 3（23-24高一下·贵州遵义·期末）如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用图形结合向量线性运算即可. 【详解】. 故选：A. 4（23-24高一下·浙江·期末）如图是一个机器人手臂的示意图.该手臂分为三段，分别可用向量代表.若用向量代表整条手臂，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，进而依次讨论即可得答案. 【详解】解：根据题意得，所以， 所以由于各向量间的夹角未知，故，均不一定成立， 故C选项正确，A，B，D选项错误； 所以C 5（23-24高一下·上海浦东新·期末）如图,A,B,C,D是平面上的任意四点,下列式子中正确的是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据平面向量的加减法则求解判断即可. 【详解】∵,∴,∴. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量的加减法运算,需要根据题意化简求解,属于中等题型. 6（23-24高一下·浙江杭州·期中）若 ，则 的取值范围是（    ） A．[3，7] B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的减法的几何意义，确定向量共线时取得最值，即可求得答案. 【详解】由题意知，且, 当同向时，取得最小值，； 当反向时，取得最大值，； 当不共线时，取得最小值，， 故 的取值范围是， 故选：C 7（2020高三下·全国·专题练习）若非零不共线的向量满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法的三角形法则，构图即可判断 【详解】                   （2） 由非零向量，满足 当，不共线时, 可考虑构造等腰三角形, 如图（1）所示, , 则. 在图（1）中, , 不能比较与的大小; 在图（2）中, 由, 得 , 所以 为的直角三角形. 易知 , 由三角形中大角对大边, 得. 故选：C 8（多选）（23-24高一下·四川成都·阶段练习）对于菱形ABCD，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】对于选项AB：菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B结论正确，A结论错误； 对于选项C：因为，， 所以，即C结论错误； 对于选项D：因为， ，所以D结论正确. 故选：BD. 9（多选）（23-24高一下·陕西西安·期中）关于平面向量，，下列命题中正确的有（    ） A．若，则存在，使得 B．若非零向量，满足，则 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据平面向量的知识逐一判断即可. 【详解】对于，由平面共线向量定理可知, 正确; 设 ，则 , 对于, 因为非零向量 满足 , 即，所以四边形为矩形， ，故 B正确; 对于 ， 因为在三角形中, 两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边, 故 , 故 正确， 错误. 故选: . 10（23-24高一下·全国·课后作业）若，且，则与所在直线的夹角是 . 【答案】 【分析】设,则,,由可得,则是等边三角形,进而求解即可 【详解】设,以为邻边作平行四边形,如图所示,则,, ∵,∴,∴是等边三角形,∴, 在菱形中,对角线平分,∴与所在直线的夹角为 故答案为: 【点睛】本题考查向量的加法,向量的减法在几何中的应用 11（24-25高一·上海·随堂练习）如图，在各小题中，已知，分别求作． 【答案】答案见解析 【分析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 【详解】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 如图，， 12（23-24高一下·全国·课后作业）雨滴在下落一定时间后是匀速运动的，无风时雨滴下落的速度为，现有东风且风速为2m/s，那么雨滴将以多大的速度着地？这个速度的方向怎样？ 【答案】雨滴沿向下偏西，与地面成角的方向，以4 m/s的速度着地 【解析】根据向量加法的平行四边形法则运算即可. 【详解】如图， 表示无风时雨滴的下落速度，表示东风的风速. 由向量加法的平行四边形法则， 知有东风时雨滴的下落速度为. 又，， 所以，. 故雨滴沿向下偏西，与地面成角的方向，以4 m/s的速度着地. 【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，解三角形，属于中档题. 【B组---提高题】 1（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）设单位向量，，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的最大值和最小值，可得出结果. 【详解】因为，，为单位向量， 所以，当且仅当、、方向都相同时，等号成立， 作，，， 当时，如下图所示： 以、为邻边作平行四边形，则该四边形为菱形，且， 所以，为等边三角形，且， 又因为，，由图可知，， 即， 综上所述，. 故选：A. 2（23-24高二下·浙江·期中）已知是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（    ）    A．7 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】合理利用平面向量的线性运算对目标式进行转化，再利用圆的性质求出，，求解即可. 【详解】    如图，连接，作，， 易知是的中点，是的中点，由勾股定理得，， 故， 故，当反向时等号成立，故C正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查圆，解题关键是找到对目标式进行合理转化，然后求出，，最后得到所要求的最值即可． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$