预习篇 6.1 平面向量的概念【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高一数学寒假进阶学习讲义（人教A版2019）

6.1 平面向量的概念 【题型1】 向量的概念 【基础知识】 向量：既有大小又有方向的量. 解释 1 对一块豆腐施加向下的力与向上的力，虽然力的大小一样，但方向不同，最后产生的效果不一样. 故研究既有大小又有方向的量是存在实际必要性的，你还能举出生活中什么例子么？ 2 只有大小没有方向的量（如体重、身高等）称为数量； 3 物理中向量常称为矢量，数量常称为标量. 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【巩固练习】 1（24-25高二上·黑龙江佳木斯·阶段练习）下列量中是向量的为（   ） A．体积 B．距离 C．拉力 D．质量 2（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）给出下列物理量： ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间.其中不是向量的有（    ） A．①⑥ B．⑦⑧⑨ C．①⑧⑨ D．①⑥⑦⑧⑨ 【题型2】向量的几何表示 【基础知识】 向量可以用有向线段表示，也可以用字母. 解释 (1)在线段中，以为起点，为终点，我们就说线段具有方向，具有方向的线段叫做有向线段； (2)向量是以为起点，为终点的；起点写在终点前面； (3)向量的长度是向量的模，记作. 【经典例题】 【例1】（22-23高一下·安徽合肥·阶段练习）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【巩固练习】 1（23-24高一·全国·假期作业）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 2（21-22高一下·河南许昌·期末）已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 3（22-23高一下·山东菏泽·阶段练习）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ）． A． B． C． D．与不能比较大小 4（23-24高一·全国·课后作业）图中，小正方形的边长为1，则||＝ ，||＝ ，||＝ ． 5（23-24高一·上海·课堂例题）在平面直角坐标系中，作出表示下列向量的有向线段： (1)向量的起点在坐标原点，与x轴正方向的夹角为120°且； (2)向量的模为4，方向与y轴的正方向反向； (3)向量的方向与y轴的正方向同向，模为2． 【题型3】零向量与单位向量 【基础知识】 名称 定义 特点 零向量 长度为的向量，记作 零向量的方向是任意的 单位向量 长度为一个单位长度的向量 若是单位向量，则 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·广东湛江·开学考试）下列命题正确的个数是（    ） （1）单位向量的方向都相同；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固练习】 1（23-24高一下·全国·假期作业）下列说法正确的个数为（    ） ①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量 ②零向量没有方向 ③向量的模一定是正数 ④非零向量的单位向量是唯一的 A．0 B．1 C．2 D．3 2（22-23高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 3（21-22高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 4（22-23高一下·山东菏泽·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 【题型4】 相等向量与共线向量 【基础知识】 名称 定义 特点 相等向量 长度相等且方向相同的两个向量 相等向量有传递性 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量，， 记作 零向量和任何向量平行 解释 (1) 相等向量 有什么量是会受位置影响的呢？学过物理的都会说：重力，贵哥在月球和在地球的重力肯定不一样的，但是贵哥的颜值则不管在月球还是在地球都是那么高的，颜值这个量就不受位置的影响. 若向量与向量的方向相同且大小相等，则，与向量的起点无关，即说白就是相等向量不受位置的影响，可以任意平行移动的！ (2) 平行向量(共线向量) 平面向量在平面内可以任意平行移动，而线段不一样，则两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念. 图一中线段和在①中是，在②中是、共线； (图一) 图二中向量和对于向量来说共线与平行是同一概念，故①和②的情况是一样. (图二) 故平行向量与共线向量是同一个概念； (3) 平行向量无传递性(因为有； (4) 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量； 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·广东东莞·开学考试）给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若，则； ③在四边形中，若，则四边形是平行四边形； ④平行四边形中，一定有； ⑤若，，则； ⑥若，，则 其中不正确的命题的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 【巩固练习】 1（23-24高一下·山西忻州·阶段练习）下列说法正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2（2024高三·全国·专题练习）如图，在正中，，，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（　　） A． B． C． D． 3（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 4（23-24高一下·天津河北·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 5（23-24高一下·北京·期中）已知是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知四边形中，，并且，则四边形是（    ） A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形 7（多选）（24-25高二上·湖北·开学考试）关于非零向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则. B．若，则 . C．若，则. D．若，则. 8（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）如下四个命题中，说法正确的是（    ） A．向量 B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 C．两个有公共终点的向量，一定是共线向量 D．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 9（多选）（24-25高二上·云南昭通·期中）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 10（24-25高一下·全国·课后作业）如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 【A组---基础题】 1（22-23高一下·海南·期中）下列各物理量表示向量的是（    ） A．质量 B．距离 C．力 D．体重 2（23-24高一下·全国·课后作业）设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ） A．共起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量 3（23-24高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量没有方向 D．向量的模是一个正实数 4（23-24高一下·全国·课后作业）在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是（    ） A．单位圆 B．一段弧 C．线段 D．直线 5（2024高三·北京·专题练习）给出下列命题：①任一非零向量都可以平行移动，零向量的长度为零，方向是任意的；②若，都是单位向量，则；③向量与相等.其中正确命题的序号为（    ） A．① B．③ C．①③ D．①② 6（多选）（21-22高一下·全国·课后作业）下列说法中错误的是（    ） A．若||=||，则= B．若≠，则||≠|| C．零向量的长度为0 D．若则 7（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）如图所示，四边形，，是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8（2025高三·全国·专题练习）给出下列命题： ①若向量，，则； ②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上； ③在菱形中，一定有. 其中是真命题的为 .（填序号） 9（24-25高一下·全国·课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 10（23-24高一下·全国·课后作业）飞机从A地按北偏西15°的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行到达C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多远？ 11（24-25高二·上海·假期作业）如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 【B组---提高题】 1（22-23高三下·河南·阶段练习）已知四边形，下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为矩形 C．若，且，则四边形为矩形 D．若，且，则四边形为梯形 2（2023高一·全国·课后作业）如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，. （1）求证：； （2）求. 3（23-24高一下·全国·课后作业）如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且.    （1）画出所有的向量； （2）求的最大值与最小值． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1 平面向量的概念 【题型1】 向量的概念 【基础知识】 向量：既有大小又有方向的量. 解释 1 对一块豆腐施加向下的力与向上的力，虽然力的大小一样，但方向不同，最后产生的效果不一样. 故研究既有大小又有方向的量是存在实际必要性的，你还能举出生活中什么例子么？ 2 只有大小没有方向的量（如体重、身高等）称为数量； 3 物理中向量常称为矢量，数量常称为标量. 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由向量的概念即既有大小又有方向的量即可求解. 【详解】是向量的有②速度；③位移；④力；⑤加速度；是数量的有①质量；⑥路程；⑦密度. 故选：C. 【巩固练习】 1（24-25高二上·黑龙江佳木斯·阶段练习）下列量中是向量的为（   ） A．体积 B．距离 C．拉力 D．质量 【答案】C 【分析】由向量的定义即可判断 【详解】A，B，D只有大小，C既有大小又有方向 故选:C 2（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）给出下列物理量： ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间.其中不是向量的有（    ） A．①⑥ B．⑦⑧⑨ C．①⑧⑨ D．①⑥⑦⑧⑨ 【答案】D 【分析】根据向量的定义可得正确的选项. 【详解】速度、位移、力、加速度既有大小，又有方向，故它们为向量， 余下皆不为向量， 故选：D. 【题型2】向量的几何表示 【基础知识】 向量可以用有向线段表示，也可以用字母. 解释 (1)在线段中，以为起点，为终点，我们就说线段具有方向，具有方向的线段叫做有向线段； (2)向量是以为起点，为终点的；起点写在终点前面； (3)向量的长度是向量的模，记作. 【经典例题】 【例1】（22-23高一下·安徽合肥·阶段练习）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据，可得，进一步得出答案. 【详解】如图，连接AC， 由，得. 因为为半圆上的点，所以， 所以． 故选：A. 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)． 【分析】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【详解】（1）所求向量如图所示： （2）所求向量如图所示： （3）由图知，是等腰直角三角形，所以． 【巩固练习】 1（23-24高一·全国·假期作业）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 【答案】D 【详解】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确．故选D． 2（21-22高一下·河南许昌·期末）已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】A 【分析】根据点到的距离相等可得答案. 【详解】因为，即点到的距离相等， 所以点是的外心. 故选：A 3（22-23高一下·山东菏泽·阶段练习）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ）． A． B． C． D．与不能比较大小 【答案】A 【分析】根据题意，作图，结合向量的几何意义，可得答案. 【详解】由题意，作图如下： 则该飞机由先飞到，再飞到，则，，， 则飞机飞行的路程为，， 所以. 故选：A. 4（23-24高一·全国·课后作业）图中，小正方形的边长为1，则||＝ ，||＝ ，||＝ ． 【答案】 3 2 【分析】根据所给图形，利用勾股定理，直接计算模长即可得解. 【详解】由题意可知：||3． ||． ||． 故答案为：3；；2． 5（23-24高一·上海·课堂例题）在平面直角坐标系中，作出表示下列向量的有向线段： (1)向量的起点在坐标原点，与x轴正方向的夹角为120°且； (2)向量的模为4，方向与y轴的正方向反向； (3)向量的方向与y轴的正方向同向，模为2． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由向量的相关定义作图即可； （2）由向量的相关定义作图即可； （3）由向量的相关定义作图即可. 【详解】（1） 由题意，故即为所求，其中； （2） 由题意，故即为所求，其中； （3） 由题意，故即为所求，其中. 【题型3】零向量与单位向量 【基础知识】 名称 定义 特点 零向量 长度为的向量，记作 零向量的方向是任意的 单位向量 长度为一个单位长度的向量 若是单位向量，则 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·广东湛江·开学考试）下列命题正确的个数是（    ） （1）单位向量的方向都相同；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】（1）单位向量只是模都是1，方向不确定，故错误； （2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误； （3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确； （4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确． 故选：B 【巩固练习】 1（23-24高一下·全国·假期作业）下列说法正确的个数为（    ） ①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量 ②零向量没有方向 ③向量的模一定是正数 ④非零向量的单位向量是唯一的 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【详解】①错误，只有速度，位移是向量． ②错误，零向量有方向，它的方向是任意的． ③错误， ④错误，非零向量的单位向量有两个，一个与同向，一个与反向． 故选：A. 2（22-23高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】C 【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. 3（21-22高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 【答案】C 【分析】根据零向量和单位向量的概念求解. 【详解】零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，任意两个单位向量长度相同，方向无法判断. 故选：C. 4（22-23高一下·山东菏泽·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意，由向量的定义以及相关概念对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确； 由单位向量对于可知，，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为两个向量不能比较大小，故D错误； 故选：D 【题型4】 相等向量与共线向量 【基础知识】 名称 定义 特点 相等向量 长度相等且方向相同的两个向量 相等向量有传递性 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量，， 记作 零向量和任何向量平行 解释 (1) 相等向量 有什么量是会受位置影响的呢？学过物理的都会说：重力，贵哥在月球和在地球的重力肯定不一样的，但是贵哥的颜值则不管在月球还是在地球都是那么高的，颜值这个量就不受位置的影响. 若向量与向量的方向相同且大小相等，则，与向量的起点无关，即说白就是相等向量不受位置的影响，可以任意平行移动的！ (2) 平行向量(共线向量) 平面向量在平面内可以任意平行移动，而线段不一样，则两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念. 图一中线段和在①中是，在②中是、共线； (图一) 图二中向量和对于向量来说共线与平行是同一概念，故①和②的情况是一样. (图二) 故平行向量与共线向量是同一个概念； (3) 平行向量无传递性(因为有； (4) 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量； 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·广东东莞·开学考试）给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若，则； ③在四边形中，若，则四边形是平行四边形； ④平行四边形中，一定有； ⑤若，，则； ⑥若，，则 其中不正确的命题的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据向量的概念可依次判断各个选项. 【详解】 解：①两个向量相等是指大小相等，方向相同，则它们的起点和终点不一定相同，故错误； ②若，方向不同，则 不一定成立； ③在四边形中，若，则且，所以四边形是平行四边形，正确； ④平行四边形中，一定有，正确； ⑤若，，则，正确； ⑥， ，则，取时，与不一定共线，错误． 其中不正确的命题的个数为3. 故选：B. 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 【答案】(1) (2) (3)、 、、、、. 【分析】根据向量相等的定义直接求解即可. 【详解】（1）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以； （2）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以 （3）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以、 、、、、. 【巩固练习】 1（23-24高一下·山西忻州·阶段练习）下列说法正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】根据向量的概念，向量的两个要素：大小和方向性，即可判断各选项. 【详解】对于A，单位向量的大小都相等，但方向不一定相同，所以单位向量不一定都相等，所以A错误； 对于B，两个向量不相等，可以大小相等，方向不同，因而当时可能，所以B错误； 对于C，两个向量的模相等，但方向可以不同，因而当时和不一定平行，所以C错误； 对于D，若两个向量的模不相等，则两个向量一定不相同，所以若，则成立，所以D正确. 综上可知，D为正确选项， 故选：D 【点睛】本题考查了向量的概念，向量的两个要素：大小和方向性，属于基础题. 2（2024高三·全国·专题练习）如图，在正中，，，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由相等向量的定义求解即可. 【详解】∵，，与方向不同， ∴，，与均不相等； ∵与方向相同，长度相等，∴＝. 故选：D. 3（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 【答案】A 【分析】根据零向量的定义，可判断A项正确；根据共线向量和相等向量的定义，可判断B，C，D项均错. 【详解】模为零的向量是零向量，所以A项正确； 时，只说明向的长度相等，无法确定方向， 所以B，C均错； 时，只说明方向相同或相反，没有长度关系， 不能确定相等，所以D错. 故选：A. 【点睛】本题考查有关向量的基本概念的辨析，属于基础题. 4（23-24高一下·天津河北·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】B 【分析】对于A：根据向量与数量的定义分析判断；对于B：根据向量相等和向量共线分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据零向量和向量共线分析判断. 【详解】对于选项A：因为为向量，均为数量，故A错误； 对于选项B：根据相等向量与平行向量的关系，知，即有，故B正确； 对于选项C：例如，满足且，但，故C错误； 对于选项D：由零向量可知：对任意，均有，即不一定成立，故D错误； 故选：B 5（23-24高一下·北京·期中）已知是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量平行的意义进行判断即可. 【详解】一方面，时，可能共线，此时不构成四边形，充分性不成立； 另一方面，四边形为平行四边形时，则，故，必要性成立. 故“”是“四边形为平行四边形”的必要不充分条件. 故选：B 6（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知四边形中，，并且，则四边形是（    ） A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形 【答案】A 【分析】由，得到四边形为平行四边形，再由，得到，得出四边形为菱形. 【详解】由题意，四边形中， 因为，可得且，所以四边形为平行四边形， 又因为，可得， 所以四边形为菱形. 故选：A. 7（多选）（24-25高二上·湖北·开学考试）关于非零向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则. B．若，则 . C．若，则. D．若，则. 【答案】BD 【分析】根据向量模的定义即可求解C，根据向量共线定义可判断B，根据向量相等的定义即可求解AD. 【详解】对于A，不能得到的方向，故A错误， 对于B，若，则 ，B正确， 对于C，向量不能比较大小，故C错误， 对于D，若，则，D正确， 故选：BD 8（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）如下四个命题中，说法正确的是（    ） A．向量 B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 C．两个有公共终点的向量，一定是共线向量 D．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 【答案】AB 【分析】根据向量相等与共线的概念即可求解. 【详解】向量与向量互为相反向量，方向相反，所以，故A正确； 两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故B正确； 两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故C错误； 若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D在同一条直线上或直线AB与直线CD平行；故D错误. 故选:AB． 9（多选）（24-25高二上·云南昭通·期中）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 【答案】BCD 【分析】根据题意结合向量的相关概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误； 对于选项B：因为，则， 所以的模恰为模的倍，故B正确； 对于选项C：根据菱形的性质结合，可知对角线与菱形的边长相等， 故与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个向量，故C正确； 对于选项D：与相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故D正确； 故选：BCD. 10（24-25高一下·全国·课后作业）如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 【答案】(1)， (2)， (3)，，，，，， 【分析】（1）根据相等向量的定义直接求解即可； （2）根据相反向量的定义直接求解即可； （3）根据模相等向量的定义求解即可. 【详解】（1）由题意，． （2）由题意，与的相反向量为：，． （3）由题意，与模相等的向量为：，，，，，，． 【A组---基础题】 1（22-23高一下·海南·期中）下列各物理量表示向量的是（    ） A．质量 B．距离 C．力 D．体重 【答案】C 【分析】根据向量的定义判断可得出结论. 【详解】由向量的定义可知，力为向量，质量、距离、体重都为数量. 故选：C. 2（23-24高一下·全国·课后作业）设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ） A．共起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量 【答案】B 【分析】利用平面向量的相关概念判断. 【详解】因为点是正三角形的中心， 所以，，是模相等的向量； 向量只有大小与方向两个要素，没有起点之说； 这三个向量方向不同，不是共线向量； 这三个向量方向不同，不是相等向量. 故选：B 3（23-24高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量没有方向 D．向量的模是一个正实数 【答案】A 【分析】根据向量的概念、零向量的定义及向量模的性质，即可判断各选项的正误. 【详解】A：与的长度相等，方向相反，正确； B：两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误； C：零向量的方向任意，故错误； D：向量的模是一个非负实数，故错误. 故选：A 4（23-24高一下·全国·课后作业）在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是（    ） A．单位圆 B．一段弧 C．线段 D．直线 【答案】A 【分析】根据单位向量的概念，以及圆的定义，即可得出结果. 【详解】平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆，所以将所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是单位圆． 故选：A. 5（2024高三·北京·专题练习）给出下列命题：①任一非零向量都可以平行移动，零向量的长度为零，方向是任意的；②若，都是单位向量，则；③向量与相等.其中正确命题的序号为（    ） A．① B．③ C．①③ D．①② 【答案】A 【分析】由向量的有关概念逐项判断即可. 【详解】因为同方向且模相等的向量相等，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动， 且零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确； 根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同， 故两个单位向量不一定相等，故②错误； 向量与互为相反向量，故③错误. 故选：A. 6（多选）（21-22高一下·全国·课后作业）下列说法中错误的是（    ） A．若||=||，则= B．若≠，则||≠|| C．零向量的长度为0 D．若则 【答案】AB 【分析】由平面向量的概念逐项判定即可求解. 【详解】因为向量既有大小又有方向, 所以只有方向相同、大小 (长度) 相等的两个向量才相等, 故 A错误; 两个向量不相等, 但它们的模可以相等, 故B错误; 零向量的长度为 0 , 故 C正确; , 则 它们的相反向量 也相等,故D正确. 故选：AB. 7（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）如图所示，四边形，，是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用菱形的性质及向量的定义逐一判断即可. 【详解】四边形，，是全等的菱形， ，即三点共线， ，， 即，，与共线，且，ABD正确； 对于C：若与共线，则必有，即，该条件不一定成立， 如时，，故与共线不一定成立， 故选：C. 8（2025高三·全国·专题练习）给出下列命题： ①若向量，，则； ②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上； ③在菱形中，一定有. 其中是真命题的为 .（填序号） 【答案】②③ 【分析】根据平行向量的概念可判断①；根据单位向量的概念可判断②；根据相等向量的概念可判断③. 【详解】若，则向量不一定与向量平行，故①不正确； 单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点时， 终点都在以为圆心，1为半径的圆上，故②正确； 在菱形中，，与方向相同，故，故③正确. 故答案为：②③. 9（24-25高一下·全国·课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 (3)图象见解析， 【分析】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【详解】（1）因为，点A在点O的正西方向，故向量如图所示． （2）因为，点B在点O的北偏西方向，故向量如图所示． （3）向量如图所示，． 10（23-24高一下·全国·课后作业）飞机从A地按北偏西15°的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行到达C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多远？ 【答案】C地在A地北偏东方向上，距A地 【解析】根据题意画出示意图，根据方位角的定义、结合三角形内角和定理，最后求出问题. 【详解】解：由题图所示，表示飞机从A地按北偏西15°方向飞行到B地的位移，则. 表示飞机从B地按南偏东75°方向飞行到C地的位移，则. 所以为飞机从A地到C地的位移. 在中，，且， 故为等边三角形，所以，. 所以C地在A地北偏东方向上，距A地. 【点睛】本题考查了方位角的概念，考查了三角形内角和定理，考查了数学阅读能力. 11（24-25高二·上海·假期作业）如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由EF是△ABC的中位线，结合向量共线的概念得到与向量共线的向量； （2）由向量模相等的概念得到与向量模相等的向量； （3）由向量相等的概念得到与向量相等的向量． 【详解】（1） 分别为的中点，，且，与向量共线的向量是. （2）因为是正三角形，所以， 因为E、F、G依次是正的边AB、BC、AC的中点， 所以， 所以在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中， 与向量模相等的向量为； （3）在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，与向量相等的向量为. 【B组---提高题】 1（22-23高三下·河南·阶段练习）已知四边形，下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为矩形 C．若，且，则四边形为矩形 D．若，且，则四边形为梯形 【答案】A 【分析】根据向量共线和模长相等的几何与意义结合平行四边形、矩形、梯形的定义逐项判断即可. 【详解】A选项，若，则且，则四边形为平行四边形，正确； 选项，如图    ，但是四边形不是矩形，错误； 选项，若，且，则四边形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故错误． 选项，若，且，则四边形可以是平行四边形，也可以是梯形，故错误. 故选：A 2（2023高一·全国·课后作业）如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，. （1）求证：； （2）求. 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】(1)本题首先可以根据勾股定理得出是直角三角形，然后根据点为半圆上一点得出，最后根据即可得出结果； (2)本题首先可以根据得出，然后根据计算出，最后即可得出结果。 【详解】(1)由题意知，在中，，，， 所以，是直角三角形， 因为点为半圆上一点，所以 所以，故 (2)因为，所以，， 即，解得，即。 【点睛】本题考查向量平行的证明以及向量的模的计算，若两向量所在直线平行或重合，则说明这两个向量平行，向量所在线段的长即向量的模，考查计算能力，是中档题。 3（23-24高一下·全国·课后作业）如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且.    （1）画出所有的向量； （2）求的最大值与最小值． 【答案】(1)见解析；(2)最大值为，最小值为. 【详解】试题分析： （1）由||=及点C为小正方形的顶点和点A的位置可确定点C的位置，然后可画出．（2）根据（1）中的点C，逐一求得||后，可求得||的最大值为，最小值为． 试题解析： (1)画出所有的向量，如图所示：    (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值=； ②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值=； 所以||的最大值为，最小值为． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$