预习篇 6.3 二项式定理 【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高二数学寒假进阶学习讲义（人教A版2019）

6.3 二项式定理 【题型1】 求二项展开式 【基础知识】 1 二项式定理 其中右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示表示，即. 解释 ① 例 ， 它的二项展开式是，二项展开式的通项. ② 二项展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分. ③ 在使用通项公式时，要注意通项公式是表示第项，而不是第项. 【经典例题】 【例1】（24-25高三·上海·随堂练习）的二项展开式是 ． 【巩固练习】 1（2022·湖南·模拟预测）下列不属于的展开式的项的是（    ） A． B． C． D． 2（22-23高二下·江苏·课后作业）的展开式共有11项，则n等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．8 3（2023高三·全国·专题练习）展开： ． 【题型2】 求二项展开式的特定项（或系数） 【基础知识】 1 二项式定理 其中右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示表示，即. 解释 ① 例 ， 它的二项展开式是，二项展开式的通项. ② 二项展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分. ③ 在使用通项公式时，要注意通项公式是表示第项，而不是第项. 【经典例题】 【例1】（21-22高二下·河南·期中）设i为虚数单位，则的展开式中含的项为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（21-22高三上·重庆渝中·阶段练习）二项式的展开式的中间项为（    ） A． B． C．和 D．和 2（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）二项式的展开式中常数项为（　　） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 3（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知的展开式中没有项，，则的值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）已知，若的展开式中，常数项等于240，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．4 【题型3】二项式系数的性质 【基础知识】 二项式系数的性质 (1)对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，直线是图象的对称轴． (2)增减性与最大值 当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项 ，取得最大值． (3)二项式系数和 ，奇数项的系数等于偶数项的系数等于. 证明 令，则， 令，则， 奇数项的系数等于偶数项的系数等于. 【经典例题】 【例1】（23-24高二上·天津南开·期中）已知二项式的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，展开式中项的系数为84，则a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【巩固练习】 1（22-23高三下·江苏连云港·阶段练习）的展开式中，二项式系数最大且系数较大的项的系数为（    ） A．40 B． C．80 D． 2（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 3（23-24高二下·天津静海·阶段练习）已知，则（    ） A． B．此二项展开式系数最大的项为第4项 C．此二项展开式的二项式系数和为32 D． 【题型4】两个二项式之积特定项（或系数） 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）在关于x的展开式中，的系数是（    ） A．30 B．25 C．20 D．15 【例2】（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项系数和为（   ） A．32 B．-32 C．0 D．1 【巩固练习】 1（22-23高三上·江苏扬州·期末）的展开式中的系数为（    ） A．20 B． C．28 D． 2（24-25高三上·山东·阶段练习）在展开式中，系数为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 3（2024高三·全国·专题练习）已知的展开式中所有项的系数之和为3，则展开式中的常数项为（    ） A． B．100 C． D．380 【题型5】多项式的展开式 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）的展开式中的系数为（  ） A．30 B． C．20 D． 【巩固练习】 1（23-24高二下·重庆沙坪坝·期中）的展开式中，常数项为（     ） A． B． C． D． 2（2024·湖南衡阳·一模）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【题型6】二项式定理的应用 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·江苏苏州·期末）最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【例2】（2024高三·全国·专题练习）求证： 【巩固练习】 1（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知，若，，则（   ） A．1 B．6 C．7 D．12 2（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）的计算结果精确到0.001的近似值是 . 3（2024高三·全国·专题练习）求证：. 【A组---基础题】 1（20-21高三上·天津河北·阶段练习）在的展开式中，的系数是（    ） A．35 B． C．560 D． 2（2022·湖南岳阳·二模）的展开式中的常数项为-160，则a的值为（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 3（2024·山西长治·模拟预测）的展开式中的系数是（    ） A．﹣10 B．0 C．10 D．30 4（2024·山东·一模）在的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式的项数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5（2024·湖北·模拟预测）若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中的系数为（    ） A．8 B．28 C．70 D．252 6（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）的展开式中，的系数为（    ）． A． B． C． D． 7（23-24高二下·陕西西安·期中）被8除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．5 8（23-24高二下·吉林·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m均为整数，若a和b被m除得的余数相间，则称a和b对模m同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记.若，且，则b的值可以是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 9（多选）（2024·四川德阳·模拟预测）在下列关于二项式的命题中，正确的是（   ） A．若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B．若，则 C．在的展开式中，常数项为60 D．的展开式中，的系数为5 10（24-25高三上·四川达州·阶段练习）二项式，若，则 . 11（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知在的二项展开式中. (1)若，求展开式中含项的系数； (2)若展开式含有常数项，求最小的正整数的值. 12（辽宁省名校联盟2024-2025学年高二上学期12月联合考试数学试卷）已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值（结果用数字表示）. 【B组---提高题】 1．（2024高三·全国·专题练习）已知展开式中的有理项不少于3项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25高三上·四川成都·期中）在的展开式中，含项的系数是（   ） A． B． C． D． 3（23-24高二下·江苏宿迁·期中）的展开式中，把，，，…，叫做三项式的n次系数列． (1)求的值； (2)根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如．理解上述思想方法，利用方程，请化简：． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3 二项式定理 【题型1】 求二项展开式 【基础知识】 1 二项式定理 其中右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示表示，即. 解释 ① 例 ， 它的二项展开式是，二项展开式的通项. ② 二项展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分. ③ 在使用通项公式时，要注意通项公式是表示第项，而不是第项. 【经典例题】 【例1】（24-25高三·上海·随堂练习）的二项展开式是 ． 【答案】 【分析】根据二项式定理可得答案. 【详解】 ． 故答案为：． 【巩固练习】 1（2022·湖南·模拟预测）下列不属于的展开式的项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照二项式定理直接展开判断即可. 【详解】由二项式定理可知，，故不是展开式的项. 故选：B 2（22-23高二下·江苏·课后作业）的展开式共有11项，则n等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．8 【答案】B 【分析】利用二项式定理的知识即可求解. 【详解】因为的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有11项，所以n＝10. 故选:B. 3（2023高三·全国·专题练习）展开： ． 【答案】 【分析】根据二项式定理，求出二项展开式即可. 【详解】由二项展开式可得， . 故答案为： 【题型2】 求二项展开式的特定项（或系数） 【基础知识】 1 二项式定理 其中右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示表示，即. 解释 ① 例 ， 它的二项展开式是，二项展开式的通项. ② 二项展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分. ③ 在使用通项公式时，要注意通项公式是表示第项，而不是第项. 【经典例题】 【例1】（21-22高二下·河南·期中）设i为虚数单位，则的展开式中含的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式定理结合复数的运算直接计算作答. 【详解】展开式的通项公式为， 由得，则的展开式中含的项为. 故选：A 【巩固练习】 1（21-22高三上·重庆渝中·阶段练习）二项式的展开式的中间项为（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【分析】先根据二项式定理确定二项式的展开式的中间项的项数，再由通项公式求中间项的表达式. 【详解】二项式的展开式共有10项，中间项有两项，为第五项和第六项，， 故选：C． 2（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）二项式的展开式中常数项为（　　） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】C 【分析】利用二项展开式的通项公式求特定的项. 【详解】二项式展开式的通项为： ， 令，解得，， 所以二项式的展开式中常数项为第5项. 故选：C. 3（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知的展开式中没有项，，则的值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】将条件转化为的展开式中不含常数项，不含项，不含项，然后写出的展开式的通项，即可分析出答案. 【详解】因为的展开式中没有项， 所以的展开式中不含常数项，不含项，不含项 的展开式的通项为： 所以当取时，方程无解 检验可得 故选：C 【点睛】本题考查的是二项式定理的知识，在解决二项式展开式的指定项有关的问题的时候，一般先写出展开式的通项. 4（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）已知，若的展开式中，常数项等于240，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．4 【答案】B 【分析】根据二项展开式的通项公式求出常数项，建立方程得解. 【详解】由二项展开式的通项公式可得， 令，解得， 即常数项为，解得. 故选：B 【题型3】二项式系数的性质 【基础知识】 二项式系数的性质 (1)对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，直线是图象的对称轴． (2)增减性与最大值 当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项 ，取得最大值． (3)二项式系数和 ，奇数项的系数等于偶数项的系数等于. 证明 令，则， 令，则， 奇数项的系数等于偶数项的系数等于. 【经典例题】 【例1】（23-24高二上·天津南开·期中）已知二项式的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，展开式中项的系数为84，则a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先根据展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，求出的值，再利用展开式的通项求出的值即可. 【详解】由展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大可知， 则展开式的通项为， 令，则，，解得， ，. 故选：A. 【巩固练习】 1（22-23高三下·江苏连云港·阶段练习）的展开式中，二项式系数最大且系数较大的项的系数为（    ） A．40 B． C．80 D． 【答案】A 【分析】根据二项式系数的性质可得二项式系数最大的项为第3项和第4项，然后根据二项式定理求出第3项和第4项，再比较系数即可求解. 【详解】由题意可得二项式系数最大的项为第3项和第4项， 则展开式中第3项为，系数为40， 展开式中第4项为，系数为， 所以二项式系数最大且系数较大的项的系数为40. 故选：A. 2（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【分析】由的展开式的二项式系数和项的系数相等，因此由题意可得，求出，即可求得展开式中系数最大的项. 【详解】由的展开式中第2项与第8项的系数相等， 由的展开式的二项式系数和项的系数相等， 所以，所以， 则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项， 故选：C． 3（23-24高二下·天津静海·阶段练习）已知，则（    ） A． B．此二项展开式系数最大的项为第4项 C．此二项展开式的二项式系数和为32 D． 【答案】D 【分析】对A：借助二项式的展开式的通项公式计算即可得；对B：计算出第4项的系数可得其小于0，再计算出第1项的系数可得其大于0，可得其错误；对C：借助二项式系数和为计算即可得；对D：借助赋值法，令代入计算后结合即可得. 【详解】对A：，则，故A错误； 对B：，即第4项的系数为， 令，有，故B错误； 对C：，故此二项展开式的二项式系数和为，故C错误； 对D：令，则，又， 故，故D正确. 故选：D. 【题型4】两个二项式之积特定项（或系数） 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）在关于x的展开式中，的系数是（    ） A．30 B．25 C．20 D．15 【答案】A 【分析】直接利用二项式定理求解系数即可. 【详解】由题意得展开式的通项为， ，令，得到的系数为， 令，得到的系数为， 所以展开式中的系数是，故A正确. 故选：A． 【例2】（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项系数和为（   ） A．32 B．-32 C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据二项式的所有二项式系数之和的表达式求得的值，再对赋值1即可求得. 【详解】依题，解得， 则二项式的所有项系数之和为. 故选：D. 【巩固练习】 1（22-23高三上·江苏扬州·期末）的展开式中的系数为（    ） A．20 B． C．28 D． 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】依题意，的系数为. 故选：B 2（24-25高三上·山东·阶段练习）在展开式中，系数为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【分析】利用二项式定理求出的展开式，再求出指定项的系数. 【详解】依题意，， 因此展开式中，含的项为， 所以系数为15. 故选：C 3（2024高三·全国·专题练习）已知的展开式中所有项的系数之和为3，则展开式中的常数项为（    ） A． B．100 C． D．380 【答案】C 【分析】借助赋值法，令可计算出的值，再利用二项式的展开式的通项公式计算可得其常数项即可得. 【详解】对于，令，则，故， 的展开式的通项公式为， 故的展开式中的常数项为： . 故选：C. 【题型5】多项式的展开式 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．20 D． 【答案】D 【分析】根据展开式的每一项的生成过程，结合组合数公式，即可求解. 【详解】从5个含有的括号中，其中1个括号中取，一个括号中取，3个括号中取，乘在一起构成这一项， 这一项为，所以的系数为. 故选：D 【巩固练习】 1（23-24高二下·重庆沙坪坝·期中）的展开式中，常数项为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】中将看成一项，两次展开，求出展开式的通项，令的指数为0，即可求解. 【详解】，展开式通项为 ， 令，当时， 为常数项即. 故选:A. 【点睛】本题考查二项展开式求特定项，解题关键要求出通项，属于中档题. 2（2024·湖南衡阳·一模）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出通项，令，再求展开式中系数为1时的系数，然后相乘即可； 【详解】， 项对应，， 项对应系数为，故展开后系数为. 故选：D. 【题型6】二项式定理的应用 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·江苏苏州·期末）最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【答案】C 【分析】利用二项式定理进行估值即可. 【详解】由题意得， 由二项式定理得， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可， 所以我们得到， 则其与1.22更接近，故C正确. 故选：C 【例2】（2024高三·全国·专题练习）求证： 【答案】证明见解析 【分析】根据二项式系数性质利用倒序相加求和即可得出结论. 【详解】证明： 令，则； 两式相加可得, 所以； 可得. 【巩固练习】 1（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知，若，，则（   ） A．1 B．6 C．7 D．12 【答案】A 【分析】由，利用二项式定理展开计算即可求得结果. 【详解】∵ ∴， ∵，，， ∴ 故选：A 2（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）的计算结果精确到0.001的近似值是 . 【答案】 【分析】根据题意，得到，结合二项式定理，即可求解. 【详解】由 . 故答案为：. 3（2024高三·全国·专题练习）求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据，利用二项式定理分别求出等式左右两边含的项的系数即可证明. 【详解】证明： ， 当时，展开式中的系数为， 又， 当时，展开式中的系数为， ， . 【A组---基础题】 1（20-21高三上·天津河北·阶段练习）在的展开式中，的系数是（    ） A．35 B． C．560 D． 【答案】C 【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令， 所以的展开式中的系数为. 故选：C 2（2022·湖南岳阳·二模）的展开式中的常数项为-160，则a的值为（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】A 【分析】由已知，根据二项式列出其展开式的通项，根据要计算的常数项，先计算出，然后根据其常数项的系数列出关于a的方程，解方程即可完成求解. 【详解】由已知，展开式的通向为， 所以其展开式的常数项即，， 所以常数项为，解得. 故选：A. 3（2024·山西长治·模拟预测）的展开式中的系数是（    ） A．﹣10 B．0 C．10 D．30 【答案】C 【分析】根据乘法的分配律以及二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】依题意可知，含的项是 ， 所以的系数是. 故选：C 4（2024·山东·一模）在的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式的项数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】先由二项式系数公式求出n，再由二项式展开式定理即可得解. 【详解】由题得， 所以二项式的展开式的项数是. 故选：A. 5（2024·湖北·模拟预测）若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中的系数为（    ） A．8 B．28 C．70 D．252 【答案】D 【分析】先确定值，再由二项展开式的通项求解项的系数即可. 【详解】因为二项展开式中当且仅当第5项是二项式系数最大的项， 即二项式系数中第5个即最大， 所以由二项式系数的性质可知， 展开式中共项，，又， 则二项展开式的通项公式 ，. 令，所以的系数为． 故选：D． 6（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）的展开式中，的系数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意展开式的项看做有个盒子，每个盒子中，，三个元素，从每个盒子中取出一个元素，再将所得的元素相乘，分三种情况讨论，根据组合数公式计算可得. 【详解】展开式中的项，可看做有个盒子，每个盒子中，，三个元素，从每个盒子中取出一个元素，再将所得的元素相乘； 要得到： ①可以取个，个，个，则为； ②可以取个，个，个，则为； ③可以取个，个，个，则为； 综上可得的系数为. 故选：D 7（23-24高二下·陕西西安·期中）被8除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．5 【答案】A 【分析】借助二项式的展开式计算即可得. 【详解】 ， 因为能被8整除， 所以被8除所得的余数为1． 故选：A. 8（23-24高二下·吉林·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m均为整数，若a和b被m除得的余数相间，则称a和b对模m同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记.若，且，则b的值可以是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】利用二项式定理求出被8除得的余数，再逐项分析判断即可. 【详解】依题意， ，展开式共11项，其中前10均有因数8，最末一项为1， 则被8除得的余数是1，2022，2023，2024，2025被8除得的余数分别为6，7，0，1， 因此b的值可以是2025. 故选：D 9（多选）（2024·四川德阳·模拟预测）在下列关于二项式的命题中，正确的是（   ） A．若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B．若，则 C．在的展开式中，常数项为60 D．的展开式中，的系数为5 【答案】BCD 【分析】对分奇偶讨论可求得判断A；令与，可求得的值判断B；利用展开式的通项公式求解判断C；求得中的与的系数即可判断D. 【详解】对于A，由二项式的系数的性质可知最中间项的二项式系数最大， 当为偶数时，最中间项只有一项，又第3项的二项式系数最大，故共为5项， 所以，解得， 当为奇数时，中间项有二项，又第3项的二项式系数最大， 所以可能第二项与第三项二项式系数相同都最大或第三项与第四项二项式系数相同都最大或， 此时或，解得或，故A错误； 对于B，令，可得， 令，可得，所以，故B正确； 对于C，二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以第5项为常数项且常数项为，故C正确； 对于D，展开式中的系数为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：赋值法是求解二项式定理中各项系数和的重要方法，求解展开式中的常数项的方法主要是利用展开式的通项公式求解. 10（24-25高三上·四川达州·阶段练习）二项式，若，则 . 【答案】 【分析】首先根据绝对值和的意义，采用赋值法求，再求. 【详解】二项式的通项为， 令，得， 所以， 中，是的系数，所以. 故答案为： 11（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知在的二项展开式中. (1)若，求展开式中含项的系数； (2)若展开式含有常数项，求最小的正整数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由二项展开式的通项公式，即可求得展开式中含项的系数； （2）根据题意，在二项展开式的通项公式中，令的幂指数为，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）当时，展开式的通项公式为， 令，解得，所以展开式中含项的系数为. （2）展开式的通项公式为， 令，解得，因为， 所以当时，取得最小值，此时展开式含有常数项， 所以最小的正整数的值为. 12（辽宁省名校联盟2024-2025学年高二上学期12月联合考试数学试卷）已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值（结果用数字表示）. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）由条件恒等式，取，化简可求； （2）由条件恒等式，取，化简可求结论； （3）结合二项式展开式通项公式可得因此，再结合组合数性质求值. 【详解】（1）在中， 令，得，所以. （2）在中， 令，得， 所以. （3）的展开式的通项公式为， 因此 ， 所以. 【B组---提高题】 1．（2024高三·全国·专题练习）已知展开式中的有理项不少于3项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由二项展开式通项公式为，为整数，取三项，定的最小值． 【详解】二项式展开式的通项为，即，其中． 当为有理项时，必为偶数． 当时，，． 其中，当的值分别为时，为有理项，共有3项． 故的最小值为4． 故选：B． 2．（24-25高三上·四川成都·期中）在的展开式中，含项的系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出展开式中含的系数为，再利用组合数的计算性质求和即可. 【详解】解：展开式中第项为：， 中含有项的系数为： . 故选：C. 3（23-24高二下·江苏宿迁·期中）的展开式中，把，，，…，叫做三项式的n次系数列． (1)求的值； (2)根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如．理解上述思想方法，利用方程，请化简：． 【答案】(1)13 (2) 【分析】（1）采用“赋值法”求解. （2）分别求和展开式中的系数即可. 【详解】（1）因为， 令得：； 令得：. 两式相减得： . （2）因为， 所以展开式中，的系数为： 又展开式中，，由 ， 所以的系数为：. 所以 【点睛】方法点睛：对于新的概念的理解是解决问题的关键. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$