预习篇 6.2 排列与组合【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高二数学寒假进阶学习讲义（人教A版2019）

6.2 排列与组合 【题型1】 排列与组合的区别 【基础知识】 1 排列概念 从个不同元素中，任取个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从不同元素中取出个元素的一个排列. 【例】 若从，，，这个数字中，每次取出个排成一个三位数，共可得到多少种不同的三位数？ 解 利用树状图易得共种可能. 个位 十位 百位 题目的要求是取出个数字按照“个位”、“十位”、“百位”的顺序依次排成一列，其中元素“123”和“132”不是同一元素,因为它们的次序不一样. 故排列讲究的是“顺序”！ 2 组合概念 一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 解释 (1) 组合的举例：从高二班个学生中选个学生组个篮球队；从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动. (2) 排列与组合的区别 排列是讲“顺序”，而组合不讲“顺序”， 比如 ① 一个班有个学生，选两个班长有多少种选法？ ② 一个班有个学生，选正副班长各人有多少种选法？ ①是组合问题，②是排列问题，“选正副班长”就意味着：选出的班长还要讲“顺序”. 又比如 ① 从这个数中选个数字作加法，得数有多少种结果？ ② 从这个数中选个数字作减法，得数有多少种结果？ ①是组合问题，②是排列问题，“两个数字作减法”就意味着：谁是减数谁是被减数，结果不一样，即讲究“顺序”. 【经典例题】 【例1】（22-23高二上·全国·课后作业）下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 【例2】（24-25高二上·甘肃武威·期中）下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【巩固练习】 1（24-25高二上·全国·课前预习）下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 2（22-23高二下·新疆乌鲁木齐·期中）下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 3（23-24高二下·陕西西安·期中）下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【题型2】排列数与组合数的计算 【基础知识】 1 排列数 （1）从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示.其中 或 （2）阶乘 表示正整数到的连乘积，叫做的阶乘，规定． 【例】 ，. 2 组合数 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．其中 规定. 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·山东聊城·期中）计算（    ） A． B．7 C．8 D．12 【例2】（23-24高二下·河南郑州·期中）若，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【巩固练习】 1（24-25高二上·全国·课后作业）的值是（   ） A．480 B．520 C．600 D．1320 2（23-24高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）（   ） A．110 B．98 C．124 D．148 3（23-24高二下·天津·期中）（   ） A．2 B． C．3 D．1 4（24-25高二下·全国·课后作业）若，则的值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 5（23-24高二下·重庆·期中）若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【题型3】无条件限制的排列组合问题 【经典例题】 【例1】（22-23高二下·陕西安康·期末）记为的任意一种排列，则使得为偶数的排列种数为（    ） A．8 B．12 C．16 D．18 【例2】（24-25高二上·吉林·阶段练习）端午节吃粽子是我国的传统习俗，若一盘中共有两种粽子，其中3个蜜枣粽子，4个蛋黄粽子，现从盘中任取2个都是相同馅粽子的概率为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高三·上海·随堂练习）某小组共5人，每两人相互挥手打招呼，共需发起的相互挥手打招呼次数为（    ）． A．20 B．15 C．10 D．5 2（23-24高三上·湖南·开学考试）在如图所示的表格中填写，，三个数字，要求每一行、每一列均有这个数字，则不同的填法种数为（    ）． A． B． C． D． 3（23-24高二下·江苏徐州·期中）一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，从中取3个球，则不同的取法种数是（    ） A． B． C． D． 4（22-23高二下·山西晋中·阶段练习）7个人分4张无座音乐会门票，每人至多1张，票必须分完，那么不同的分法种类为（    ） A．35 B．84 C．360 D．840 5（23-24高二下·贵州黔东南·期末）学校计划派甲、乙、丙、丁4名学生参加周六、周日的公益活动，每名学生选择一天参加公益活动，若甲、乙不在同一天参加公益活动，则不同的参加公益活动的方法共有（    ） A．4种 B．6种 C．8种 D．16种 6（24-25高二上·安徽·开学考试）正六边形六个顶点中任取四个点，构成等腰梯形的概率是（    ） A． B． C． D． 【题型4】有条件限制的排列组合问题 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·四川内江·期中）5名学生站成一排，若学生甲乙都不站两端，则不同站法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【例2】（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）现有4男3女共7个人排成一排照相，其中三个女生不全相邻的排法种数为（    ） A． B． C． D． 【例3】（2024高三·全国·专题练习）2024年5月15日是全国低碳日，5月13-19日是全国节能宣传周，其主题是“绿色转型，节能攻坚”．某市在5月13，15，17日安排5位人员进行节能宣传，要求每天至少派1位，且每位人员只进行一次宣传，则不同的分派方法有 A．60种 B．90种 C．150种 D．180种 【巩固练习】 1（21-22高二下·重庆·期中）从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数可以组成多少个不同的三位数？（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 2（23-24高二下·河南安阳·期末）某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有（   ）种 A．36 B．40 C．32 D．42 3（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）甲、乙、丙等7人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有（    ）种 A．96 B．128 C．240 D．672 4（2024·广西柳州·模拟预测）有4名医学毕业生到甲、乙、丙三所学校去应聘校医工作，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为（    ） ． A．40种 B．60种 C．80种 D．120种 5（23-24高二下·河南许昌·期末）一圆形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共有6个座位.现让3个大人和3个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总数为（    ） A．6 B．12 C．72 D．144 6（22-23高二下·河北沧州·期中）同济大学为弘扬我国古代的“六艺文化”，计划在社会实践活动中每天开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程中的一门，不重复开设，连续开设六天，则课程“礼”与“乐”相邻，但均与“射”不相邻的不同排法共有（    ） A．72种 B．144种 C．240种 D．252种 7（23-24高二上·全国·课后作业）某班新年联欢会原定是5个节目，且已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目增加到原节目单中，那么新节目单可能有（    ） A．42种 B．30种 C．20种 D．96种 8（23-24高二下·广东云浮·阶段练习）大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱.现有A，B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有（    ）种． A．84 B．72 C．60 D．48 9（23-24高二下·江苏镇江·期末）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为 A．900 B．600 C．450 D．150 10（多选）（23-24高二下·宁夏吴忠·阶段练习）将4个编号为的小球放入4个编号为的盒子中（　　） A．有240种放法 B．每盒至多一球，有24种放法 C．恰有一个空盒，有144种放法 D．把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有12种放法 11（多选）（23-24高二下·广东清远·期末）现有数字下列说法正确的是（  ） A．可以组成个没有重复数字的六位数 B．可以组成个没有重复数字的六位偶数 C．可以组成个六位数 D．可以组成个相邻两个数字不相同的八位数 12（24-25高三上·上海·期中）一个项数为的正整数数列满足，且，若为不大于 的偶数，则符合条件的数列共有 个. 【A组---基础题】 1（22-23高二下·山东滨州·期中）从甲、乙、丙幅不同的画中选出幅，送给甲、乙两人，则共有（    ）种不同的送法. A． B． C． D． 2（22-23高二下·山东青岛·期中）6个人分4张无座音乐会门票，每人至多1张，票必须分完，那么不同的分法种类为（    ） A．15 B．84 C．360 D． 3（23-24高二下·湖北·期末）从数字中选四个组成没有重复数字且比2024大的四位数有（    ） A．52个 B．64个 C．66个 D．70个 4（23-24高二下·广东深圳·期中）在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的不同方法数共有（   ） A． B． C． D． 5（22-23高二下·辽宁朝阳·期末）回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为：“回文数”.如55，696，3773等，那么用数字1，2，3，4，5，6，7，8可以组成4位“回文数”的个数为 A．36个 B．56个 C．64个 D．84个 6（2023·北京东城·二模）某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 7（20-21高三下·安徽·开学考试）永沙高级中学学生会有8位学生春游，其中高一学生2名､高二学生3名､高三学生3名.现将他们排成一列，要求2名高一学生相邻､3名高二学生相邻，3名高三学生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有（    ） A．288种 B．144种 C．72种 D．36种 8（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）使方程组至少有一个解，且所有的解都是整数解的实数对的个数是（    ） A．66 B．78 C．72 D．70 9（多选）（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.现安排小明、小红、小兵3名志愿者到甲、乙、丙、丁四个场馆进行服务.每名志愿者只能选择一个场馆，且允许多人选择同一个场馆，下列说法中正确的有（    ） A．所有可能的方法有34种 B．若场馆甲必须有志愿者去，则不同的安排方法有37种 C．若志愿者小明必须去场馆甲，则不同的安排方法有16种 D．若三名志愿者所选场馆各不相同，则不同的安排方法有24种 10（23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）将“用一条线段联结两个点”称为一次操作，把操作得到的线段称为“边”．若单位圆上个颜色不相同且位置固定的点经过次操作后，从任意一点出发，沿着边可以到达其他任意点，就称这n个点和k条边所构成的图形满足“条件”，并将所有满足“条件”的图形个数记为，则 ． 【B组---提高题】 1（多选）（22-23高三上·辽宁·期末）将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则这样的数列共有360个 B．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有288个 C．若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有50个 D．若，则这样的数列共有71个 2（22-23高二上·浙江·阶段练习）我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为的个球的口袋中取出个球，共有种取法.在种取法中，不取号球有种取法；取号球有种取法.所以.试运用此方法，写出如下等式的结果： . 3（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知为中不同数字的种类，如与视为不同的排列，则的不同排列有 个（用数字作答）；所有的排列所得的平均值为 . 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2 排列与组合 【题型1】 排列与组合的区别 【基础知识】 1 排列概念 从个不同元素中，任取个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从不同元素中取出个元素的一个排列. 【例】 若从，，，这个数字中，每次取出个排成一个三位数，共可得到多少种不同的三位数？ 解 利用树状图易得共种可能. 个位 十位 百位 题目的要求是取出个数字按照“个位”、“十位”、“百位”的顺序依次排成一列，其中元素“123”和“132”不是同一元素,因为它们的次序不一样. 故排列讲究的是“顺序”！ 2 组合概念 一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 解释 (1) 组合的举例：从高二班个学生中选个学生组个篮球队；从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动. (2) 排列与组合的区别 排列是讲“顺序”，而组合不讲“顺序”， 比如 ① 一个班有个学生，选两个班长有多少种选法？ ② 一个班有个学生，选正副班长各人有多少种选法？ ①是组合问题，②是排列问题，“选正副班长”就意味着：选出的班长还要讲“顺序”. 又比如 ① 从这个数中选个数字作加法，得数有多少种结果？ ② 从这个数中选个数字作减法，得数有多少种结果？ ①是组合问题，②是排列问题，“两个数字作减法”就意味着：谁是减数谁是被减数，结果不一样，即讲究“顺序”. 【经典例题】 【例1】（22-23高二上·全国·课后作业）下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 【答案】B 【分析】排列问题是与顺序有关的问题，据此对四个选项进行判断即可解决. 【详解】选项A：从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序， 因而不是排列问题，不合题意； 选项B：10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人， 是排列问题，适合题意； 选项C：平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点 即可确定1条直线，这2个点不分顺序. 因而不是排列问题，不合题意； 选项D：从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果， 这2个数字不分顺序，因而不是排列问题，不合题意. 故选：B． 【例2】（24-25高二上·甘肃武威·期中）下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【答案】C 【分析】根据排列和组合的概念可确定选项. 【详解】A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. C. 从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式，与顺序无关，是组合问题. D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. 故选：C. 【巩固练习】 1（24-25高二上·全国·课前预习）下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 【答案】B 【分析】根据排列的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确； 对于C，确定直线不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误； 对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误． 故选：B 2（22-23高二下·新疆乌鲁木齐·期中）下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 【答案】C 【分析】根据组合的定义逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作， 将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数， 选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位， 与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出， 与顺序无关，这个问题为组合问题； 对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长， 将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题. 故选：C. 3（23-24高二下·陕西西安·期中）下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【分析】根据排列、组合的定义判断即可. 【详解】对于A：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，因为学科不一样，且学生各不相同，所以为排列问题，故A错误； 对于B：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，属于组合问题，故B正确； 对于C：从，，，中任取两个数进行指数运算，底数与指数有顺序，所以为排列问题，故C错误； 对于D：从，，，中任取两个数作为点的坐标，横、纵坐标与顺序有关，所以为排列问题，故D错误. 故选：B 【题型2】排列数与组合数的计算 【基础知识】 1 排列数 （1）从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示.其中 或 （2）阶乘 表示正整数到的连乘积，叫做的阶乘，规定． 【例】 ，. 2 组合数 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．其中 规定. 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·山东聊城·期中）计算（    ） A． B．7 C．8 D．12 【答案】C 【分析】根据题意，由排列数与组合数的计算公式代入计算，即可求解. 【详解】因为，，， 则原式. 故选：C 【例2】（23-24高二下·河南郑州·期中）若，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据组合数和排列数的计算即可求解. 【详解】因为，所以， 即，又，， 所以. 故选：B. 【巩固练习】 1（24-25高二上·全国·课后作业）的值是（   ） A．480 B．520 C．600 D．1320 【答案】C 【分析】根据排列数公式计算即可. 【详解】. 故选：C. 2（23-24高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）（   ） A．110 B．98 C．124 D．148 【答案】A 【分析】利用排列数与组合数的计算公式即可得解. 【详解】. 故选：A. 3（23-24高二下·天津·期中）（   ） A．2 B． C．3 D．1 【答案】A 【分析】根据阶乘、排列数以及组合数运算求解. 【详解】由题意可知：. 故选：A. 4（24-25高二下·全国·课后作业）若，则的值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】根据题意，利用组合数的公式，列出方程求得，结合组合数的计算公式，即可求解. 【详解】由，所以，可得，解得， 所以． 故选：C. 5（23-24高二下·重庆·期中）若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用组合数公式和排列数公式化简即可得解. 【详解】由得， 解得. 故选：D 【题型3】无条件限制的排列组合问题 【经典例题】 【例1】（22-23高二下·陕西安康·期末）记为的任意一种排列，则使得为偶数的排列种数为（    ） A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】A 【分析】由题意可知只有为偶数，从而可求得结果. 【详解】因为只有为偶数， 所以使得为偶数的排列种数为. 故选：A 【例2】（24-25高二上·吉林·阶段练习）端午节吃粽子是我国的传统习俗，若一盘中共有两种粽子，其中3个蜜枣粽子，4个蛋黄粽子，现从盘中任取2个都是相同馅粽子的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型的公式计算即可. 【详解】设从盘中任取2个都是相同馅粽子为事件A， 则. 故选：B. 【巩固练习】 1（24-25高三·上海·随堂练习）某小组共5人，每两人相互挥手打招呼，共需发起的相互挥手打招呼次数为（    ）． A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】A 【分析】由题意可知每两人相互挥手打招呼，发起的相互挥手打招呼是有顺序的，所以相当于从5人中选2人进行排列. 【详解】由题意得共需发起的相互挥手打招呼次数为． 故选：A 2（23-24高三上·湖南·开学考试）在如图所示的表格中填写，，三个数字，要求每一行、每一列均有这个数字，则不同的填法种数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从第一行开始依次确定每行的填法数，由分步乘法计数原理可求得结果. 【详解】先填第一行，有种填法；再填第二行，有种填法；最后填第三行，只有种填法； 不同的填法种数为种. 故选：C. 3（23-24高二下·江苏徐州·期中）一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，从中取3个球，则不同的取法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意由组合数公式计算可得. 【详解】根据题意，一个口袋内装有大小相同的个白球和个黑球，共个球， 从中取个球，则有种取法． 故选：D． 4（22-23高二下·山西晋中·阶段练习）7个人分4张无座音乐会门票，每人至多1张，票必须分完，那么不同的分法种类为（    ） A．35 B．84 C．360 D．840 【答案】A 【分析】 在7人中选出4人，分得门票即可，由组合数公式计算可得答案． 【详解】根据题意，“无座门票”是相同的元素，本题是组合问题， 则有种分法. 故选：A 5（23-24高二下·贵州黔东南·期末）学校计划派甲、乙、丙、丁4名学生参加周六、周日的公益活动，每名学生选择一天参加公益活动，若甲、乙不在同一天参加公益活动，则不同的参加公益活动的方法共有（    ） A．4种 B．6种 C．8种 D．16种 【答案】C 【分析】先安排甲、乙，然后安排丙、丁，再利用分步乘法原理可求得结果. 【详解】由题意可知甲、乙不在同一天参加公益活动，则有种方法， 然后丙、丁的安排方法有种， 所以由分步乘法原理可得共有种不同的方法. 故选：C 6（24-25高二上·安徽·开学考试）正六边形六个顶点中任取四个点，构成等腰梯形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据组合的定义，结合正六边形和等腰梯形的性质、古典概型运算公式进行求解即可. 【详解】正六边形六个顶点中任取四个点，不同的方法共有种方法， 在如图所示正六边形中， 显然四边形、、、 、、是等腰梯形，共个， 因此正六边形六个顶点中任取四个点，构成等腰梯形的概率是， 故选：D 【题型4】有条件限制的排列组合问题 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·四川内江·期中）5名学生站成一排，若学生甲乙都不站两端，则不同站法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】根据题意，先从中间的三个位置中，选出2个位置，安排甲乙，再把剩余的3个位置，进行全排列，即可求解. 【详解】先从中间的三个位置中，选出2个位置，安排甲乙，再把剩余的3个位置，进行全排列， 所以甲乙都不站两端的不同站法共有种. 故选：A. 【例2】（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）现有4男3女共7个人排成一排照相，其中三个女生不全相邻的排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用排除法，即7人的全排列减去3个女生都不相邻的情形（用插空法求三女生全不相邻的排法）. 【详解】7个人全排列诚去3个女生全部相邻的情形，即， 故选：B. 【例3】（2024高三·全国·专题练习）2024年5月15日是全国低碳日，5月13-19日是全国节能宣传周，其主题是“绿色转型，节能攻坚”．某市在5月13，15，17日安排5位人员进行节能宣传，要求每天至少派1位，且每位人员只进行一次宣传，则不同的分派方法有（    ） A．60种 B．90种 C．150种 D．180种 【答案】C 【分析】根据题意，先分组，有与两种类型，然后再分配，结合分步乘法计数原理代入计算，即可得到结果. 【详解】将5位人员分成3组，有两种类型，即第一种：，第二种：， 其中第一种有种分组方法， 第二种有种分组方法， 将分好的3组全排列有种方法， 则由分步乘法计数原理得，不同的分派方法有种． 故选：C 【巩固练习】 1（21-22高二下·重庆·期中）从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数可以组成多少个不同的三位数？（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 【答案】C 【分析】根据分步乘法计数原理，先确定百位上的数字，再分析十位与个位，进而计算即可求解. 【详解】从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数， 百位上的数字有除0外的5种选法， 十位上的数字有除百位上的数字外的5种选法， 个位上的数字有除百位、十位上的数字外的4种选法， 所以总共有种不同的三位数， 故选：C 2（23-24高二下·河南安阳·期末）某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有（   ）种 A．36 B．40 C．32 D．42 【答案】A 【分析】根据题意，结合插空法与捆绑法代入计算，即可 【详解】将相声，跳舞看成一个整体，与唱歌，杂技全排列共有种情况， 3个节目有4个空，除去相声旁边的那个空，还剩3个空，小品选其一，有种， 所以共有种排法. 故选：A 3（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）甲、乙、丙等7人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有（    ）种 A．96 B．128 C．240 D．672 【答案】D 【分析】先不管甲是否排两端，利用捆绑法可求总的方法数，再减去甲排两端的方法数，即可求解. 【详解】先从7人中任选2人排在乙和丙之间有中排法，有乙和丙之间可相互排序有， 把这4人看成一个元素与其余3人排序有，故由分步乘法计数原理共有， 甲不在两端有 ， 故甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有. 故选：D. 4（2024·广西柳州·模拟预测）有4名医学毕业生到甲、乙、丙三所学校去应聘校医工作，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为（    ） ． A．40种 B．60种 C．80种 D．120种 【答案】B 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①四人中有3人被录取，②四人都被录取，再由分类加法计数原理即可求． 【详解】根据题意，分2种情况讨论： ①四人中有3人被录取，有种不同的录用情况； ②四人都被录取，需要先将4人分为3组，再将分好的3组安排给3所学校， 有种不同的录用情况； 所以共有种不同的录用情况． 故选：B． 5（23-24高二下·河南许昌·期末）一圆形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共有6个座位.现让3个大人和3个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总数为（    ） A．6 B．12 C．72 D．144 【答案】C 【分析】根据题意，将圆形餐桌看成一排，结合条件可分为大，小，大，小，大，小或者小，大，小，大，小，大两种类型，结合排列数代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可知，任何两个小孩都不能坐在一起，则任何两个大人也不能坐在一起， 不妨看作大，小，大，小，大，小或者小，大，小，大，小，大两种类型， 三个大人的入座方法有种，三个小孩的入座方法有种， 则不同的入座方法总数为种. 故选：C 6（22-23高二下·河北沧州·期中）同济大学为弘扬我国古代的“六艺文化”，计划在社会实践活动中每天开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程中的一门，不重复开设，连续开设六天，则课程“礼”与“乐”相邻，但均与“射”不相邻的不同排法共有（    ） A．72种 B．144种 C．240种 D．252种 【答案】B 【分析】利用捆绑法和插空法计算可得. 【详解】依题意先将“御”“书”“数”三门课程全排列，有种排法； 再将“礼”与“乐”捆绑作为一个整体，与“射”插空到“御”“书”“数”所形成的个空中的个， 故有种排法， 按照分步乘法计数原理可知一共有种排法. 故选：B 7（23-24高二上·全国·课后作业）某班新年联欢会原定是5个节目，且已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目增加到原节目单中，那么新节目单可能有（    ） A．42种 B．30种 C．20种 D．96种 【答案】A 【分析】利用插空法，分两个新节目在一起和两个新节目不在一起两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】原定的个节目形成个空． 当插入的这两个新节目在一起时，有插法； 当插入的这两个新节目不在一起时，有插法， 所以总的不同插法的种数为种，即新节目单可能有种排法． 故选：A． 8（23-24高二下·广东云浮·阶段练习）大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱.现有A，B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有（    ）种． A．84 B．72 C．60 D．48 【答案】A 【分析】分参加生物创新实验模块的为1人和2人两种情况，结合排列组合知识和计数原理求解即可. 【详解】因为生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，所以参加生物创新实验模块的为1人和2人两种情况， (1)当参加生物创新实验模块的为1人时，若这个人为，则一共有种不同的分配方式； 若这个人不是，则只能参加现代农业技术模块，一共有种不同的分配方式； (2) 参加生物创新实验模块的为2人时，若这两人中有，则一共有， 若这两人中没有，则只能参加现代农业技术模块，一共有种不同的分配方式； 综上，一共由种不同的分配方式； 胡选：A 9（23-24高二下·江苏镇江·期末）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（    ） A．900 B．600 C．450 D．150 【答案】C 【分析】按1，2，3或2，2，2将6人分成三组，再把分成的三组分到3个村寨即可. 【详解】由题意可知6个人分成三组且每组最多3名学生， 所以可以分成1，2，3或2，2，2两类， 当6人分成1，2，3三组，有种分法， 当6人分成2，2，2三组，有种分法， 所以不同的安排方法种数为种， 故选：C 10（多选）（23-24高二下·宁夏吴忠·阶段练习）将4个编号为的小球放入4个编号为的盒子中（　　） A．有240种放法 B．每盒至多一球，有24种放法 C．恰有一个空盒，有144种放法 D．把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有12种放法 【答案】BCD 【分析】对于A，根据分步乘法原理分析求解，对于B，由题意可知每盒恰好一个球，相当于对4个球进行全排列，对于C，先选出一个空盒，然后将4个球分成3份放入剩下的3个盒子即可，对于D，方法一：先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个，方法二：第一步先选出一个盒子，第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板即可. 【详解】对于A，每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子， 共有种放法，所以A错误， 对于B，由题意可知每盒恰好一个球，所以共有（种）放法，所以B正确， 对于C，先选出一个空盒，然后将4个球分成3份放入剩下的3个盒子，所以共有（种）放法，所以C正确， 对于D，（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个.由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题， 故共有（种）放法. （方法2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法， 第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种方法， 由分步计数原理得，共有（种）放法.所以D正确. 故选：BCD 11（多选）（23-24高二下·广东清远·期末）现有数字下列说法正确的是（    ） A．可以组成个没有重复数字的六位数 B．可以组成个没有重复数字的六位偶数 C．可以组成个六位数 D．可以组成个相邻两个数字不相同的八位数 【答案】ACD 【分析】对于A，根据分步乘法计数原理即可求解；对于B，根据分类加法计数原理即可求解；对于C，分析出六位数中可能有1个1，2个1，3个1三种情况，再根据分类加法计数原理即可求解；对于D，利用插空法和分步乘法计数原理，并减去0在首位的情况即可求解. 【详解】对于A，由题意，可选取的数字为：0，1，2，3，4，5， 且首位不能为0， 第一步，先排首位有种不同排法， 第二步，再排其他5位数，有种排法， 所以由分步乘法计数原理可知， 可以组成个没有重复数字的六位数，故A正确； 对于B，由题意，末位只能为：0，2，4， 当末位为0时，有种排法； 当末位为2时，有种排法； 当末位为4时，有种排法， 所以由分类加法计数原理可知， 可以组成312个没有重复数字的六位偶数，故B错误； 对于C，由题意，六位数中可能有1个1，2个1，3个1三种情况. 当六位数中有1个1时，由A选项知有600种排法； 当六位数中有2个1时，分为有0与无0两种情况， 有0时，有种排法， 无0时，有种排法； 当六位数中有3个1时，分为有0与无0两种情况， 有0时，有种排法， 无0时，有种排法， 所以由分类加法计数原理可知， 可以组成个六位数，故C错误； 对于D，因为相邻两个数字不相同，即3个1不能相邻，故用插空法： 第一步，先排，除1外的5个数字，有，每种排法留出6个空位， 第二步，再将3个1插入6个空位，有种排法， 所以由分步乘法计数原理可知，共有2400种排法， 又因为0不能在首位，而0在首位时，有种排法， 所以可以组成个相邻两个数字不相同的八位数，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查有限制条件的排列、组合和不相邻问题，解题关键是遵循特殊位置优先排、不相邻问题插空排. 12（24-25高三上·上海·期中）一个项数为的正整数数列满足，且，若为不大于 的偶数，则符合条件的数列共有 个. 【答案】 【分析】根据题意，先确定数列中的值，再利用组合知识，即可得到结论. 【详解】由题意，且， 当时，，则可以取或，且逐项不减小， 此时满足条件的数列的个数有个； 当，，则可以取或或或，且逐项不减小， 此时满足条件的数列的个数有个； 当，，则可以取或或或或或，且逐项不减小， 此时满足条件的数列的个数有个； 当，，则可以取或或或或或或或， 且逐项不减小，此时满足条件的数列的个数有个； 综上，满足条件的数列共有. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：先确定数列中的值，之后再分析的取值，可能都是同一个值；可能是从可取值中选两个出来，比如选和，那么可能，可能或有三种可能；依次分析即可. 【A组---基础题】 1（22-23高二下·山东滨州·期中）从甲、乙、丙幅不同的画中选出幅，送给甲、乙两人，则共有（    ）种不同的送法. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用排列计数原理可得结果. 【详解】从幅不同的画中选出幅，送给甲、乙两人，不同的选法种数为种. 故选：A. 2（22-23高二下·山东青岛·期中）6个人分4张无座音乐会门票，每人至多1张，票必须分完，那么不同的分法种类为（    ） A．15 B．84 C．360 D． 【答案】A 【分析】由题意有2人没分到票，利用组合求解. 【详解】6个人分4张无座音乐会门票，每人至多1张，票必须分完，则有2人没分到票， 则共有种不同的分法. 故选：A 3（23-24高二下·湖北·期末）从数字中选四个组成没有重复数字且比2024大的四位数有（    ） A．52个 B．64个 C．66个 D．70个 【答案】D 【分析】根据题意，分为三类，首位大于2、首位为2且第二位非0和首位为2，第二位为0，结合排列数的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，可分为三类： 当首位大于2时有种； 当首位为2，第二位非0时有种； 当首位为2，第二位为0时有种； 综上，总共有种. 故选D. 4（23-24高二下·广东深圳·期中）在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的不同方法数共有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分“取的1件次品”和“取到2件次品”两种情况，结合组合数与分类加法计算原理，得解. 【详解】“至少取到1件次品”分两种情况： 取的1件次品的方法数为：种； 取到2件次品的方法数为：种， 由分类加法计数原理知，共有种不同的方法数， 故选：D 5（22-23高二下·辽宁朝阳·期末）回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为：“回文数”.如55，696，3773等，那么用数字1，2，3，4，5，6，7，8可以组成4位“回文数”的个数为（    ） A．36个 B．56个 C．64个 D．84个 【答案】C 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①位“回文数”中数字全部相同，②位“回文数”中有个不同的数字，求出每种情况下位“回文数”的数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分种情况讨论： ①位“回文数”中数字全部相同，有种情况，即此时有个位“回文数”； ②位“回文数”中有个不同的数字，有种情况，即此时有个位“回文数”； 则一共有个位“回文数”； 故选：C． 6（2023·北京东城·二模）某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】分四种情况，利用分类计数原理即可求出结果. 【详解】从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选一种，有种， 从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选二种，有种， 从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选三种，有种， 从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药全选，有种， 所以从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选一种，共有种， 故选：C. 7（20-21高三下·安徽·开学考试）永沙高级中学学生会有8位学生春游，其中高一学生2名､高二学生3名､高三学生3名.现将他们排成一列，要求2名高一学生相邻､3名高二学生相邻，3名高三学生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有（    ） A．288种 B．144种 C．72种 D．36种 【答案】B 【分析】先将2名高一学生看成整体，3名高二学生看成整体，排成一排，然后3名高三学生去插空即可. 【详解】根据题意，分2步进行： 第一步，先将2名高一学生看成整体，3名高二学生看成整体，然后排成一排有种不同的排法， 第二步，将3名高三学生插在这两个整体形成的3个空档中，有种不同排法， 根据分步原理，共有种不同的排法， 故选：B 8（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）使方程组至少有一个解，且所有的解都是整数解的实数对的个数是（    ） A．66 B．78 C．72 D．70 【答案】C 【分析】首先确定圆上的整点，直线与圆相交过两个整点且不过原点，也可与圆相切过一个整点，每条直线对应一对,分类计数即可. 【详解】解：因为且， 所以，，，共12组整数解， 对应12个整点，即，，，，， ，，，，，，. 又因为表示不经过原点的直线， 所以当直线与圆相交于两个整点时，共有条直线， 且对应有实数对的个数为； 当直线与圆相切于一个整点时，共有条直线， 且对应有实数对的个数为； 综上符合要求的实数对的个数为. 故选：C. 9（多选）（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.现安排小明、小红、小兵3名志愿者到甲、乙、丙、丁四个场馆进行服务.每名志愿者只能选择一个场馆，且允许多人选择同一个场馆，下列说法中正确的有（    ） A．所有可能的方法有34种 B．若场馆甲必须有志愿者去，则不同的安排方法有37种 C．若志愿者小明必须去场馆甲，则不同的安排方法有16种 D．若三名志愿者所选场馆各不相同，则不同的安排方法有24种 【答案】BCD 【分析】利用分步乘法计数原理判断AC选项的正确性，利用分类加法计数原理以及组合数计算判断B选项的正确性，利用排列数计算判断D选项的正确性. 【详解】对于A，所有可能的方法有种，故A错误. 对于B，分三种情况：第一种：若有1名志愿者去场馆甲，则去场馆甲的志愿者情况为， 另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种， 第二种：若有两名志愿者去场馆甲，则志愿者选派情况有，另外一名志愿者的排法有3种， 此种情况共有种， 第三种情况，若三名志愿者都去场馆甲，此种情况唯一， 则共有种安排方法，B正确. 对于C，若小明必去甲场馆，则小红，小兵两名志愿者各有4种安排，共有种安排，C正确. 对于D，若三名志愿者所选场馆各不同，则共有种安排，D正确. 故选：BCD. 10（23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）将“用一条线段联结两个点”称为一次操作，把操作得到的线段称为“边”．若单位圆上个颜色不相同且位置固定的点经过次操作后，从任意一点出发，沿着边可以到达其他任意点，就称这n个点和k条边所构成的图形满足“条件”，并将所有满足“条件”的图形个数记为，则 ． 【答案】125 【分析】利用新定义，结合排列组合，分情况讨论即可. 【详解】，即，.如图，在单位圆上有5个颜色不同的点，由4条边连接起来，每条边有2个端点，所以4条边一共有8个端点，又由于从任意一点出发，沿着可边可以达到任意一点，所以每一点必定会作边，至少一条边的端点.所以可能出现的情形有三种情形，按照5个点可能同时做边几条边的公共端点来分情况讨论. 情形1：有3个点是2条边的端点，另2个点是1条边的端点，有种； 情形2：有1个点是3条边的端点，有1个点是2条边的端点，另3个点是1条边的端点， 有种； 情形3：有1个点是4条边的端点，另4个点是1条边的端点，共有种； 综上：. 故答案为：125 【点睛】方法点睛：对于特殊类型的排列问题，注意根据问题的特征将其转化等价的排列问题，而后者容易计数. 【B组---提高题】 1（多选）（22-23高三上·辽宁·期末）将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则这样的数列共有360个 B．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有288个 C．若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有50个 D．若，则这样的数列共有71个 【答案】AD 【分析】根据对称性可得，即可判断A，对于B：则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，即可判断B，对于C：对的位置分类讨论，对于D，分、、三种情况讨论. 【详解】解：对于A：由于为奇数，根据对称性可知这样的数列有个，故A正确； 对于B：若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻， 则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有个，故B错误； 对于C：从1，2，3，4，5，6中选出个数排在的右侧，其余排在的左侧， 得到先减后增的数列有个； 从1，2，3，4，5，6中选出2个数排在的右侧，其余排在的左侧， 得到先减后增的数列有个； 从1，2，3，4，5，6中选出3个数排在的右侧，其余排在的左侧， 得到先减后增的数列有个； 从1，2，3，4，5，6中选出4个数排在的右侧，其余排在的左侧， 得到先减后增的数列有个； 从1，2，3，4，5，6中选出5个数排在的右侧，其余排在的左侧， 得到先减后增的数列有个； 故满足条件的总个数为：个，故C错误． 对于D：若则这样的数列有个， 若则这样的数列有个， 若则这样的数列有个， 所以满足条件的这样的数列共有个，故D正确； 故选：AD 2（22-23高二上·浙江·阶段练习）我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为的个球的口袋中取出个球，共有种取法.在种取法中，不取号球有种取法；取号球有种取法.所以.试运用此方法，写出如下等式的结果： . 【答案】 【分析】将等式看作是从编号为个球中，取出个球，其中第个球的编号依次为的情况，利用分类加法计数原理得到的结果；再由从编号为个球中，取出个球，有种取法，即可得到结果. 【详解】从编号为个球中，取出个球，记所选取的六个小球的编号分别为，且， 当时，分三步完成本次选取： 第一步，从编号为的球中选取2个；第二步，选取编号为的球；第三步，从剩下的个球中任选个，故选取的方法数为； 当时，分三步完成本次选取： 第一步，从编号为的球中选取2个；第二步，选取编号为的球；第三步，从剩下的个球中任选个，故选取的方法数为； ……； 当时，分三步完成本次选取： 第一步，从编号为的球中选取2个；第二步，选取编号为的球；第三步，从剩下的个球中选个，故选取的方法数为； 至此，完成了从编号为个球中，选取个球，第个球的编号确定时的全部情况， 另外，从编号为个球中，取出个球，有种取法， 所以. 故答案为：. 3（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知为中不同数字的种类，如与视为不同的排列，则的不同排列有 个（用数字作答）；所有的排列所得的平均值为 . 【答案】 256 【分析】利用分步计数原理求解第一空即可，求解出每一个排列的均值再求平均值即可. 【详解】由题意可知，的不同排列有个； 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，所有的256个的排列所得的的平均值为：. 故答案为：256，. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$