04 排列与组合-2025年高二数学寒假自学讲义（选择性必修第三册课程）（人教A版2019专用）

04排列与组合（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 3 考点一：排列 3 考点二：排列数 7 考点三：组合 10 考点四：组合数 13 【自学检测】 16 自学概念 1. 排　列 (1)排列的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同. 2. 排列数 (1)排列数的定义 ①从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示. ②把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列. (2)排列数公式 (乘积式)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，n，m∈N*，m≤n. (阶乘式)A＝，n，m∈N*，m≤n. (3)性质：A＝n！，0！＝1. 3. 组　合 (1)一般地，从n个不同元素中取出m(m，n∈N*，且m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (2)两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的. 4. 组合数与组合数公式 (1)组合数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示. (2)组合数公式 (乘积式)C＝＝. (阶乘式)C＝(n，m∈N*，且m≤n). 规定C＝1. 5. 组合数的性质 组合数的性质：C＝C，C＝C＋C. 自学考点 考点一：排列 一、单选题 1．（24-25高三·上海·课堂例题）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，则不同的安排方案共有（    ） A．1440种 B．1360种； C．720种 D．960种 2．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）学校计划派甲、乙、丙、丁4名学生参加周六、周日的公益活动，每名学生选择一天参加公益活动，若甲、乙不在同一天参加公益活动，则不同的参加公益活动的方法共有（    ） A．4种 B．6种 C．8种 D．16种 3．（23-24高二下·河南安阳·期末）某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有（   ）种 A．36 B．40 C．32 D．42 二、多选题 4．（23-24高二下·全国·课堂例题）（多选）下列问题是排列问题的是（ ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少个向量 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 5．（23-24高二上·江西新余·阶段练习）下列选项中，属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从，，，中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从，，，中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 6．（22-23高二下·江苏南通·期中）在树人中学举行的演讲比赛中，有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一等奖的学生排成一排合影，则（    ） A．3名男生排在一起，有6种不同排法 B．2名女生排在一起，有48种不同排法 C．3名男生均不相邻，有12种不同排法 D．女生不站在两端，有108种不同排法 三、填空题 7．（23-24高二下·湖北武汉·期末）某市的5个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有 种． 8．（23-24高二下·天津·期中）由1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数，且奇数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的六位数有 ．（用数字作答） 9．（2024·山东潍坊·一模）第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派人参加连续天的志愿服务活动，其中甲连续参加天，其他人各参加天，则不同的安排方法有 种．（结果用数值表示） 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C A BC ACD BC 1．A 【分析】运用捆绑法，结合排列定义进行求解即可. 【详解】把甲、乙捆绑在一起，相当于一个人，再与剩下的五人一起全排列， 所以不同的安排方案共有种， 故选：A 2．C 【分析】先安排甲、乙，然后安排丙、丁，再利用分步乘法原理可求得结果. 【详解】由题意可知甲、乙不在同一天参加公益活动，则有种方法， 然后丙、丁的安排方法有种， 所以由分步乘法原理可得共有种不同的方法. 故选：C 3．A 【分析】根据题意，结合插空法与捆绑法代入计算，即可 【详解】将相声，跳舞看成一个整体，与唱歌，杂技全排列共有种情况， 3个节目有4个空，除去相声旁边的那个空，还剩3个空，小品选其一，有种， 所以共有种排法. 故选：A 4．BC 【分析】根据排列的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确； 对于C，确定向量涉及顺序问题，是排列问题，C正确； 对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误． 故选：BC 5．ACD 【分析】根据排列的定义及相关知识逐项进行判断. 【详解】对于A项：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题，故A项正确； 对于B项：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，不属于排列问题，故B项错误； 对于C项：从，，，中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题，故C项正确； 对于D项：从，，，中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题，故D项正确. 故选：ACD. 6．BC 【分析】利用捆绑法可判断A、B；利用插空法可判断C；利用分步计数法可判断D. 【详解】解：由题意得： 对于选项A：3名男生排在一起，先让3个男生全排后再作为一个整体和2个女生做一个全排，共有种，A错误； 对于选项B：2名女生排在一起，先让2个女生全排后再作为一个整体和3个男生做一个全排，共有种，B正确； 对于选项C：3名男生均不相邻，先让3个男生全排后，中间留出两个空位让女生进行插空，共有种，C正确； 对于选项D：女生不站在两端，先从三个男生种选出两个进行全排后放在两端，共有种，然后将剩下的3人进行全排后放中间，共有种，D错误. 故选：BC 7．96 【分析】利用分步计数原理与分类计数原理可得结论. 【详解】第一步：从4种颜色中选3种颜色对三个区域着色有种方法， 第二步：对着色分两类，着色有2种方法，对着色有2种方法， 故不同的染色方案共有种． 故答案为：种. 8．120 【分析】根据部分元素定序，采用倍缩法，即可直接求得结果. 【详解】根据题意，这个数字构成的没有重复数字的六位数共有：种， 因为奇数数字顺序确定，故满足题意的六位数共有：种. 故答案为：. 9． 【分析】首先考虑甲连续天的情况，再其余人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】在天里，连续天的情况，一共有种， 则剩下的人全排列有种排法， 故一共有种排法． 故答案为：． 考点二：排列数 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）的值是（   ） A．480 B．520 C．600 D．1320 2．（23-24高二下·河南郑州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高二下·江苏·阶段练习）下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）满足不等式的n的值可为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 三、填空题 5．（23-24高二下·江苏连云港·期中） 6．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）不等式，其中的解集为 ； 四、解答题 7．（2024高三·全国·专题练习）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：． 8．（23-24高二·江苏·课后作业）证明，并利用这一结果化简： (1)； (2)． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C A ABC AB 1．C 【分析】根据排列数公式计算即可. 【详解】. 故选：C. 2．A 【分析】利用排列数公式将不等式转化为二次不等式求解. 【详解】易知，. 因为，，， 所以原不等式可化为， 所以， 所以原不等式的解集为. 故选：A 3．ABC 【分析】根据阶乘和排列数的运算公式，进行推理与判断选项中的运算是否正确即可． 【详解】对于A，，选项A正确； 对于B，，所以选项B正确； 对于C，，选项C正确； 对于D，，选项D错误． 故选：ABC． 4．AB 【分析】根据排列数公式计算可得答案. 【详解】因为，所以， 即，解得， 又，，所以n的值为3，4． 故选：AB. 5． 【分析】根据阶乘的概念与运算性质，计算即可求解. 【详解】由题意知， . 故答案为： 6． 【分析】根据排列数公式化简，即可求解. 【详解】由题知，，且， 又， 即， 解得，故或， 所以，原不等式的解集为. 故答案为： 7．(1)1 (2)证明见解析 【分析】（1）根据排列数公式计算； （2）根据排列数公式计算可得左右两边相等. 【详解】（1）. （2），. 8．(1)证明见详解，； (2). 【分析】由可得，先证出 式子成立，进而求出前项的和即可； 根据证出式子成立，求出前项的和即可； 【详解】（1）解：证明：由可得， 则. 所以 （2）解：因为， 所以. 考点三：组合 一、单选题 1．（24-25高二上·甘肃武威·期中）下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 2．（2024·河南·三模）有除颜色外大小相同的9个小球，其中有2个红球，3个白球，4个黑球，同色球不加区分，将这9个球排成一列，要求2个红球相邻，3个白球两两互不相邻，不同的排列种数为（    ） A．100 B．120 C．10800 D．21600 二、多选题 3．（23-24高二下·江苏·课前预习）下列问题是组合问题的有（　　） A．设集合，则集合A的含有3个元素的子集有多少个 B．某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种票价 C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法 D．把3本相同的书分给5个学生，每人最多分得1本，有几种分配方法 4．（22-23高二下·河北石家庄·期中）下列问题是排列问题的是（    ） A．把5本不同的书分给5个学生，每人一本 B．从7本不同的书中取出5本给某个同学 C．10个人相互发一微信，共发几次微信 D．10个人互相通一次电话，共通了几次电话 三、填空题 5．（2024高二下·全国·专题练习）从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，则这样的三位数有 个． 6．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）某医院安排王医生、李医生、赵医生、张医生、孙医生5人到三个社区开展主题为“提高免疫力，预防传染病”的知识宣传活动，要求每人只能参加一个社区的活动，每个社区必须有人宣传，若李医生、张医生不安排在同一个社区，孙医生不单独安排在一个社区，则不同的安排方法有 种． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C A ABD AC 1．C 【分析】根据排列和组合的概念可确定选项. 【详解】A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. C. 从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式，与顺序无关，是组合问题. D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. 故选：C. 2．A 【分析】将4个黑球放好，把两个红球捆绑插空，然后将3个白球插空即可求解. 【详解】将4个黑球放好有一种，形成5个空，从中选一个空将2个红球作为一个整体排上，有种排法， 如此就形成6个空，将3个白球插空到6个空中，有种排法， 由分步计数原理得，共有种不同排法． 故选：A． 3．ABD 【分析】利用排列与组合的定义判断各选项中的问题. 【详解】A选项，取出的元素与顺序无关，故是组合问题. B选项，甲站到乙站的车票与乙站到甲站的车票是不同的，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题. C选项，从5种不同的工作中选出3种，并按一定顺序分给3个人去干，故是排列问题. D选项，因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需要考虑它们的顺序，故是组合问题. 故选：ABD 4．AC 【分析】根据排列、组合的定义逐项判断. 【详解】对于A，学生与书都不相同，故与顺序有关，是排列问题，A正确； 对于B，取出5本书后，即确定了取法，与顺序无关，故是组合问题，故B错误； 对于C，因为是相互发一微信，因此与顺序有关，故是排列问题，C正确； 对于D，因为是互相通一次电话，与顺序无关，故是组合问题，D错误. 故选：AC. 5．51 【分析】根据题意可分三类分析：第一类：没有2，3；第二类：只有2或3； 第三类：2，3均有，2需排在3的前面，求出每种情况的个数求和即可. 【详解】解：由题可得分三类：第一类，没有2，3，由其他三个数字组成三位数，有个； 第二类：只有2或3，需从1，4，5中选两个数字，可组成个； 第三类：2，3均有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面， 所以可组成个, 综上：这样的三位数共有6＋36＋9＝51(个)． 故答案为：51. 6． 【分析】由分类加法计数原理分为两类，一个社区3人，剩下两个社区各1人和一个社区1人，剩下两个社区各2人，再按照分步乘法计数原理分别分析计算即可． 【详解】由题意知可分为两类： 第一类：一个社区3人，剩下两个社区各1人， 当李医生、张医生2人都单独安排到一个社区时，有种不同的安排方法； 当李医生、张医生中有1人单独安排到一个社区时，有种不同的安排方法； 第二类：一个社区1人，剩下两个社区各2人， 当李医生、张医生中有1人单独安排到一个社区时，有种不同的安排方法； 当李医生、张医生都不单独安排到一个社区时，有种不同的安排方法； 综上可知，共有（种）， 故答案为： 考点四：组合数 一、单选题 1．（23-24高二下·河南·阶段练习）从含有3件次品的8件新产品中，任意抽取5件进行检验，抽出的5件产品中恰好有2件次品的抽法种数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）某法院与当地高校联合开展“立德树人，尚法远航”法律职业体验活动，其中甲、乙两位同学准备各自从“立案庭”“民事庭”“刑事庭”这三种庭室中选择一个进行跟班学习，则甲、乙两人不在同一个庭室的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高二下·江苏无锡·期中）下列命题正确的有（    ） A．若，则或 B．若，则 C． D． 4．（23-24高二下·广东江门·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A． B．（，为正整数且） C． D．满足方程的值可能为或或或 三、填空题 5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）若，则的值为 6．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）已知男､女学生共6人，若从男生中任选2人，从女生中任选1人，共有12种不同的选法，则其中女生人数为 人. 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C C ACD BC 1．C 【分析】用分步乘法计数原理，第一步从3件次品中选2件次品，第二步从5件正品中选3件正品，由此可得． 【详解】根据题意，先从3件次品中抽取2件次品，有种抽取方法， 再从5件正品中抽取3件正品，有种抽取方法， 则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有种. 故选：C. 2．C 【分析】应用分步乘法原理及古典概型结合组合数计算，再应用对立事件求概率即可. 【详解】由题知甲、乙两人的跟班学习方案共有种， 其中甲、乙两人在同一个庭室参加跟班学习的方案共有3种， 故甲、乙两人不在同一个庭室跟班学习的概率为． 故选：C. 3．ACD 【分析】根据排列数和组合数的阶乘公式以及性质依次判断各个选项的正误即可. 【详解】若，则或，故A对； ，故B错； ，故C正确， ，故D正确； 故选: ACD 4．BC 【分析】根据组合数公式判断A、C，根据排列数公式判断B，由组合数的性质得到方程，求出，再检验，即可判断D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：因为， ， 所以（，为正整数且），故B正确； 对于C：，， 所以，故C正确； 对于D：因为， 所以或， 解得或或或， 当时符合题意； 当时，不符合题意，故舍去； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，故舍去； 综上可得或，故D错误. 故选：BC 5．69 【分析】根据组合数的性质及参数范围得出参数m，再计算组合数即可. 【详解】因为，所以或，解得或, 因为，所以,可得, 所以. 故答案为：69. 6．2 【分析】由题意建立组合数方程求解即可. 【详解】设男生有人，则女生有人，由题意得， 即，所以，所以，即其中女生人数为2人. 故答案为：2 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高二下·湖北·期末）从数字中选四个组成没有重复数字且比2024大的四位数有（    ） A．52个 B．64个 C．66个 D．70个 2．（2024·重庆九龙坡·三模）用1，2，3，4，5，6这六个数组成无重复数字的六位数，则在数字1，3相邻的条件下，数字2，4，6也相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有（   ）种 A．240种 B．360种 C．480种 D．540种 4．（2024高三·全国·专题练习）为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为（   ） A．6 B．12 C．16 D．20 5．（23-24高二下·江苏镇江·期末）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（    ） A．900 B．600 C．450 D．150 6．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）有四个不同的小球，，，，放入3个不同的盒子之中，则每个盒子中至少有一个球的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）从7人中选派5人到10个不同岗位中的5个参加工作，则不同的选派方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 8．（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）若，则的值为（   ） A．286 B．285 C．219 D．218 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高二下·河南洛阳·阶段练习）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231、354等都是“凸数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则（    ） A．组成的三位数的个数为60 B．在组成的三位数中，奇数的个数为30 C．在组成的三位数中，偶数的个数为30 D．在组成的三位数中，“凸数”的个数为20 10．（24-25高二下·全国·课后作业）某市文化局组织了一次“送戏下乡”活动，共有个节目，且小品和相声各一个，若小品不排在第一位，相声不排在最后一位，则不同的排法种数为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.现安排小明、小红、小兵3名志愿者到甲、乙、丙、丁四个场馆进行服务.每名志愿者只能选择一个场馆，且允许多人选择同一个场馆，下列说法中正确的有（    ） A．所有可能的方法有34种 B．若场馆甲必须有志愿者去，则不同的安排方法有37种 C．若志愿者小明必须去场馆甲，则不同的安排方法有16种 D．若三名志愿者所选场馆各不相同，则不同的安排方法有24种 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·天津·阶段练习）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.则这7个数的第75百分数是 ；从这7张卡片中随机抽取2张，则所抽取卡片上数字的最小值为2的概率 . 13．（23-24高二上·福建宁德·期末）宁德北路戏是珍贵的国家非物质文化邀产．在某次文化表演中，主办方安排了《济公传》、《反五关》、《龙虎斗》、《宏珵缘》、《旗王哭将》五个北路戏传统剧目，其中要求《宏碧缘》与《旗王哭将》不相邻，则不同的节目安排种数为 （用数字作答）． 14．（2024·上海奉贤·一模）若五人站成一排，如果必须相邻，那么排法共 种 .. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二下·重庆·阶段练习）4名男生和3名女生站成一排． (1)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？ (2)甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有几种？ (3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 16. (15分) （24-25高二上·河南·期中）5名工作人员在社区开展交通安全宣讲活动，活动结束后，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念. (1)要求小王与工作人员甲､乙都相邻，有多少种不同的站法？ (2)若这5名工作人员中，甲､乙､丙的身高互不相等，拍照时甲､乙､丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻），有多少种不同的站法？ (3)若工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，有多少种不同的站法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 17. (15分) （24-25高二上·吉林长春·期中）霹雳舞是一种动感和节奏感非常强烈、动作非常炫酷的舞蹈，年青人对这种舞蹈如痴如醉．2024年巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会）首次把霹雳舞列入比赛项目，中国小将刘清漪勇获女子铜牌，藉此之际，某中学组建了霹雳舞队，计划从3名男队员，5名女队员中选派4名队员外出参加培训，求下列情形下有几种选派方法． (1)男队员2名，女队员2名； (2)至少有1名男队员． 18. (17分) （24-25高二上·辽宁·阶段练习）甲､乙､丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲､乙､丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少种？ (2)6名同学站成一排，甲､乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？ (3)6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？ 19. (17分) （2024高三·全国·专题练习）随着国家将低空经济纳入战略新兴发展规划，无人机行业迎来前所未有的发展机遇．某无人机厂家为了解所生产的某类型无人机的飞行时长，随机抽取100架该类型无人机进行测试，统计得到如下频率分布表： 飞行时长（分钟） 频率 0.1 0.2 0.35 0.25 0.1 (1)估计该类型无人机飞行时长的平均数及第60百分位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表，最终结果保留整数）； (2)记飞行时长大于等于第60百分位数的为优良品，大于等于10且小于第60百分位数的为合格品．从该厂家生产的该类型无人机中按照是否为优良品并用分层抽样的方法抽取5架，再从这5架无人机中随机抽取2架，求至少有一架无人机为优良品的概率． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A B C B D B AD AD 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】根据题意，分为三类，首位大于2、首位为2且第二位非0和首位为2，第二位为0，结合排列数的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，可分为三类： 当首位大于2时有种； 当首位为2，第二位非0时有种； 当首位为2，第二位为0时有种； 综上，总共有种. 故选D. 2．A 【分析】分别求出数字1，3相邻时的六位数个数以及数字1，3相邻，数字2，4，6也相邻的六位数的个数，根据条件概率的计算公式，即可求得答案. 【详解】设“数字1，3相邻”，设“数字2，4，6相邻”， 则数字1，3相邻时的六位数有个， 数字1，3相邻，数字2，4，6也相邻的六位数的个数为， 则. 故选：A. 3．A 【分析】按照相邻问题，采用捆绑法，即可求解. 【详解】因为甲和乙两人相邻，所以将两人看成一个整体，有种方法， 将这两人看成一个元素，和其他四名同学，共5个元素全排列，有种方法， 所以甲，乙两人相邻的排法共有种方法. 故选：A 4．B 【分析】利用相邻问题“捆绑法”列式计算得解. 【详解】由于《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则两者“捆绑”， 所以不同的排列种数为. 故选：B 5．C 【分析】按1，2，3或2，2，2将6人分成三组，再把分成的三组分到3个村寨即可. 【详解】由题意可知6个人分成三组且每组最多3名学生， 所以可以分成1，2，3或2，2，2两类， 当6人分成1，2，3三组，有种分法， 当6人分成2，2，2三组，有种分法， 所以不同的安排方法种数为种， 故选：C 6．B 【分析】先将4个人不同的小球分为3组，再将3组放在3个不同的盒子中，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，先将4个不同的小球放入3个不同的盒子共有种放法， 每个盒子中至少有1个小球的放法，先将4个不同的小球分为3组， 其中一组2个，一组1个，一组1个，共有种不同的分法， 再将3组放在3个不同的盒子中，共有种，由分步计数原理， 可得共有种不同的放法，故概率为. 故选：B. 7．D 【分析】利用分步计数原理结合排列组合求解即可. 【详解】第一步，选出5人，共有种不同选法； 第二步，选出5个岗位，共有种不同选法； 第三步，将5人分配到5个岗位，共有种不同选法. 由分步乘法计数原理，知不同的选派方法有（种）. 故选：D. 8．B 【分析】利用组合数性质计算可得答案. 【详解】由，得或， 解得（舍）或， 则 . 故选：B. 9．AD 【分析】将个数字选个排列即可判断A，确定个位，即可计算出奇数，从而判断B、D，计算“凸数”时对十位分三种情况讨论，即可判断D. 【详解】依题意，组成的三位数的个数为，故A正确； 个位为，或时，三位数是奇数，则奇数的个数为，故B错误； 则偶数有（个），故C错误； 将这些“凸数”分为三类： ①十位为，则有（种）， ②十位为，则有（种）， ③十位为，则有（种）， 所以在组成的三位数中，“凸数”的个数为，故D正确． 故选：AD． 10．AD 【分析】根据直接法和间接法进行排列组合，即可得解. 【详解】直接法： 若小品排在最后一位，有种不同的排法； 若小品排在第二到第六位之间，则相声可以排在除最后一位和小品占据以外的任何位置，有种不同的排法； 则共有种不同的排法，A正确； 间接法： 不管条件限制共有种不同的排法； 当小品在第一位或相声在最后一位时，有种不同的排法， 当小品在第一位且相声在最后一位时，有种情况； 故共有，D正确； 故选：AD. 11．BCD 【分析】利用分步乘法计数原理判断AC选项的正确性，利用分类加法计数原理以及组合数计算判断B选项的正确性，利用排列数计算判断D选项的正确性. 【详解】对于A，所有可能的方法有种，故A错误. 对于B，分三种情况：第一种：若有1名志愿者去场馆甲，则去场馆甲的志愿者情况为， 另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种， 第二种：若有两名志愿者去场馆甲，则志愿者选派情况有，另外一名志愿者的排法有3种， 此种情况共有种， 第三种情况，若三名志愿者都去场馆甲，此种情况唯一， 则共有种安排方法，B正确. 对于C，若小明必去甲场馆，则小红，小兵两名志愿者各有4种安排，共有种安排，C正确. 对于D，若三名志愿者所选场馆各不同，则共有种安排，D正确. 故选：BCD. 12． 5 【分析】利用第75百分数的意义求出结果；利用组合计数问题列式求出古典概率. 【详解】由，得这7个数的第75百分数是5； 从这7张卡片中随机抽取2张，有个不同结果，取到最小数字2的事件有个结果， 所以所抽取卡片上数字的最小值为2的概率. 故答案为：5； 13． 【分析】先将《济公传》、《反五关》、《龙虎斗》三个节目进行排序，然后将《宏碧缘》与《旗王哭将》两个节目插入《济公传》、《反五关》、《龙虎斗》这三个节目中形成的四个空位中的两个空位，利用插空法可得结果. 【详解】先将《济公传》、《反五关》、《龙虎斗》三个节目进行排序， 然后将《宏碧缘》与《旗王哭将》两个节目插入《济公传》、《反五关》、《龙虎斗》这三个 节目中形成的四个空位中的两个空位， 由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种. 故答案为：. 14．48 【分析】元素相邻问题运用捆绑法求解. 【详解】第一步：把捆绑当作一个元素与进行排列共有种； 第二步：之间进行排列共有种； 根据分步计数原理可知：排法的总数共有种. 故答案为： 15．(1)240种 (2)960种 (3)840种 【分析】（1）由特殊元素优先法，即可得到结果； （2）由捆绑法即可得到结果； （3）由倍缩法即可得到结果； 【详解】（1）（种） 甲、乙两人必须站在两端的站法有240种． （2）（种） 甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有960种． （3）（种） 甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有840种． 16．(1)48 (2)120 (3)504 【分析】（1）利用捆绑法，把小王与工作人员甲、乙捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外的3名工作人员全排列，即可得出结论； （2）根据题意，分2步进行分析:①在6个位置中任选3个，安排甲乙丙之外的3人，②将甲乙丙3人按从左到右的顺序安排在剩余的3个位置，由分步计数原理计算可得答案； （3）根据题意，分2种情况讨论:①甲站在最右端，②甲不站在最右端，由分类计数原理计算可得答案. 【详解】（1）由题意，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念， 小王与工作人员甲､乙都相邻， ∴把小王与工作人员甲、乙捆绑在一起看作一个复合元素，有种方法（甲、小王、乙，乙、小王、甲）， 然后总体与其余3名工作人员全排列，共有种方法， ∴小王与工作人员甲､乙都相邻，方法共有种； （2）由题意， 甲､乙､丙的身高互不相等，拍照时甲､乙､丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻）， ①在6个位置中任选3个,安排甲乙丙之外的3人,有种情况, ②将甲乙丙3人按从左到右的顺序安排在剩余的3个位置,有1种情况, ∴有种不同的站法； （3）由题意， 工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端， ∴①甲站在最右端,其余5人全排列,有种站法, ②甲不站在最右端,甲有4种站法,乙有4种站法, 剩下4人全排列,有种站法, ∴共有 种不同的站法 17．(1)30 (2)65 【分析】（1）根据给定条件，利用组合问题按要求选出队员，列式计算作答. （2）根据给定条件，利用组合问题结合排除法列式计算作答. 【详解】（1）从3名男队员，5名女队员中分别选出男女队员各2名，不同选法数为（种）. （2）从8名队员中任选4名队员有种，其中没有男队员的选法数是种，所以至少有1名男队员的不同选法数是（种）. 18．(1)120 (2)144 (3)540 【分析】（1）先将6人全排列，考虑到甲、乙、丙三人排列有种，进而可得所求排法； （2）先从除甲、乙以外的4人中选2人，再利用捆绑法计算可得； （3）分为三个组可分为三类，即①分组；②分组；③分组；再将再分好的三个组安排到三项不同的社区可求总的方法数. 【详解】（1）先将6人全排列有种，考虑到甲、乙、丙三人排列有种， 所以甲､乙､丙自左向右从高到矮排列时，不同的排法有种； （2）从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下2个人全排列， 则有种排列方案； （3）由题可得学生的分配方案可以有：①；②；③； ①名学生按分为三个组有种方法， 则人分配到三所学校共有种分配方法； ②名学生按分为三个组有种分法， 则人分配到三项不同的社区一社区人、一社区人、一社区人共有分配方法； ③名学生平均分配到三项不同的社区有种方法； 则人分配到三项不同的社区每个社区至少一人一共有：种方法. 19．(1)平均数为36，第60百分位数约为39分钟． (2)． 【分析】（1）根据给定数表，求出飞行时长的平均数，利用第60百分位数定义求出第60百分位数. （2）利用分层抽样求出5架无人机中优良品的数量，再借助组合计数问题求出古典概率. 【详解】（1）该类型无人机飞行时长的平均数为； 飞行时长在区间的频率为0.3，在的频率为0.65， 则该类型无人机飞行时长的第60百分位数， 由，解得， 所以该类型无人机飞行时长的第60百分位数约为39分钟. （2）依题意，合格品与优良品的比例为，即为， 则抽取的5架无人机中，合格品有3架，优良品有2架， 所以从这5架无人机中随机抽取2架，至少有一架无人机为优良品的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 04排列与组合（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 3 考点一：排列 3 考点二：排列数 7 考点三：组合 10 考点四：组合数 13 【自学检测】 16 自学概念 1. 排　列 (1)排列的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同. 2. 排列数 (1)排列数的定义 ①从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示. ②把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列. (2)排列数公式 (乘积式)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，n，m∈N*，m≤n. (阶乘式)A＝，n，m∈N*，m≤n. (3)性质：A＝n！，0！＝1. 3. 组　合 (1)一般地，从n个不同元素中取出m(m，n∈N*，且m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (2)两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的. 4. 组合数与组合数公式 (1)组合数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示. (2)组合数公式 (乘积式)C＝＝. (阶乘式)C＝(n，m∈N*，且m≤n). 规定C＝1. 5. 组合数的性质 组合数的性质：C＝C，C＝C＋C. 自学考点 考点一：排列 一、单选题 1．（24-25高三·上海·课堂例题）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，则不同的安排方案共有（    ） A．1440种 B．1360种； C．720种 D．960种 2．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）学校计划派甲、乙、丙、丁4名学生参加周六、周日的公益活动，每名学生选择一天参加公益活动，若甲、乙不在同一天参加公益活动，则不同的参加公益活动的方法共有（    ） A．4种 B．6种 C．8种 D．16种 3．（23-24高二下·河南安阳·期末）某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有（   ）种 A．36 B．40 C．32 D．42 二、多选题 4．（23-24高二下·全国·课堂例题）（多选）下列问题是排列问题的是（ ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少个向量 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 5．（23-24高二上·江西新余·阶段练习）下列选项中，属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从，，，中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从，，，中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 6．（22-23高二下·江苏南通·期中）在树人中学举行的演讲比赛中，有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一等奖的学生排成一排合影，则（    ） A．3名男生排在一起，有6种不同排法 B．2名女生排在一起，有48种不同排法 C．3名男生均不相邻，有12种不同排法 D．女生不站在两端，有108种不同排法 三、填空题 7．（23-24高二下·湖北武汉·期末）某市的5个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有 种． 8．（23-24高二下·天津·期中）由1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数，且奇数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的六位数有 ．（用数字作答） 9．（2024·山东潍坊·一模）第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派人参加连续天的志愿服务活动，其中甲连续参加天，其他人各参加天，则不同的安排方法有 种．（结果用数值表示） 考点二：排列数 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）的值是（   ） A．480 B．520 C．600 D．1320 2．（23-24高二下·河南郑州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高二下·江苏·阶段练习）下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）满足不等式的n的值可为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 三、填空题 5．（23-24高二下·江苏连云港·期中） 6．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）不等式，其中的解集为 ； 四、解答题 7．（2024高三·全国·专题练习）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：． 8．（23-24高二·江苏·课后作业）证明，并利用这一结果化简： (1)； (2)． 考点三：组合 一、单选题 1．（24-25高二上·甘肃武威·期中）下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 2．（2024·河南·三模）有除颜色外大小相同的9个小球，其中有2个红球，3个白球，4个黑球，同色球不加区分，将这9个球排成一列，要求2个红球相邻，3个白球两两互不相邻，不同的排列种数为（    ） A．100 B．120 C．10800 D．21600 二、多选题 3．（23-24高二下·江苏·课前预习）下列问题是组合问题的有（　　） A．设集合，则集合A的含有3个元素的子集有多少个 B．某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种票价 C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法 D．把3本相同的书分给5个学生，每人最多分得1本，有几种分配方法 4．（22-23高二下·河北石家庄·期中）下列问题是排列问题的是（    ） A．把5本不同的书分给5个学生，每人一本 B．从7本不同的书中取出5本给某个同学 C．10个人相互发一微信，共发几次微信 D．10个人互相通一次电话，共通了几次电话 三、填空题 5．（2024高二下·全国·专题练习）从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，则这样的三位数有 个． 6．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）某医院安排王医生、李医生、赵医生、张医生、孙医生5人到三个社区开展主题为“提高免疫力，预防传染病”的知识宣传活动，要求每人只能参加一个社区的活动，每个社区必须有人宣传，若李医生、张医生不安排在同一个社区，孙医生不单独安排在一个社区，则不同的安排方法有 种． 考点四：组合数 一、单选题 1．（23-24高二下·河南·阶段练习）从含有3件次品的8件新产品中，任意抽取5件进行检验，抽出的5件产品中恰好有2件次品的抽法种数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）某法院与当地高校联合开展“立德树人，尚法远航”法律职业体验活动，其中甲、乙两位同学准备各自从“立案庭”“民事庭”“刑事庭”这三种庭室中选择一个进行跟班学习，则甲、乙两人不在同一个庭室的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高二下·江苏无锡·期中）下列命题正确的有（    ） A．若，则或 B．若，则 C． D． 4．（23-24高二下·广东江门·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A． B．（，为正整数且） C． D．满足方程的值可能为或或或 三、填空题 5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）若，则的值为 6．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）已知男､女学生共6人，若从男生中任选2人，从女生中任选1人，共有12种不同的选法，则其中女生人数为 人. 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高二下·湖北·期末）从数字中选四个组成没有重复数字且比2024大的四位数有（    ） A．52个 B．64个 C．66个 D．70个 2．（2024·重庆九龙坡·三模）用1，2，3，4，5，6这六个数组成无重复数字的六位数，则在数字1，3相邻的条件下，数字2，4，6也相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有（   ）种 A．240种 B．360种 C．480种 D．540种 4．（2024高三·全国·专题练习）为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为（   ） A．6 B．12 C．16 D．20 5．（23-24高二下·江苏镇江·期末）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（    ） A．900 B．600 C．450 D．150 6．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）有四个不同的小球，，，，放入3个不同的盒子之中，则每个盒子中至少有一个球的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）从7人中选派5人到10个不同岗位中的5个参加工作，则不同的选派方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 8．（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）若，则的值为（   ） A．286 B．285 C．219 D．218 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高二下·河南洛阳·阶段练习）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231、354等都是“凸数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则（    ） A．组成的三位数的个数为60 B．在组成的三位数中，奇数的个数为30 C．在组成的三位数中，偶数的个数为30 D．在组成的三位数中，“凸数”的个数为20 10．（24-25高二下·全国·课后作业）某市文化局组织了一次“送戏下乡”活动，共有个节目，且小品和相声各一个，若小品不排在第一位，相声不排在最后一位，则不同的排法种数为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.现安排小明、小红、小兵3名志愿者到甲、乙、丙、丁四个场馆进行服务.每名志愿者只能选择一个场馆，且允许多人选择同一个场馆，下列说法中正确的有（    ） A．所有可能的方法有34种 B．若场馆甲必须有志愿者去，则不同的安排方法有37种 C．若志愿者小明必须去场馆甲，则不同的安排方法有16种 D．若三名志愿者所选场馆各不相同，则不同的安排方法有24种 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·天津·阶段练习）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.则这7个数的第75百分数是 ；从这7张卡片中随机抽取2张，则所抽取卡片上数字的最小值为2的概率 . 13．（23-24高二上·福建宁德·期末）宁德北路戏是珍贵的国家非物质文化邀产．在某次文化表演中，主办方安排了《济公传》、《反五关》、《龙虎斗》、《宏珵缘》、《旗王哭将》五个北路戏传统剧目，其中要求《宏碧缘》与《旗王哭将》不相邻，则不同的节目安排种数为 （用数字作答）． 14．（2024·上海奉贤·一模）若五人站成一排，如果必须相邻，那么排法共 种 .. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二下·重庆·阶段练习）4名男生和3名女生站成一排． (1)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？ (2)甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有几种？ (3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 16. (15分) （24-25高二上·河南·期中）5名工作人员在社区开展交通安全宣讲活动，活动结束后，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念. (1)要求小王与工作人员甲､乙都相邻，有多少种不同的站法？ (2)若这5名工作人员中，甲､乙､丙的身高互不相等，拍照时甲､乙､丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻），有多少种不同的站法？ (3)若工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，有多少种不同的站法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 17. (15分) （24-25高二上·吉林长春·期中）霹雳舞是一种动感和节奏感非常强烈、动作非常炫酷的舞蹈，年青人对这种舞蹈如痴如醉．2024年巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会）首次把霹雳舞列入比赛项目，中国小将刘清漪勇获女子铜牌，藉此之际，某中学组建了霹雳舞队，计划从3名男队员，5名女队员中选派4名队员外出参加培训，求下列情形下有几种选派方法． (1)男队员2名，女队员2名； (2)至少有1名男队员． 18. (17分) （24-25高二上·辽宁·阶段练习）甲､乙､丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲､乙､丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少种？ (2)6名同学站成一排，甲､乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？ (3)6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？ 19. (17分) （2024高三·全国·专题练习）随着国家将低空经济纳入战略新兴发展规划，无人机行业迎来前所未有的发展机遇．某无人机厂家为了解所生产的某类型无人机的飞行时长，随机抽取100架该类型无人机进行测试，统计得到如下频率分布表： 飞行时长（分钟） 频率 0.1 0.2 0.35 0.25 0.1 (1)估计该类型无人机飞行时长的平均数及第60百分位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表，最终结果保留整数）； (2)记飞行时长大于等于第60百分位数的为优良品，大于等于10且小于第60百分位数的为合格品．从该厂家生产的该类型无人机中按照是否为优良品并用分层抽样的方法抽取5架，再从这5架无人机中随机抽取2架，求至少有一架无人机为优良品的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$