精品解析：广东省广州市越秀区2024-2025学年上学期期末考试九年级数学试题

广州市越秀区 2024-2025学年第一学期期末诊断性调研 九年级数学学科 本调研卷共6页，25小题，满分120分，建议完成时间：120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上． 2.用2B铅笔将考生号、座位号等填涂在答题卡相应位置上．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液、涂改带．不按以上要求作答无效． 4.考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 4. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，将绕点C顺时针旋转后得到，且点恰好落在边上，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，与相切于点，经过圆心，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为迎接春节到来，某商场规定：购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会，如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品，转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点是线段上一点，，过点作交的延长线于点，若的面积等于，则的面积等于（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 9. 形如的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积：，则该方程的正数解为，羊羊同学按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示面积为100的大正方形，则该方程的正数解为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 10. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线：，下列说法：①；②（t为全体实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的是（ ） A. ②③ B. ②④ C. ③④ D. ①② 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 若，则点A关于原点对称点的坐标为_______． 12. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是____． 13. “任选两个对应角分别相等的四边形，这两个四边形相似”是________事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”） 14. 用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为____． 15. 通过对数据的记录、整理和分析，发现飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间近似存在一个函数关系，测得一些数据（如下表）： 滑行时间t/秒 0 1 2 3 4 滑行距离s/米 0 58.5 114 1665 216 根据表中的数据，从一次函数和二次函数中选择一个函数模型，使得它能近似的反映滑行距离与滑行时间之间的函数关系，并根据所选的函数模型估计飞机着陆后滑行________秒时停下来． 16. 如图，已知点，的半径为2，点P为上一动点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段． （1）当点P落在x轴正半轴上时，点Q的坐标为________； （2）连接，当点P在上运动时，的最大值为______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上． （1）将绕点逆时针旋转，得到，画出； （2）以为位似中心，在位似中心异侧把放大到原来的倍，得到，画出． 19. 如图，已知函数与x轴交于，B两点，过点B的直线与抛物线在第二象限交于点C． （1）求线段的长； （2）若的面积为10，结合图象，当时，求x的取值范围． 20. 已知①号盒子中有2个白球、1个黄球，②号盒子中有m个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别． （1）若从②号盒子中随机取出1个球，它是黄球概率是，求m的值； （2）在（1）的条件下，分别从每个盒子中随机取出1个球，请用列表或画树状图的方法求取出的2个球恰好都是黄球的概率． 21. 如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． （1）像的长度为________； （2）如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 22. 某商品现在的售价为60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件39元． （1）若降价2元，每星期可以卖出多少件该商品？ （2）若要每星期获利6480元，应该涨价多少元？ 23. 如图所示，四边形为内接四边形，，，点E为上一点，且． （1）尺规作图：作线段（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：； （3）若，求的面积． 24. 已知抛物线经过点，抛物线G与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），点P为抛物线G上A，B之间的动点（点P不与点A，B重合）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若，的面积的最大值为9，求在时的取值范围； （3）若，点D为线段上一定点（点D不与点A，B重合），过D作x轴的垂线l，直线l分别交射线，于点E，F，若点P运动的过程中，的值始终为6，求a的值． 25. 如图所示，为矩形，，，点为上一动点，与交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，与交于点． （1）求线段的长； （2）连接，若，求长； （3）连接，与交于点，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市越秀区 2024-2025学年第一学期期末诊断性调研 九年级数学学科 本调研卷共6页，25小题，满分120分，建议完成时间：120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上． 2.用2B铅笔将考生号、座位号等填涂在答题卡相应位置上．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液、涂改带．不按以上要求作答无效． 4.考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数顶点坐标为是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选A． 3. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义与解，解一元二次方程，将代入原方程可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，根据一元二次方程的定义可得出，进而可得出，据此可得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为0，， ∴将代入，得：， 解得，． ∵方程是一元二次方程， ， ． ∴ 故选：C． 4. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据垂径定理求得，再对运用勾股定理即可求，最后即可求解． 【详解】解：∵，是的直径， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 故选：B． 5. 如图，将绕点C顺时针旋转后得到，且点恰好落在边上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，由等边对等角可得，由三角形的内角和定理可得，由推出，于是得解． 【详解】解：绕点顺时针旋转后得到， ，， ， ， ， ， 故选：D． 6. 如图，与相切于点，经过圆心，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、含的直角三角形、勾股定理、弧长的计算，熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．根据切线的性质得到，设，则，在中，由勾股定理得：，解得，再根据弧长公式即可得到结论． 【详解】解：连接，如图所示： 与相切于点， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， 故选：A． 7. 北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为迎接春节到来，某商场规定：购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会，如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品，转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据图表信息获取其频率信息估计概率，从而根据占比计算其圆心角度数即可． 【详解】解：如图②，随着次数的增加，频率趋向于， 以频率估计概率，即， 优胜奖区域的圆心角， 故选：B． 8. 如图，在中，点是线段上一点，，过点作交的延长线于点，若的面积等于，则的面积等于（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质，根据三角形的面积公式求出的面积的值是本题解题关键由中边上的高和中边上的高相等可求得，根据相似三角形的判定证得，根据相似三角形的性质即可求得结果． 【详解】解：∵中边上的高和中边上的高相等，且， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积等于 故选：． 9. 形如的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积：，则该方程的正数解为，羊羊同学按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示面积为100的大正方形，则该方程的正数解为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用几何方法求解一元二次方程，读懂题意、数形结合是解题的关键；根据题中求解方法及大正方形面积为100，求出m的值；再由大正方形面积可求得其边长为10，进而求解即可． 【详解】解：由图知，阴影部分面积为，即64；四个小正方形的面积都为； 则有：，即， ∵， ∴， ∴， ∵大正方形面积为100， ∴大正方形边长为10， ∴； 故选：B． 10. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线：，下列说法：①；②（t为全体实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的是（ ） A. ②③ B. ②④ C. ③④ D. ①② 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数字母系数与图象的关系、二次函数与一元二次方程的关系等知识． ①分别判断a、b、c的符号，再判断的符号； ②当时，y有最大值，当时，，可得到关于t的不等式，整理后即可判断； ③由对称轴为直线，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断的符号； ④利用二次函数的性质得，解不等式即可． 【详解】解：①因图象开口向下，可知：； 又∵对称轴直线， ∴，整理得：，即a、b同号， 由图象可知，当时，， 又∵对称轴为直线， ∴当时，； 即； ∴，故①错误； ②当时，y有最大值， 当时，， ∴， ∴，即， 故②错误； ③由①得：， 代入原解析式得：， 由图象可知，当时，， 即：， 整理得：，故③正确； ④由题意得，抛物线上的点到对称轴直线的距离越近，函数值越大， ∵和为图象上两点，且， ∴，即， 解得， 故④正确． 综上所述，正确的有③④． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 若，则点A关于原点的对称点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征：横纵坐标都变为其相反数；掌握这一特征是解题的关键；根据这一特征求解即可． 【详解】解：∵关于原点的对称， ∴点A关于原点的对称点的坐标为； 故答案为：． 12. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是根据方程有实数根的情况求参数，根据方程有实数根，则根的判别式，即可列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵有实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 13. “任选两个对应角分别相等的四边形，这两个四边形相似”是________事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”） 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，随机事件，根据相似多边形的性质及随机事件的定义解答即可． 【详解】解：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形， ∴任选两个对应角分别相等的四边形，这两个四边形不一定相似， 故“任选两个对应角分别相等四边形，这两个四边形相似”是随机事件． 故答案为：随机． 14. 用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：，解得r=． 考点：弧长的计算． 15. 通过对数据的记录、整理和分析，发现飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间近似存在一个函数关系，测得一些数据（如下表）： 滑行时间t/秒 0 1 2 3 4 滑行距离s/米 0 58.5 114 166.5 216 根据表中的数据，从一次函数和二次函数中选择一个函数模型，使得它能近似的反映滑行距离与滑行时间之间的函数关系，并根据所选的函数模型估计飞机着陆后滑行________秒时停下来． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意设函数表达式为：，用待定系数法求出二次函数解析式，然后再化为顶点式即可得出答案. 【详解】解：从表格数据看：s、t不是线性变化，故不是一次函数关系，则为二次函数关系， ∴，， 设函数表达式为：， 将点、代入上式得 ，解得： ∴函数的表达式为：， ∴当时，s取的最大值600，即飞机着陆后滑行20秒时停下来， 故答案为：20． 16. 如图，已知点，的半径为2，点P为上一动点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段． （1）当点P落在x轴正半轴上时，点Q的坐标为________； （2）连接，当点P在上运动时，的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，平面直角坐标系内点的坐标， 对于（1），画出图形，根据对应线段相等，旋转角，可得坐标； 对于（2），画出图形，证明，可知点Q在以点为圆心，2为半径的上，进而得出最大值，再根据勾股定理得出答案． 【详解】解：（1）如图所示，，且， ∴点． 故答案为：； （2）如图所示，将绕点A顺时针旋转得到，则，， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在以点为圆心，2为半径的上， 如图所示，当点在的延长线上时，最大，即为． 根据勾股定理，得， ∴最大值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，灵活选用因式分解法、公式法、配方法解方程是解题关键，本题用因式分解法解时，先整理得，再令每个因式为0，进行计算，即可作答. 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得． 或解：，，， ，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上． （1）将绕点逆时针旋转，得到，画出； （2）以为位似中心，在位似中心异侧把放大到原来的倍，得到，画出． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—位似变换、作图—旋转变换， （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据位似的性质作图即可； 解题的关键是掌握位似的性质：①位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；②位似图形的对应点连线交于一点；③位似图形的对应线段平行（或在同一条直线上）且比相等；④位似图形是相似图形；旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前后的图形全等． 【小问1详解】 解：如图即为所作； 【小问2详解】 如图即为所作． 19. 如图，已知函数与x轴交于，B两点，过点B的直线与抛物线在第二象限交于点C． （1）求线段的长； （2）若的面积为10，结合图象，当时，求x的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，二次函数的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据抛物线对称轴，得到，即可得到线段的长； （2）根据的面积为10，得出，再根据点C在第二象限，得出点C的坐标，然后结合图形，写出抛物线在一次函数图象上方部分的自变量取值范围即可． 【小问1详解】 解：抛物线对称轴为：直线， 、B关于对称轴对称， ， 解得， ，， ； 【小问2详解】 解：三角形ABC的面积为10， ， ， ， 点C在第二象限， ， 令，即， 解得：，， 则点C的坐标为 结合图形，当时，或． 20. 已知①号盒子中有2个白球、1个黄球，②号盒子中有m个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别． （1）若从②号盒子中随机取出1个球，它是黄球的概率是，求m的值； （2）在（1）的条件下，分别从每个盒子中随机取出1个球，请用列表或画树状图的方法求取出的2个球恰好都是黄球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）结合概率公式可列方程为，求出m的值即可． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及取出的2个球恰好都是黄球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：若从②号盒子中随机取出1个球，所有结果的总数为，并且它们出现的可能性相等，抽出是黄球的结果有2种，因此 解得． 【小问2详解】 ①号盒中有2个白球记为A和B、1个黄球记为a，②号盒中有2个红球记为C和D、2个黄球记为b和c.可以用下表列举出所有可能性： ① ② A B a C D b c 由上表可以看出，可能出现的结果又12种，并且它们出现的可能性相等. 取出的2个球都是黄球（记为事件M）的结果有2种，即，所以 答：取出的2个球都是黄球的概率为 21. 如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． （1）像的长度为________； （2）如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【答案】（1）厘米 （2）厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，理解题意，结合题意证明三角形相似是解题关键． （1）可证明得到，据此代值计算即可； （2）过点作交于点E，证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，得到．．证明，推出．证明，推出，则厘米． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， 又∵经过点O， ∴，即， ∴厘米； 【小问2详解】 解：过点作交于点E，如图， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 同理可得四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴厘米． 答：凸透镜焦距的长为厘米． 22. 某商品现在的售价为60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件39元． （1）若降价2元，每星期可以卖出多少件该商品？ （2）若要每星期获利6480元，应该涨价多少元？ 【答案】（1）340件 （2）3元或6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）根据某商品现在的售价为60元，每星期可卖出300件；每降价1元，每星期可多卖出20件，列式计算即可； （2）设应该涨价x元，则每星期要少卖出件，根据要每星期获利6480元，列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，（件）， 答：若降价2元，每星期可以卖出340件该商品； 【小问2详解】 解：由题知，如果价格不变，每件利润元 设涨价x元，则每星期要少卖出件， 则 解得：或 答：当涨价3元或6元，每星期获利6480元． 23. 如图所示，四边形为内接四边形，，，点E为上一点，且． （1）尺规作图：作线段（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：； （3）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等内容． （1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则线段即为所求； （2）由题易知，要证，实则可证，通过同弧所对的圆周角可证出①，②，，再结合推出的，导角可得，进而即可得证； （3）作，则经过圆心，设，分别在和中利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：解：如图所示，点E即为所求； 作法：以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则线段即为所求； 【小问2详解】 证明：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴是直径， ∴， 过D作于点H， ∵， ∴， ∴过点圆心O， 设， 在中，， 在中，， ∴， 整理得， 解得（负值舍去）， ∴， ∴，， ∴， ∴． 24. 已知抛物线经过点，抛物线G与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），点P为抛物线G上A，B之间的动点（点P不与点A，B重合）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若，面积的最大值为9，求在时的取值范围； （3）若，点D为线段上一定点（点D不与点A，B重合），过D作x轴的垂线l，直线l分别交射线，于点E，F，若点P运动的过程中，的值始终为6，求a的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把代入，然后根据二次函数的性质求解即可； （2）先求出，，得出的面积为，可知当点P为抛物线的顶点时，取得最大值为，求出，然后根据二次函数的增减性求解即可； （3）设点，点，求出直线的解析式为，得，同理可求出，从而，化简得，然后根据点P运动的过程中始终为定值6即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线经过点 ，即 ， 抛物线的对称轴为； 【小问2详解】 解：由（1）可得，设点P的坐标为． 令可得， 解得， 点A在点B的左侧， ， 的面积为 点P为抛物线G上A，B之间的动点 当点P为抛物线的顶点时，取得最大值为 ，解得 ， ，， 在时随着x的增大而增小，在时随着x的增大而增大 令时，，令时，， 当时， 【小问3详解】 解：设点，点 在抛物线解析式中 令得或4， ， ， 设直线的解析式为， 则 解得 直线的解析式为 垂线l与PA交于点E， 同理可得，直线的解析式为 ， ， ， 化简得 点P运动的过程中始终为定值6 解得 解得 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 25. 如图所示，为矩形，，，点为上一动点，与交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，与交于点． （1）求线段的长； （2）连接，若，求的长； （3）连接，与交于点，求面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理即可解答； （2）（法一）过点作的垂线分别交、于点，，过点作的平行线分别交、的延长线于点，，根据题意证明出、，得到，即，证明，得到，即，由得，，证明，得到，即可求得的长； （法二）过点作，，设，证明，再根据，解出的值，即可求得的值； （3）作的外接圆，连接，，，过点作，过点作，证明，得到，设的半径为，得到，再由等面积法解得，由图可知，得到的取值范围，即可求出面积的最小值． 【小问1详解】 解：，，， ； 【小问2详解】 解：（法一）过点作的垂线分别交、于点，，过点作的平行线分别交、的延长线于点，，如图所示： 设，， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， 化简得， ， ， ， ， 化简得， 由得，， ， ， ， ； （法二） 如图，过点作，， 设， ，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得， ， ； 【小问3详解】 解：如图所示，作的外接圆，连接，，，过点作，过点作， ， 四边形ADHF四点共圆， 为定值， ， ，， 又， ， 又， ， ， 设的半径为，由（1）值， ， ， ，， ， ， ， 由图可知， ， 解得：， ， 即的面积的最小值为，当，，共线即时取等号． 【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、最值问题、圆周角定理、三角形的面积公式等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $