1.1等腰三角形 自主学习优生辅导训练题 2024-2025学年北师大版八年级数学下册

2024-2025学年北师大版八年级数学下册《1.1等腰三角形》 自主学习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．等腰三角形的一边长为6，另一边长为，则它的周长为（   ） A． B．或 C． D． 2．若 △ABC 三边a ，b ，c 满足 那么△ABC 的形状是 （    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 3．如图，中，，是斜边上的高，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶住屋顶处，这根木头需要长度可能是（   ） A．2.5 B．6 C．4 D．8 5．如图，已知在中，，，点P是的平分线和的平分线的交点，射线交的延长线于点D，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，和都是等边三角形，、相交于点O，交于点M，交于点N，连接，则下列结论不一定成立的（   ） A． B． C．是等边三角形 D． 7．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（   ） A．0.5 B．1 C．0.25 D．2 8．如图，等腰三角形中，，平分，交于点，为上一点，为上一点，且，连接，．当的最小值为8时，的长（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 二、填空题 9．在等腰三角形中，，则 ． 10．如图，已知，点在边上，，则的度数为 ． 11．如图，已知是的中线，点是上的一点，交于点，，，，的度数为 °． 12．如图，在中，平分交于点．若，则的长度为 ． 13．如图，在中，，．若，，则 °． 14．如图，，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，若周长的最小值是，则的值是 ． 15．如图，在中，，平分，交于点D，点M、N分别为、上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 16．如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，为中点；④当为等腰三角形时，．其中正确的有 （填序号）．    三、解答题 17．如图，中，，分别平分和，经过点，与，相交于点，，且． (1)求证：； (2)当时，直接写出图中的所有等腰三角形．（除外） 18．方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称为格点，我们把顶点都是格点的多边形称为“格点多边形”． (1)在图1中．点A、B都是格点，则的长度是______； (2)在图1中，找出一个格点C，请用无刻度的直尺画一个以为腰的等腰； (3)在图2中，是格点三角形，请用无刻度的直尺找出一个格点D，使平分不写画法，保留画图痕迹 19．如图，和均是顶角为的等腰三角形，，分别是底边，将绕点A旋转，连接，． (1)请写出线段与的数量关系，并说明理由； (2)求直线与相交所夹锐角的度数． 20．如图，在等腰直角三角形中，，，以为边作等边三角形，点，分别在线段，上，，，与相交于点，延长交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)试判断线段和的数量关系，并说明理由． 21．如图1，已知点，点，且x，y满足． (1)求A，B两点的坐标； (2)若点C是第二象限内一点，且，过点B作于点F，求证：； (3)如图2，若点D的坐标为，过点B作，且，连接交y轴于点G，求G点的坐标． 22．已知，等腰三角形中，．    (1)如图，在上，，，求证：； (2)如图，点是的中点，，探究与的数量关系； (3)如图，，，，，，点，，，，在同一直线上，求的值（用含的式子表示）． 23．如图，中， ，P为直线上一点，E为直线上一点，连接，使得． (1)当，填空： ①如图1，点P为线段的中点时，线段与的数量关系 ； ②如图2，点P为直线上任一点时，线段与的数量关系是 ； (2)当时，如图3，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 参考答案： 1．解：由题意知，等腰三角形的第三边的长为6或， 当等腰三角形的第三边的长为6时， ∵， ∴此时不能构成三角形，舍去； 当等腰三角形的第三边的长为时，满足三角形三边关系， ∴它的周长为， 故选：C． 2．解：∵， ∴，，， ∴， ∴是等腰三角形， 故选：A． 3．解：∵，， ∴， ∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．解：当时，如图， ∵米， ∴米， ∴米， ∴这根木头需要长度不小于米，不大于米， 故选：C． 5．解：如图，与相交于点O， ∵， ∴， ∴， ∵点P是的平分线和的平分线的交点， ∴， ∵，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∴． 故选：A． 6．解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∴，，故D正确，不符合题意； ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵不一定是， ∴不一定是等边三角形，故C错误，符合题意； 故选：C． 7．解：过P作PM∥BC，交AC于M； ∵△ABC是等边三角形，且PM∥BC， ∴∠APM=∠B=60°，∠A=60° ∴△APM是等边三角形， 又∵PE⊥AM， ∴；（等边三角形三线合一） ∵PM∥CQ， ∴∠PMD=∠QCD，∠MPD=∠Q； 又∵PA=PM=CQ， 在△PMD和△QCD中 ， ∴△PMD≌△QCD（AAS）， ∴， ∴， 故选A． 8．解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 如图所示，作，使得，连接， ， 在△和△中， ， ， ， ， 当，，三点共线时，的最小值等于的长， 又的最小值为8， 的长为8， ，， 是等边三角形， ， ， 故选：C． 9．解：如图，当，    ∴； 如图，当，    ∴， ∴； 如图，当，    ∴， ∵， ∴． 综上可知：的度数为或或， 故答案为：或或． 10．解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 11．解：如图，延长到，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．解：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．解：，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ∵， ． 故答案为：50． 14．解：分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、． ∵点关于的对称点为， ， ∵点关于的对称点为， ， ， ∵的周长的最小值， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：30． 15．解：连接，过点作于点，如图所示， ，平分， 且平分． 即是线段的垂直平分线， ． 根据垂线段最短得 ， 即当点、在线段上时，为最小，最小值为线段的长， 的面积为，， ， ． ． 的最小值为． 故答案为． 16．解：① ， ， ，， ， ，故①正确； ② ， ， 由①知， ， ， ，故②正确； ③ ， ， ， ， ， ， ， ， 为中点，故③正确； ④ ， ， ， 为等腰三角形， 或， 当时，， ， ， 当时，， ，故④不正确． 正确的有①②③， 故答案为：①②③． 17．（1）证明：， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， ． （2）解：由（1）可得，， ∴是等腰三角形， ∵ ， ，， 平分，平分， ，， ∴， 即 ∴ ∴是等腰三角形， 又 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∴图中的除外所有的等腰三角形有：，，． 18．（1）解：由勾股定理得，． 故答案为：5； （2）解：如图，等腰即为所求(答案不唯一) （3）解：如图，即为所求． 19．（1）解：， 理由：和均是顶角为的等腰三角形， ，，， ，， ， ， ； （2）解：分别延长和相交于点， ， ， 即， 由（1）可知， ， ， 又， ． 20．（1）证明：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：如图，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ， 在与中， ， ， ，， ， 在中，， ， ． 21．（1）解：∵． ， 解得：， ． （2）证明：如图1，作于， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图2，作轴于， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 22．（1）证明：， ， 在和中 ， ； （2），， ， ，， 点是的中点， ， ， ， ； （3）解：如下图所示，取的中点，连 ，， ， ， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．    23．解：（1）①连接 ∵， ∴ 为等边三角形 ∵ ∴， ∴ 又∵点P为线段的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴为等边三角形 ∴ 故答案为：； ②过点P作交于点H． 由①得为等边三角形． ∴为等边三角形． ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ 故答案为：； （2）成立，在上取一点F使，如图 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$