(小升初典型奥数)行程问题(考点+典例+真题)(讲义)-2024-2025学年六年级下册数学苏教版

行程问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+错题笔记+答案解析】 编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 第一部分 典型例题 例题1：小明从甲地到乙地，去时每时走2千米，回来时每时走3千米，来回共用了5小时。小明去时用了多长时间？ 【答案】3小时 【详解】因为路程速度时间，来回的路程是一样的，速度不同导致所用的时间不同，同时，速度与时间的乘积是不变的，因为去时的速度与回来时的速度之比为2∶3，所以去时的时间与回来时的时间比为3∶2，把去时用的时间看作3份，那么回来时所用时间为2份，它们的和为5，由和倍关系式，去时所用的时间为： 5÷（2＋3）×3 ＝5÷5×3 ＝3（小时） 答：小明去时用了3小时。 例题2：甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行，6小时后相遇在C点，如果甲车的速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还是从A、B两地同时出发相向而行，则相遇地点D距点C12千米，如果乙车的速度不变，甲车每小时多行5千米，则相遇地点E距点C16千米。甲车原来每小时行多少千米？ 【答案】30千米 【分析】由于“如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米”与“如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米”，说明两次改速后两车的速度和相同，因此改变速度后，从出发到相遇所需要的时间仍相同。两次改变速度后相遇地点相距16＋12＝28千米，所以从出发到两车相遇的时间为：（16＋12）÷5＝5.6（小时）。根据甲车速度不变，6小时行到点C，5.6小时只能行到点D，相差12千米，所以甲车原速为：12÷（6－5.6）＝30（千米/时）。 【详解】从出发到两车相遇的时间为：（16＋12）÷5＝28÷5＝5.6（小时） 通过上面的分析得：对于甲车，再比较第一次和第二次相遇，速度没变，行走6小时在C点相遇，行走5.6小时，则少走了12千米，即甲0.4小时走12千米。 所以甲原来每小时行： 12÷（6－5.6） ＝12÷0.4 ＝30（千米） 答：甲车原来每小时行30千米。 【点睛】此题的解答，关键是比较第二次和第三次的相遇情况，距离都是全程，而速度和都是：甲＋乙＋5，说明自出发至相遇的时间都是一样的。 例题3：从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚会讲故事，王先生开车去拜访这位老和尚，汽车上山以30千米／时的速度，到达山顶后以60千米／时的速度下山.求该车的平均速度. 【答案】40千米/小时 【详解】设两地距离为：（千米），上山时间为：（小时），下山时间为：（小时），所以该车的平均速度为：（千米）． 例题4：甲、乙两车同时从相距520km的A、B两地出发，相向而行，4小时后相遇。甲车每小时比乙车每小时快10km，甲车、乙车每小时各行多少千米？ 【答案】甲车每小时70千米；乙每小时行60千米。 【分析】甲车每小时比乙车每小时快10km，可设乙车每小时行x千米，那么甲车每小时行（x＋10）千米，再根据（甲车速度＋乙车速度）×相遇时间＝总路程，列方程解答即可。 【详解】解：设乙车每小时行x千米，那么甲车每小时行（x＋10）千米。 甲：60＋10＝70（千米/时） 答：甲车每小时行70千米，乙车每小时行60千米。 【点睛】本题考查列方程解决问题，相遇问题，解答本题的关键是掌握列方程解决问题的方法。 例题5：快、慢两同时分别从甲乙两地相对而行，经过6小时在离中点30千米处两车相遇，相遇后两车仍以原速行驶，快车又用5小时到达乙地。甲乙两地间的路程是多少千米？ 【答案】660千米 【分析】由于6小时在离中点30千米处两车相遇，说明6小时快车比慢车多走30×2＝60（千米），由于6小时多走60千米，即一小时多走：60÷6＝10（千米），由于相遇后，快车又用5小时到达乙地，说明快车从甲地走到乙地一共用了：6＋5＝11小时，可以设慢车每小时行驶x千米，即快车每小时行驶：（x＋10）千米，6小时快车和慢车走的路程＝11小时快车走的路程，由此即可列方程，再根据等式的性质解方程即可。 【详解】30×2＝60（千米） 60÷6＝10（千米/小时） 解：设慢车每小时行驶x千米，即快车每小时行驶：（x＋10）千米 6×（x＋x＋10）＝（6＋5）×（x＋10） 6×2x＋6×10＝11x＋11×10 12x＋60＝11x＋110 12x－11x＝110－60 x＝50 50＋10＝60（千米/小时） 60×（5＋6） ＝60×11＝660（千米） 答：甲乙两地间的路程是660千米。 【点睛】本题主要考查列方程解应用题以及相遇问题的公式，要注意找准等量关系是解题的关键。 第二部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 行程问题涉及的是物体（如车辆、人、飞机等）在特定时间内移动的距离或速度等关系。解决这类问题通常需要用到速度、时间、距离之间的基本关系公式，即速度=距离÷时间。 以下是一些常见的行程问题类型及其解决方法： 1. 基本问题： 已知速度和时间，求距离。 已知距离和时间，求速度。 已知距离和速度，求时间。 解决方法：直接应用速度、时间、距离之间的公式。 2. 相遇问题： 两个物体从两个不同地点出发，在某个时间相遇。 解决方法：通常需要将两个物体的移动距离相加，等于两地之间的距离。 它们的基本关系式如下： 总路程＝（甲速+乙速）×相遇时间 相遇时间＝总路程÷（甲速+乙速） 另一个速度＝甲乙速度和﹣已知的一个速度． 3. 追及问题： 一个物体从后面追赶另一个物体，在某个时间追上。 解决方法：需要考虑两者之间的初始距离和速度差。 追及问题公式：根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式： 距离差＝速度差×追及时间 追及时间＝距离差÷速度差 速度差＝距离差÷追及时间 速度差＝快速﹣慢速 4. 环形跑道问题： 物体在环形跑道上运动，可能涉及多次相遇或追及。 解决方法：需要考虑跑道的长度和物体的速度。 5. 火车过桥问题： 火车通过桥梁或隧道，需要考虑火车的长度和速度。 解决方法：火车完全通过桥梁或隧道的时间需要加上火车自身的长度。 6. 流水行船问题： 船在静水和流水中的速度不同，需要考虑水流速度的影响。 解决方法：通常需要将船的速度和水流速度进行合成或分解。 船速＝（顺水速度+逆水速度）÷2， 水速＝（顺水速度﹣逆水速度）÷2． 在解决行程问题时，关键是要准确理解题目中的信息，并灵活运用速度、时间、距离之间的基本关系。同时，注意单位的统一和换算也是非常重要的。 第三部分 高频真题 1．一架飞机从机场出发到某地执行任务，原计划每分钟飞行8千米．为了争取时间，现将飞行速度提高到每分钟12千米，结果比计划早到了40分钟．问机场与目的地相距多远？ 2．一列火车通过一条长1140米的桥梁（车头上桥直至车尾离开桥）用了50秒，这列火车穿越长1980米的隧道用了80秒。求这列火车的车速和车身长。 3．两港相距560千米，甲船往返两港需105小时，逆流航行比顺流航行多用了35小时．乙船的静水速度是甲船的静水速度的2倍，那么乙船往返两港需要多少小时？ 4．客车和货车分别从甲、乙两站同时相向开出，第一次相遇在离甲站40千米的地方，相遇后两车仍以原速度继续前进．客车到达乙站、货车达到甲站后均立即返回，结果它们又在离乙站20千米的地方相遇．求甲、乙两站之间的距离． 5．甲乙两人分别从相距60千米的A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返骑车，已知甲骑车的速度是每小时21千米，乙骑车的速度是每小时9千米，问出发多长时间，甲第一次追上乙？再过多长时间甲第二次追上乙？ 6．甲、乙两船分别从港顺水而下至千米外的港，静水中甲船每小时行千米，乙船每小时行千米，水速为每小时千米，乙船出发后小时，甲船才出发，到港后返回与乙迎面相遇，此处距港多少千米？ 7．绕湖一周是20千米，甲乙二人从湖边某一地点同时出发反向而行，甲以每小时4千米的速度每走1小时后休息5分钟，乙以每小时6千米的速度每走50分钟后休息10分钟，则两人从出发到第一次相遇用了多少分钟？ 8．光华路小学三年级学生有125人参加运动会入场式，他们每5人一行，前后每行间隔为2米，主席台长42米，他们以每分钟45米的速度通过主席台需要多少分钟? 9．一条小河上，A、B两地相距 180千米，甲、乙两船分别从A、B两地同时出发，相向而行。若甲、乙两船的静水速度分别为每小时40和50千米，则出发后几小时相遇？ 10．一辆汽车从甲地开往乙地，去时的速度是36千米/时，用了4小时到达乙地，返回时用了3小时回到甲地，返回时的速度是多少？ 11．小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去。小新、正南两人的速度分别是每分钟20米和每分钟16米。在他们出发的同时，风间从公园迎面走来，分别在他们出发后6分钟、7分钟、8分钟先后与小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度。 12．甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆电车，小张和小王分别骑车从甲、乙两地出发，相向而行。每辆电车都隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车；小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车；小王每隔6分钟遇到迎面开来的一辆电车。已知电车行驶全程是56分钟，那么小张与小王在途中相遇时他们已行走了多少分钟。 13．小玲沿着某公路以每小时4千米的速度步行上学，沿途发现每隔9分钟有一辆公共汽车从后面超越她，每隔7分钟遇到一辆迎面而来的公共汽车。若汽车发车的间隔时间相同，而且汽车的速度相同，求公共汽车发车的间隔是多少分钟？ 14．两列火车同时从甲、乙两站相对开出。客车每小时行驶172千米，货车每小时行驶180千米，经过4小时两车相遇。甲、乙两站相距多少千米？ 15．甲、乙两港间的水路长270千米，一只船从甲港开往乙港，顺水9小时到达，从乙港返回甲港，逆水15小时到达，求船在静水中的速度和水流的速度。 16．赵老师和王老师每天早晨都要在长600米的一条路上练习长跑，赵老师每分钟跑110米，王老师每分钟跑90米，他们每天都是分别从路的两端出发，跑到另一端后再返回继续跑．他们第二次相遇时，已经跑了几分钟？ 17．两列火车分别从A、B两站相向而来．快车车身长132米，车速为每秒钟27米；慢车车身长118米，车速为23米／秒．两车从车头相遇到车尾分开，共需要多长时间？ 18．甲从A地去B地，每小时行15千米。返回时速度提高，结果少用3小时。请问A、B两地的距离是多少千米？ 19．自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小丽从扶梯上楼，已知小明每分钟走25级台阶，小丽每分钟走20级台阶，结果小明用了5分钟，小丽用了6分钟分别到达楼上．该扶梯共有多少级台阶？ 20．商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下．如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？ 21．小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？ 22．甲地和乙地相距千米，平平和兵兵由甲地骑车去乙地，平平每小时行千米，兵兵每小时行千米，当平平走了千米后，兵兵才出发，当兵兵追上平平时，距乙地还有多少千米？ 23．在比例尺是1∶5000000的地图上，量得甲、乙两地的铁路线长是4.8厘米，一列客车和一列货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行90千米，货车每小时行70千米。几小时后两列火车相遇？ 24．甲、乙两班同学到42千米外的少年宫参加活动，但只有一辆汽车，且一次只能坐一个班的同学，已知学生步行速度相同为千米／小时，汽车载人速度是千米／小时，空车速度是千米/小时．如果要使两班同学同时到达，且到达时间最短，那么这个最短时间是多少？ 25．夏夏和冬冬同时从两地相向而行，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，两人在距两地中点50米处相遇，求两地的距离是多少米？ 26．两地间的路程是540千米。甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行，经过4小时相遇。甲车的行驶速度是乙车的1.25倍，甲、乙两车每小时分别行驶多少千米？ 请你先根据题意画出图形，再解答。 27．方方以每分钟60米的速度沿铁路边步行，一列长252米的货车从对面而来，从他身边通过用了12秒钟，求列车的速度？ 28．聪聪和明明同时从各自的家相对出发，明明每分钟走20米，聪聪骑着脚踏车每分钟比明明快42米，经过20分钟后两人相遇，你知道聪聪家和明明家的距离吗？ 29．一艘轮船顺流航行80千米，逆流航行48千米共用9小时；顺流航行64千米，逆流航行96千米共用12小时．求轮船的速度？ 30．甲、乙两车同时从东城出发，开往相距750千米的西城，甲车每小时行68千米，乙车每小时行57千米，甲车到达西城后立刻返回．两车从出发到相遇一共经过多长时间？ 31．商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。则当该扶梯静止时有多少级？ 32．从甲城到乙城，A汽车匀速行驶用6时，从乙城到甲城，B汽车匀速行驶用5时。现在AB两车分别从甲、乙两城同时出发相对匀速而行，相遇时A汽车行驶了210千米，甲、乙两城相距多远？ 33．小明沿着长为100米的桥面步行。当他走到桥头A时，一列迎面驶来的火车车头恰好也到达桥头A。100秒钟后，小明走到桥尾B，火车的车尾恰好也到达桥尾B。已知火车的速度是小明速度的3倍，则火车通过这座桥所用的时间是多少秒？（答案保留整数。） 34．甲骑自行车从A地到B地，每小时行16千米。1小时后，乙也骑自行车从A地到B地，每小时行20千米，结果两人同时到达B地。A，B两地相距多少千米？ 35．甲乙两个码头相距336千米，一艘轮船从乙码头逆水而上，行了14小时到达甲码头。已知船速是水速的13倍，这艘轮船从甲码头返回需要几小时？ 36．小美以每秒2米的速度沿着铁路晨跑．这时从后面开来一列客车．客车经过她的身边共用了10秒．已知这列客车车身长130米，求客车的速度是多少？ 37．小王和小李在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发，反向而行。小王的速度是240米/分，小李的速度是360米/分，经过4分钟两人在跑道上第2次相遇。这条环形跑道有多长？ 38．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，甲行完全程需6小时，比乙的速度快50%，相遇时，甲比乙多行180千米，求乙车速度？ 39．一辆长为12米的大客车以每秒8米的速度由A地开往B地，在距B地4000米处遇见一个行人，l秒后大客车经过这个行人．大客车到达B地休息了10分钟后返回A地，途中追上这个行人．大客车从遇到行人到追上行人共用了多少分钟？ 40．甲、乙两个班的学生同时从学校出发去距学校24千米的某公园．学生的步行速度是每小时5千米．学校有一辆汽车，它的速度是每小时35千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生．问：两个班的学生在最短的时间内同时到达公园用多少时间？（上下车的时间忽略不计） 41．一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两地相向而行，相遇时，客车比货车多行70千米。已知客车和货车的速度比是7∶5，甲、乙两地相距多少千米？ 42．甲乙两车分别从A，B两地出发，相向而行。出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米。问：A，B两地相距多少千米？ 43．甲、乙两人在铁路旁边以同样的速度沿铁路方向相向而行，恰好有一列火车开来，整个火车经过甲身边用了18秒，2分后又用15秒从乙身边开过．问： （1）火车速度是甲的速度的几倍？ （2）火车经过乙身边后，甲、乙二人还需要多少时间才能相遇？ 44．母亲河上， 码头A在B上游540千米处，甲、乙两船分别从A、B同时出发， 在两码头之间往返运送货物。若甲、乙两船的静水速度分别为每小时50和40千米，水速为每小时10千米，则出发后甲、乙第二次迎面相遇地点离A多少千米？ 45．甲、乙两港的水路长450千米，甲港的轮船顺水航行这段路程用了10小时，逆水航行这段路程用了15小时。而乙港的轮船在静水中的速度是每小时行52.5千米，问：乙港的轮船顺水航行这段路程需多少小时？ 第四部分 答案解析 1．960千米 【分析】将此题可看作是追及问题．一架每分钟飞行8千米的飞机，飞行40分钟后，另一架每分钟飞行12千米的飞机，沿第一架飞机的飞行路线从后面赶来，两架飞机同时到达目的地． 【详解】路程差：8×40=320（千米） 追及时间：320÷（12－8）＝80（分钟），即第二架飞机的飞行时间． 则这段路程：12×80=960（千米） 答：机场与目的地相距960千米． 2．28米/秒；260米 【分析】火车通过桥梁的总路程＝车身的长度＋桥梁的长度。根据路程＝速度×时间，则：50秒的火车的路程＝50×车速＝1140米的桥梁＋车身的长度；80秒的火车的路程＝80×车速＝1980米的隧道＋车身的长度。对比火车两次行驶的路程，发现路程中相差的时间是30秒，且车身的长度则相差的路程是840米，也就是30秒列车行驶了1980－1140＝840米，根据速度＝路程÷时间得出列车的车速。根据车速乘时间求出50秒的路程，再减去桥梁的长度即可。 【详解】（1980－1140）÷（80－50） ＝840÷30 ＝28（米/秒） 28×50－1140 ＝1400－1140 ＝260（米） 答：这列火车的车速是28米/秒，车身长260米。 3．48小时 【详解】先求出甲船往返航行的时间分别是：（小时），（小时）．再求出甲船逆水速度每小时（千米），顺水速度每小时（千米），因此甲船在静水中的速度是每小时（千米），水流的速度是每小时（千米），乙船在静水中的速度是每小时（千米），所以乙船往返一次所需要的时间是（小时）． 4．100千米 【详解】40×3=120（千米） 120-20=100（千米） 答：甲、乙两站之间的距离是100千米． 5．5小时；10小时 【分析】如图： 从线段图很容易可以发现：甲第一次追上乙时，甲和乙的路程差是1个全程；甲第二次追上乙时，甲和乙的路程差是3个全程；据此用追及时间=追及路程÷速度差解答即可。 【详解】由分析可得：第一次追上，两人的路程差是1个全程，时间： 60÷（21－9） ＝60÷12 ＝5（小时） 从第一次追上到第二次追上，两人的路程差是2个全程，时间： 2×60÷（21－9） ＝2×60÷12 ＝10（小时） 答：出发5小时，甲第一次追上乙，再过10小时甲第二次追上乙。 【点睛】解答此类问题最基本的方法就是画线段图，寻找相同时间内的路程关系。解答本题要明确，两人从两地出发，每相邻的两次追及之间，两人的路程差恰好等于2个全程。 6．456千米 【详解】甲船顺水行驶全程需要：(小时)，乙船顺水行驶全程需要：(小时)．甲船到达港时，乙船行驶(小时)，还有小时的路程(48千米)①，即乙船与甲船的相遇路程．甲船逆水与乙船顺水速度相等，故相遇时在相遇路程的中点处②，即距离港24千米处，此处距离港(千米). ①关键是求甲船到达港后乙离港还有多少距离②解决①后，要观察两船速度关系，马上豁然开朗．这正是此题巧妙之处，如果不找两船速度关系也能解决问题，但只是繁琐而已． 7．136分钟 【详解】两人相遇时间要超过2小时，出发130分钟后，甲乙都休息完2次，甲已经行了（千米），乙已经行了（千米）．相遇还需要（小时），即6分钟．所以两人从出发到第一次相遇用（分钟）． 8．2分钟 【分析】125人参加运动会入场式，每5人一行，共排了125÷5=25行，那么这里25行就相当于直线上的25棵树，所以，这列队的长度为两端植树的路的长度，全长是2×(25-1)=48米；这列队伍通过主席台，所走的总路程应该是队伍长度与主席台长度之和，即：48+42=90米，所以，他们通过主席台的时间是90÷45=2分钟． 【详解】125÷5=25(行) 2×(25-1)=48（米） 48+42=90（米） 90÷45=2（分钟） 9．2小时 【分析】本题是一道相遇问题，要求的是相遇时间，相遇时间＝总路程÷速度和。 因为两船是相向而向，一艘船是逆水，一艘船是顺水，不管是哪艘船顺水，甲、乙两船的速度和都和水流速度没有关系，都是两艘船在静水中的速度和。 【详解】180÷（40＋50） =180÷90 ＝2（小时） 答：出发后2小时相遇。 【点睛】此题要理清甲、乙两船的速度和是两艘船在静水中的速度和。 10．48千米/时 【分析】用去时的速度乘时间求出两地之间的距离，用两地之间的距离除以返回的时间即可求出返回的速度。 【详解】36×4÷3 ＝144÷3 ＝48（千米/时） 答：返回时的速度是48千米/时。 11．13米/分钟 【分析】当小新和风间相遇时，正南落后小新6×（20－16）＝24（米）。依题意知正南和风间走这24米需要7－6＝1（分钟），正南和风间的速度和为24÷1＝24（米／分），风间的速度为：24－16＝8（米/分），风间和小新相遇后又过了8－6＝2分钟，才与妮妮相遇，所以在8分钟中妮妮的行程为20×6－8×2＝104（米），根据速度＝路程÷时间，即可解答。 【详解】风间的速度： （20－16）×6÷（7－6）－16 ＝4×6÷1－16 ＝24÷1－16 ＝24－16 ＝8（米/分） 妮妮的速度： （20×6－8×2）÷8 ＝（120－16）÷8 ＝104÷8 ＝13（米/分） 答：妮妮的速度是13米/分。 【点睛】这是一个多重相遇和追及的问题，考查学生分析与理解能力。 12．60分钟 【分析】由题意可知，两辆电车之间的距离 ＝电车行8分钟的路程（每辆电车都隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车） ＝电车行5分钟的路程＋小张行5分钟的路程 ＝电车行6分钟的路程＋小王行6分钟的路程 据此分析他们之间的速度关系，再求解即可。 【详解】由分析可得：小张速度是电车速度的 小王速度是电车速度的 小张与小王的速度和是电车速度的 所以他们合走完全程所用的时间为电车行驶全程所用时间的，即分钟 答：小张与小王在途中相遇时他们已行走了60分钟。 【点睛】认真读题，理清数量间的关系，是解答本题的关键。 13．7.875分钟 【分析】汽车发车的间隔时间相同，而且汽车的速度相同，则两车之间的间隔是相同的。可以设公共汽车的速度是x，找出两种运动的数量关系式： 车从小玲身后超过时可以看作追及问题：追及的距离＝两车之间的距离＝速度差×追及的时间＝（车速－人速）×时间＝9（x－4）； 迎面遇到一辆车可以看作相遇问题：相遇的路程＝两车之间的距离＝速度和×追及的时间＝（车速＋人速）×时间＝7（4＋x）； 列出方程，得出公共汽车的速度是32千米/小时，再根据上面的两种数量关系中的一种得出两车之间的间隔是252千米，最后根据时间＝路程÷速度得出时间。 【详解】解：设公共汽车的速度是x。 9（x－4）＝7（4＋x） 9x－36＝7x＋28 9x－7x＝28＋36 2x＝64 x＝64÷2 x＝32 9×（32－4） ＝9×28 ＝252（千米） 252÷32＝7.875（分钟） 答：公共汽车发车的间隔是7.875分钟。 14．1408千米 【分析】已知客车每小时行驶172千米，货车每小时行驶180千米，相遇时间是4小时，根据总路程＝（客车的速度＋货车的速度）×相遇时间，代入数据，即可求出甲、乙两站相距多少千米。 【详解】（172＋180）×4 ＝352×4 ＝1408（千米） 答：甲、乙两站相距1408千米。 15．静水速度24千米/小时，水流速度6千米/小时 【分析】根据题意，要想求出船速和水速，可按行程问题中一般数量关系，用路程分别除以顺水、逆水所行时间求出顺水速度和逆水速度，再根据差倍问题求出船速和水速。 【详解】顺水速度：270÷9＝30（千米/小时） 逆水速度：270÷15＝18（千米/小时）， 水流速度：（30－18）÷2 ＝12÷2 ＝6（千米/小时） 船在静水中的速度是：30－6＝24（千米/小时） 答：船在静水中的速度是24千米/小时，水流的速度是6千米/小时。 【点睛】本题的关键是求出顺水速度和逆水速度后，再根据差倍公式求出水流速度。 16．9分钟 【详解】600×3÷（110+90） =1800÷200 =9（分钟） 答：他们第二次相遇时，已经跑了9分钟． 17．5秒 【详解】两火车相遇的过程中，两车所行的相通路程恰好为两列火车车身长度的和；速度为两列火车的速度和． 则相遇时间：（132+118）÷（27+23）=5（秒） 答：两车从车头相遇到车尾分开共需要5秒钟． 18．270千米 【分析】思路一：盈亏问题思想 返回每小时多行 15×＝3千米，返回每小时行 15＋3＝18千米，如果继续行3小时，可以多行3×18＝54千米，说明去的时间是54÷3＝18小时。 因此两地之间的距离是15×18＝270千米。 思路二：工程问题思想 去的时间看作单位1，返回的时间是 1÷（1＋）＝ ，3小时就相当于1－＝， 则去用的时间是3÷＝18小时。两地之间的距离是15×18＝270千米。 思路三：设数的思想 返回每小时行15×（1＋）＝18千米，往返1千米少用－＝小时， 现在少用3小时，需要往返3÷＝270千米。 【详解】方法一：[（15×＋15）×3] ÷3×15 ＝[18×3]÷3×15 ＝18×15 ＝270（千米） 方法二：1－1÷（1＋） ＝1－ ＝ 3÷×15 ＝18×15 ＝270（千米） 方法三：15×（1＋）＝18（千米） 3÷（－） ＝3÷ ＝270（千米） 答：A、B两地的距离是270千米。 【点睛】对于行程问题我们也可以通过其它的思路方法来解题，多思考找准数量关系，开拓思维。 19．150级 【详解】在这道题中，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总级数”，“草”变成了“台阶”，“牛”变成了“速度”,所以也可以看成是“牛吃草”问题来解答． 20．60级 【详解】两个孩子走楼梯的方向不同，这样增加了解题的难度．但是从条件中可知，男孩走楼梯的速度是女孩的2倍，男孩走了80级正好是女孩走了40级的2倍，这样两人走完此楼梯的时间相同．设两人在这相同的时间内自动扶梯上升a级，那么扶梯的长度等于男孩在这段时间走的80级减去自动扶梯上升的a级，也等于女孩在这段相同的时间内走的40级加上自动扶梯上升的a级，所以有下面等式：80－a=40＋a．解得 a=20．所以当扶梯静止时，扶梯可看见的梯级共有40＋a=40＋20=60（级）． 21．3小时15分 【分析】画一张示意图： 图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B与A之间这段距离，它等于(4.8+10.8)=1.3(千米) 这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是（5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分钟）. 这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间. 小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2倍.因此小李从A到甲地时间及 从乙地到甲地需要的时间均可求． 【详解】(4.8+10.8)=1.3(千米) 1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分钟） 130÷2=65（分钟） 130＋65=195（分钟）＝3小时15分 答：小李从乙地到甲地需要3小时15分. 22．6千米 【详解】平平走了千米后，兵兵才出发，这千米就是平平和兵兵相距的路程．由于兵兵每小时比平平多走(千米)，要求兵兵几小时可以追上千米，也就是求千米里包含着几个千米，用(小时)．因为甲地和乙地相距千米，兵兵每小时行千米，小时走了(千米)，所以兵兵追上平平时，距乙地还有(千米) 23．1.5小时 【分析】先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出甲、乙之间的路程，再根据相遇时间＝路程÷速度和，代入数据解答即可。 【详解】4.8÷＝24000000（厘米） 24000000厘米＝240千米 240÷（90＋70） ＝240÷160 ＝1.5（小时） 答：1.5小时后两列火车相遇。 【点睛】此题主要考查比例尺的实际应用，以及路程、相遇时间、速度和三者之间关系的实际应用。 24．2小时 【详解】 行车路线如图所示，设甲、乙两班步行的路程为1，车开出后返回接乙班． 由车与乙相遇的过程可知：，解得， 因此，车开出千米后，放下甲班回去接乙班，甲班需步行千米，共用小时。 25．1100米 【详解】根据题意，画线段图如下： 从图中可以看出(可让学生先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？)，因为夏夏的速度比冬冬慢，所以相遇点一定在中点偏向夏夏的这一边50米，由图可以得出：夏夏所行路程全程一半50米 ，冬冬所行路程全程一半米 ；所以两人相遇时，冬冬比夏夏多走了(米)，冬冬比夏夏每分钟多走10米，所以两人从出发到相遇共走了10分钟，两地的距离：(米)． 26．；甲车的速度是75千米/时，乙车的速度是60千米/时 【分析】先用两地之间的路程除以相遇时间，求出速度和，甲车的行驶速度是乙车的1.25倍，那么速度和就是乙车速度的（1＋1.25）倍，用速度和除以这个倍数，即可求出乙车的速度，进而求出甲车的速度。 【详解】画图如下： 540÷4＝135（千米/时） 135÷（1＋1.25） ＝135÷2.25 ＝60（千米/时） 135﹣60＝75（千米/时） 答：甲车的速度是75千米/时，乙车的速度是60千米/时。 【点睛】解决本题先根据速度和＝总路程÷相遇时间，求出两车的速度和，再根据和倍公式：两数和÷倍数和＝1倍的数进行求解。 27．每秒20米 【分析】因为人与车是背向而行，列车的速度应是252÷12减去人的速度，据此解答即可。 【详解】252÷12－60÷60 ＝21－1 ＝20（米） 答：列车的速度是每秒20米。 【点睛】解答本题重点要弄清252÷12是人与车的速度和。注意单位要统一。 28．1640米 【详解】方法一：由题意知聪聪的速度是：(米/分)，两家的距离明明走过的路程聪聪走过的路程(米)，画图理解分析： 注意利用乘法分配律的反向应用就可以得到公式：．对于刚刚学习奥数的孩子，注意引导他们认识、理解及应用公式． 方法二：直接利用公式：(米)． 29．14千米/小时 【分析】轮船顺流航行80千米，逆流航行48千米，共用9小时，相当于顺流航行320千米，逆流航行192千米共用36小时；顺流航行64千米，逆流航行96千米共用12小时，相当于顺流航行192千米，逆流航行288千米共用36小时；这样两次航行的时间相同，所以顺流航行千米与逆流航行千米所用的时间相等，所以顺水速度与逆水速度的比为，将第一次航行看作是顺流航行了千米，可得顺水速度为（千米/时），逆水速度为（千米/时），从而求出轮船的速度。 【详解】（千米） （千米） ＝ ＝144（千米） （千米/时） （千米/时） （千米/时） 答：轮船的速度是14千米/小时。 【点睛】①由于两次航行的时间不相等，可取两次时间的最小公倍数，化为相等时间的两次航行进行考虑②然后在按例题思路进行解题。 30．12小时 【分析】甲车到达西城后返回与乙车相遇时，两车一共走了2个全程． 【详解】750×2÷（68+57） =1500÷125 =12（小时） 答：两车从出发到相遇一共经过12小时． 31．100级 【分析】男孩40秒内共走80级，女孩50秒内共走50÷2×3＝75级，男孩和女孩走过的级数差是由于在行走过程中，扶梯因自身速度不断缩短导致的，因为扶梯速度不变，因此缩短的级数差就是因为时间不同所导致的，（80－75）÷（50－40）＝0.5就是扶梯速度，用男孩40秒内走的级数加上缩短的级数即可。 【详解】40×2＝80（级）； 50÷2×3 ＝25×3 ＝75（级）； （80－75）÷（50－40） ＝5÷10 ＝0.5（级/秒）； 80＋0.5×40 ＝80＋20 ＝100（级）； 答：该扶梯静止时有100级。 【点睛】先求出扶梯速度是解答本题的关键，再用男孩或女孩所走的级数加上缩短的级数即可。 32．462千米 【分析】根据题意可知相同的路程，A汽车用6时，B汽车用5时，据此求出AB两车的速度比＝∶ ＝5∶6；所用时间相同，甲和乙的速度比就等于所行路程比，即相遇时A汽车行驶的路程占5份，B汽车行驶行驶的路程占6份，据此可以列式计算。 【详解】AB两车的速度比：∶＝5∶6 两城的距离：210÷＝462（千米） 答：相距462千米。 【点睛】此题关键是理清相遇时他们的速度比就等于所行路程比。 33．167秒 【分析】根据题意，作图如下： 据此找出100秒内火车行驶的路程，计算出火车长度，进而计算火车通过这座大桥所用的时间。 【详解】小明的速度：（米/秒） 火车的速度是：（米/秒） 由图可以看出，火车的长度是火车行驶的路程加上桥长，即火车的长度是：（米）， 火车通过这座桥用时：（秒）． 答：火车通过这座桥所用的时间是167秒。 【点睛】解答此题关键是根据题意画出线段图，理解火车的长度是火车行驶的路程加上桥长。 34．80千米 【详解】解：设乙出发x小时后到达B地。 20x－16x＝16　 x＝4　 20x＝20×4＝80(千米)　 答：A，B两地相距80千米。 35．12小时 【分析】首先根据距离和时间求出逆水速度。逆水速度＝船速－水速；又已知船速是水速的13倍，根据差倍公式可求处水速；进而可以求出顺水速度；再根据时间＝路程÷速度求出返回时间。 【详解】逆水速度是：336÷14＝24（千米/时） 根据差倍公式，可求： 水速：24÷（13－1） ＝24÷12 ＝2（千米/时） 顺水速度：24＋2＋2＝28（千米/时） 返回时间是：336÷28＝12（小时） 答：这艘轮船从甲码头返回需要12小时。 【点睛】熟练掌握逆水速度＝船速－水速；顺水速度＝船速＋水速以及差倍公式是解答本题的关键。 36．15米／秒 【详解】客车经过小美的身边，这一过程客车与小美的路程差是客车的车身长：130米，经过所需的时间是追及时间：10秒． 速度差：130÷10＝13（米／秒） 客车速度：2+13＝15（米／秒） 答：客车的速度为15米／秒． 37．1200米 【分析】经过4分钟两人在跑道上第2次相遇，也就是小王和小李4分钟一共跑了2个环形跑道的长度，用他们的速度和乘时间，求出2个环形跑道的长度，再用求出的长度除以2，求出这条环形跑道有多长。 【详解】（240＋360）×4÷2 ＝600×4÷2 ＝2400÷2 ＝1200（米） 答：这条环形跑道有1200米。 【点睛】本题主要考查了相遇问题，熟练掌握速度、时间、路程之间的关系是解答的关键。 38．100千米 【分析】根据甲的速度比乙的速度快50%，这句话，我们可以知道甲的速度就是乙的速度的（1＋0.5），乙的速度是单位1，那么我们甲的速度就是1.5，甲的速度和乙的速度之比就是1.5∶1＝3∶2，速度比是3∶2，时间不变，路程比也是3∶2，我们就可以知道全程被平均分成了5等份，而甲比乙多180千米，甲和乙相遇的路程和就是5等份，路程差根据画图我们可以知道，甲是3份，乙是2份，180千米是1份，可以求得全程，再求出甲的速度，乙的速度。 【详解】1×（1＋50%）＝1.5 甲的速度∶乙的速度＝3∶2，全程为5等份，甲的路程与乙的路程比之差就是180千米， 180×5＝900（千米） 900÷6＝150（千米） 150÷1.5＝100（千米） 答：乙的速度是100千米/时。 【点睛】掌握比的知识，路程速度时间的关系。 39．53分钟20秒 【分析】大客车在距B地4000米处遇见一个行人，l秒钟后大客车经过这个行人，是一个相遇问题．由速度和=全程÷相遇时间，可知客车与行人速度和：12÷1=12（米／秒），则行人速度可知：12-8=4（米／秒），当客车到达B地10分钟后返回时，再追上行人是一个追及问题．追及时间可求．大客车从第一次遇到行人到第二次追上行人的时间可分为3段：一段是从距B地4000米处到B地，一段是休息10分钟，一段是追及时间． 【详解】行人的速度：12÷1-8=4（米／秒） 大客车行驶4000米需时间：4000÷8=500（秒） 10分钟相当于60×10=600（秒） 大客车从B地出发，大客车与行人的路程差：4000+4×（500+600）=8400（米） 大客车追上行人所需时间：8400÷（8-4）=2100（秒） 故大客车从遇到行人到追上行人共需：500+600+2100=3200（秒）=53分钟20秒． 答：大客车从遇到行人到追上行人共用了53分钟20秒． 【点睛】此题中的整个过程综合了相遇问题和追及问题，要注意不同的问题选用不同的公式．此题目还要注意时间单位的换算． 40．小时 【详解】 解：要想使两个班的同学在最短时间同时到达，就应该尽可能的利用汽车，就是汽车先载一个班的学生，而另一个班先步行，在汽车行驶到途中某地时将先乘车的同学放下步行，汽车再返回在途中接上先步行的班级，并与后步行的班级同时到达公园．根据前面的设计，观察线段图，可以看出，由于汽车的速度是步行速度的7倍，也就是，如果从学校到A为1份的话，汽车从学校到B然后再回到A就是7份，那么，AB的长度就相当于（7－1）÷2=3（份）．由于B到公园与学校到A的长度应该是相同的，因此全程为1＋3＋1=5（份）．因此，每班的步行距离是24÷5=4.8（千米），乘车距离为24－4.8=19.2（千米）．所以，所用的时间为：4.8÷5＋19.2÷35=（时）． 【点睛】合理的安排，并利用线段图进行观察，确定汽车与步行之间的关系是这道题目研究的关键． 41．420千米 【分析】把甲乙两地路程看作单位“1”，已知客车和货车的速度比是7∶5，由此可知：相遇时，客车行了全程的，货车行了全程的，求出客车比货车多行的路程占全程的几分之几，然后再依条件用除法求出甲乙两地路程。 【详解】7＋5＝12 70÷（－） ＝70÷ ＝420（千米） 答：甲、乙两地相距420千米。 【点睛】根据相遇时客车和货车所行的路程比，求出客车比货车多行的70千米占全程的分率，进而求出全程是完成本题的关键。 42．450千米 【分析】甲、乙原来的速度比是5∶4，相遇后的速度比是：[5×（1－20％）]∶[4×（1＋20％）]＝4∶4.8＝5∶6。相遇时，甲、乙分别走了全程的和。设全程x千米，剩下的部分甲行的长度和乙行的长度之比为5：6，其中相遇后甲行驶了全长的，所以乙行驶了全长的，所以乙一共行了全长，还剩1－＝没有走，所以A、B全长为450千米。 【详解】[5×（1－20％）]∶[4×（1＋20％）] ＝[5×0.8]∶[4×1.2] ＝4∶4.8 ＝5∶6 1－＝ 10÷＝450（千米） 答：A，B两地相距450千米。 【点睛】关键是确定相遇后的速度比，综合运用所学知识。 43．（1）11倍 （2）675秒 【详解】设火车速度为a米／秒，行人速度为b米／秒，则由火车的长度可列方程18（a-b）=15（a+b）,求出=11,即火车的速度是行人速度的11倍； （2）从车尾经过甲到车尾经过乙，火车走了135秒，此段路程一人走需1350×11=1485（秒），因为甲已经走了135秒，所以剩下的路程两人走还需（1485－135）÷2＝675（秒） 44．100 千米 【分析】刚开始甲船是顺流而下，乙船是逆流而上，所以到甲船到达B码头时，乙船离B码头还有：540÷（50＋10）×（40—10）＝270（千米），此后甲、乙两船都是逆流而上，乙到达A码头还需要270÷（40—10）＝9（小时），在这9小时的时间内，甲船逆流行驶了9×（50—10）＝360（千米），这时乙船在A码头，甲、乙两船之间的距离是540—360＝180（千米），乙船顺流而下，甲船继续逆流而上，两船又变成了相遇问题，可以求出两船第二次相遇的时间，进而也可以求出第二次相遇的地点离A码头的距离。 【详解】甲船到达B码头时，乙船离A码头的距离： 540—540÷（50＋10）×（40—10） ＝540—540÷60×30 ＝540—9×30 ＝270（千米） 乙船到达A码头时，甲船离A码头的距离： 540—270÷（40—10）×（50—10） ＝540—270÷30×40 ＝540—9×40 ＝180（千米） 第二次迎面相遇地点离A的距离： 180÷（50＋40）×50 ＝180÷90×50 ＝2×50 ＝100（千米） 答：出发后甲、乙第二次迎面相遇地点离A100千米。 【点睛】本题的关键是甲、乙两船的速度在变化，所以要逐步分析船的行驶过程。 45．7.5小时 【分析】甲、乙两港的水路长450千米，甲港的轮船顺水航行这段路程用了10小时，则甲港的轮船顺水速度是45千米/小时，逆水航行这段路程用了15小时，则甲港的轮船逆水的速度是30千米/小时，再根据公式（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速，得出水的速度是7.5千米/小时。 乙港的轮船在静水中的速度是每小时行52.5千米，则顺水速度＝水的速度＋乙港的轮船的速度得出顺水的速度60千米/小时，根据“时间＝路程÷速度”得出乙港的轮船顺水航行这段路程需要的时间。 【详解】450÷10＝45（千米/小时） 450÷15＝30（千米/小时） （45－30）÷2 ＝15÷2 ＝7.5（千米/小时） 450÷（52.5＋7.5） ＝450÷60 ＝7.5（小时） 答：乙轮船顺水航行这段路程需7.5小时。 第五部分 错题笔记 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