16.3 可化为一元一次方程的分式方程 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

16.3 可化为一元一次方程的分式方程 一 分式方程的概念 分式方程是方程中的一种，指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。 二 分式方程的解法 解分式方程的一般步骤为： 1.方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程。注意去分母时，不要漏乘整式项。 2.移项，若有括号应先去括号，注意变号，合并同类项，把系数化为1，求出未知数的值。 3.验根。求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根。验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根，否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根都是增根，则原方程无解。 三 分式方程的特点 在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根。增根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。 四 分式方程的应用 分式方程在解决实际问题中具有广泛的应用。例如，在解决工程问题、行程问题、浓度问题、利润问题等实际问题时，常常需要建立分式方程模型。通过建立分式方程，我们可以将实际问题抽象为数学问题，并利用数学方法求解，从而得到实际问题的解。 在解决这类问题时，我们需要注意以下几点： 1 准确理解题意，明确问题中的已知条件和未知量。 2 根据问题的实际情况，建立分式方程模型。 3 解方程，求出未知量的值。 4 将求得的解代入原问题中进行检验，确保解符合问题的实际情况。 巩固课内例1:解分式方程 1．分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 利用去分母将方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故选：C． 2．若，则 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握将分式方程化为一元一次方程求解的方法是解题的关键，注意最后要检验根是否符合题意． 将分式方程化为一元一次方程得，根据解一元一次方程的方法即可求解． 【详解】解：， ， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，原分式方程的分母不为0， ∴原分式方程的解为， 故答案为： ． 3．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．需注意的是，分式方程的解一定要进行检验． 方程两边同乘以可得一个关于的一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤解方程，最后进行检验即可． 【详解】解：， 去分母，方程两边同乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 经检验，是原分式方程的解， 方程的解为． 巩固课内例2:解分式方程(增根) 1．方程有增根，则的值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程，根据题意求出的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键． 根据题意可得，然后把的值代入整式方程中进行计算即可解答． 【详解】解：， ， 解得：， 方程有增根， ， 把代入中， ， 解得：， 故选：D． 2．若关于x的方程有增根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根和解分式方程，根据增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，确定增根的可能值，让最简公分母即可，正确理解增根的定义及熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ， 解得， ∵分式方程的最简公分母是，原方程有增根， ∴， ∴增根是， ∴， 故答案为：． 3．解分式方程． (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可； （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】（1）解： 原方程去分母得：, 解得：， 检验：将代入得， 则是分式方程的增根， 故原方程无解； （2）解：， ， 原方程去分母得：, 解得：， 检验：将代入， 故原方程的解为 巩固课内例3:分式方程的简单应用 1．某校组织学生开展“茶韵与书画”为主题的研学课程，已知学校用于购买扇子的费用为4000元，购买茶具的费用为3200元，其中购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍，并且扇子的单价比茶具的单价便宜3元．设购买扇子的单价为x元．则x满足的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查分式方程的应用，设购买扇子的单价为x元，则茶具的单价为元，根据“购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍”列出分式方程即可，理解题意是解题关键． 【详解】解：设购买扇子的单价为x元，则茶具的单价为元， 根据题意得：， 故选：A． 2．师傅和徒弟两人每小时共做40个零件，在相同时间内，师傅做了300个零件，徒弟做了100个零件．师傅每小时做了多少个零件？若设师傅每小时做了个零件，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用；理解工程问题中：工作量工作效率工作时间的基本关系是解题的关键．根据工作量工作效率工作时间，表示两者各自完成零件所用的时间，时间相等构建方程即可． 【详解】解：师傅所用时间为，徒弟所用时间为，于是 ； 故答案为：． 3．广东省第十六届运动会于2022年11月在清远市举办，吉祥物为“清清”，某商家用1200元购进了一批运动会吉祥物，上市后供不应求，商家又用2800元购进了第二批运动会吉祥物，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．求该商家购进的第一批吉祥物多少个？ 【答案】该商家第一批购进40个吉祥物． 【分析】设该商家第一批购进个吉祥物，则第二批购进个吉祥物，利用单价总价数量，结合第二批购进吉祥物的单价比第一批贵了5元，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用，根据各数量之间的关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设该商家第一批购进个吉祥物，则第二批购进个吉祥物， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：该商家第一批购进40个吉祥物． 类型一、分式方程的定义 1．下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的识别，解题的关键是掌握分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程，注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母．据此解答即可 【详解】解：A．是一元一次方程，故此选项不符合题意； B．是分式方程，故此选项符合题意； C．是一元一次方程，故此选项不符合题意； D．是代数式，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．有下列方程： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是 ．（填序号） 【答案】 ①②⑥⑦ ③④⑤⑨ 【分析】根据整式方程和分式方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵①为整式方程；②为整式方程；③为分式方程；④为分式方程；⑤为分式方程；⑥为整式方程；⑦为整式方程；⑧为不是方程；⑨为分式方程． ∴整式方程的是①②⑥⑦，分式方程的是③④⑤⑨． 故答案为：①②⑥⑦，③④⑤⑨． 【点睛】本题考查判断整式方程和分式方程．解题的关键是掌握整式方程是指方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数的一类方程；分式方程是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程． 3．下列方程哪些是分式方程？ （1）；（2）；（3）；（4）（a是常数）． 【答案】（1）（2）是分式方程 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的字母的方程叫做分式方程即可判断． 【详解】解：（1）是分式方程；（2）是分式方程；（3）不是分式方程；（4）（a是常数）不是分式方程， 故（1）（2）是分式方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是：会利用定义去判断是否为分式方程． 类型二、列分式方程 1．在创建文明县城的进程中，我县为美化县城环境，计划植树万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前天完成了任务，设原计划每天植树万棵，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划每天植树万棵，根据题意可列方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设原计划每天植树万棵， 根据题意可列方程为：， 故选：． 2．已知甲码头与乙码头相距36千米，一轮船往返于甲，乙两码头之间，轮船由甲码头顺流而下到乙码头所用时间比逆流而上所用时间少2小时，已知水流速度为3千米/时，求船在静水中的速度，设船在静水中的速度为千米/时，根据题意列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程．根据等量关系：轮船由甲码头顺流而下到乙码头所用时间比逆流而上所用时间少2小时，列方程即可． 【详解】解：依题意有：， 故答案为：． 3．列方程解应用题． 为贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯．某校第一批为各班用400元购进跳绳，接着又用450元购进第二批跳绳，已知第二批跳绳数是第一批跳绳数的1.5倍，且第二批每根跳绳进价比第一批的进价少5元，求第二批跳绳每根的进价是多少． 【答案】第二批跳绳每根的进价是15元 【分析】本题考查了分式方程的应用． 关键是根据等量关系：第二批进的数量第一批进的数量列方程． 设第一批体育用品每件的进价是x元，则第一批进的数量是：件，第二批进的数量是：件，再根据等量关系：第二批进的数量第一批进的数量可得方程． 【详解】解：设第二批跳绳每根的进价是x元． 根据题意，得． 解之，得． 经检验，是所列方程的解，并且符合实际问题的意义． 答：第二批跳绳每根的进价是15元． 类型三、解分式方程 1．解方程去分母，两边同乘后的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的求解，注意每一项都乘，即可求解； 【详解】解：两边同乘后的式子为：， 故选：D 2．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键； 将分式方程化为整式方程，求出的值，经检验即可得到分式方程的解； 【详解】解： 去分母得：， 解得：， 当时，； 故的解是； 故答案为： 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题考查解分式方程： （1）方程去分母后，化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）方程去分母后，化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】（1）解：方程去分母，得：， 整理，得：， 解得：； 检验：当时，， ∴原方程的解为：； （2）方程去分母，得：， 整理，得：， 解得：， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 类型一、分式方程的解为正数 1．已知关于x的分式方程，要使该方程的解为正数，则m不能取的值为（   ） A． B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解法，一元一次不等式的解法，考核学生的计算能力，解题时注意解分式方程必须检验． 先解出这个分式方程的解，然后去掉增根以及解为正数列出不等式，从而得到m的取值范围，即可求解． 【详解】解：， ， ， 解得：， ∵， ∴； ∵该方程的解为正数， ∴， 解得：， 综上，且； ∴不能为7； 故选：D． 2．分式方程的解为正数，则的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式，先解分式方程，求出方程的解，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 解得：， 根据题意得：， 解得：且， 故答案为：且． 3．已知关于的分式方程， (1)若分式方程无解，求的值； (2)若分式方程的解为正数，求的取值范围． 【答案】(1)的值为或 (2)且 【分析】本题考查了分式方程的解，（1）分式方程无解分两种情况：①方程有增根；②原分式方程化简后的整式方程无解，（2）先表示出分式方程的解，由分式方程的解为正数，求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 分式方程无解， ①当方程有增根时，原方程无解，即， ，解得； ②当时，原方程无解，即， 综合①②，若分式方程无解，的值为或． （2））由（1）可得， 原分式方程的解为正数， ，， ，且， 且． 类型二、分式方程的解为负数 1．若关于的分式方程的解为负数，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，求不等式的解集，掌握分式的性质，解分式方程的方法是解题的关键． 根据解分式方程的方法，用含的是式子表示分式方程的解，再根据解为负数，解不等式即可求解． 【详解】解：程 去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∵分式方程的解为负数， ∴，且， ∴，， 解得，，， ∴符合题意的只有B选项， 故选：B ． 2．如果关于x的分式方程 的解是负数，那么实数m的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解程得到，再根据方程的解为负数以及分母不为0列式求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵分式方程的解是负数， ∴， ∴， 又∵分母不为0， ∴， ∴， ∴； 综上所述，且， 故答案为：且． 3．已知关于x的分式方程． (1)若该方程的解为，求m的值； (2)若此方程的解为负数，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且． 【分析】本题考查了分式方程的解，根据分式方程的解确定取值范围，熟练掌握计算的基本步骤是解题的关键． （1）将分式方程的解代入方程，即可计算字母的值． （2）先化分式方程为整式方程，求得解，根据解为负数，计算字母的范围即可． 【详解】（1）解：把代入原方程， 得：， 解得； （2）解：方程两边同时乘以， 得， 得． ∵方程的解为负数， ∴， 解得， ∵原分式方程有解， ∴， 解得， ∴且． 类型三、分式方程的实际应用 1．科技创新是发展生产力的核心要素，某品牌手机的快充功能方便了人们对于智能手机的使用.如图，这是该品牌手机的使用说明书的部分内容（充电时间为从电量充到的时间），手机电量为后开始充电，若普通充电后，再快速充电刚好充满电量，则磨损处“”的数值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，设磨损处“”的数值为，根据题意列出分式方程，解方程并检验即可求解． 【详解】解：设磨损处“”的数值为，根据题意得， 解得：，经检验是原方程的解，且符合题意 故选：B 2．某商店一款无线耳机按进价提高后标价，再优惠10元销售，能获得的毛利率（）．则销售一副该款耳机所得毛利润为 元． 【答案】50 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，代数式求值等知识点，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 设该款耳机的进价为x元，则售价为元，根据“”，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出x的值，再将其代入中计算即可得出答案． 【详解】解：设该款耳机的进价为x元，则售价为元， 依题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ， 故答案为：50． 3．为庆祝附中博才建校十五周年，各校区开展了以“辉煌十五载，共逐幸福梦”为主题的校园文化艺术节，学校决定购买附中熊和博才牛两种奖品，用于表彰在此次活动中表现突出的学生．已知附中熊比博才牛每个多10元，用600元购买附中熊的个数恰好与用500元购买博才牛的个数相同． (1)求附中熊和博才牛的单价； (2)学校决定购买附中熊、博才牛两种奖品共60个，实际购买时，附中熊的售价打九折，博才牛的售价不变，学校用于购买两种奖品的总费用不超过3100元，最多可购买多少个附中熊？ 【答案】(1)附中熊的单价是60元/件，博才牛的单价是50元/件 (2)最多可以购买25个附中熊 【分析】本题考查了分式方程的应用以及解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设附中熊的单价是x元/件，则博才牛的单价是元/件，依题意：列式，再解出，最后验根，即可作答． （2）设购买m件附中熊，则购买件博才牛，再结合题意得，最后解不等式，即可作答． 【详解】（1）解：设附中熊的单价是x元/件，则博才牛的单价是元/件， 根据题意得：， 解得 经检验，是原方程的解，也符合题意， ∴． 答：附中熊的单价是60元/件，博才牛的单价是50元/件； （2）解：设购买m件附中熊，则购买件博才牛，根据题意得： ， 解得， 答：最多可以购买25个附中熊． 类型一、分式方程的解为整数 1．若整数a使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有2个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（    ） A．6 B．9 C．13 D．16 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．分别表示出分式方程的解以及不等式组的解集，根据题意确定出符合条件整数a的和即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验，分母不为0，即，即 由分式方程的解为非负整数，得到或2或6或8或…， 解得：或5或1或或…， 解不等式组整理得：，即， 由不等式组至少有2个整数解，得到， 综上，，5，7，其和为13． 故选：C． 2．若关于x的不等式组至少有两个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的和是 ． 【答案】 【分析】不等式组整理后，根据至少有两个整数解，确定出的范围，再由分式方程解为整数，确定出满足题意整数的值，求出之和即可．此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 【详解】解：∵不等式组 ∴整理得：， 不等式组至少有两个整数解， ， 解得：， 分式方程去分母得：， 解得：， 分式方程解为整数， ∴， 即， ∴， ∵，且为整数，且为整数， ∴或或，或， （舍去）或1或或（舍去） ． 故答案为：． 3．已知，关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的值． 【答案】(1)若方程有增根，的取值为或 (2)若方程无解，的取值为或或 (3)或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键． （）根据分式方程的解法得出，然后将增根代入求解即可； （）分当时原分式方程无解，当或时方程有增根，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可； 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； （2）解：∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （3）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 类型二、分式方程的无解问题 1．已知关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解问题，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分和两种情况分别求解即可． 【详解】解：， 去分母得，， 整理得，， 当时，整式方程无解； 当时，， 分式方程无解， 是方程的增根， ， 解得：； 综上所述，k的值为2或． 故选：A． 2．若关于x的分式方程无解，则m的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程得到，接着根据原方程无解得到，解之即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字印刷不清楚． (1)他把“”猜成，请你解方程：； (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“”是几？ 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了解分式方程、方程无解等知识点，掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． （1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，然后再检验即可解答； （2）设原题中“◆”是a，分式方程变形后去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到，代入整式方程计算即可求出a的值即可． 【详解】（1）解：方程整理得：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为． （2）解：设原题中“”是， 方程变形得：， 去分母得：， 由分式方程无解，得到， 把代入整式方程得：． 答：原题中“”是． 类型三、分式方程的规律 1．观察下面的变形规律：，，，，…回答问题：若，则的值为（    ） A．100 B．98 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据题目中给出的等式可以找到规律，找出规律，即第n个等式为，本题得以解决． 【详解】 ， 经检验，x=98是原方程的解， 故答案选B. 【点睛】本题考查了规律开题——数字的变化类，解分式方程，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，写出相应的等式． 2．一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； …… 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，观察方程得出规律是解题的关键．根据观察，可发现规律：第一个的分子是分母是解的二倍，第二个分子是减比解小1的数，分母是2，可得答案． 【详解】解：由一列方程如下排列： 的解是， 的解是， 的解是， 得第一个的分子是分母是解的二倍，第二个分子是减比解小1的数，分母是2， 解是的方程：， 故答案为：． 3．根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查分式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握分式的混合运算是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据材料提示的计算方法计算； （3）根据题意原式变形得，结合材料提示的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，方程 的解是， 故答案为：； （2）解：猜想关于的方程得到或， 故答案为：或； （3）解：， 变形得，，整理得，， ∴或， 解得，． 1．方程的增根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根就是使分式方程的最简公分母等于0的未知数的值．令最简公分母即可得出答案． 【详解】解：∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得， 故选：C． 2．某市为美化城市环境，计划在道路两旁种植花卉20万株，由于工作人员的齐心协力．实际每天种植花卉比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植万株，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程．根据“提前2天完成任务”即可列出方程． 【详解】解：设原计划每天植树万棵，则实际每天植树万棵， 根据题意得：． 故选：A． 3．已知关于x的分式方程的解是非负数．则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，解分式方程求出，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解是非负数， ∴，且， ∴且， 故选：C． 4．分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 故答案为：． 5．当 时，与互为相反数． 【答案】 【分析】本题考查了相反数，分式方程的应用，掌握分式方程的解法是解题关键．根据相反数的定义列分式方程，求解并检验即可得出答案． 【详解】解：与互为相反数， ， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 即当时，与互为相反数 故答案为：． 6．对于实数x，y定义一种新运算“*”：，例如：，当分式方程解为正数时，则m的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查解分式方程、解一元一次不等式，理解题意，正确列出方程，注意分式的分母不为0的条件是解答的关键．先根据题中新定义得方程为，然后解方程为，根据方程的解得且，进而求解即可． 【详解】解：由题意，得，即， 去分母，得， 解得， ∵方程的解为正数， ∴且 解得且， 故答案为：且． 7．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握计算步骤是解题的关键． （1）（2）分别先去分母，转化为解一元整式方程，再检验是否有增根即可． 【详解】（1）解： ， ， 经检验：是原方程的解， ∴ 原方程的解为； （2）解： ， 经检验：时， ∴原方程的解为． 8．解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤及正确去分母求解是解题的关键，解分式方程不要忽略检验． （1）方程两边同时乘以去分母，求解并检验即可； （2）方程两边同时乘以去分母，求解并检验即可． 【详解】（1）解： ， 检验，当时，， 原方程无解； （2）解： ， 检验，当时，， 原方程的解为． 9．第九届亚冬会将于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨市举办，本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．某商场销售“滨滨”和“妮妮”两种纪念品．若用1500元购买“滨滨”纪念品的数量比用1800元购买“妮妮”纪念品的数量多5个，且一个“妮妮”纪念品的价格是一个“滨滨”纪念品价格的1.5倍．求“滨滨”和“妮妮”两种纪念品的单价分别是多少元． 【答案】“滨滨”和“妮妮”两种纪念品的单价分别是60元和90元 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，正确的列出方程． 根据题意，设“滨滨”纪念品的单价为元，则“妮妮”纪念品的单价为元，然后列出方程，解分式方程，即可得到答案； 【详解】解：设“滨滨”纪念品的单价为元． 根据题意，得， 解得：， 经检验是原分式方程的解， ． 答：“滨滨”和“妮妮”两种纪念品的单价分别是60元和90元． 10．新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”（若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．） ①（   ）； ②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①×；②√ (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义计算即可． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程为：分式方程，解得：， ∵ 故①的答案为：×， 当，时， 分式方程为：分式方程，方程的解为：， ∵， 故②的答案为：√； （2）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， 解得：； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， 化简得：， 解得：， ∵关于x的方程有整数解， ∴或， 解得：或或1或， ∵， ∴或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.3 可化为一元一次方程的分式方程 一 分式方程的概念 分式方程是方程中的一种，指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。 二 分式方程的解法 解分式方程的一般步骤为： 1.方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程。注意去分母时，不要漏乘整式项。 2.移项，若有括号应先去括号，注意变号，合并同类项，把系数化为1，求出未知数的值。 3.验根。求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根。验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根，否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根都是增根，则原方程无解。 三 分式方程的特点 在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根。增根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。 四 分式方程的应用 分式方程在解决实际问题中具有广泛的应用。例如，在解决工程问题、行程问题、浓度问题、利润问题等实际问题时，常常需要建立分式方程模型。通过建立分式方程，我们可以将实际问题抽象为数学问题，并利用数学方法求解，从而得到实际问题的解。 在解决这类问题时，我们需要注意以下几点： 1 准确理解题意，明确问题中的已知条件和未知量。 2 根据问题的实际情况，建立分式方程模型。 3 解方程，求出未知量的值。 4 将求得的解代入原问题中进行检验，确保解符合问题的实际情况。 巩固课内例1:解分式方程 1．分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．若，则 3．解方程：． 巩固课内例2:解分式方程(增根) 1．方程有增根，则的值为（　　） A． B． C． D．3 2．若关于x的方程有增根，则 ． 3．解分式方程． (1)； (2)． 巩固课内例3:分式方程的简单应用 1．某校组织学生开展“茶韵与书画”为主题的研学课程，已知学校用于购买扇子的费用为4000元，购买茶具的费用为3200元，其中购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍，并且扇子的单价比茶具的单价便宜3元．设购买扇子的单价为x元．则x满足的方程为（    ） A． B． C． D． 2．师傅和徒弟两人每小时共做40个零件，在相同时间内，师傅做了300个零件，徒弟做了100个零件．师傅每小时做了多少个零件？若设师傅每小时做了个零件，则可列方程为 ． 3．广东省第十六届运动会于2022年11月在清远市举办，吉祥物为“清清”，某商家用1200元购进了一批运动会吉祥物，上市后供不应求，商家又用2800元购进了第二批运动会吉祥物，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．求该商家购进的第一批吉祥物多少个？ 类型一、分式方程的定义 1．下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．有下列方程： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是 ．（填序号） 3．下列方程哪些是分式方程？ （1）；（2）；（3）；（4）（a是常数）． 类型二、列分式方程 1．在创建文明县城的进程中，我县为美化县城环境，计划植树万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前天完成了任务，设原计划每天植树万棵，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知甲码头与乙码头相距36千米，一轮船往返于甲，乙两码头之间，轮船由甲码头顺流而下到乙码头所用时间比逆流而上所用时间少2小时，已知水流速度为3千米/时，求船在静水中的速度，设船在静水中的速度为千米/时，根据题意列方程为 ． 3．列方程解应用题． 为贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯．某校第一批为各班用400元购进跳绳，接着又用450元购进第二批跳绳，已知第二批跳绳数是第一批跳绳数的1.5倍，且第二批每根跳绳进价比第一批的进价少5元，求第二批跳绳每根的进价是多少． 类型三、解分式方程 1．解方程去分母，两边同乘后的式子为（    ） A． B． C． D． 2．方程的解为 ． 3．解方程： (1)； (2)． 类型一、分式方程的解为正数 1．已知关于x的分式方程，要使该方程的解为正数，则m不能取的值为（   ） A． B．3 C．5 D．7 2．分式方程的解为正数，则的取值范围 ． 3．已知关于的分式方程， (1)若分式方程无解，求的值； (2)若分式方程的解为正数，求的取值范围． 类型二、分式方程的解为负数 1．若关于的分式方程的解为负数，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 2．如果关于x的分式方程 的解是负数，那么实数m的取值范围为 ． 3．已知关于x的分式方程． (1)若该方程的解为，求m的值； (2)若此方程的解为负数，求m的取值范围． 类型三、分式方程的实际应用 1．科技创新是发展生产力的核心要素，某品牌手机的快充功能方便了人们对于智能手机的使用.如图，这是该品牌手机的使用说明书的部分内容（充电时间为从电量充到的时间），手机电量为后开始充电，若普通充电后，再快速充电刚好充满电量，则磨损处“”的数值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．某商店一款无线耳机按进价提高后标价，再优惠10元销售，能获得的毛利率（）．则销售一副该款耳机所得毛利润为 元． 3．为庆祝附中博才建校十五周年，各校区开展了以“辉煌十五载，共逐幸福梦”为主题的校园文化艺术节，学校决定购买附中熊和博才牛两种奖品，用于表彰在此次活动中表现突出的学生．已知附中熊比博才牛每个多10元，用600元购买附中熊的个数恰好与用500元购买博才牛的个数相同． (1)求附中熊和博才牛的单价； (2)学校决定购买附中熊、博才牛两种奖品共60个，实际购买时，附中熊的售价打九折，博才牛的售价不变，学校用于购买两种奖品的总费用不超过3100元，最多可购买多少个附中熊？ 类型一、分式方程的解为整数 1．若整数a使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有2个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（    ） A．6 B．9 C．13 D．16 2．若关于x的不等式组至少有两个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的和是 ． 3．已知，关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的值． 类型二、分式方程的无解问题 1．已知关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 2．若关于x的分式方程无解，则m的值为 ． 3．嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字印刷不清楚． (1)他把“”猜成，请你解方程：； (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“”是几？ 类型三、分式方程的规律 1．观察下面的变形规律：，，，，…回答问题：若，则的值为（    ） A．100 B．98 C．1 D． 2．一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； …… 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ． 3．根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 1．方程的增根是（    ） A． B． C． D． 2．某市为美化城市环境，计划在道路两旁种植花卉20万株，由于工作人员的齐心协力．实际每天种植花卉比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植万株，则可列方程（    ） A． B． C． D． 3．已知关于x的分式方程的解是非负数．则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 4．分式方程的解是 ． 5．当 时，与互为相反数． 6．对于实数x，y定义一种新运算“*”：，例如：，当分式方程解为正数时，则m的取值范围 ． 7．解方程： (1) (2) 8．解下列方程： (1)． (2)． 9．第九届亚冬会将于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨市举办，本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．某商场销售“滨滨”和“妮妮”两种纪念品．若用1500元购买“滨滨”纪念品的数量比用1800元购买“妮妮”纪念品的数量多5个，且一个“妮妮”纪念品的价格是一个“滨滨”纪念品价格的1.5倍．求“滨滨”和“妮妮”两种纪念品的单价分别是多少元． 10．新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”（若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．） ①（   ）； ②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$