16.2 分式的运算 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

16.2 分式的运算 一、分式的运算 1.分式的加减法 （1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 （2）异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。 2.分式的乘除法 （1）分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 （2）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 3.分式的乘方 分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。 二、分式的混合运算 分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。遇到括号时，要先算括号里面的。 巩固课内例1:分式的乘除运算(直接运算) 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】略 2．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的乘除法，分式乘除法的关键是约分，约分的关键是找出分子、分母的公因式．原式利用除法法则变形，再约分即可得到结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．计算 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据分式乘法法则，可得答案； （2）根据分式的除法，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，可得答案； 【详解】解：（1）； （2）． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，根据法则计算是解题关键． 巩固课内例2:分式的乘除运算(平方差公式结合) 1．化简：，其结果是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘除混合运算，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 先将分子分母因式分解，然后将除法转化成乘法，然后求解即可． 【详解】 ． 故选：C． 2．计算： ． 【答案】 【分析】先计算分式的乘方，再计算分式的乘除即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题综合考查分式的乘除和乘方运算．熟记相关运算法则即可． 3．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的乘除混合运算．利用分式的除法和乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 巩固课内例3:同分母分式加减运算 1．计算的结果等于（　） A．3 B．x C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式加减运算，熟练运用分式加减法则是解题的关键；运用同分母的分式加减法则进行计算，对分子提取公因式，然后约分即可． 【详解】解：原式 故选：A 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加法，掌握整式加法的法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 3．化简：． 【答案】 【分析】先计算同分母分式的减法，再利用完全平方公式约分化简． 【详解】解： 【点睛】本题考查分式的约分化简，解题的关键是掌握分式的运算法则． 巩固课内例4:异分母分式加减运算 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的加减运算，先把分母化成同分母，再进行加减运算即可． 【详解】解： 故选：B． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加法，解题的关键是掌握分式的加法法则．根据分式的加法法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是分式的加减混合运算、因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到答案； （2）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时对分母进行因式分解，约分即可得到答案． 【详解】（1）解：原式， ， ． （2）解：原式， ， ． 类型一、分式的乘法运算 1．的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先对能因式分解的分子、分母因式分解，然后再约分即可解答． 【详解】解： ． 故选A． 2．计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查分式的乘方，分式的乘法．先根据分式的乘方运算法则计算，再根据分式的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算． (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘法． （1）原式约分即可得到结果； （2）原式变形后约分即可得到结果． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 类型二、分式的除法运算 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式除法运算，根据除以一个数等于乘上这个数的倒数，原式，再化简进行，即可作答． 【详解】解： ． 故选：A． 2．化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式除法运算，先通分括号内，再根据分式除法法则进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2)3 (3)x (4) 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）把分子、分母约分化简即可； （2）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可； （3）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可； （4）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式＝． 类型三、分式的乘方运算 1．化简的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的乘方．熟练掌握分式乘方的法则，幂乘方法则，是解决问题的关键．分式乘方等于分子分母分别乘方，幂乘方底数不变，指数相乘． 运用分式乘方的法则和幂乘方的法则逐一判定，即得． 【详解】A、，∴A不正确； B、，∴B不正确； C、，∴C不正确； D、，∴D正确． 故选：D． 2．计算： （1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方，解题的关键是掌握分式的乘方的运算法则． （1）根据分式的乘方法则直接计算即可； （2）根据分式的乘方法则直接计算即可； （3）根据分式的乘方法则直接计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：． 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果． 【详解】解： ． 类型四、同、异分母分式的加减法运算 1．计算：（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了同分母分式的减法运算，同分母分式相减，分母不变，分子直接相减，即可作答． 【详解】解： ， 故选：D． 2．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的化简，先化为同分母分式，再进行同分母分式的加减运算法则求解即可 【详解】解： ， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了异分母分式加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）先通分，再计算同分母分式减法； （2）先通分，再计算同分母分式加减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型一、分式乘除混合运算 1．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式先化除法为乘法，再约分即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 故选：C 2．计算= ． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，根据分式的乘除运算法则进行化简即可求出答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除，熟练掌握分式的乘除法运算法则是解答的关键． （1）先将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可； （2）先将除法转化为乘法，再根据分式的乘法和性质化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型二、含乘方的分式乘除混合运算 1．化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式的乘方和分式的乘法．先乘方，再约分，即可得到结果． 【详解】解：． 故选：D． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式的运算首先要分清运算顺序，在这个题目中，首先进行乘方运算，然后统一成乘法运算，最后进行约分运算． 【详解】解：原式． 故答案为． 3．分式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是： （1）先把除法转换为乘法，同时因式分解，然后约分即可； （2）先计算分式的乘方，同时把除法转换为乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解∶ 原式 ； （2）解：原式 ． 类型三、分式加减混合运算 1．计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把分式进行通分，然后计算分式的加减，即可得到答案． 【详解】解：原式． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 2．计算： ． 【答案】 【分析】根据分式的加减混合运算求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减法运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算从而完成求解． 3．化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减混和运算，根据分式的加减混和运算法则计算即可． 【详解】解： ． 类型四、分式加减乘除混合运算 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简，根据分式的混合运算法则正确化简即可． 【详解】解： ， 故选：C． 2．计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的化简，根据分式的混合运算法则化简原式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握分式的性质，分式的混合运算法则，因式分解的运用是解题的关键． 先将括号里的异分母分式通分，再运用因式分解，分式除法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 类型五、分式化简求值 1．若，则的值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．先根据异分母分式减法的计算法则求出，再把已知条件式整体代入求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴原式， 故选：A． 2．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查分式的化简求值，把已知条件进行整理是关键．把已知等式代入之后化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．先化简，再从的范围内选择一个合适的整数代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式；当时，原式． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∵， ∴当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 类型一、分式恒等式 1．若，则M、N的值分别为(   ) A．M=-1,N=-2 B．M=-2,N=-1 C．M=1,N=2 D．M=2,N=1 【答案】B 【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件即可求出M与N的值． 【详解】， ∴M+N=-3，N-M=1， 解得：M=-2，N=-1． 故选B． 【点睛】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找最简公分母． 2．若，其中a，b为常数，则 ． 【答案】1 【分析】原等式整理变形后得：，可得，求出a、b即可得到答案． 【详解】解：已知等式整理得：， ∴， 可得， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了分式的变形求值，正确得到是解题的关键． 3．我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________； (3)当时，判断与的大小关系，并证明． 【答案】(1)； (2)1，3； (3)，证明过程见详解 【分析】本题考查新定义下分式的加减及分式的大小比较，理解题中新定义、熟练掌握作差法是解题的关键． （1）根据题中示例进行变形即可得出答案； （2）将通分，即可求得m及关于的方程组，解之即可得答案； （3）根据做差法求出两个分式的差再判断出差的正负即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ， ，解得， 故答案为：1，3； （3） 证明： ， ，， ，， ． 类型二、分式加减的实际应用 1．商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为x元/千克，B种糖的单价为y元/千克，则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为元/千克（平均价）．现有甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10千克A种糖和10千克B种糖混合而成；乙种什锦糖由10元A种糖和10元B种糖混合而成．你认为（   ）的单价较高． A．甲种什锦糖 B．乙种什锦糖 C．甲、乙两种一样高 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减法及比较分式值的大小，准确计算是正确解决本题的关键． 根据单价总价数量分别求出甲糖单价和乙糖单价；根据作差法比较大小即可求解． 【详解】解∶甲糖单价为∶ (元/)， 乙糖单价为∶ (元)； ， 甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种单价不同的糖混合而成， ． 甲糖的单价较高． 故选：A． 2．某工厂供暖房有煤260吨，原计划可用天．采取节能措施后，这些煤可比原来多用天．那么，相比节能以前，节能后每天少用煤 吨． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，难度不大，正确理解题意、熟练掌握分式的加减运算法则是关键．用原来每天的用煤量减去节能后每天的用煤量即可． 【详解】解：由题意可得， 节能后每天少用煤：． 故答案为：． 3．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整： 实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干(存留一些污水)的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． （1）方案一：采用一次漂洗的方式，将20斤清水一次用掉，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； （2）方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同，如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； （3）方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的__________． 实验结论：（4）对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：（5）将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水，现用斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x斤，其中，且），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）三；（5）方案三比方案二漂洗效果好，证明见解析 【分析】本题考查分式的实际应用，根据题意列式等．解题的关键是理解题意． （1）计算出方案一漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答； （2）计算出方案二漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答； （3）计算出方案三漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答； （4）比较数据计算得出的数据，即可作出判断； （5）先用字母表示出两种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的关系，再利用求差法比较即可解决问题． 【详解】解：根据题意可知： （1）方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 故答案为：； （2）方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 故答案为：； （3）方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 故答案为：； （4）， ∴方案三的漂洗效果最好， 故答案为：三； （5）推广证明：方案三比方案二效果好，理由如下： 方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的， ， 当，时，， ∴方案三比方案二效果好， 综上所述：方案三漂洗效果最好． 类型三、用“倒数法”求分式的值 1．若实数x满足，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，首先利用完全平方公式得出，进而将分式化简代入求值即可． 【详解】解：∵ ∴，即， ∴， ∴， 故选：B． 2．，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查分式的化简求值、完全平方公式的运用，已知等式两边都除以a构造出a与其倒数和是解题的关键．先将化为，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， 即， ∴， 故答案为：7． 3．阅读下面的解题过程： 例：已知，求代数式的值． 第一步  因为，所以，即； 第二步  因为， 所以． 该题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题． 已知， (1)仿照第一步，求的值； (2)仿照第二步，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的求值问题，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，注意分式的变形． （1）将已知条件的两边式计算各自的倒数，约分后可得结论； （2）由．再把代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：由（1）得， ∴． ∴． 1．如果，那么的值等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值，将分式变形成含已知分式的式子是解题关键．将分式进行变形即可得． 【详解】解：设， 则， 故选：B. 2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的加减法，解答的关键是掌握相关的运算法则．利用分式的减法的法则进行运算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 3．设，，则，的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键． 把两个式子进行相加运算，从而可得结果． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 即， 故选：C． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方，掌握分式的乘方公式：（，为正整数）是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 5．化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，先把两个分式通分，再把分子合并同类项，最后分子与分母约分化简即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．已知，则 ， ． 【答案】 【分析】根据分式的加减运算法则以及待定系数法即可求出A与B的值． 本题考查分式的加减运算则、二元一次方程组的应用等知识点，解题的关键是正确求出A与B的值． 【详解】解： , 令，解得：， 故答案为：，． 7．计算：； 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，根据同分母分式的加法法则计算即可得出答案． 【详解】解：原式． 8．先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的减法和除法进行运算，再利用提公因式和完全平方公式进行因式分解，再化简化式子，然后将代入化简后的式子后，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 9．（1）已知，， ①求的值； ②求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题考查分式的化简求值与完全平方公式， （1）根据完全平方公式及其变形即可求出答案． （2）根据完全平方公式及其变形即可求出答案． 【详解】解：（1）①，， ， ． ②， ． （2）， ， ， ． 10．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)行，求的值； (3)拓展：已知，，，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题． 根据可得，根据求出的值，可得； 仿照例题先求倒数可得：，根据可求的值，可得； 仿照例题求倒数可得：，，，可得，所以可得，利用倒数法可得． 【详解】（1）解：，可知， ， ， ， ； （2）解：，可知， ， ， ， ， ； （3）解：，，，可知，，， ，，， ，，， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.2 分式的运算 一、分式的运算 1.分式的加减法 （1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 （2）异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。 2.分式的乘除法 （1）分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 （2）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 3.分式的乘方 分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。 二、分式的混合运算 分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。遇到括号时，要先算括号里面的。 巩固课内例1:分式的乘除运算(直接运算) 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算 （1）； （2）． 巩固课内例2:分式的乘除运算(平方差公式结合) 1．化简：，其结果是（　　） A． B．2 C． D． 2．计算： ． 3．计算： ． 巩固课内例3:同分母分式加减运算 1．计算的结果等于（　） A．3 B．x C． D． 2．计算： ． 3．化简：． 巩固课内例4:异分母分式加减运算 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)． 类型一、分式的乘法运算 1．的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是 ． 3．计算． (1) (2)． 类型二、分式的除法运算 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．化简的结果是 ． 3．计算： (1) (2) (3) (4)． 类型三、分式的乘方运算 1．化简的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： （1） ；（2） ；（3） ． 3．计算： 类型四、同、异分母分式的加减法运算 1．计算：（   ） A． B． C． D．2 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)． 类型一、分式乘除混合运算 1．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 2．计算= ． 3．计算： (1)； (2)． 类型二、含乘方的分式乘除混合运算 1．化简：（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．分式计算： (1)； (2)． 类型三、分式加减混合运算 1．计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．化简：． 类型四、分式加减乘除混合运算 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是 ． 3．计算：． 类型五、分式化简求值 1．若，则的值是（   ） A． B．2 C． D． 2．若，则的值为 ． 3．先化简，再从的范围内选择一个合适的整数代入求值． 类型一、分式恒等式 1．若，则M、N的值分别为(   ) A．M=-1,N=-2 B．M=-2,N=-1 C．M=1,N=2 D．M=2,N=1 2．若，其中a，b为常数，则 ． 3．我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________； (3)当时，判断与的大小关系，并证明． 类型二、分式加减的实际应用 1．商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为x元/千克，B种糖的单价为y元/千克，则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为元/千克（平均价）．现有甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10千克A种糖和10千克B种糖混合而成；乙种什锦糖由10元A种糖和10元B种糖混合而成．你认为（   ）的单价较高． A．甲种什锦糖 B．乙种什锦糖 C．甲、乙两种一样高 D．无法确定 2．某工厂供暖房有煤260吨，原计划可用天．采取节能措施后，这些煤可比原来多用天．那么，相比节能以前，节能后每天少用煤 吨． 3．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整： 实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干(存留一些污水)的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． （1）方案一：采用一次漂洗的方式，将20斤清水一次用掉，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； （2）方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同，如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； （3）方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的__________． 实验结论：（4）对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：（5）将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水，现用斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x斤，其中，且），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 类型三、用“倒数法”求分式的值 1．若实数x满足，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．，则的值为 ． 3．阅读下面的解题过程： 例：已知，求代数式的值． 第一步  因为，所以，即； 第二步  因为， 所以． 该题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题． 已知， (1)仿照第一步，求的值； (2)仿照第二步，求的值． 1．如果，那么的值等于（    ） A． B． C． D．1 2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3．设，，则，的关系是（　　） A． B． C． D． 4．计算： ． 5．化简的结果是 ． 6．已知，则 ， ． 7．计算：； 8．先化简，再求值，其中． 9．（1）已知，， ①求的值； ②求的值； （2）已知，求的值． 10．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)行，求的值； (3)拓展：已知，，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$