16.1 分式及其基本性质 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

16.1 分式及其基本性质 一 分式的概念 1 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 2 分式是两个整式相除的商，其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用。 3 分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式。 4 分母不能为零。 5 分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件是分式的分母不等于0；分式无意义的条件是分式的分母等于0。 6 分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。 二 分式的基本性质 1 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 2 通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。 3 约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。 巩固课内例1:整式与分式 1．代数式1－是（    ） A．单项式 B．多项式 C．分式 D．整式 2．下列各有理式，哪些是整式？哪些是分式？ ， 整式{ …}； 分式{ …}． 3．下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？ ，，，，，，． 巩固课内例2:分式有意义 1．分式有意义，则x的范围是（　） A． B． C．且 D． 2．对于分式，当 时，该分式有意义． 3．下列各分式中，当x取何值时有意义？ (1) (2) (3) 巩固课内例3:约分 1．约分的结果是（    ） A． B． C． D． 2．约分 ． 3．约分： 巩固课内例4:通分 1．把通分后，各分式的分子之和为（　　） A．2a2+7a+11 B．a2+8a+10 C．2a2+4a+4 D．4a2+11a+13 2．把，通分，则= ， = . 3．通分：、、. 类型一、分式的判断 1．下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子：，，，，，分式有 个． 3．在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？ ，，，，． 类型二、分式有、无意义、值为零 1．当时，下列分式无意义的是（    ） A． B． C． D． 2．按要求填空． （1）分式有意义时，的取值范围是 ． （2）分式无意义时，的值是 ． （3）分式的值为0时， ． 3．已知，x取哪些值时： (1)y的值是零； (2)分式无意义； (3)y的值是正数； 类型三、分式的变形 1．下列式子从左至右变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列分式的变形中：①（c≠0）②＝，③     ④，错误的是 ．（填序号） 3．填空 （1），； （2），． 类型一、最简分式 1．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．要将分式化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式是 ． 3．下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． (1)； (2)． 类型二、约分与通分 1．下列约分正确的有（    ）                                                     ； ；；． A．个 B．个 C．个 D．个 2．约分： ， ． 3．（1）约分：； （2）通分：． 类型三、将分式的分子分母的最高次数化为正数 1．不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（） A． B． C． D． 2．不改变分式值，把分式分子、分母的最高次项系数化正数：= 3．不改变分式的值，使分式的分子和分母的最高次项的系数均为正数． (1) (2) 类型四、将分式的分子分母各项系数化为整数 1．把分式的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（    ） A． B． C． D． 2．不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得 ． 3．不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数． (1)； (2)． 类型一、分式的求值 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知非零实数，满足，则的值等于 ． 3．已知，求分式的值． 类型二、求分式值为正(负)数时未知数的取值范围 1．若分式的值为正，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 3．当的取值范围是多少时： (1)分式的值为负数？ (2)分式的值为正数？ (3)分式的值为负数？ 类型三、求使分式值为整数时未知数为整数值 1．若取整数，则使分式的值为整数的值有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 2．使得为整数的自然数的个数为 个． 3．已知分式． (1)当为何值时，该分式无意义； (2)当为何整数值时，该分式的值为正整数． 类型四、分式的规律 1．给定下面一列分式：，，，……，（其中）根据你发现的规律，其中第7个分式应是（    ） A． B． C． D． 2．一组按规律排列的式子：，则第的个式子是 ． 3．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________；（用含有n的等式表示），并说明理由． 1．在，，，，，中，分式有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如果分式的值为0，那么的值是（   ） A．0 B．5 C． D． 3．多项式，多项式（其中，，，，均为常数），下列说法中正确的个数是（   ） ①若多项式与的乘积中不含项，则； ②； ③若，则当时，． A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知的值是非负数，那么x的取值范围是 ． 5．化简： ． 6．已知：（均不为零），则 ． 7．已知，求的值． 8．不改变分式的值，把分式中分子与分母各项的系数都化为整数． 9．（1）已知，求分式的值； （2）已知，求分式的值 10．用数学的眼光观察： 等式：． 若，求代数式的值． 解：因为，所以，所以，所以． 用数学的思维思考并表达： (1)填空：_______； (2)若，求的值； (3)已知，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.1 分式及其基本性质 一 分式的概念 1 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 2 分式是两个整式相除的商，其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用。 3 分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式。 4 分母不能为零。 5 分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件是分式的分母不等于0；分式无意义的条件是分式的分母等于0。 6 分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。 二 分式的基本性质 1 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 2 通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。 3 约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。 巩固课内例1:整式与分式 1．代数式1－是（    ） A．单项式 B．多项式 C．分式 D．整式 【答案】C 【分析】根据分式的概念进行判断即可． 【详解】解：代数式的分母中含有字母x，则它是分式． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的概念，注意：分母中含有字母的式子叫分式． 2．下列各有理式，哪些是整式？哪些是分式？ ， 整式{ …}； 分式{ …}． 【答案】 ，， ，，，，，， 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式． ，，，，，，的分母中含有字母，因此是分式． 故答案为：，，；，，，，，，． 【点睛】本题主要考查分式的定义，分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． 3．下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？ ，，，，，，． 【答案】分式有，，，整式有，，， 【分析】根据分式和整式的定义，即可解答． 【详解】解：分式有，，， 整式有，，，． 【点睛】本题主要考查了分式和整式的定义，解题的关键是掌握单项式和多项式统称为整式；一般地，如果A、B表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式． 巩固课内例2:分式有意义 1．分式有意义，则x的范围是（　） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件得到，从而得出结果． 【详解】解：分式有意义， ， ， 故选：B． 2．对于分式，当 时，该分式有意义． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件：分母不为0．根据分式有意义的条件得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴ 解得， 所以时分式有意义． 故答案为：． 3．下列各分式中，当x取何值时有意义？ (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，判断一个分式是否有意义，应考虑分母上字母的取值，字母的取值不能使分母为零． 要使分式有意义，分母不能为0，根据此条件求得x的取值范围． 【详解】（1）解：要使分式有意义， ∴ ∴； （2）要使分式有意义， ∴ ∴； （3）要使分式有意义， ∴ ∴． 巩固课内例3:约分 1．约分的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式约分，分子分母同时除以分子、分母的最大公因式，即可得出答案． 【详解】解：， 故选：A． 2．约分 ． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，分子分母同时除以公因式即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质的应用，分式的约分找到分子分母的公因式是关键，是基础题． 3．约分： 【答案】 【分析】根据分式的性质约分即可求解． 【详解】解：. 【点睛】本题考查了分式的约分，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 巩固课内例4:通分 1．把通分后，各分式的分子之和为（　　） A．2a2+7a+11 B．a2+8a+10 C．2a2+4a+4 D．4a2+11a+13 【答案】A 【分析】先找出三个分式的最简公分母，再根据分式的基本性质进行解答即可． 【详解】解：， ， ， 所以把，，通分后， 各分式的分子之和为： 故选：A． 【点睛】本题考查了通分，用到的知识点是分式的基本性质，关键是找出分式的最简公分母，同时考查了整式的加减运算． 2．把，通分，则= ， = . 【答案】 【分析】先找出，的最简公分母，再利用分式的性质将，的分母均化为即可． 【详解】解：，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查分式通分，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 3．通分：、、. 【答案】；；. 【分析】先根据最简公分母的定义求出最简公分母，然后根据分式的基本性质通分即可. 【详解】解：最简公分母是. ； ； . 【点睛】此题考查的是最简公分母的确定和通分，掌握最简公分母的定义和分式的基本性质是解决此题的关键. 类型一、分式的判断 1．下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，即一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式．根据分式的定义进行判断即可． 【详解】解：A．是整式，不符合题意； B．是整式，不符合题意； C．是分式，符合题意； D．是整式，不符合题意； 故选：C． 2．下列式子：，，，，，分式有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了分式的定义，熟悉相关性质，注意是常数，是解题的关键． 根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案． 【详解】解：，，的分母中含有字母，属于分式，共有3个． 故答案为：3． 3．在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？ ，，，，． 【答案】是分式，其余的都是整式． 【分析】判断分式的依据是：两个整式相除，且分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：代数式，，，，中，只有是分式， ，，，分母中都不含字母，不是分式，是整式， 答：是分式，其余的都是整式． 【点睛】本题主要考查分式的定义．熟练掌握分式的定义是解决本题的关键． 类型二、分式有、无意义、值为零 1．当时，下列分式无意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式无意义．解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件．分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义． 根据分母为0，分式无意义；分母不为零，分式有意义，逐一判断即得． 【详解】A、当时，分式有意义； B、当时，，分式有意义； C、当时，分式有意义； D、当时，，分式无意义． 故选：D． 2．按要求填空． （1）分式有意义时，的取值范围是 ． （2）分式无意义时，的值是 ． （3）分式的值为0时， ． 【答案】 0 【分析】本题考查了分式有意义、分式无意义的条件及分式值为零的条件，熟知它们的特征是解题的关键； （1）根据分式有意义的条件是分母不等于零， 即可解答； （2）分式无意义的条件是分母等于零， 即可解答； （3）分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零， 即可解答． 【详解】（1）分式有意义， ， 解得：， 故答案为：； （2）分式无意义， ， 解得：； 故答案为：； （3）分式的值为0， 且， 解得： 故答案为：0； 3．已知，x取哪些值时： (1)y的值是零； (2)分式无意义； (3)y的值是正数； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查的是分式的值，分式无意义的条件，解一元一次不等式组，掌握分式的值为正数、值为零、分式有意义、无意义的条件是解题的关键． （1）分式的分子为0，分母不为0时，y的值为0； （2）分式的分母为0时，分式无意义； （3）分式的分子、分母同号时，y的值是正数； 【详解】（1）解：当分子值为0，分母的值不为0时，分式值为0， 所以，解得， 此时，所以当时，y的值为0； （2）当分母为0时，分式无意义，则时，即时分式无意义； （3）因为y的值为正数，所以可得：①或②， 解①得，此时无解，解②得，解为， ∴当时，y的值为正数． 类型三、分式的变形 1．下列式子从左至右变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一进行判断即可． 【详解】A. ∵，∴A选项正确； B. ∵，∴B选项正确； C. ∵，∴C选项不正确； D. ∵条件式中，∴，∴D选项正确． 故选：C． 2．下列分式的变形中：①（c≠0）②＝，③     ④，错误的是 ．（填序号） 【答案】③④ 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：③原式= ，故③错误； ④原式= ，故④错误； 故答案为③④． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 3．填空 （1），； （2），． 【答案】（1），；（2）a， 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：（1）因为的分母除以x才能化为y，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需除以x，即 ． 同样地，因为的分子除以才能化为，所以分母也需除以，即． 所以，括号中应分别填：和． （2）因为的分母乘a才能化为，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘a，即 ． 同样地，因为的分母乘b才能化为，所以分子也需乘b，即 ． 所以，括号中应分别填：a和． 【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 类型一、最简分式 1．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，分子分母没有公因式的分式是最简分式．根据最简分式的定义逐项进行分析判断即可． 【详解】解：A、原分式不是最简分式，不符合题意；     B、 是最简分式，故该选项符合题意；     C、 原分式不是最简分式，不符合题意；   D、 原分式不是最简分式，不符合题意． 故选：B． 2．要将分式化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查约分，约掉分式分子分母的公因式就能将分式化为最简分式，熟记分式约分法则，准确找到分式分子分母公因式是解决问题的关键． 【详解】解：要将分式化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式是， 故答案为：． 3．下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． (1)； (2)． 【答案】(1)不是最简分式，化简见解析 (2)不是最简分式，化简见解析 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．据此即可求解. 【详解】（1）解：； 则不是最简分式； （2）解：． 则不是最简分式． 【点睛】本题考查了最简分式，利用分式的基本性质对分式进行化简．最简分式判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 类型二、约分与通分 1．下列约分正确的有（    ）                                                     ； ；；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】此题主要考查了约分，约分的关键是找出分子分母的公因式．原式各项约分得到结果，即可做出判断． 【详解】解：（1），故此项正确； （2） ，故此项错误； （3） ，故此项错误； （4） 不能约分，故此项错误； 综上分析可知：约分正确的是1个． 故选：A． 2．约分： ， ． 【答案】 【分析】根据分式的性质约分即可求解． 【详解】解：， 故答案为：， 【点睛】本题考查了约分，掌握分式的性质是解题的关键． 3．（1）约分：； （2）通分：． 【答案】（1）．（2）， 【分析】本题考查了分式的性质，分式化简，平方差公式，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用平方差公式，完全平方公式整理，再结合分式的性质进行化简，即可作答． （2）先得，故它们的最简公分母是，再结合分式的性质进行整理，即可作答． 【详解】解：（1）． （2）依题意，， 则它们的最简公分母是， ∴，． 类型三、将分式的分子分母的最高次数化为正数 1．不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】让分子，分母同时改变符号即可让分子和分母中x的最高次项的系数都是正数． 【详解】分子的最高次项为﹣3x2，分母的最高次项为﹣5x3，系数均为负数，所以应同时改变分子，分母的符号可得原式==． 故选D． 【点睛】用到的知识点为：分子，分母，分式本身的符号，改变其中的2个，分式的大小不变；分子，分母的最高次项的系数均为负数，应同时改变分子，分母的符号． 2．不改变分式值，把分式分子、分母的最高次项系数化正数：= 【答案】 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可. 【详解】 故答案为. 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号. 3．不改变分式的值，使分式的分子和分母的最高次项的系数均为正数． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练分式的变号法则． 根据了分式的性质求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 类型四、将分式的分子分母各项系数化为整数 1．把分式的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：给分式的分子和分母同乘以12，得： ==， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解答的关键是熟知分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 2．不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘以，再化简即可，解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于的数，分式的值不变． 【详解】解：原式， 故答案为：． 3．不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式基本性质是关键． （1）根据分式分子分母中小数最多是两位小数，由分式基本性质，分式分子分母都乘100即可； （2）分子、分母的最小公倍数都为6，分式的分子分母都乘6即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型一、分式的求值 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的求值．根据，代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 2．已知非零实数，满足，则的值等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查分式的求值，根据，得到，整体代入法求出分式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 3．已知，求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查了求分式的值，转化所求问题后将已知条件整体代入，正确的化简和已知条件转化是解答此题的关键．由已知可得，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果． 【详解】解：， ， ， ． 类型二、求分式值为正(负)数时未知数的取值范围 1．若分式的值为正，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可得即可使分式的值为正． 【详解】解：∵， ∴时，分式的值为正， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的值，当分子分母同为正或同为负时，分式的值为正． 2．若分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的值，根据分式的值为负数，绝对值为非负数，得到且，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴且， ∴； 故答案为：． 3．当的取值范围是多少时： (1)分式的值为负数？ (2)分式的值为正数？ (3)分式的值为负数？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是分式的值为正数或负数时，字母的取值范围，一元一次不等式组的应用，理解题意是关键； （1）由分式的值为负数可得，再解不等式即可； （2）由分式的值为正数可得或，再解不等式组即可； （3）结合（2）的结论可得分式的值为负数时的范围． 【详解】（1）解：，， ， ， 时，分式值为负数． （2）∵分式的值为正数， ∴或， 当时， 解得：， 当时， 不等式组无解， 综上：当时；分式的值为正数， （3）∵由（2）得：当时；分式的值为正数， ∴分式的值为负数时，则或； 类型三、求使分式值为整数时未知数为整数值 1．若取整数，则使分式的值为整数的值有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的值是整数的条件，分离假分式是解题的关键．先将假分式分离可得出，根据题意可知是6的整数约数，求解即可获得答案． 【详解】解：， 由题意可知，是6的整数约数， ∴，，，，1，2，3，6， 解得，，，0，1，，2，， 其中的值为整数为，0，1，2，共4个． 故选：B． 2．使得为整数的自然数的个数为 个． 【答案】6 【分析】本题考查了分式的值，将分式变形为，即可得出，再根据的值为整数且x为自然数计算即可． 【详解】解： ， ∵分式的值为整数且x为自然数， ∴或2或3或4或6或12， ∴或1或2或3或5或11， 共6个， 故答案为：6． 3．已知分式． (1)当为何值时，该分式无意义； (2)当为何整数值时，该分式的值为正整数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据分母等于零，分式无意义可得，求出m的值即可，熟练掌握分式有无意义的条件是解题的关键； （2）根据题意分别令或，求解即可，利用分母是分子的正约数求解是解题的关键． 【详解】（1）解：该分式无意义， ， 解得， 即当时，该分式无意义． （2）解：该分式的值为正整数，且也为整数， 或， 解得或， 即当或时，该分式的值为正整数． 类型四、分式的规律 1．给定下面一列分式：，，，……，（其中）根据你发现的规律，其中第7个分式应是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知分式知，分子的指数是3，5，7，9…是连续奇数，分母的指数是大于0的自然数，奇数项的符号是正号． 【详解】解：第奇数个式子是正数，偶数个是负数， 分母是第几个式子就是y的几次方； 分子是第几个式子就是x的（第几×2+1）次方． 所以第七个分式是． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的定义．注意观察每一个分式的分子、分母的变化，然后找出变化规律． 2．一组按规律排列的式子：，则第的个式子是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式规律问题，解题的关键是得到代数式的一般规律；由题意易得奇数项为负数，偶数项为正数，分母符合，分子的指数则符合，进而问题可求解． 【详解】解：由可知： ， ∴第n个式子是； 故答案为：． 3．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________；（用含有n的等式表示），并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）根据题目中给出的等式，即可写出第6个等式； （2）根据题目中给出的等式，即可第n个等式，分别计算第n个等式的左边和右边即可证明第n个等式成立． 【详解】（1）由题意可得： 第6个等式：， 故答案为：； （2）猜想的第n个等式： ， 证明：∵左边 ， 右边， ∴左边＝右边， ∴． 【点睛】本题考查了数字的变化、有理数的混合运算，明确题意，发现数学的变化特点与序号的关系是解决问题的关键． 1．在，，，，，中，分式有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有字母．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，找到分母中含有字母的式子的个数即可． 【详解】解：在，，，，，中，式子，，中都含有字母是分式，共有3个分式． 故选：B． 2．如果分式的值为0，那么的值是（   ） A．0 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据题意，可知且，从而解得答案． 【详解】解：分式的值为0 且 故选：B． 3．多项式，多项式（其中，，，，均为常数），下列说法中正确的个数是（   ） ①若多项式与的乘积中不含项，则； ②； ③若，则当时，． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减与乘法，分式的运算．先根据多项式的乘法法则求出的值，再根据乘积中不含项即可判断①；分别求出当和时，的值，由此即可判断②；由题意得到，整理得，，据此计算即可求解判断③． 【详解】解： ， 多项式与的乘积中不含项， ， 解得，说法①正确； 当时，，即 当时，， 则，说法②正确； 若，则当时，， 当时，， ∴， 等式两边同时除以得，，即， ∴，即， ∵， ∴，说法③正确； 故选：D． 4．已知的值是非负数，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式值的正负性问题，熟练掌握分式的意义是截图的关键，注意此题中的．若的值是非负数，由，得，因而能求出的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 5．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简，根据分式的基本性质，结合因式分解化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．已知：（均不为零），则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的求值，设，可得，，，再代入分式计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：设， ∴，，， ∴， 故答案为：． 7．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运用，比例的性质，熟练掌握比例的性质，分式的化简求值是解题的关键．根据比例的性质，设，进而得出，代入代数式即可求解． 【详解】解：设，则， ∴． 8．不改变分式的值，把分式中分子与分母各项的系数都化为整数． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，原分式的分子、分母分别乘以即可求解．理解并掌握分式的基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：． 9．（1）已知，求分式的值； （2）已知，求分式的值 【答案】（1）；（2）7 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求值： （1）根据可推出，据此代值计算即可； （2）根据完全平方公式得到，则． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 10．用数学的眼光观察： 等式：． 若，求代数式的值． 解：因为，所以，所以，所以． 用数学的思维思考并表达： (1)填空：_______； (2)若，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据完全平方公式进行计算即可求解； （）根据（）的方法进行计算即可求解； （）根据题意得出，再由，从而可得，然后进行求倒数即可求解； 本题考查了完全平方公式的变形求值，分式的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$