精品解析：浙江省杭州市西湖区浙附（玉泉+丁兰)2024-2025学年高一上学期期中数学试题

2024学年第一学期浙大附中期中考试 高一数学试卷 考生注意： 1．本试卷满分120分，考试时间90分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 幂函数在上单调递增，则（ ） A. B. C. 或3 D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”成立的 A. 充要不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充要也不必要条件 5. 在上定义运算⊙：，则满足的实数x的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 6. 已知函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的单调函数，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列选项正确的是（ ） A. B. 函数在定义域内是减函数 C. 若时，则的值域 D. 的图象关于对称 10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为0 11. 德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为，则下列关于狄利克雷函数的说法错误的是（ ） A. 对任意实数， B. 既不是奇函数又不是偶函数 C. 对于任意的实数，， D. 若，则不等式的解集为 三、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．（答案不唯一） ① ② ③ 13. 函数的定义域为______． 14. 已知函数的定义域为的图象关于直线对称，且，，若，则______. 四、解答题：本大题共5小题，共61分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 设全集为R，集合，． （1）分别求，； （2）已知，若，求实数a的取值范围． 16. 设函数 （1）若，求的解集． （2）若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； 17. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间th间的关系为（其中，k是大于0的常数）．已知在前5个小时消除了10%的污染物． （1）求k的值； （2）求污染物减少50%需要花的时间（精确到）?参考数据： 18. 设函数，满足：①；②对任意恒成立． （1）求函数的解析式，并写出单调区间． （2）设矩形ABCD的一边AB在x轴上，顶点C，D在函数的图象上．设矩形ABCD的面积为S，求证：． 19. 小方同学在阅读高等数学时发现两则定义， 定义1，设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的下凸函数．如图2． 定义2．设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的上凸函数．如图3． 例如，函数在为上凸函数，在上为下凸函数．对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小方同学了解到了琴生不等式（Jensn不等式）：若是区间上的下凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当，时等号成立）．结合阅读材料回答下面的问题： （1）已知为下凸函数，若，求的最大值； （2）求证：二次函数是上凸函数． （3）设，，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期浙大附中期中考试 高一数学试卷 考生注意： 1．本试卷满分120分，考试时间90分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设得到，即可求集合B. 【详解】由，则， 所以. 故选：B 2. 幂函数在上单调递增，则（ ） A. B. C. 或3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数的定义及性质列式计算即得. 【详解】因为函数是幂函数且在上单调递增， 所以，解得. 故选：B. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】换元设,再反解代入即可. 【详解】设,则,则,即. 故选A. 【点睛】本题主要考查利用换元法求函数解析式的问题,属于基础题型. 4. 设，则“”是“”成立的 A. 充要不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充要也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：当时，，当一正一负时， ，当时，，所以，故选C． 考点：充分必要条件． 5. 在上定义运算⊙：，则满足的实数x的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据运算新定义化简不等式得一元二次不等式，解之即得. 【详解】因， 则， 即得，解得. 故选：B. 6. 已知函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据奇函数的性质求出a，然后代入求解即可. 【详解】由于函数是R上的奇函数， 所以，即，解得， 当时，，为奇函数，满足题意， 故，故. 故选：A. 7. 已知函数是定义在上的单调函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由单调函数的性质，可得为定值，可以设，则，又由，可得的解析式，求即可. 【详解】，， 是定义在(0,+∞)上的单调函数，则为定值， 设，则，， 解得或（舍去），得， 所以. 故选：C. 8. 如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论重合部分的形状，然后利用面积公式将y关于x 的函数表示出来即可. 【详解】于D，， ,, 且 故当时，重合部分为三角形， 三角形的高， 面积，函数图像为开口向上的二次函数，故排除A选项； 当时，重合部分为直角梯形， 上底长为， 下底长为，高为4， 故， 函数图像为一条直线，故排除D选项； 当时，重合部分可以看作两个直角梯形， 左边直角梯形的上底长为， 高为 两个梯形下底长均为， 右边直角梯形上底长为， 高为， 故， 图像为开口下的二次函数，且对称轴为，故排除B选项； 故选：C 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列选项正确的是（ ） A. B. 函数在定义域内是减函数 C. 若时，则的值域 D. 的图象关于对称 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的函数，结合反比例函数的性质逐项分析判断. 【详解】对于A，函数中，，，A正确； 对于B，函数在上单调递减，在定义域上不单调，B错误； 对于C，由选项B知，当时，，即，C正确； 对于D，函数的图象可以由的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位而得， 函数的对称中心为，因此的图象关于对称，D错误. 故选：AC 10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为0 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A，利用基本不等式“1”的妙用判断B，利用完全平方公式与基本不等式判断C，利用代入消元法，结合基本不等式判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为，，且，所以， 当且仅当时取等号，所以的最大值为，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9，显然其最大值不可能为4，故B错误； 对于C，因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，由，，且，可知，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为0，故D正确. 故选：ACD. 11. 德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为，则下列关于狄利克雷函数的说法错误的是（ ） A. 对任意实数， B. 既不是奇函数又不是偶函数 C. 对于任意的实数，， D. 若，则不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意结合奇偶性、一元二次不等式的解法逐项分析判断. 【详解】若是有理数，则； 若是无理数，则，故A正确； 若是有理数，则也是有理数，此时； 若是无理数，则也是无理数，此时； 即为偶函数，故B错误； 若是无理数，取，则是无理数，此时，，即，故C错误； 若是有理数，则的解集为； 若是无理数，，显然不成立，故D错误． 故选：BCD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．（答案不唯一） ① ② ③ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据给定性质，分析函数的对应性质，再写出一个符合要求的函数即可. 【详解】由，得函数是R上的增函数； 由，得函数可以是幂函数； 不妨令，显然，函数符合要求. 故答案为： 13. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据求定义域的法则求解. 【详解】要使函数有意义， 需满足，即， 则函数的定义域为， 故答案为：. 14. 已知函数的定义域为的图象关于直线对称，且，，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由的图象关于直线对称，得，由，得，结合，得，进而代入相关值求结果即可. 【详解】因为的图象关于直线对称，则， 又，则①， 因为，则②， ①②得，则令，得， 令，得， 由，得， 由，得， 则， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共61分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 设全集为R，集合，． （1）分别求，； （2）已知，若，求实数a的取值范围． 【答案】（1），或或； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用集合交并补运算求集合； （2）根据题设有且集合非空，进而列不等式组求参数范围. 【小问1详解】 由题设，且或， 所以或或. 【小问2详解】 由题意，显然集合非空， 所以，可得. 16. 设函数 （1）若，求的解集． （2）若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，根据图象的开口方向，以及，即可求得不等式的解集； （2）根据题意，转化为恒成立，分与，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式（组），即可求解； 【小问1详解】 解：由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为， 所以不等式的解集为，即的解集为. 【小问2详解】 解：由对一切实数x恒成立，等价于恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当，则满足，即，解得， 所以的取值范围是． 17. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间th间的关系为（其中，k是大于0的常数）．已知在前5个小时消除了10%的污染物． （1）求k的值； （2）求污染物减少50%需要花的时间（精确到）?参考数据： 【答案】（1）0.02； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，求解即可. （2）由题意可得，求解即可. 【小问1详解】 在中，当时，，则， 解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，当时，，即， 则. 所以污染物减少需要花的时间约为. 18. 设函数，满足：①；②对任意恒成立． （1）求函数的解析式，并写出单调区间． （2）设矩形ABCD的一边AB在x轴上，顶点C，D在函数的图象上．设矩形ABCD的面积为S，求证：． 【答案】（1），递增区间为，递减区间为； （2） 由（1）知函数在上单调递增，上单调递减， 直线与函数的图象交于两点，又轴，则点在直线的两侧， 不妨设，，则点，由，得点 因此，，， 当时，，，则， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求出解析式，再借助对勾函数求出单调区间. （2）由（1）的性质，结合求出矩形面积的函数关系，再求出值域即可. 【小问1详解】 函数，由，得，则； 由，得对恒成立， 即恒成立，则，，因此， 函数在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递增， 于是在上单调递增，上单调递减． 所以函数的解析式是，递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 略 19. 小方同学在阅读高等数学时发现两则定义， 定义1，设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的下凸函数．如图2． 定义2．设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的上凸函数．如图3． 例如，函数在为上凸函数，在上为下凸函数．对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小方同学了解到了琴生不等式（Jensn不等式）：若是区间上的下凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当，时等号成立）．结合阅读材料回答下面的问题： （1）已知为下凸函数，若，求的最大值； （2）求证：二次函数是上凸函数． （3）设，，且，求的最小值． 【答案】（1）2； （2）函数的定义域为R， ， ，当且仅当时取等号， 因此恒成立，所以二次函数是上凸函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据下凸函数的定义，列出不等式求解得答案. （2）利用上凸函数的定义，列式计算得证. （3）构造并证明它在上为下凸函数，再利用琴生不等式求出最小值. 【小问1详解】 由为下凸函数，得，因此，当且仅当时取等号， 则，即，所以的最大值是2. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，设， 则 ，即， 于是函数在上为下凸函数， 依题意，， 即， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【点睛】思路点睛：本题第3问，构造函数并证明其凹凸性，再利用琴生不等式求出最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $