预习专题06 平面向量基本定理6题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题06 平面向量基本定理5题型分类 一、平面向量基本定理 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 二、基底的性质 (1)不共线性 平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底. 由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底． (2)不唯一性 对基底的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基底{e1，e2}线性表示． (3)如果对于一组基底e1，e2，有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，则可以得到． （一） 平面向量的基底 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 题型1：平面向量基本定理的理解 1．（2024高一下·全国·课堂例题）（1）平面向量的基底确定后，平面内的任何一个向量都可以用这组基底唯一表示．( ) （2）平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．( ) 2．（2024高一下·全国·专题练习）判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）基底中的向量不能为零向量．( ) （2）平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．( ) （3）若不共线，且，则.　( ) （4）平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这个基底唯一表示．( ) 3．（2024高一·全国·课后作业）下面说法中，正确的是　(　　) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量； ④对于平面内的任一向量和一组基底，，使=λ+μ成立的实数对一定是唯一的. A．②④ B．②③④ C．①③ D．①③④ 4．（2024高一·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示 B．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示 C．平面上向量的基底不唯一 D．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一 5．【多选】（2024高一下·吉林长春·期末）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（    ） A．给定向量，总存在向量，使； B．给定向量和，总存在实数和，使； C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使； D．若，存在单位向量和正实数，使，则. 6．（2024高二·河北衡水·周测）下面三种说法中正确的是（    ） ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基； ②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基； ③零向量不可作为基中的向量. A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 题型2：平面向量基底的判断 7．（2024高一下·福建·期中）设是平面向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面向量的一组基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 8．（吉林省实验繁荣高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 9．（2024高一·全国·课后作业）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．（2024高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 11．【多选】（2024高一下·广东深圳·期中）向量都是非零向量，满足下面哪个条件时，可以充当该平面的基底（    ） A． B． C． D． 12．【多选】（2024高一下·广西北海·期末）如图所示，设是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 13．（2024高一下·陕西榆林·阶段练习）已知为平面内所有向量的一组基底，，，，则与共线的条件为（    ） A． B． C． D．或 （二） 用基底表示向量 1．用基向量表示向量的三个依据 (1)向量加法的三角形法则和平行四边形法则； (2)向量减法的几何意义； (3)数乘向量的几何意义． 2．关于基底的一个结论 设e1，e2是平面内的一个基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时，恒有λ1＝λ2＝0.　　 题型3：用基底表示向量 14．（2024高一下·重庆巴南·期末）在中，，，若点满足，以为基底，则（    ） A． B． C． D． 15．（2024高一下·湖南·期中）如图，在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量（    ） A． B． C． D． 16．（2024高一下·陕西安康·期中）如图，在梯形中，，，设，，则（    ）    A． B． C． D． 17．（2024高一·全国·课后作业）已知分别为的边上的中线，设，,则＝（    ）    A．＋ B．＋ C． D．＋ 18．（2024高三上·河南·期中）已知为等边三角形，分别以CA，CB为边作正六边形，如图所示，则（    ） A． B． C． D． 19．【多选】（2024高一下·山西·阶段练习）如图，在正方形中，Q为上一点，交于E，且E，F为的两个三等分点，则（    ） A． B． C． D． （三） 平面向量基本定理的应用 利用平面向量基本定理解题的策略： （1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算． （2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式． 题型4：平面向量基本定理求参数 20．（2024高一下·全国·课后作业）设向量和是某一平面内所有向量的一组基底，若，则实数y的值为（　　） A．3 B．4 C．－ D．－ 21．（2024高一下·河南焦作·阶段练习）如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则（    ）    A． B．3 C．1 D． 22．（2024高一下·新疆喀什·期末）已知中，D为的中点，，若，则 . 23．（2024高三·广东·学业考试）在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，若，则的值为 . 24．（2024高一下·天津·期末）如图，在中，点、分别在边、上，且均为靠近的四等分点，与交于点，若，则 .    25．（2024高三上·陕西商洛·阶段练习）在中，是线段上的动点（与端点不重合），设，，则的最小值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型5：平面向量基本定理的应用 26．（2024高二上·贵州六盘水·期中）已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是BC，AC的中点，则（    ） A． B． C． D．0 27．（2024高一下·宁夏石嘴山·期末）已知中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足，则的值为 . 28．（2024高三上·江苏徐州·阶段练习）在中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点． (1)分别用向量，表示向量，； (2)若点N满足，证明：B，N，E三点共线． 29．（2024高一下·甘肃武威·阶段练习）如图，在中，已知，，，．    (1)若，证明：A，F，E三点共线； (2)若AE，BD交于点F，求的值． 一、单选题 1．（2024高一下·辽宁·阶段练习）已知向量、不共线，且，则的值等于（    ） A．3 B．－3 C．0 D．2 2．（2024高一下·江西萍乡·期中）在中，，，若，为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一下·福建福州·期末）如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一下·福建三明·阶段练习）已知向量是平面内的一组基底，则下列四组向量中也能作为平面向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一下·湖南·期中）如图，在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量（    ） A． B． C． D． 6．（2024·安徽合肥·模拟预测）在平行四边形ABCD中，，G为EF的中点，则（　　） A． B． C． D． 7．（2024·湖南·模拟预测）在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点.设，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·全国·模拟预测）已知在平行四边形中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024高一下·陕西榆林·阶段练习）已知为平面内所有向量的一组基底，，，，则与共线的条件为（    ） A． B． C． D．或 10．（2024高一下·重庆万州·期中）已知是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为一组基底的是（    ） A． B． C． D． 11．（2024高三上·广东·阶段练习）在平行四边形中，点在对角线上，点在边上，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024高一下·广东揭阳·期末）已知在中，点为上的点，且，若，则（    ） A． B．0 C． D．1 13．（2024·湖南长沙·一模）在平面四边形中，，分别为，的中点.若，，且，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024高三上·天津南开·阶段练习）是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，且，则（    ）. A． B． C． D． 15．（2024高一下·安徽滁州·阶段练习）设为平面内所有向量的一组基，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于（    ） A．2 B．-2 C．10 D．-10 16．（2024高一下·山西运城·阶段练习）在平行四边形中，分别是的中点，交于点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 17．（2024高一下·湖北·期末）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．平面向量的一个基底中，，一定都是非零向量 B．在平面向量基本定理中，若，则 C．若单位向量，的夹角为，则在上的投影向量是 D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的 19．（2024高三·全国·专题练习）（多选）如图，点、、分别为的边、、的中点，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 20．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四边形中，，为的中点，与交于点，与交于点，设，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．若，则 三、填空题 21．（2024高三上·天津和平·期末）如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，记，用表示 ；设，若，则的最小值为 ． 22．（2024高一·全国·课后作业）已知、不共线，，，要使、能作为平面内的一组基，则实数的取值范围为 ． 23．（2024高一·全国·专题练习）设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与；②与；③与；④与．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ．（写出所有满足条件的序号） 24．（2024高一下·全国·随堂练习）在中，点在边上，且．点满足．若，，则 . 25．（2024高一·全国·课后作业）设向量是平面内一个基底，且，则向量可以用另一个基底表示，即 . 26．（2024高三上·陕西西安·期末）在中，在上，且，在上，且.若，则 . 四、解答题 27．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，，．设，． (1)用，表示，； (2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线． 28．（24-25高三上·江西宜春·期末）如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 29．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，. (1)用，表示； (2)求的最小值. 30．（24-25高一上·辽宁·期末）如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数的值； (3)如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 31．（2024高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）在中，D是的中点，E在边上，，与交于点O， (1)设，求的值； (2)若，求的值． 32．（2024高三上·陕西铜川·期末）如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于． (1)用和表示； (2)求证：． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题06 平面向量基本定理5题型分类 一、平面向量基本定理 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 二、基底的性质 (1)不共线性 平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底. 由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底． (2)不唯一性 对基底的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基底{e1，e2}线性表示． (3)如果对于一组基底e1，e2，有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，则可以得到． （一） 平面向量的基底 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 题型1：平面向量基本定理的理解 1．（2024高一下·全国·课堂例题）（1）平面向量的基底确定后，平面内的任何一个向量都可以用这组基底唯一表示．( ) （2）平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．( ) 【答案】 正确 错误 【分析】（1）（2）根据基底的定义及平面向量的基本定理可得答案. 【详解】（1）平面向量的基底确定后，根据平面向量的基本定理可知，平面内的任何一个向量都可以用这组基底唯一表示.所以说法正确. （2）平面内的任意两个不共线的向量都可以作为一组基底.两个共线的向量不能作为一组基底，所以说法错误. 故答案为：正确；错误 2．（2024高一下·全国·专题练习）判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）基底中的向量不能为零向量．( ) （2）平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．( ) （3）若不共线，且，则.　( ) （4）平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这个基底唯一表示．( ) 【答案】 正确 错误 正确 正确 【分析】根据题意，结合向量的定义，平面向量基底的定义，平面向量的基本定理，逐项判定，即可求解 【详解】对于（1）中，因为零向量和任意向量共线，所以基底中的向量不能为零向量，所以（1）正确； 对于（2）中，平面内不共线的两个向量才可以作为一个平面基底，所以（2）错误； 对于（3）中，由不共线，且， 根据向量的运算法则，可得，所以（3）正确； 对于（4）中，根据平面基底的定义，可得平面向量的基底不唯一，根据平面向量基本定理，可得平面内的任何一个向量都可被这个基底唯一表示，所以（4）正确. 故答案为：（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）正确. 3．（2024高一·全国·课后作业）下面说法中，正确的是　(　　) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量； ④对于平面内的任一向量和一组基底，，使=λ+μ成立的实数对一定是唯一的. A．②④ B．②③④ C．①③ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据向量基底的概念可判断①②，根据零向量的概念可判断③，由平面向量基本定理判断④. 【详解】因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确； 由平面向量基本定理知④正确． 综上可得②③④正确． 故选：B． 4．（2024高一·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示 B．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示 C．平面上向量的基底不唯一 D．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一 【答案】B 【分析】根据共线向量的性质和基底的性质，结合平面向量基本定理逐一判断即可. 【详解】由共线向量的性质可知选项A正确； 根据平面向量基本定理可知：平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个不共线的向量表示，所以选项B不正确； 根据平面向量基本定理可知中：选项C、D都正确， 故选：B 5．【多选】（2024高一下·吉林长春·期末）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（    ） A．给定向量，总存在向量，使； B．给定向量和，总存在实数和，使； C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使； D．若，存在单位向量和正实数，使，则. 【答案】ABD 【分析】根据向量减法说明A；根据平面向量基本定理判断B；举例说明C；根据平面向量基本定理，结合三角形的性质，即可判断D. 【详解】对A，给定向量，总存在向量，使， 即，显然存在，所以A正确. 对B，因为向量，，在同一平面内且两两不共线，由平面向量的基本定理可得： 总存在实数和，使，故B正确． 对C，给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使， 当分解到方向的向量长度大于时，向量没办法按分解，所以C不正确. 对D，存在单位向量、和正实数，，由于，向量、的模为1，由三角形的三边关系可得，所以D成立. 故选：ABD 6．（2024高二·河北衡水·周测）下面三种说法中正确的是（    ） ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基； ②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基； ③零向量不可作为基中的向量. A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】利用平面向量基底的概念进行判断. 【详解】由于同一个平面内任意不共线的向量，都可以作为表示这个平面内所有向量的基，故①错误，②正确； 由于零向量与任何向量平行，所以零向量不可作为基中的向量，故③正确. 故选：B 题型2：平面向量基底的判断 7．（2024高一下·福建·期中）设是平面向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面向量的一组基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】 利用向量共线定理逐一判断即可. 【详解】对于A：，和共线，A错误； 对于B：，和共线，B错误； 对于C：，和共线，C错误； 对于D：不存在实数使，和不共线，D正确. 故选：D. 8．（吉林省实验繁荣高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据两个向量满足平面的一组基底，需这两个向量不共线，由此逐一判断可得选项． 【详解】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底； 对于B：因为，，所以，所以此两个向量不可以作为基底； 对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底； 对于D：设，所以，所以此两个向量不可以作为基底. 故选：C． 9．（2024高一·全国·课后作业）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】判断每个选项中的向量是否共线，即可判断出答案. 【详解】由于是平面内的一个基底，故不共线， 根据向量的加减法法则可知和不共线，和不共线， 和不共线，故A，B，C中向量能作为平面的基底， ，故和共线，不能作为平面的基底，D错误， 故选：D 10．（2024高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】只要两个向量不共线，便可作为平面内的一组基底，从而判断哪组向量共线即可. 【详解】对于A，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，A错误； 对于B，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，B错误； 对于C，， 和共线，不能作为一组基底，C正确； 对于D，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，D错误. 故选：C. 11．【多选】（2024高一下·广东深圳·期中）向量都是非零向量，满足下面哪个条件时，可以充当该平面的基底（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】两个向量不共线，则可以作为基底. 【详解】对于A， ，则，不能作为基底；故A错误； 对于B，，则，不能作为基底，故B错误； 对于C，，则，，与不共线，可作为基底，故C正确； 对于D，，可作为基底，故D正确； 故选：CD. 12．【多选】（2024高一下·广西北海·期末）如图所示，设是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BC 【分析】根据平面向量基底的定义，结合平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】A项中与共线，D项中与共线，B，C项中两向量不共线， 故选：BC 13．（2024高一下·陕西榆林·阶段练习）已知为平面内所有向量的一组基底，，，，则与共线的条件为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由题意可得存在使得，得到关于的方程组，根据方程组求解即可. 【详解】因为为平面内所有向量的一组基底，所以不共线，且不为零向量， 由与共线可得使得，即， 又因为不共线，所以， 所以， 故选：A （二） 用基底表示向量 1．用基向量表示向量的三个依据 (1)向量加法的三角形法则和平行四边形法则； (2)向量减法的几何意义； (3)数乘向量的几何意义． 2．关于基底的一个结论 设e1，e2是平面内的一个基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时，恒有λ1＝λ2＝0.　　 题型3：用基底表示向量 14．（2024高一下·重庆巴南·期末）在中，，，若点满足，以为基底，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量基本定理求解即可 【详解】因为，，， 所以， 所以， 故选：D 15．（2024高一下·湖南·期中）如图，在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的加减法运算法则，化简求解即可. 【详解】因为E为CD的中点，则.因为D为AB的中点，则.所以. 故选：D. 16．（2024高一下·陕西安康·期中）如图，在梯形中，，，设，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据平面向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】由题意得E为中点， 故 ， 故选：C 17．（2024高一·全国·课后作业）已知分别为的边上的中线，设，,则＝（    ）    A．＋ B．＋ C． D．＋ 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算即可联立方程求解. 【详解】分别为的边上的中线, 则, , 由于，，所以, 故解得 故选：B 18．（2024高三上·河南·期中）已知为等边三角形，分别以CA，CB为边作正六边形，如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】选取为基底，表示出，结合平行向量基本定理设，即可求解. 【详解】选取为基底， ， ， ， 设 ， ，， 即. 故选：A 19．【多选】（2024高一下·山西·阶段练习）如图，在正方形中，Q为上一点，交于E，且E，F为的两个三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用向量的线性运算及三角形相似的性质即可求解. 【详解】因为，所以，故A错误． ，故B正确． ，故C正确． 因为E为上靠近B的三等分点，所以，利用相似性质可得，则．故D正确． 故选：BCD. （三） 平面向量基本定理的应用 利用平面向量基本定理解题的策略： （1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算． （2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式． 题型4：平面向量基本定理求参数 20．（2024高一下·全国·课后作业）设向量和是某一平面内所有向量的一组基底，若，则实数y的值为（　　） A．3 B．4 C．－ D．－ 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算及基底的性质求解即可. 【详解】因为， 所以， 又因为和是某一平面内所有向量的一组基底， 所以 解得 故选：B． 21．（2024高一下·河南焦作·阶段练习）如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则（    ）    A． B．3 C．1 D． 【答案】D 【分析】运用平面向量基本定理，结合图象即可得到问题答案. 【详解】根据图象，    根据平面向量基本定理，可知：， 所以，， ， 故选：D. 22．（2024高一下·新疆喀什·期末）已知中，D为的中点，，若，则 . 【答案】 【分析】利用向量的线性运算将用表示，由此即可得到的值，从而可得结果. 【详解】因为, 所以,故; 故答案为：. 23．（2024高三·广东·学业考试）在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，若，则的值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以，则 故答案为： 24．（2024高一下·天津·期末）如图，在中，点、分别在边、上，且均为靠近的四等分点，与交于点，若，则 .    【答案】 【分析】 根据、、三点共线以及、、三点共线可得出关于、的两个表达式，求出参数的值，可出、的值，即可求得的值. 【详解】因为、、三点共线，则存在，使得， 即，可得， 又因为、、三点共线，则存在，使得， 即，可得， 因为、不共线，则，解得，所以，， 又因为，则，因此，. 故答案为：. 25．（2024高三上·陕西商洛·阶段练习）在中，是线段上的动点（与端点不重合），设，，则的最小值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，则，化简后利用基本不等式可求得结果 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是9， 故选：D    题型5：平面向量基本定理的应用 26．（2024高二上·贵州六盘水·期中）已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是BC，AC的中点，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】将，设为基底，表示出，，运用数量积定义解决问题. 【详解】解： . 故答案选：A.    27．（2024高一下·宁夏石嘴山·期末）已知中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足，则的值为 . 【答案】 【分析】由向量的线性运算求得，具体为利用平行四边形定则结合图形关系令，，解得，再令，，解得，确定点是线段的中点，最后由面积关系得出结果. 【详解】如图，令，， 于是， 而，并且不共线，因此，解得， 令，， 则， 从而，解得，因此点是线段的中点， 所以，所以. 故答案为： 28．（2024高三上·江苏徐州·阶段练习）在中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点． (1)分别用向量，表示向量，； (2)若点N满足，证明：B，N，E三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据几何图形进行线性运算即可； （2）利用向量共线定理即可证明. 【详解】（1）因为E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点， 所以 ， 则， . （2）因为，所以， 则， 所以，即，所以， 又因为有公共点， 所以，，三点共线.    29．（2024高一下·甘肃武威·阶段练习）如图，在中，已知，，，．    (1)若，证明：A，F，E三点共线； (2)若AE，BD交于点F，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）结合图形，利用平面向量的线性运算，用基底表示出，根据共线定理可证； （2）设，结合（1）中结论表示出，再设，由平面向量基本定理列方程求出，然后可得. 【详解】（1）因为，， 所以， 又，所以， 因为， ， 所以， 又有公共点A，所以A，F，E三点共线. （2）记，则， 由（1）知， 由题知，A，F，E三点共线，记， 所以， 因为不共线，所以，解得， 所以，所以. 一、单选题 1．（2024高一下·辽宁·阶段练习）已知向量、不共线，且，则的值等于（    ） A．3 B．－3 C．0 D．2 【答案】D 【分析】由平面向量基本定理，列方程求解. 【详解】向量、不共线，且， 则有，解得，所以. 故选：D 2．（2024高一下·江西萍乡·期中）在中，，，若，为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算结合图形的性质计算即可. 【详解】   如图所示，可知， 所以. 故选：A 3．（2024高一下·福建福州·期末）如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基底的定义求解. 【详解】由题中图形可知：与，与，与共线，不能作为基底向量， 与不共线，可作为基底向量． 故选：B. 4．（2024高一下·福建三明·阶段练习）已知向量是平面内的一组基底，则下列四组向量中也能作为平面向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于选项ACD，可以判断选项的向量共线，所以不能作为基底；对于选项B, ,不共线，所以可以作为基底. 【详解】对于选项A，，所以共线，所以不能作为基底； 对于选项B, ,所以不共线，所以可以作为基底； 对于选项C, 共线，所以不能作为基底； 对于选项D, ，所以共线，所以不能作为基底. 故选：B 5．（2024高一下·湖南·期中）如图，在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的加减法运算法则，化简求解即可. 【详解】因为E为CD的中点，则.因为D为AB的中点，则.所以. 故选：D. 6．（2024·安徽合肥·模拟预测）在平行四边形ABCD中，，G为EF的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意和平面向量的线性运算即可得出结果. 【详解】． 故选：B. 7．（2024·湖南·模拟预测）在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点.设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由平面向量基本定理，代入计算，即可得到结果. 【详解】    如图，， 故选：C. 8．（2024·全国·模拟预测）已知在平行四边形中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，根据向量的线性运算即得. 【详解】因为，，，，四边形为平行四边形， 则， 故选：D. 9．（2024高一下·陕西榆林·阶段练习）已知为平面内所有向量的一组基底，，，，则与共线的条件为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由题意可得存在使得，得到关于的方程组，根据方程组求解即可. 【详解】因为为平面内所有向量的一组基底，所以不共线，且不为零向量， 由与共线可得使得，即， 又因为不共线，所以， 所以， 故选：A 10．（2024高一下·重庆万州·期中）已知是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断选项中的两个向量是否平行，即可判断选项. 【详解】若两向量平行，则不可以作为基底， 由选项可知，ABD中的两个向量都不共线，可以作为基底， C中的向量，满足，向量，不能作为基底. 故选：C 11．（2024高三上·广东·阶段练习）在平行四边形中，点在对角线上，点在边上，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用向量的分解和加减运算即可得出结果. 【详解】解析： ． 故选：C． 12．（2024高一下·广东揭阳·期末）已知在中，点为上的点，且，若，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算法则，化简整理，可得的值，即可得答案. 【详解】由题意得， 所以， 所以. 故选：C 13．（2024·湖南长沙·一模）在平面四边形中，，分别为，的中点.若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的数量积以及模长运算公式即可得解. 【详解】连接，，如图，可知.    由，即，可得. 从而，，所以. 故选：B. 14．（2024高三上·天津南开·阶段练习）是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，且，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量加减、数乘几何意义用表示出，即可得结果. 【详解】由题设 ， 所以，即， 又，故. 故选：A 15．（2024高一下·安徽滁州·阶段练习）设为平面内所有向量的一组基，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于（    ） A．2 B．-2 C．10 D．-10 【答案】A 【分析】求出，由题得存在实数λ使得=λ，代入即得解. 【详解】， 因为A，B，D三点共线， 所以存在实数λ使得=λ， 即， 因为为基向量， 所以，解得λ=，k=2. 故选：A 16．（2024高一下·山西运城·阶段练习）在平行四边形中，分别是的中点，交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作的平行线交于，得到，再根据，得到，再利用向量的线性运算求解. 【详解】解：如图， 过点作的平行线交于， 则是的中点，且， ， 又， 所以，即， 所以， 又， 故选：B 二、多选题 17．（2024高一下·湖北·期末）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A，B选项：根据平面向量线性关系得到的和，的关系；C，D选项：根据平面向量线性关系得到的和，的关系，根据平面向量的共线定理建立等式. 【详解】对于A，B：，A正确，B错误； 对于C，D：因为，，所以， 又因为M，O，N三点共线，所以，故，C正确，D错误． 故选：AC. 18．（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．平面向量的一个基底中，，一定都是非零向量 B．在平面向量基本定理中，若，则 C．若单位向量，的夹角为，则在上的投影向量是 D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的 【答案】ABC 【分析】选项A，由基底的定义判断；选项B，由判断；选项C，由在方向上的投影向量的定义判断；选项D，由基底的定义判断. 【详解】选项A，作为基底的两个向量一定不共线，零向量与任意向量共线， 因此，一定都是非零向量，故A正确； 选项B，，由在同一基底下向量分解的唯一性，得，故B正确； 选项C，在方向上的投影向量为，故C正确； 选项D，只要不共线的两个向量都可以作为基底，所以表示同一平面内所有向量的基底是不唯一的，故D错误； 故选：ABC 19．（2024高三·全国·专题练习）（多选）如图，点、、分别为的边、、的中点，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用平面向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】在中，，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D不正确． 故选：ABC． 20．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四边形中，，为的中点，与交于点，与交于点，设，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．若，则 【答案】AC 【分析】对于A，根据条件，利用几何关系得到，即可判断选项A的正误；选项B，先假设，从而可得，与题设条件相矛盾，即可判断选项B的正误；选项C，结合条件，利用向量的中线公式，即可求解；选项D，法一，设，根据条件，利用向量的线性质运算，再结合条件，即可求解；法二，利用共线向量定理的推论，再结合条件，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以，且， 所以，所以，故选项A正确， 对于选项B，若，则为的中点，因为为的中点， 所以，与相交于点矛盾，故选项B错误， 对于选项C，因为为的中点，所以，故选项C正确， 对于选项D，解法一：由题意可设，， 所以， 又，所以，，所以，故选项D错误， 解法二：因为三点共线，所以，且， 又，，所以，，，故选项D错误， 故选：AC. 三、填空题 21．（2024高三上·天津和平·期末）如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，记，用表示 ；设，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算、用基底表示向量，结合基本不等式即可求解. 【详解】由题知， ， 即. 由，， 所以， 因为、、三点共线， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：； 22．（2024高一·全国·课后作业）已知、不共线，，，要使、能作为平面内的一组基，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意可知与不共线，则，根据平面向量基本定理得到不等式组，解得即可. 【详解】因为、不共线，所以与能作为平面内的一组基， 若、能作为平面内的一组基，则与不共线， 因为，，所以， 即，即，所以， 即实数的取值范围为. 故答案为： 23．（2024高一·全国·专题练习）设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与；②与；③与；④与．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ．（写出所有满足条件的序号） 【答案】③ 【分析】根据基底的定义判断即可. 【详解】解：③中，可知两向量共线，不能作为一组基底，选③； 其它选项中的两个向量都不满足，都能做基底，不选． 故答案为：③． 24．（2024高一下·全国·随堂练习）在中，点在边上，且．点满足．若，，则 . 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算得到，平方后，结合数量积公式计算即可. 【详解】由题意可知 ， 所以 ， 所以， 故答案为： 25．（2024高一·全国·课后作业）设向量是平面内一个基底，且，则向量可以用另一个基底表示，即 . 【答案】 【分析】设，将代入，利用向量基本定理，得出的关系式，求解，即可得出结论. 【详解】设，因为， 所以，因为不共线， 所以，解得，， 故答案为：. 26．（2024高三上·陕西西安·期末）在中，在上，且，在上，且.若，则 . 【答案】/ 【分析】根据已知条件先确定，，再根据平面向量基本定理，把向量与向量作为一组基底表示出向量即可. 【详解】因为，所以，因为，所以， 因为， 所以，则， 因为，所以，则. 故答案为： 四、解答题 27．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，，．设，． (1)用，表示，； (2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）利用平面向量线性运算法则，计算出，进而得到； （2）计算出，结合（1）可得，证明出结论. 【详解】（1）由题可知， ， （2） ，且有公共点M ，，三点共线. 28．（24-25高三上·江西宜春·期末）如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）借助向量加法法则与减法法则计算即可得； （2）借助向量线性运算法则可用表示出，再利用向量共线定理推导即可得证. 【详解】（1）， ； （2）， 又，故， 故三点共线. 29．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，. (1)用，表示； (2)求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得. （2）根据（1）的结论，转化用，表示，根据、、三点共线找出等量关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由，得， 所以. （2）由，，，， 得，又、、三点共线，因此， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以取最小值. 30．（24-25高一上·辽宁·期末）如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数的值； (3)如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算以为基底表示，进而求解； （2）根据向量的线性运算以为基底表示,又因为两向量共线所以具有倍数关系，求出的值； （3）根据向量的线性运算以为基底表示，又因为三点共线，所以系数之和为1，得出，然后应用基本不等式中1的代换求出的最小值. 【详解】（1）因为所以， 所以, 所以. （2）由题意可知：， ， 又因为三点共线，所以存在实数使得, ， 所以，解得：， 所以. （3）易知， 由（2）知， 又因为三点共线,所以，又， 所以：， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 31．（2024高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）在中，D是的中点，E在边上，，与交于点O， (1)设，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量的线性运算计算即可； （2）利用三点共线以为基底得，再根据数量积公式计算即可. 【详解】（1）∵， ∴； （2）因为E，O，C三点共线，不妨设, 所以， 再设，所以， 所以， 所以，， 因为， ∴得，即． 32．（2024高三上·陕西铜川·期末）如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于． (1)用和表示； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件可得，，再结合向量的加减法和平面向量基本定理可求得结果； （2）由题意可得，再结合和三点共线，可求出，从而可证得结论. 【详解】（1）， ， 又为上靠近的三等分点， ， ； （2）交于，， 由（1）知． ． 三点共线， ，解得， ． 即 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$