预习专题05 向量的数量积8题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题05 向量的数量积8题型分类 一、两向量的夹角与垂直 1．夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示). 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向． 2．垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 二、向量数量积的定义 非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 三、投影向量 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. 四、平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量. (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 五、平面向量数量积的运算律 1.a·b＝b·a(交换律). 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). （一） 求两向量的数量积 求平面向量数量积的方法：计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. 题型1：向量数量积的概念辨析 1．（2024高一下·甘肃兰州·期末）等边三角形中，与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量夹角的定义可得结果. 【详解】解：延长到，则为与的夹角，所以，与的夹角为．    故选：C． 2．（2024高一下·江西上饶·阶段练习）在等腰梯形 中，，，则下列各组向量夹角为的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据向量夹角的概念结合等腰梯形的几何性质，即可判断出答案. 【详解】由题意可得与的夹角为，A错误； 如图，作，交与于E，则， 故与的夹角，B正确； 由于，故与的夹角等于与的夹角， 即为，C错误； 与的夹角为，D错误； 故选：B 3．（2024高一下·全国·单元测试）以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（    ） A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的 B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的 C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角 D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直 【答案】C 【分析】根据数量积的定义和向量夹角的范围确定答案. 【详解】对于任意得两个非零向量，，其中. 若两个非零向量同向共线，则，，，故A正确； 若两个非零向量反向共线，则，，，故B正确； 若这两个非零向量的数量积是负的，则，，故C错误； 若两个非零向量的数量积是0，则，，互相垂直，故D正确. 故选: C. 4．（2024高二上·四川成都·期中）下列说法正确的是（    ） A．对任意向量，都有 B．若且，则 C．对任意向量，都有 D．对任意向量，都有 【答案】AD 【分析】可由数量积的定义及运算律可逐一判定选项. 【详解】，， 可得，故选项A正确； 由可得， 又，可得或， 故选项B错误； , 所以不一定成立， 故选项C错误； 由向量数量积运算的分配律可知选项D正确； 故选：AD. 5．（2024高一下·四川乐山·期末）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，，则 D．，则 【答案】BD 【分析】根据数量积的运算律及定义判断即可. 【详解】对于A：表示与共线的一个向量， 表示与共线的一个向量，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：因为，即， 又，所以， 即向量与在向量方向上的投影相同，故C错误； 对于D：若，则， 即， 所以，则，故D正确； 故选：BD 6．（2024高二上·上海浦东新·期中）下列结论中正确的有 ． ①“与共线”是“存在实数使”的必要非充分条件 ②；③或；④； ⑤，其中；⑥若，则为钝角； 【答案】①⑤ 【分析】 利用共线向量及充分、必要条件的定义判断①；举例说明判断②，③，④，⑥；利用数量积的运算律判断⑤作答. 【详解】对于①，当时，与共线，不存在实数使，反之，存在实数使，则与共线， 因此“与共线”是“存在实数使”的必要非充分条件，①正确； 对于②，当时，，而为非零向量，，②不正确； 对于③，当时，，此时均为非零向量，③不正确； 对于④，是与共线的向量，是与共线的向量，而与不一定共线， 因此与不一定相等，④不正确； 对于⑤，由平面向量数量积的运算律知，，成立，⑤正确； 对于⑥，当时，，因此当时，可能为，⑥不正确， 所以结论中正确的有①⑤. 故答案为：①⑤ 题型2：求两向量的数量积 7．（2024高二上·江西新余·开学考试）已知向量与的夹角为，，，则 ． 【答案】 【分析】根据向量数量积的定义，即可求解. 【详解】. 故答案为： 8．（2024·江苏南通·一模）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】根据数量积的定义及运算律计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：C. 9．（2024高三上·云南曲靖·阶段练习）已知向量、满足，，且与夹角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D．12 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算即得. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 10．（2024高一下·山西运城·期中）设，为单位向量，且，的夹角为，若，，则 ． 【答案】5 【分析】 根据数量积的运算律计算． 【详解】由已知， ． 故答案为：5. 11．（2024高一下·福建厦门·阶段练习）是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则 ． 【答案】 【分析】 根据给定的条件，利用数量积的定义及运算律求解作答. 【详解】在中，由，得，则， 又，所以，解得． 故答案为： 12．（2024·安徽·一模）在三角形中，，，，则（    ） A．10 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的数量积公式求得结果. 【详解】记，则，， ， ． 故选：A. 13．（2024高二上·贵州黔东南·期末）在矩形中，，点分别是的中点，则 ． 【答案】2 【分析】用表示，，即可判断 【详解】因为四边形ABCD为矩形，所以， ， 故答案为：2. 14．（2024·全国·模拟预测）如图，平行四边形中，，且，为边的中点，在上投影向量是，则 .    【答案】3 【分析】利用投影向量定义得，利用向量加法运算得，然后利用数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】因为，又， 所以. 故答案为：3 题型3：向量数量积的最值 15．（2024高一下·北京西城·期末）已知点，点，点都在单位圆上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为，得，，将化为，根据可得结果. 【详解】设的中点为，因为，，所以，， ， 因为，所以.    故选：A 16．（2024高一下·河北衡水·期末）如图，在边长为的等边中，点为中线上的动点，点为的中点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的定义可得为在上的投影，结合图，分别计算点与点重合、点与点重合时对应的的值，可得的取值范围，从而可得的取值范围. 【详解】因为， 其中为在上的投影， 又因为点为边长为的等边中线上的动点， 点为的中点，当点与点重合时，为等边三角形， 此时有最大值，所以， 当点与点重合时，此时有最小值， ， 所以，又， 所以，即． 故选：B． 17．（2024高一下·江苏徐州·期中）已知正方形的边长为，为正方形内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别取线段、的中点、，连接、，利用平面向量数量积的运算性质可得，求出的取值范围，可得出的取值范围. 【详解】分别取线段、的中点、，连接、， 则， 所以，， 所以，点在以线段为直径的半圆弧上，如下图所示： 当点为线段与半圆弧的交点时，取最小值， 结合图形可知，，故， 同理可得， 故选：B. 18．（2024高一下·重庆南岸·阶段练习）如图，在中，已知，点D，E分别在边AB，AC上，且，，点F为线段DE上的动点，则的取值范围是 .    【答案】 【分析】运用平面向量基本定理和数量积的定义，将表示为某变量的函数，进而求出取值范围即可. 【详解】因为， 所以，， 设， 则 ， ， 则 ， 对于，其开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 所以的取值范围是. 故答案为： 题型4：利用向量数量积的平面图形形状 19．（2024高二上·甘肃临夏·期中）在中，若，则三角形ABC为 三角形.（填“锐角”､“钝角”或“直角”） 【答案】钝角 【分析】根据数量积的性质，判断出A的范围，可得结论. 【详解】解：因为， 故，而A为三角内角，故A为钝角， 所以是钝角三角形. 故答案为：钝角. 20．（2024高一下·福建泉州·期中）中，，，则为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据已知条件可知角的角平分线与垂直，可得，再由向量夹角公式得，得，求出、，即可得的形状. 【详解】∵因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量， 则在的平分线上， 又， ∴的角平分线垂直于，根据等腰三角形三线合一定理得到为等腰三角形，且， 又∵，则，则， 又，所以， 所以，可得，所以是等腰直角三角形. 故选：D. 21．（2024高一下·山东青岛·期中）在中，，若，则下列结论正确的为（    ） A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形 C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形 【答案】D 【分析】根据数量积的概念即可判断为锐角，再利用三角形的定义判断即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以为锐角，但是不能确定其它角是否为锐角、直角或钝角，所以不能确定的形状， 故可为任意三角形. 故选：D 22．（2024高一下·山西朔州·期末）在中，下列说法错误的是（    ） A．“”是“A为直角”的充要条件 B．“”是“A为锐角”的充要条件 C．“”是“是锐角三角形”的充分不必要条件 D．“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件 【答案】C 【分析】根据向量的运算法则，以及向量的数量积的概念，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得， 平方可得，解得， 所以，所以为直角，即充分性成立； 若为直角，可得，所以，则， 即，所以必要性也成立，所以A正确； 对于B中，由，可得，可得， 所以为锐角，所以充分性成立， 当为锐角，可得，可得，即，所以必要性也成立，所以B正确； 对于C中，由，可得为锐角，但不一定为锐角三角形，所以充分性不成立，所以C错误； 对于D中，由，可得为钝角，所以为钝角三角形，即充分性成立， 当为钝角三角形，不一定为钝角，即必要性不一定成立， 所以是是钝角三角形的充分不必要条件，所以D正确. 故选：C. 23．（2024高一下·北京·期中）在平行四边形中，，则平行四边形一定是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 【答案】B 【分析】 根据数量积的运算律得到，即可得到，从而得解. 【详解】因为，所以， 即， 所以，所以，即， 所以平行四边形为矩形. 故选：B 24．（2024高一下·四川自贡·期中）若四边形满足，，则该四边形一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形 【答案】C 【分析】根据可判断四边形为平行四边形，由可得，可判断四边形为菱形. 【详解】 因，所以，故，且， 故四边形为平行四边形， 由得，即， 所以平行四边形对角线互相垂直，故四边形为菱形. 故选：C （二） 向量的模和夹角的计算问题 1、(1)向量的模：利用a·a＝|a|2或|a|＝来求解. (2)向量的夹角：利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角. 2、(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方. (2)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解. 题型5：向量的模 25．（2024高一下·上海浦东新·阶段练习）已知向量、满足，，则 . 【答案】 【分析】 由得，经平方后转化为数量积求解. 【详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 26．（2024高一下·江苏连云港·阶段练习）已知向量的夹角为，，则 . 【答案】 【分析】 根据数量积的定义可得，再利用模长关系以及数量积的运算律运算求解. 【详解】由题意可得：， 所以. 故答案为：. 27．（2024高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知向量，满足，，，则 . 【答案】 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】由向量，满足，，且， 则，所以. 故答案为：. 28．（2024高一上·浙江宁波·期末）已知，，且，的夹角为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据向量的减法运算可得，平方后结合数量积的运算，即可求得答案. 【详解】由题意得，所以 ， 故， 故选：D 29．（2024·四川甘孜·一模）已知平面向量，且与的夹角为，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 【答案】C 【分析】平方展开后，利用向量的数量积定义进行运算即可. 【详解】因为 ， 所以， 故选：C. 30．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量满足，则实数的值为 ． 【答案】1或 【分析】结合平面向量的相关知识，将两边平方，计算即可. 【详解】将两边平方，得， 得，即，解得或． 故答案为：或. 31．（2024高一下·宁夏石嘴山·期末）已知向量，满足，在方向上的投影向量为，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】由题设有，结合数量积的定义得，，应用数量积的运算律有，即可求模长的最小值. 【详解】由题意，在方向上的投影数量为1， 故，则，设向量夹角为， ，则，（）， 由，故的最小值为. 故答案为：2 题型6：向量的夹角 32．（2024·全国）设非零向量，满足，，则向量的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将等式两边平方，可得，再用平面向量的夹角公式计算即可. 【详解】由等式，两边平方得：， 则，且，所以. ，即. 故选：B. 33．（2024高一上·湖北·期末）若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得的值，根据数量积的运算法则求得以及的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】因为，是夹角为的两个单位向量， 所以， 故， ， ， 故 ， 由于 ，故. 故选：B. 34．（2024高三上·山东烟台·期末）已知，则向量与夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的数量积公式，求解即可. 【详解】结合题意：设向量与夹角为， ， 因为，所以，解得. 因为，所以. 故选：B. 35．（2024高一下·广东湛江·期中）在平行四边形中，，，若，，则与夹角的余弦值是 . 【答案】/-0.4 【分析】由题意画出图形，把、分别用、表示，结合列式求解． 【详解】如图，    在平行四边形中，，，若， 则，， 设与夹角为θ， 由，得， ∴，解得． ∴与夹角的余弦值是． 故答案为：． 36．（2024高一下·安徽芜湖·期中）已知向量与的夹角为，且，．向量与共线， (1)求实数的值； (2)求向量与的夹角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据共线向量定理，即可求解； （2）根据向量夹角公式，，再代入数量积的运算公式，即可求解. 【详解】（1）若向量与共线， 则存在实数，使得， 则，则； （2）由（1）知，， ， ， ， ， 所以，且， 所以. 37．（2024高三上·陕西·阶段练习）已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的数量积运算法则即可得解. 【详解】因为，，， 所以，， 即，，解得，， 所以，， 则． 故选：D． 38．（2024高一下·广东揭阳·期中）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据与的数量积小于0，且不共线可得. 【详解】与的夹角为钝角， ， 又与的夹角为， 所以，即，解得， 又与不共线，所以， 所以取值范围为. 故选：D （三） 与垂直有关的向量问题 解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量). 题型7：与垂直有关的向量问题 39．（2024高一下·贵州遵义·期末）已知单位向量，，则使成立的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】若根据数量积的运算律得到，即可得到或，即可判断. 【详解】因为，为单位向量，所以， 若，则， 即，即， 所以或，则或， 故使成立的充分条件可以是、. 故选：AC 40．（2024高一上·浙江宁波·期末）设，为两个单位向量，且，若与垂直，则 . 【答案】/-0.4 【分析】根据向量与垂直可得，结合数量积的运算，即可求得答案. 【详解】由题意知设，为两个单位向量，且，与垂直， 故，即， 故，解得， 故答案为： 41．（2024高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知向量，的夹角为，，且向量与垂直，则实数（    ） A．2 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据垂直向量的数量积建立方程，结合题意，可解得答案. 【详解】由，则， 即， 解得. 故选：D. 42．【多选】（2024高一下·广东佛山·阶段练习）是边长为2的等边三角形，已知向量、满足，，则下列结论中正确的是（    ）． A．为单位向量 B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用向量的线性运算并结合的三边及向量的数量积计算即可. 【详解】是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，，， 所以，即不是单位向量，故选项A错误； 因为，，所以，故选项B正确； 由，得，，故，夹角为，故选项C错误； 因为，故D正确． 故选：BD． （四） 投影向量 (1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定． (2)向量a在b方向上的投影向量·. (3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θ. 题型8：向量的投影 43．（2024高一下·河北·阶段练习）设为单位向量，，当，的夹角为时，在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由投影向量的定义，代入已知数据计算即可. 【详解】 由题意，在上的投影向量为． 故选：D． 44．（2024高三上·云南·阶段练习）已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合向量的投影的定义和计算方法，即可求解. 【详解】由题意知，向量且向量与的夹角为， 所以向量在上的投影为， 又因为，所以向量在上的投影向量为. 故选：A. 45．（2024高一下·天津·期中）已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的定义，结合数量积的运算即可求解. 【详解】， 在上的投影向量为， 故选：C 46．（2024高一下·黑龙江大庆·期末）已知非零向量，满足，则在上的投影向量为 ． 【答案】 【分析】 首先将条件变形求得，再代入投影向量的公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，且， 整理为，即， 即 在上的投影向量为. 故答案为： 47．（2024高一下·浙江金华·阶段练习）已知平面向量满足，且，则在上投影向量为，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的投影的概念及公式直接计算. 【详解】在上投影向量为，即， 故. 故答案为: . 48．（2024高一下·湖北黄冈·期中）已知向量、的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影是 ． 【答案】/ 【分析】根据平面向量数量积与向量投影的定义，计算即可． 【详解】因为向量、的夹角为，且，， 所以， 则， 所以向量在向量方向上的投影为. 故答案为：． 一、单选题 1．（2024高一上·浙江宁波·期末）已知，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据进行求解，得到答案. 【详解】因为，， 所以在上的投影向量为. 故选：D 2．（2024高三上·陕西榆林·阶段练习）已知非零向量，满足，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用向量数量积与模长关系结合二次函数的性质计算即可. 【详解】因为， 所以，当且仅当时，等号成立. 故选：B 3．（2024高一下·吉林长春·阶段练习）在中，下列命题正确的个数是（    ） ①；②；③若，则为等腰三角形；④，则为锐角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据向量的运算公式，即可判断选项. 【详解】①，故①错误；②.故②正确； ③，则，为等腰三角形，故③正确； ④若，只能说明中，角是锐角，不能说明其它角的情况，所以不能判断为锐角三角形，故④错误. 故选：B 4．（2024高一下·全国·专题练习）对于任意向量，下列命题中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的数量积及向量加法法则，逐项分析判断即得. 【详解】，当且仅当共线时取等号，A错误； 由向量加法的三角形法则知，，当且仅当同向或至少一个为零向量时取等号，B错误； 是与共线的向量，是与共线的向量，因此与不一定相等，C错误； ，因此，D正确. 故选：D 5．（2024高三上·河南·期末）已知向量的夹角为，，若，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积及向量垂直关系求解即可. 【详解】因为向量的夹角为，， 所以， 又， 所以， 即， 所以， 即， 解得：或（舍去）， 故选：D. 6．（2024高一下·广东深圳·阶段练习）已知等边的边长为，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义计算即得. 【详解】等边的边长为1，则， ， 所以. 故选：D 7．（2024高一下·北京海淀·期末）已知向量，是两个单位向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量的夹角得出差向量的模长判断充分条件,举反例判断是不是必要条件即得 【详解】由向量，是两个单位向量，且与的夹角为锐角，可设. 则， 因为，所以，所以， 故“与的夹角为锐角”是“”的充分条件； 若，则 ，但此时，不是锐角， 所以“与的夹角为锐角”是“”的不必要条件. 总之，“与的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件. 故选：A 8．（2024高一下·重庆·阶段练习）在中，，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰（非等边）三角形 【答案】D 【分析】结合条件利用数量积的运算律得，再根据数量积的定义求得，即可判断三角形的形状. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以，即， 又，所以，所以， 所以为等腰非等边三角形. 故选：D 9．（2024高一下·全国·单元测试）下列向量一定与向量垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用可得答案. 【详解】分别是方向上的单位向量，设， ， 一定与向量垂直的是， 故选：A. 10．（2024高三·全国·专题练习）若单位向量，的夹角为，向量（），且 ，则（    ） A． B．－ C． D．－ 【答案】B 【分析】根据，利用向量数量积的计算公式，展开计算求的值. 【详解】由题意可得：， ， 化简得，解得. 故选：B. 11．（2024高二上·四川成都·开学考试）在中，，M是边的中点，O为的外心，则（    ） A．8 B． C．16 D．17 【答案】B 【分析】根据题意可将向量数量积转化到向量上去，再代入数据即可计算得出结论. 【详解】由题意，取的中点为，连接，如下图所示：    易知，； 可得， 又，同理； 所以 故选：B 12．（2024高三上·河南驻马店·期中）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设向量，的夹角为，求得的表达式，利用平方的方法，结合余弦函数的值域等知识求得正确答案. 【详解】设向量，的夹角为，则， 因为， 所以， 令，则， 因为，所以，又，所以. 故选：C 二、多选题 13．（24-25高三上·湖北随州·阶段练习）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与的夹角为 【答案】AC 【分析】由两边平方，可得，再由垂直和向量夹角公式逐项判断. 【详解】因为，且|，所以， 则，则，故A正确； 因为，所以与不垂直，故B错误； ，又向量夹角， 所以a与b的夹角为，故C正确，D错误. 故选：AC. 14．（2024·全国·模拟预测）设，是两个非零向量，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据向量关系式表示垂直和平行，以及向量的数量积公式即可逐个选项判断. 【详解】对于选项A，因为，，是两个非零向量，所以，故A错误； 对于选项B，，所以， 又，所以，所以，故B正确； 对于选项C，因为，所以，所以，故C正确； 对于选项D，因为，所以，从而， 所以，故D正确. 故选：BCD 15．（2024高一下·湖南益阳·阶段练习）下列说法不正确的有（    ） A．若，，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】根据向量的有关概念逐一判断即可. 【详解】若，，则，故A正确； 对于B，当有一个为零向量时不成立，故B错误； 对于C，当与垂直时，可得，但推不出，故C错误； 对于D，当时不成立，故D错误， 故选：BCD. 16．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）设单位向量满足，则下列结论正确的是（    ） A．与的夹角为 B． C． D．在的方向上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】将平方，可得，可判断A，B；由向量模长公式分别计算，验证C；由投影向量公式验证D. 【详解】由于， 又因为，所以，故，故B正确，A错误； 因为，故， 又，故，所以，C正确； 在的方向上的投影向量为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 17．（2024高三上·北京·阶段练习）已知，，，若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用数量积的定义，再根据条件得到，从而得到，再去掉与共线同向时，的取值，即可求出结果. 【详解】因为与的夹角为锐角，又， 所以， 又，，，所以， 解得，又因， 当时，也满足，此时不合题意， 当与共线同向时，有，从而得到，解得， 又，所以实数t的取值范围是， 故答案为：. 18．（2024高三上·云南德宏·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，，则 . 【答案】13 【分析】根据向量数量积的定义及运算性质求解即可得到答案. 【详解】∵向量与的夹角为，且，， ∴. 故答案为：13. 19．（2024·重庆·一模）已知向量满足，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】由，得，而， 则，所以. 故答案为： 20．（上海市控江中学2024届高三上学期9月月考数学试题）已知平面向量，满足，且向量，的夹角为，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【分析】先求出数量积，再根据数量积的几何意义求解即可. 【详解】因为，且向量，的夹角为， 所以， 所以在方向上的数量投影为. 故答案为：. 21．（2024·全国·模拟预测）已知，是单位向量，向量满足，且，则 ． 【答案】/ 【分析】利用平面向量数量积的运算法则，得到关于与的方程组，解之即可得解. 【详解】因为，两边平方，得，所以． 因为，两边平方，得，所以． 代入上式，得，所以． 故答案为：. 22．（2024·全国·模拟预测）已知向量的夹角为，，则 ， ． 【答案】 2 【分析】根据向量垂直的表示得，利用数量积的运算性质计算可得；根据与，结合数量积的运算性质求解可得出. 【详解】由向量的夹角为，且， 得， 所以． 因为， ， 所以． 故答案为：2，. 23．（2024高二上·上海·阶段练习）单位向量，，两两之间的夹角都是，求 . 【答案】 【分析】由题意得，，两两之间夹角都是，展开后利用数量积的定义直接运算再开方即可得解. 【详解】由题意得单位向量，，且两两之间夹角为， 所以， ， 所以. 故答案为：. 四、解答题 24．（24-25高三上·上海·期中）已知，且. (1)求向量与的夹角大小； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果； （2）由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由可得， 即， 所以，解得， 且，所以. （2） . 25．（2024高一下·浙江嘉兴·期末）已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题设条件得到，然后利用数量积的定义求夹角； （2）将表示为的函数，然后求该函数的最小值. 【详解】（1）由，可得， 又，所以，又，所以； （2）因为， 所以. 所以的最小值为，且取到最小值时. 26．（2024高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知向量，满足，，且，的夹角为． (1)求； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积的运算律有，结合已知即可求模长； （2）由向量垂直及数量积运算律列方程求参数值即可. 【详解】（1）由，则. （2）由题意， 所以. 27．（2024·四川德阳·一模）平面向量，满足 (1)若在上的投影向量恰为的相反向量，求实数t的值； (2)若为钝角，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据投影向量的定义及数量积的运算律求解即可； （2）结合利用向量夹角的余弦与数量积的定义，及向量共线的表示求解即可. 【详解】（1）由题意得， 则，即， 因为，则， 所以， ， 所以，解得. （2）由（1）知，， 因为为钝角，所以，即， 若共线，设，即 则，解得或， 要使为钝角，则且， 即实数t的取值范围为． 28．（2024高一下·广东广州·期中）已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出，可求得. （2）根据投影向量的计算公式计算即可. （3）利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）由向量与的夹角，且，，得， ， 所以. （2）在上的投影向量为. （3），则， 所以向量与夹角的余弦值为. 29．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知． (1)求； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）平方转化为数量积的运算求解； （2）垂直化为数量积为0，由此可得参数值． 【详解】（1）， 则， 故； （2）， 则， 即，解得． 30．（2024高一上·浙江宁波·期末）单位向量，满足. (1)求与夹角的余弦值： (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积的运算法则求得，再由模长与数量积求得与夹角的余弦值； （2）由题意得且与不共线，从而得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以，即，则， 则，即与夹角的余弦值. （2）因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线， 当与共线时，有，即， 由（1）知与不共线，所以，解得， 所以当与不共线时，， 由，得， 即，解得， 所以且，即实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题05 向量的数量积8题型分类 一、两向量的夹角与垂直 1．夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示). 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向． 2．垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 二、向量数量积的定义 非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 三、投影向量 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. 四、平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量. (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 五、平面向量数量积的运算律 1.a·b＝b·a(交换律). 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). （一） 求两向量的数量积 求平面向量数量积的方法：计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. 题型1：向量数量积的概念辨析 1．（2024高一下·甘肃兰州·期末）等边三角形中，与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一下·江西上饶·阶段练习）在等腰梯形 中，，，则下列各组向量夹角为的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（2024高一下·全国·单元测试）以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（    ） A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的 B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的 C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角 D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直 4．（2024高二上·四川成都·期中）下列说法正确的是（    ） A．对任意向量，都有 B．若且，则 C．对任意向量，都有 D．对任意向量，都有 5．（2024高一下·四川乐山·期末）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，，则 D．，则 6．（2024高二上·上海浦东新·期中）下列结论中正确的有 ． ①“与共线”是“存在实数使”的必要非充分条件 ②；③或；④； ⑤，其中；⑥若，则为钝角； 题型2：求两向量的数量积 7．（2024高二上·江西新余·开学考试）已知向量与的夹角为，，，则 ． 8．（2024·江苏南通·一模）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．2 9．（2024高三上·云南曲靖·阶段练习）已知向量、满足，，且与夹角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D．12 10．（2024高一下·山西运城·期中）设，为单位向量，且，的夹角为，若，，则 ． 11．（2024高一下·福建厦门·阶段练习）是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则 ． 12．（2024·安徽·一模）在三角形中，，，，则（    ） A．10 B．12 C． D． 13．（2024高二上·贵州黔东南·期末）在矩形中，，点分别是的中点，则 ． 14．（2024·全国·模拟预测）如图，平行四边形中，，且，为边的中点，在上投影向量是，则 .    题型3：向量数量积的最值 15．（2024高一下·北京西城·期末）已知点，点，点都在单位圆上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（2024高一下·河北衡水·期末）如图，在边长为的等边中，点为中线上的动点，点为的中点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（2024高一下·江苏徐州·期中）已知正方形的边长为，为正方形内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（2024高一下·重庆南岸·阶段练习）如图，在中，已知，点D，E分别在边AB，AC上，且，，点F为线段DE上的动点，则的取值范围是 .    题型4：利用向量数量积的平面图形形状 19．（2024高二上·甘肃临夏·期中）在中，若，则三角形ABC为 三角形.（填“锐角”､“钝角”或“直角”） 20．（2024高一下·福建泉州·期中）中，，，则为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 21．（2024高一下·山东青岛·期中）在中，，若，则下列结论正确的为（    ） A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形 C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形 22．（2024高一下·山西朔州·期末）在中，下列说法错误的是（    ） A．“”是“A为直角”的充要条件 B．“”是“A为锐角”的充要条件 C．“”是“是锐角三角形”的充分不必要条件 D．“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件 23．（2024高一下·北京·期中）在平行四边形中，，则平行四边形一定是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 24．（2024高一下·四川自贡·期中）若四边形满足，，则该四边形一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形 （二） 向量的模和夹角的计算问题 1、(1)向量的模：利用a·a＝|a|2或|a|＝来求解. (2)向量的夹角：利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角. 2、(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方. (2)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解. 题型5：向量的模 25．（2024高一下·上海浦东新·阶段练习）已知向量、满足，，则 . 26．（2024高一下·江苏连云港·阶段练习）已知向量的夹角为，，则 . 27．（2024高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知向量，满足，，，则 . 28．（2024高一上·浙江宁波·期末）已知，，且，的夹角为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 29．（2024·四川甘孜·一模）已知平面向量，且与的夹角为，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 30．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量满足，则实数的值为 ． 31．（2024高一下·宁夏石嘴山·期末）已知向量，满足，在方向上的投影向量为，则的最小值为 . 题型6：向量的夹角 32．（2024·全国）设非零向量，满足，，则向量的夹角等于（    ） A． B． C． D． 33．（2024高一上·湖北·期末）若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（    ） A． B． C． D． 34．（2024高三上·山东烟台·期末）已知，则向量与夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 35．（2024高一下·广东湛江·期中）在平行四边形中，，，若，，则与夹角的余弦值是 . 36．（2024高一下·安徽芜湖·期中）已知向量与的夹角为，且，．向量与共线， (1)求实数的值； (2)求向量与的夹角． 37．（2024高三上·陕西·阶段练习）已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 38．（2024高一下·广东揭阳·期中）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（    ） A． B． C． D． （三） 与垂直有关的向量问题 解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量). 题型7：与垂直有关的向量问题 39．（2024高一下·贵州遵义·期末）已知单位向量，，则使成立的充分条件是（    ） A． B． C． D． 40．（2024高一上·浙江宁波·期末）设，为两个单位向量，且，若与垂直，则 . 41．（2024高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知向量，的夹角为，，且向量与垂直，则实数（    ） A．2 B． C． D．2 42．【多选】（2024高一下·广东佛山·阶段练习）是边长为2的等边三角形，已知向量、满足，，则下列结论中正确的是（    ）． A．为单位向量 B． C． D． （四） 投影向量 (1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定． (2)向量a在b方向上的投影向量·. (3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θ. 题型8：向量的投影 43．（2024高一下·河北·阶段练习）设为单位向量，，当，的夹角为时，在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 44．（2024高三上·云南·阶段练习）已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 45．（2024高一下·天津·期中）已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 46．（2024高一下·黑龙江大庆·期末）已知非零向量，满足，则在上的投影向量为 ． 47．（2024高一下·浙江金华·阶段练习）已知平面向量满足，且，则在上投影向量为，则 ． 48．（2024高一下·湖北黄冈·期中）已知向量、的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影是 ． 一、单选题 1．（2024高一上·浙江宁波·期末）已知，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三上·陕西榆林·阶段练习）已知非零向量，满足，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 3．（2024高一下·吉林长春·阶段练习）在中，下列命题正确的个数是（    ） ①；②；③若，则为等腰三角形；④，则为锐角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024高一下·全国·专题练习）对于任意向量，下列命题中正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024高三上·河南·期末）已知向量的夹角为，，若，则（    ） A．3 B． C．2 D． 6．（2024高一下·广东深圳·阶段练习）已知等边的边长为，那么（    ） A． B． C． D． 7．（2024高一下·北京海淀·期末）已知向量，是两个单位向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2024高一下·重庆·阶段练习）在中，，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰（非等边）三角形 9．（2024高一下·全国·单元测试）下列向量一定与向量垂直的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024高三·全国·专题练习）若单位向量，的夹角为，向量（），且 ，则（    ） A． B．－ C． D．－ 11．（2024高二上·四川成都·开学考试）在中，，M是边的中点，O为的外心，则（    ） A．8 B． C．16 D．17 12．（2024高三上·河南驻马店·期中）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（24-25高三上·湖北随州·阶段练习）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与的夹角为 14．（2024·全国·模拟预测）设，是两个非零向量，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15．（2024高一下·湖南益阳·阶段练习）下列说法不正确的有（    ） A．若，，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，则 D．若，，则 16．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）设单位向量满足，则下列结论正确的是（    ） A．与的夹角为 B． C． D．在的方向上的投影向量为 三、填空题 17．（2024高三上·北京·阶段练习）已知，，，若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是 ． 18．（2024高三上·云南德宏·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，，则 . 19．（2024·重庆·一模）已知向量满足，则 ． 20．（上海市控江中学2024届高三上学期9月月考数学试题）已知平面向量，满足，且向量，的夹角为，则在方向上的数量投影为 . 21．（2024·全国·模拟预测）已知，是单位向量，向量满足，且，则 ． 22．（2024·全国·模拟预测）已知向量的夹角为，，则 ， ． 23．（2024高二上·上海·阶段练习）单位向量，，两两之间的夹角都是，求 . 四、解答题 24．（24-25高三上·上海·期中）已知，且. (1)求向量与的夹角大小； (2)求. 25．（2024高一下·浙江嘉兴·期末）已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 26．（2024高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知向量，满足，，且，的夹角为． (1)求； (2)若，求实数的值． 27．（2024·四川德阳·一模）平面向量，满足 (1)若在上的投影向量恰为的相反向量，求实数t的值； (2)若为钝角，求实数t的取值范围． 28．（2024高一下·广东广州·期中）已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 29．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知． (1)求； (2)若，求实数的值． 30．（2024高一上·浙江宁波·期末）单位向量，满足. (1)求与夹角的余弦值： (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$