第20章　数据的初步分析 课件 2024-2025学年 沪科版数学八年级下册

第3课时　中位数与众数 1．中位数 一般地，当将一组数据按大小顺序排列后，位于正中间的一个数据(当数据的个数是奇数时)或正中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫做这组数据的中位数． 2．众数 一般地，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． 大小 正中间 正中间 平均数 最多 5月1日至7日，某市每日最高气温如图， 则最高气温的中位数是____℃. 【思路分析】先把这些数按照从小到大的顺序排列，即可求出中位数． 【自主解答】 【名师支招】求一组数据的中位数时，先把这组数据按照由小到大或由大到小的顺序排列，再根据该组数据的个数来确定中位数． 27 【易错原因】误认为众数只有一个 如果一组数据3，2，2，4，x的平均数是3，则这组数据的众数是________． 【自主解答】 2和4 知识点1：中位数 1．一组数据5，4，2，5，6的中位数是 （ ） A．5 B．4 C．2 D．6 A 2．(株洲中考)某路段的一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的车速数据如下：67，63，69，55，65，则该组数据的中位数为 （ ） A．63 B．65 C．66 D．69 B 3．数据2，5，6，7，x的平均数是5，则这组数据的中位数是5 . 5 知识点2：众数 4．(湖州中考)统计一名射击运动员在某次训练中10次射击的中靶环数，获得如下数据：7，8，10，9，9，8，10，9，9，10.这组数据的众数是 （ ） A．7 B．8 C．9 D．10 C 5．八(1)班12名同学练习定点投篮，每人各投10次，进球数统计如下： 这12名同学进球数的众数是3个． 3 进球数/个 人数/人 1 1 2 1 3 4 4 2 5 3 7 1 知识点3：平均数、中位数、众数的选择 6．某商场对上周某品牌运动服的销售情况进行了统计，结果如下表： 经理决定本周进货时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计量是 （ ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．平均数与众数 C 颜色 数量/件 黄色 120 绿色 150 白色 230 紫色 75 红色 430 7．某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定7名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中小明已经知道自己的成绩，但能否进前四名，他还必须清楚这7名同学成绩的中位数 (选填“平均数”“众数”或“中位数”)． 中位数 8．某校为了解全校同学五一假期参加社团活动情况，抽查了100名同学，统计出他们假期参加社团活动的时间，绘成频数分布直方图(如图)，则参加社团活动时间的中位数所在的范围是 ( ) A．4～6 h B．6～8 h C．8～10 h D．不能确定 B 9．已知一组从小到大排列的数据：1，x，y，2x，6，10的平均数与中位数都是5，则这组数据的众数是6 . 6 10．如图是某市交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速(单位：km/h)情况． (1)计算这些车辆的平均车速； (2)大多数车以哪个速度行驶？ (3)车速的中位数是多少？ 解：(1)平均车速为 ＝42.6(km/h)． (2)大多数车以42 km/h的速度行驶． (3)车速的中位数是42.5 km/h. 11．(安徽中考)端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级举行了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩(单位：分)均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是1，七年级活动成绩的众数为8分； (2)a＝2，b＝3； (3)若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 1 8 2 3 解：(3)不是，理由：七年级平均成绩： 8×50%＋7×10%＋10×20%＋9×20%＝8.5(分)， 优秀率：20%＋20%＝40%； 八年级平均成绩： ＝8.3(分)， 优秀率： ×100%＝50%. ∵8.5>8.3，40%<50%， ∴八年级的优秀率更高，但是平均成绩更低． ∴不是优秀率高的年级平均成绩也高． 第2课时　用样本方差估计总体方差 知识点：用样本方差估计总体方差 1．为了比较甲、乙两种水稻秧苗谁出苗更整齐，每种秧苗各随机抽取50株，分别量出每株的长度，发现甲、乙两组秧苗的平均长度一样，方差分别是10.9，9.9，则出苗更整齐的是 （ ） A．甲 B．乙 C．甲、乙一样 D．无法确定 B 2．从总体中抽取一个样本，计算出样本方差为3，可以估计总体方差（ ） A．一定大于3 B．约等于3 C．一定等于3 D．与样本方差无关 B 3．为了解甲、乙两台机床加工出来的零件的精确度，对它们的误差进行了抽查，结果如下表(不足标准长记为负，单位：mm)．哪台机床的性能好些？ 甲 乙 －1 0 2 1 －2 5 －2 －3 3 －3 解：x甲＝×(－1＋2－2－2＋3)＝0， x乙＝×(0＋1＋5－3－3)＝0， ＝×(12＋22＋22＋22＋32)＝， ＝×(12＋52＋32＋32)＝. ∵＜，x甲＝x乙， ∴甲台机床的性能较好． 4．质量检查员随机抽取甲、乙、丙、丁四台机器生产的20个乒乓球的直径(单位：cm，规格是直径4 cm)，整理后的平均数和方差如下表，那么这四台机器生产的乒乓球既标准又稳定的是 （ ） A.甲 B．乙 C．丙 D．丁 A 机器 平均数 方差 甲 4.01 0.03 乙 3.98 2.4 丙 3.99 1.1 丁 4.02 0.3 5．某中学开展“庆五四”歌咏比赛活动，八(1)班、八(2)班各选出5名选手参加比赛，两个班选出的5名选手的比赛成绩(单位：分，满分为100分)如图所示． (1)根据图示填写下表： (2)请计算八(1)班和八(2)班的平均成绩各是多少分； (3)请计算八(1)班、八(2)班的比赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩比较稳定． 班级 八(1)班 八(2)班 中位数/分 80 众数/分 85 85 100 解：(2)八(1)班的平均成绩为(75＋80＋85＋85＋100)＝85(分)， 八(2)班的平均成绩为 (70＋100＋100＋75＋80)＝85(分)． (3)＝[(75－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(85－85)2－(100－85)2]＝70， ＝[(70－85)2＋(100－85)2＋(100－85)2＋(75－85)2＋(80－85)2]＝160. ∵160＞70，∴八(1)班的成绩比较稳定． 20．3　综合与实践　体重指数 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 知识点：数据分析在体重指数中的应用 1．体重指数是目前使用最广泛的反映人体胖瘦的重要指标，肥胖的体重指数是 ( ) A．大于26.9　　　　　　 B．23.9－26.9 C．18.5－23.9 D．小于18.5 A 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 2．调查某校七年级学生的体重指数，随机抽取了100名学生的体重指数进行统计，如下表： 已知该校七年级有800名学生，那么估计体重状况属于正常的有36 0人． 360 体重状况 体重指数 人数 消瘦 x＜18.5 22 正常 18.5≤x≤23.9 45 超重 23.9＜x≤26.9 28 肥胖 x＞26.9 5 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 3．现代营养学家用身体质量指数B来判断人体的健康状况，这个指数等于人体体重m(kg)除以人体身高h(m)的平方所得的商．一个健康人的身体质量指数在20～30之间；身体质量指数低于20，属于不健康的瘦；身体质量指数高于30，属于不健康的胖． (1)写出B与m，h之间的关系式； (2)小张的身高是1.80 m，体重85 kg，请判断小张的身体是否健康． (2)∵B＝≈26.2，∴小张的身体健康． 解：(1)B＝. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 4．(核心素养·数据分析观念)国际流行的体重指数法(BMI)(Body Mass Index的缩写)和最新的亚太地区肥胖指标，即体重(kg)与身高(m)的平方的比值，结果大于23.9即为超重，大于26.9即为肥胖，介于18.5与23.9(指大于或等于18.5，且小于或等于23.9)之间属于正常，小于18.5即为消瘦．为了了解某校八年级男生的体重指数，现从中随机抽取部分学生的身高和体重进行计算后统计如下： 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 体重指数统计表 (1)求出m，n，x，y的值及抽取的这部分学生的体重指数的中位数； (2)已知该校八年级有500名学生，请估计一下体重状况达到肥胖的人数； (3)你有怎样的建议？ 体重指数 人数 百分比/% 17.2 m 10 20.3 13 26 22.8 n 24 24.5 15 x 30 5 y 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (2)∵大于26.9即为肥胖，体重指数为30的有5人，所占比例为10%， ∴体重状况达到肥胖的人数为500×10%＝50(人)． (3)由体重指数统计表可得出：学生偏胖的较多，体重正常的只有50%，同学们应注意饮食习惯，加强锻炼，保持正常体重． 解：(1)由体重指数统计表可得 一共抽取了13÷26%＝50(人)． ∴m＝50×10%＝5，n＝50×24%＝12， x＝×100＝30，y＝×100＝10. ∵一共有50个数据，第25，26个数据的平均数为22.8，∴中位数为22.8. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 $$第4课时　用样本平均数估计总体平均数 现实生活中，总体平均数一般难以计算出来，通常我们就用样本平均数估计总体平均数．如果样本容量太小，往往差异较大． 样本平均数 样本容量 台风过后，某中学八(1)班共40名同学开展了“我为宝岛献爱心”的捐款活动．捐款活动结束后，生活委员小林将捐款情况进行了统计，并绘制成如图所示的统计图． (1)求这40名同学捐款的平均数； (2)若该校共有学生1 200名，请根据 该班的捐款情况，估计这个中学的捐款总数． 【思路分析】(1)根据加权平均数的意义计算40名同学捐款的平均数；(2)用样本平均数估计总体平均数，进行计算． 【自主解答】 【名师支招】平均数受样本中每一个数据的影响，代表了样本数据的平均水平，用样本平均数的大小可近似地估计总体平均数的大小. (1)由统计图得这40名同学捐款的平均数为 (20×9＋30×12＋50×16＋100×3)÷40＝41(元)． (2)这个中学的捐款总数大约为 41×1 200＝49 200(元)． 知识点：用样本平均数估计总体平均数 1．某校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生各自平均每天的课外阅读时间，并绘制成条形统计图(如图)，据此可以估计出该校所有学生平均每人每天的课外阅读时间为 ( ) A．1 h B．0.9 h C．0.5 h D．1.5 h A 2．为了解某校九年级学生每天的睡眠时间情况，随机调查了该校九年级20名学生，将所得数据整理并制成下表： 据此估计该校九年级学生每天的平均睡眠时间大约是7 h. 7 睡眠时间(h) 学生人数 6 8 7 6 8 4 9 2 3．随机抽查某商场四月份5天的营业额如下(单位：万元)：3.4，2.9，3.0，3.1，2.6，试估计这个商场四月份的营业额是90万元． 4．有人对某旅游区旅客人数进行了10天统计，结果有3天是每天800人，有2天是每天1 200人，有5天是每天700人．若该月按30天计算，则该月大约有旅客24 900人． 90 24 900 5．某班环卫小组为了宣传环保的重要性，随机调查了本班10名同学的家庭在同一天内丢弃垃圾的情况，经统计，丢弃垃圾的质量如下(单位：kg)： 2　3　3　4　4　3　5　3　4　5 若这个班共有50名同学，请根据上述数据的平均数，估算这50个家庭在这一天丢弃垃圾的总质量． 解：这10名同学的家庭丢弃垃圾的平均质量为 ＝3.6(kg)， 估算这50个家庭在这一天丢弃垃圾的总质量为50×3.6＝180(kg)． 6．某家庭搬进新居后又添置了新的电冰箱、电热水器等家用电器，为了了解用电量的大小，该家庭在6月份初连续几天观察电表的度数，电表显示的度数见下表： 估计这个家庭六月份用电度数为 ( ) A．105度 B．108.5度 C．120度 D．124度 C 日期 电表显示度数/度 1 115 2 118 3 122 4 127 5 133 6 136 7 140 8 143 7．某鱼塘放养鱼苗10万条，根据以前的经验知道，鱼苗成活率为95%.一段时间后准备打捞出售，第一次网出40条，称得平均每条鱼重2.5 kg.第二次网出25条，称得平均每条鱼重2.2 kg.第三次网出35条，称得平均每条鱼重2.8 kg.由此估计鱼塘中鱼的总重量大约是24 万kg(精确到万位)． 24 8．(南京中考)随机抽取某理发店一周的营业额见下表(单位：元)： (1)该店本周的日平均营业额为1 08 0元； (2)如果用该店本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额，你认为是否合理？如果合理，请说明理由；如果不合理，请设计一个方案，并估计该店当月(按30天计算)的营业总额． 1 080 星期一 540 星期二 680 星期三 760 星期四 640 星期五 960 星期六 2 200 星期日 1 780 合计 7 560 解：(2)因为在周一至周日的营业额中周六、日的营业额明显高于其他五天的营业额，所以去掉周六、日的营业额对平均数的影响较大，故用该店本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额不合理． 方案：用该店本周一至周日的日均营业额估计当月营业额，当月的营业额为30×1 080＝32 400(元)． 9．(核心素养·数据分析观念)某校各年级部分学生进行了脊柱健康状况筛查．根据筛查情况，李老师绘制了两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题： 抽取的学生脊柱健康情况统计表 类别 A B C D 检查结果 正常 轻度侧弯 中度侧弯 重度侧弯 人数 170 20 7 3 20 3 (1)求所抽取的学生总人数； (2)该校共有学生1 600人，请估算脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数； (3)为保护学生脊柱健康，请结合上述统计数据，提出一条合理的建议． 解：(1)170÷85%＝200(人)． ∴所抽取的学生总人数为200人． (2)1 600×(1－85%－10%)＝80(人)． ∴估计脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数是80人． (3)答案不唯一，例如：该校学生脊柱侧弯人数占比为15%，说明该校学生脊柱侧弯情况较为严重，建议学校要每天组织学生做护脊操等． 第2课时　加权平均数综合运用 一般地，对于求平均数，可统一用下面的公式： x＝＝(f1＋f2＋…＋fk＝n，k≤n)．其中f1，f2，…，fk分别表示数据x1，x2，…，xk出现的次数，或者表示数据x1，x2，…，xk在总结果中的比重，我们称其为各数据的权，x叫做这k个数据的加权平均数． 权 加权平均 数 知识点：加权平均数 1．在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组8名同学捐款的金额如下表： 这8名同学捐款的平均金额为 （ ） A．15元 B．14元 C．13.5元 D．13元 D 金额/元 人数 10 2 12 3 14 2 20 1 2．(青岛中考)小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是9分、8分、8分．若将三项得分依次按3∶4∶3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为8. 3分． 3．有m个数的平均数是x，n个数的平均数为y，则(m＋n)个数的平均数为. 8.3 4．某部官兵军事训练结束时，进行射击考核，一名士兵射击成绩如下：射中10环3次，射中9环8次，射中8环7次，射中7环1次，脱靶1次．求这名士兵的平均成绩． 解：x＝＝8.25(环)． 答：这名士兵的平均成绩是8.25环． 5．(益阳中考)小刘利用空闲时间到某建筑公司兼职，公司承诺：正常上班的工资为200元/天，不能正常上班(如下雨)的工资为80元/天，如果某月(30天)正常上班的天数占80%，则当月小刘的日平均工资为 （ ） A．140元 B．160元 C．176元 D．182元 C 6．某小组10名同学双休日参加户外活动的时间如图所示，则这10名同学双休日参加户外活动时间的平均数是2.6 h. 2.6 7．小青本学期的数学成绩如下表所示(成绩均取整数)： (1)计算小青本学期的平时平均成绩； 测验 类别 测验 类别 成绩/分 平时 测验1 88 平时 测验2 70 平时 测验3 96 平时 课题学习 86 期中 考试 期中 考试 85 期末 考试 期末 考试 x 解：(1)小青本学期的平时平均成绩为 (88＋70＋96＋86)÷4＝85(分)． (2)如果学期的总评成绩是根据扇形图所示的权重计算，那么本学期小青的期末考试成绩x至少为多少分才能保证达到总评成绩90分的最低目标？ (2)依题意， 得85×10%＋85×30%＋60%x≥90， 解得x≥93. 答：小青的期末考试成绩至少为94分才能保证达到目标． 第20章　数据的初步分析 20．1　数据的频数分布 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 1．频数与频率概念：把一批数据中落在某个小组内数据的个数称为这个组的频数；如果一批数据共有n个，而其中某一组数据是m个，那么就是该组数据在这批数据中出现的频率． 数据的个数 频率 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 2．分析一组数据的分布情况，可按下列步骤整理：(1)求最大数与最 小的差．(2)决定组距和组数：组数＝.(3)决定分点：为保证每个数据都分在各组内，一般地把表示分点的数比原数据多取一 位 ．(4)列频数分布表．(5)画频数直方图． 最大数 最小数 一位小数 频数分布 频数直方图 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 某学校学生自主建立了一个学习用品义卖平台，已知九年级200名学生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示，那么义卖所得金额为20～30元这个小组的频率是________． 【思路分析】频率＝频数÷总数． 【自主解答】 0.25 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 【易错原因】混淆频数与频率的概念 在对n个数据进行整理的频数分布表中，各组的频数与频率之和分别为 ( ) A．n，1　　 B．n，n　　 C．1，n　　 D．1，1 【自主解答】 A 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 知识点1：频数与频率 1．在一个样本中，40个数据分别落在4个组内，第一、二、四组数据个数分别为5，12，8，则第三组的频数为 （ ） A．15 B．25 C．0.375 D．0.6 A 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 2．在“We like maths.”这个句子中字母“e”出现的频率是. 3．一次跳远比赛中，成绩在4.05 m以上的有8人，频率为0.4，则参加比赛的运动员共有20 人． 20 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 知识点2：频数分布表与频数分布直方图 4．一个容量为80的样本，最大数据为148，最小数据为50，取组距为10，则可分成 （ ） A．10组 B．9组 C．8组 D．7组 A 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 5．某养猪场对200头生猪的质量进行统计，得到频数直方图(每一组含前一个边界值，不含后一个边界值)如图所示，其中质量在77.5 kg及以上的生猪有140 头． 140 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 6．某地某月1～20日中午12时的气温(单位：℃)如下： 22　31　25　15　18　23　21　20　27　17 20　12　18　21　21　16　20　24　26　19 (1)将下面的频数分布表补充完整； 气温x/℃ 划记 频数 12≤x＜17 3 17≤x＜22 正正 10 22≤x＜27 正 5 27≤x＜32 2 解：(1)如表所列． 正正 10 正 5 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (2)补全频数直方图； (2)如图所示． (3)根据频数分布表或频数分布直方图，分析数据的分布情况． (3)由图可知，17≤x＜22的天数最多，有10天．(答案不唯一) 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 7．某频数直方图由五个小长方形组成，且从左到右五个小长方形高的比为3∶5∶4∶2∶3，若左边第一小组频数为12，则数据总数为 （ ） A．60 B．64 C．68 D．72 C 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 8．某社区举行歌唱比赛，共500名选手参加，比赛分数均大于或等于60且小于100，分数段的频率分布情况如表格所示(其中每个分数段包括最小值，不包括最大值)，结合表格中的信息，可得比赛分数在80～90分数段的选手有150名． 分数段 60～70 70～80 80～90 90～100 频数 0.2 0.25 0.25 150 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 9．小文同学统计了某栋居民楼中全体居民每周使用手机支付的次数，并绘制了如图直方图．根据图中信息，有下列说法：①该居民楼共有居民140人；②每周使用手机支付次数28～35次的人数最多；③有的人每周使用手机支付的次数在35～42次；④每周使用手机支付不超过21次的有15人．其中正确的有②③ (选填序号)． ②③ 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 10．在一次社会实践活动中，为了了解每户居民月使用自来水的情况，小明所在的小组随机调查了60户家庭的某月用水量，将收集的数据(取整数)进行整理后，分成五组，并制成统计表． 请结合表中提供的信息解答下列问题： (1)请补全上表中数据； 用水量/t 4～6 7～9 10～12 13～15 16～18 用户数/户 6 12 21 15 6 频率 0.1 0.2 0.35 0.25 0.1 15 0.2 0.25 解：(1)如表． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (2)请计算该月用水量超过12 t的家庭占所调查用户的百分数． (2)(0.25＋0.1)×100%＝35%. 答：该月用水量超过12 t的家庭占所调查用户的百分数为35%. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 11．在太空种子种植体验实践活动中，为了解“宇番2号”番茄，某校科技小组随机调查60株番茄的挂果数量x(单位：个)，并绘制如下不完整的统计图表： 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 “宇番2号”番茄挂果数量统计表 挂果数量x/个 频数/株 频率 25≤x<35 6 0.1 35≤x<45 12 0.2 45≤x<55 a 0.25 55≤x<65 18 b 65≤x<75 9 0.15 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 “宇番2号”番茄挂果数量频数分布直方图 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 请结合图表中的信息解答下列问题： (1)统计表中a＝15，b＝0.3； (2)将频数分布直方图补充完整； 15 0.3 解：(2)补图如图所示． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (3)若绘制“番茄挂果数量扇形统计图”，则挂果数量在“35≤x<45”所对应扇形的圆心角度数是多少？ (4)若所种植的“宇番2号”番茄有1 000株，估计挂果数量在“55≤x<65”范围的番茄有多少株？ (3)挂果数量在“35≤x<45”所对应扇形的圆心角度数是360°×0.2＝72°. (4)挂果数量在“55≤x<65”范围的番茄有1 000×0.3＝300(株)． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 $$20.2.2　数据的离散程度 第1课时　方　差 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 1．设一组数据是x1，x2，…，xn，它们的平均数是x，我们用 (x1－x )2＋(x2－x)2＋…＋(xn －x)2]来衡量这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差． 2．一组数据方差越大，说明这组数据的离散程 度越大． s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2] 离散程度 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 某校组织数学学科竞赛为参加区级比赛做选手选拔工作，经过多次测试后，有四位同学成为晋级的候选人，具体情况如下表，如果从这四位同学中选出一名晋级(总体水平高且状态稳定)，你会推荐____． 甲 乙 丙 丁 平均分 92 94 94 92 方差 35 35 23 23 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 【思路分析】由表格知，乙、丙平均成绩最高，并且丙的方差又最小，由此可得出正确答案． 【自主解答】 【名师支招】方差是用来衡量一组数据的波动大小的量，方差越小，数据的波动越小． 丙 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 【易错原因】对方差的计算方法不熟练 一组数据3，4，5，x，8的众数是5，则这组数据的方差是________． 【自主解答】 2.8 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 知识点1：方差的计算 1．(眉山中考)已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的方差为（ ） A．2 B．4 C．6 D．10 A 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 2．方差是刻画数据波动程度的量，对于一组数据x1，x2，x3，…，x20，可用如下算式计算方差：s2＝[(x1－8)2＋(x2－8)2＋(x3－8)2＋…＋(x20－8)2]，其中“8”是这组数据的平均数． 平均数 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 知识点2：方差的应用 3．在体育课上，甲、乙两名同学分别进行了5次跳远测试，经计算，他们的平均成绩相同．若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的 （ ） A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差 D 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 4．在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为＝1.45，＝0.85，则考核成绩更为稳定的运动员是乙(选填“甲”或“乙”)． 乙 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 5．甲、乙两支仪仗队各10名队员的身高(单位：cm)如下表： (1)甲队队员的平均身高为178cm，乙队队员的平均身高为178cm； (2)请用学过的统计知识判断哪支仪仗队的身高更为整齐． 178 甲队 179 177 178 177 178 178 179 179 177 178 乙队 178 178 176 180 180 178 176 179 177 178 178 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 解：(2)甲仪仗队更为整齐，理由： ＝×[3×(177－178)2＋4×(178－178)2＋3×(179－178)2]＝0.6； ＝×[2×(176－178)2＋(177－178)2＋4×(178－178)2＋(179－178)2＋2×(180－178)2] ＝1.8. ∵0.6＜1.8，∴甲仪仗队更为整齐． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 6．在某中学举行的演讲比赛中，八年级5名参赛选手的成绩如下表所示，请根据表中提供的数据，计算出这5名选手成绩的方差为 （ ） A.2 B．6.8 C．34 D．93 B 选手 1号 2号 3号 4号 5号 平均成绩 得分 90 95 ■ 89 88 91 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 7．一组数据：1，1，1，1，m，若这组数据的方差是0，则m的值为1. 8．若一组数据x1，x2，…，xn的平均数是2，方差是1； (1)3x1＋2，3x2＋2，…，3xn＋2的平均数是8； (2)(1)中数据的方差是9. 1 8 9 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 9．体育课上，甲、乙两个小组进行定点投篮对抗赛，每组10人，每人投10次．下表是甲组成绩统计表： (1)请计算甲组平均每人投进个数； (2)经统计，两组平均每人投进个数相同且乙组成绩的方差为3.2.若从成绩稳定性角度看，哪一组表现更好？ 投进个数/个 10 8 6 4 人数/人 1 5 2 2 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 解：(1)甲组平均每人投进个数： ×(10×1＋8×5＋6×2＋4×2)＝7(个)． (2)＝×[(10－7)2＋5×(8－7)2＋2×(6－7)2＋2×(4－7)2] ＝3.4. 因为乙组成绩的方差为3.2， 所以从成绩稳定性角度看，乙组表现更好． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 10．(1)计算下列各组数据的方差： ①3，2，5，4，3，1：； ②6，4，10，8，6，2：； ③9，6，15，12，9，3：； ④12，8，20，16，12，4：； 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (2)根据运算，能发现什么规律？ (3)请根据发现的规律直接写出数据15，10，25，20，15，5的方差． 解：(2)规律：若一组数据中每一个数据都扩大到原来的k倍，则新数据的方差是原数据方差的k2倍． (3)s2＝52×＝25×＝. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 11．(核心素养·推理能力)甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图： 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 根据以上信息，整理分析数据如下： (1)写出表格中a，b，c的值； (2)分别运用上表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，应选哪名队员？ 平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差 甲 a 7 7 1.2 乙 7 b 8 c 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 解：(1)a＝7，b＝7.5，c＝4.2. (2)根据表中数据可知，甲和乙的平均成绩相等，乙的中位数大于甲的中位数，乙的众数大于甲的众数，说明乙的成绩好于甲的成绩；虽然乙的方差大于甲的方差，但乙的成绩呈上升趋势，故应选乙队员． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 $$章末复习与提升(五)　数据的初步分析 【考点突破】 考点1：频数、频率分布直方图 1．中国空间站英文名称为“ChinaSpaceStation”，其中字母“a”出现的频数是 ( ) A．3 B．4 C．5 D．17 A 2．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了20根棉花纤维进行测量，其长度x(mm)的数据分布如下表所示，则棉花纤维长度的数据在8≤x＜32这个范围的频率为 ( ) A.0.8 B．0.7 C．0.4 D．0.2 棉花纤维长度x 0≤x＜8 8≤x＜16 16≤x＜24 24≤x＜32 32≤x＜40 频数 1 2 8 6 3 A 3．八(1)班共有48名学生，他们身高的频数直方图如图所示，各个小长方形的高的比为1∶1∶3∶2∶1，则身高范围在165～170 cm的学生有1 8人． 18 考点2：平均数、中位数、众数 4．(枣庄中考)4月23日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示： 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是 ( ) A．8，9 B．10，9 C．7，12 D．9，9 D 人数 课外书数量(本) 6 6 7 7 10 9 7 12 5．学校广播站要招聘1名记者，小明、小亮和小丽报名参加了3项素质测试，成绩如下： 现在要计算3人的加权平均分，若将采访写作、计算机和创意设计这三项的权重比由3∶5∶2变成 5∶3∶2，则成绩变化情况是 ( ) A．小明增加最多 B．小亮增加最多 C．小丽增加最多 D．三人的成绩都增加 小明 小亮 小丽 采访写作 70分 90分 60分 计算机 60分 75分 84分 创意设计 86分 51分 72分 B 6．某食品店购进2 000箱苹果，从中任取10箱，称得质量(单位：kg)分别为16，16.5，14.5，13.5，15，16.5，15.5，14，14，14.5.若每千克苹果的售价为2.8元，则利用样本平均数估计这批苹果的销售额是84 0 00元． 84 000 7．(广西中考)4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析(6分及6分以上为合格)，数据整理如下： 学生成绩统计表 根据以上信息，解答下列问题： (1)求出统计表中a，b，c的值； (2)若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数； (3)从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义． 平均数 中位数 众数 合格率 七年级 7.55 8 a b 八年级 7.55 c 7 85% 解：(1)由图表可知a＝8，b＝1－20%＝80%， c＝＝7.5. (2)600×85%＝510(人)， ∴该校八年级学生成绩合格的有510人． (3)根据中位数的特征可知七、八年级学生成绩的集中趋势和七、八年级学生成绩数据的中等水平． 考点3：方差 8．比较A组、B组中两组数据的平均数及方差，以下说法中正确的是( ) A．A组、B组平均数及方差分别相等 B．A组、B组平均数相等，B组方差大 C．A组比B组的平均数、方差都大 D．A组、B组平均数相等，A组方差大 D 9．(朝阳中考)甲、乙、丙、丁四名同学参加掷实心球测试，每人掷5次，他们的平均成绩恰好相同，方差分别是＝0.55，＝0.56，＝0.52，＝0.48，则这四名同学掷实心球的成绩最稳定的是丁． 丁 10．甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下： 甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9. (1)填写下表： 甲 乙 平均数 8 8 众数 8 9 中位数 8 9 方差 0.4 3.2 8 8 9 (2)教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ (3)如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差变 小(选填“变大”“变小”或“不变”)． 解：(2)在甲、乙平均水平相同的情况下，甲的方差小于乙的方差，故甲的水平较稳定． 变小 【综合提升】 11．下表列出了小刚和小明6次体育测试的成绩(满分为10分)． 已知小刚与小明6次体育测试的平均成绩均为8分，请根据表中数据解答下列问题： 小刚/分 小明/分 第1次 6 7 第2次 x 7 第3次 9 9 第4次 8 10 第5次 8 y 第6次 9 8 (1)求x，y的值； (2)求小刚与小明6次体育测试成绩的中位数与众数； (3)请选用一个合适的统计量，通过计算说明哪位同学体育测试成绩更稳定． 解：(1)根据题意 ＝8，解得x＝8. ＝8，解得y＝7. (2)将数据按从小到大排列，小刚：6，8，8，8，9，9；小明：7，7，7，8，9，10.所以小刚6次体育测试成绩的中位数是8分，众数是8分；小明6次体育测试成绩的中位数是7.5分，众数是7分． (3)∵＝[(6－8)2＋(8－8)2＋…＋(9－8)2] ＝1， ＝[(7－8)2＋(7－8)2＋…＋(8－8)2]＝， <， ∴小刚6次体育测试的成绩更稳定． 20．2　数据的集中趋势与离散程度 20．2.1　数据的集中趋势 第1课时　平均数 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 一般地，如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么(x1＋x2 ＋…＋xn)就是这组数据的平均数，用“x”表示．对于一组数据，我们常用平均数来作为刻画它的集中趋势的一种方法． (x1＋x2＋…＋xn) 集中趋势 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 知识点1：平均数的意义 1．有一组数据：3，3，6，6，7，这组数据的平均数为 （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 C 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 2．一组数据2，3，4，x，6的平均数是4，则x＝5 . 知识点2：平均数的实际应用 3．小强同学通过问卷调查的方式了解到本班三名同学某天的睡眠时间分别为7.8 h，8.6 h，8.8 h，则这三名同学该天的平均睡眠时间是8.4 h. 5 8.4 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 4．一组数据的和为87，平均数是3，则这组数据的个数为 （ ） A．87 B．3 C．29 D．90 C 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 5．校园歌手大奖赛比赛规则：七位评委打分，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据取平均数即为选手的最后得分．七位评委给某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0，则这位歌手的最后得分是多少？ 解：∵最高分：9.9分，最低分9.0分， ∴平均分＝(9.5＋9.4＋9.6＋9.3＋9.7)÷5 ＝9.5(分)． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 6．如果x1与x2的平均数是5，那么x1－1与x2＋5的平均数是 ( ) A．4 B．5 C．6 D．7 D 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 7．(威海中考)某小组6名学生的平均身高为a cm，规定超过a cm的部分记为正数，不足a cm的部分记为负数，他们的身高与平均身高的差值情况记录如下表： 据此判断，2号学生的身高为(a＋ 1)cm. (a＋1) 学生序号 1 2 3 4 5 6 身高差值/cm ＋2 x ＋3 －1 －4 －1 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 8．若一个三角形的三条边满足一边等于其他两边的平均数，我们称这个三角形为“平均数三角形”． (1)下列各组数分别是三角形的三条边长：①5，7，5；②3，3，3；③6，8，4；④1，，2.其中能构成“平均数三角形”的是②③(选填序号)； (2)已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，且a＜b＜c.若△ ABC既是“平均数三角形”，又是直角三角形，求的值． ②③ 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 解：(2)∵△ABC是“平均数三角形”，且a＜b＜c， ∴b＝，∴c＝2b－a.① ∵△ABC是直角三角形， ∴a2＋b2＝c2，② 把①代入②，整理，得3b2＝4ab. ∵b≠0，∴3b＝4a，∴＝. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 $$