第19章　四边形 课件 2024-2025学年 沪科版数学八年级下册

小专题(七)　平行四边形判定的常见思路 思路1：若已知(或已证)四边形中边的关系 (1)已知一组对边平行，可以证这组对边相等或另一组对边平行； (2)已知一组对边相等，可以证这组对边平行或另一组对边相等． 1．如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD.求证：四边形BECD是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， 即BE∥DC， 又∵EC∥BD， ∴四边形BECD是平行四边形． 2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：在△ABD和△CDB中， ∴△ABD≌△CDB(AAS)． ∴AB＝CD，AD＝CB. ∴四边形ABCD是平行四边形． 3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到点E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，F是CD的中点．求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠E. ∵F是CD的中点，∴DF＝CF. 在△ADF和△ECF中， ∴△ADF≌△ECF(AAS)，∴AD＝EC. ∵CE＝BC，∴AD＝BC. ∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形． 4．如图，B，E，C，F四点在同一条直线上，且AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形． 证明：∵AB∥DE，AC∥DF， ∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F. 又∵BE＝CF， ∴BE＋CE＝CF＋CE， 即BC＝EF， ∴△ABC≌△DEF，∴AB＝DE， 又∵AB∥DE， ∴四边形ABED是平行四边形． 5．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝BC，求证：四边形OCFE是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形． ∴点O是BD的中点． ∵点E是边CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线， ∴OE∥BC，且OE＝BC. 又∵CF＝BC，∴OE＝CF， 又∵点F在BC的延长线上，∴OE∥CF. ∴四边形OCFE是平行四边形． 6．如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF. (1)求证：∠ACB＝∠DFE； (2)连接BF，CE，判断四边形BFEC的形状，并说明理由． (1)证明：∵AF＝CD， ∴AF＋CF＝CD＋CF， 即AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF， ∴∠ACB＝∠DFE. (2)解：四边形BFEC是平行四边形， 理由：由(1)可知，∠ACB＝∠DFE， ∴BC∥EF， 又∵BC＝EF， ∴四边形BFEC是平行四边形． 思路2：若已知条件(或已证结论)与对角线有关，则可以通过证明对角线互相平分得到平行四边形 7．如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点．求证：四边形AFBE是平行四边形． 证明：∵AC∥BD，AO＝BO， ∴∠C＝∠D，∠CAO＝∠DBO， ∴△AOC≌△BOD，∴CO＝DO. ∵E，F分别是OC，OD的中点， ∴OF＝OD，OE＝OC， ∴OF＝OE. 又∵AO＝BO，∴四边形AFBE是平行四边形． 8．如图，在▱ABCD中，点E，F在AC上，AF＝CE.求证：四边形BEDF是平行四边形． 证明：连接BD，设对角线AC，BD相交于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵AF＝CE， ∴AF－OA＝CE－OC， ∴OF＝OE. ∴四边形BEDF是平行四边形． 19．3.2　菱　形 第1课时　菱形的性质 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质： ①菱形的四条边都相等； ②菱形的对角线互相垂直． 3．菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半． 相等 相等 垂直 一半 如图，菱形ABCD的面积为S，对角线交于点O，OE⊥BC于点E，下列结论中正确的是 ( 　　) A．S＝AC·BD B．S＝4BC·OE C．S＝2AB·OE D．S＝2BD·AO 【思路分析】由四边形ABCD是菱形，推出AB＝BC，由于菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，故根据三角形的面积公式即可得出结果． 【自主解答】 【名师支招】本题中菱形ABCD的面积S可以用多种方法表示：(1)S＝AC·BD；(2)S＝2OA·OB；(3)S＝2AB·OE. C 【易错原因】点的位置不确定 四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上．若OE＝，则CE的长为________． 【自主解答】 2或4 知识点1：菱形的性质 1．若一个菱形的一条边长为4 cm，则这个菱形的周长为 （ ） A．20 cm B．18 cm C．16 cm D．12 cm C 2．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则菱形的边长为 （ ） A．5 B．10 C．6 D．8 A 3．如图，在菱形ABCD中，∠ABD＝70°，则∠ABC＝14 0°. 140 4．(大连中考)如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF.求证：CE＝CF. 证明：连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠EAC＝∠FAC， 在△ACE和△ACF中， ∴△ACE≌△ACF(SAS)，∴CE＝CF. 知识点2：菱形的面积 5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝10，则△AOD的面积为( ) A．9 B．10 C．11 D．12 B 6．菱形ABCD的边长为2，∠B＝120°，则菱形ABCD的面积为2 . 7．菱形的面积为24 cm2，一对角线长为6 cm，则菱形的边长为5 cm. 2 5 8．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF的度数为 ( ) A．50° B．60° C．70° D．80° B 9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48. (1)BD的长是8 ； (2)OH的长是4 . 8 4 10．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，且BE＝CE，AD＝4. (1)求BD的长； (2)求菱形ABCD的面积． 解：(1)连接AC交BD于点O，∵AE⊥BC于点E，且BE＝CE，∴AB＝AC. 又∵在菱形ABCD中，∴AB＝BC，BO＝DO， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABO＝∠ABC＝×60°＝30°. 又∵AD＝4，∴AB＝4，∴AO＝AB＝2， ∴BO＝＝＝2， ∴BD＝2BO＝4. (2)菱形ABCD的面积为AC·BD＝8. 11．(核心素养·推理能力)已知四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°. (1)如图①，当E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系； (2)如图②，当E是线段CB上任意一点时(点E不与点B，C重合)，求证：BE＝CF； (3)如图③，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求CF的长． (1)解：AE＝EF＝AF. (2)证明：连接AC，如图②. ∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF. ∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠ACF＝∠BAC＝60°， ∴∠B＝∠ACF. 在△BAE和△CAF中， ∴△BAE≌△CAF，∴BE＝CF. (3)解：如图③，过点A作AG⊥BC于点G. ∵∠EAB＝15°，∠ABC＝60°，∴∠AEB＝45°. 在Rt△AGB中 ，∵∠ABC＝60°，AB＝4， ∴BG＝2，AG＝2. 在Rt△AEG中， ∵∠AEG＝∠EAG＝45°，∴EG＝AG＝2， ∴BE＝EG－BG＝2－2. 同(2)可得△BAE≌△CAF， ∴CF＝BE＝2－2. 19.3　矩形、菱形、正方形 19．3.1　矩　形 第1课时　矩形的性质 1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2．矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等． 3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 有一个角是直角 直 相等 斜边的一半 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是AB边的中点，那么∠ACD的度数为 (　　) A.15° B.25° C.35° D.45° 【思路分析】在△ABC中，由∠ACB＝90°，D是AB边的中点可得CD＝BD，所以∠DCB＝∠B＝55°，又因为∠ACD＝∠ACB－∠DCB，从而得出答案． 【自主解答】 【名师支招】在直角三角形中，遇到斜边的中点，常作斜边的中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半构造等腰三角形，把问题转化为等腰三角形的问题来解决． C 【易错原因】无图形时考虑不周全 矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于E，若OE∶ED＝1∶3，AE＝，则BD＝________． 【自主解答】 4或 知识点1：矩形的性质 1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法中不一定正确的是 （ ） A．∠ABC＝90° 　 B．AC＝BD C．OA＝OB D．OA＝AD D 2．如图，一个矩形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是 ( ) A．30° B．60° C．90° D．120° C 3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF.若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是2.5 cm. 2.5 cm 4．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，∠DBC＝30°，求AC的长． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝6，AC＝BD，∠BCD＝90°， 又∵∠DBC＝30°， ∴BD＝2CD＝2×6＝12， ∴AC＝12. 知识点2：直角三角形斜边上的中线的性质 5．如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，若AB＝7，那么DC的长为3.5 . 3.5 6．如图，矩形ABCD中，O是AC中点，M是AD中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长是20 . 20 7．如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1，2)，则CE的长是 （ ） A. B．2 C. D. C 8．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠ADB＝40°，则∠E的度数是 ( ) A．20° B．25° C．30° D．35° A 9．如图，在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为3和2，点E在CD上，点F在AB的延长线上，EC＝BF，连接FC. (1)当DE＝2时，FC的长是； (2)点E在边CD上移动的过程中，AE＋FC的最小值是5. 5 10．如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EC平分∠BED.若AB＝1，BC＝，求∠ECD的度数． 解：过点C作CM⊥BE交BE于点M.∵EC平分∠BED， ∴∠CEM＝∠CED. ∴△EMC≌△EDC(AAS)， ∴∠MCE＝∠DCE，MC＝DC＝1. 在Rt△BMC中， ∵BM＝＝＝1＝MC， ∴△BMC为等腰直角三角形， ∴∠BCM＝45°，∴∠MCD＝45°，∴∠ECD＝∠MCD＝22.5°. 11．如图，△ABC和△DBC都是直角三角形，BC是它们的斜边，P是BC的中点，连接AD，作PQ⊥AD于点Q.求证：PQ平分AD. 证明：连接AP，DP. 在Rt△ABC中， P为斜边BC的中点， 则AP＝BC. 同理，在Rt△DBC中，DP＝BC，∴AP＝DP， ∵PQ⊥AD，∴PQ平分AD. 12．(核心素养·推理能力)点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A，C重合)，分别过点A，C向BP作垂线，垂足分别为E，F，点O是AC的中点． (1)如图①，当点P与点O重合时， 请判断OE与OF的数量关系； (2)当点P运动到图②的位置时， (1)中结论还成立吗？ 解：(1)OE＝OF. 理由：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC. ∵AE⊥BP，CF⊥BP， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°. 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF(AAS)， ∴OE＝OF. (2)OE＝OF仍然成立． 理由：延长EO交CF于点G， ∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴∠AEP＝∠CFP＝90°， ∴AE∥CF，∴∠EAO＝∠GCO. ∵点O为AC的中点，∴AO＝CO. 又∵∠AOE＝∠COG，∴△AOE≌△COG(ASA)， ② ∴OG＝OE＝EG.在Rt△EFG中，OF＝EG， ∴OE＝OF. 小专题(十一)　特殊平行四边形中的最值问题 类型1：利用垂线段最短求最值 1．如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，BC＝2，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE和EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为 （ ） A. B. C. D．1 【解析】连接AF，GH为△AEF的中位线，GH＝AF，AF⊥BC时最小． B 2．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝8，BO＝DO＝6，点P为线段AC上的一动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N.连接PB，在点P运动过程中，PM＋PN＋PB的最小值为15. 6. 【解析】证四边形ABCD为菱形，由面积得PM＋PN＝9.6，则PB⊥OC时，取得最小值． 15.6 3．如图，边长为8的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，M是AB边上一动点，ME⊥AO，MF⊥BO. (1)求证：四边形OEMF为矩形； (2)连接EF，求EF的最小值． (1)证明：∵ME⊥AO，MF⊥BO， ∴∠MEO＝∠MFO＝90°， ∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴∠EOF＝90°， ∴四边形OEMF为矩形． (2)解：连接OM，∵四边形OEMF为矩形， ∴EF＝OM，当OM⊥AB时，OM有最小值，即EF有最小值．当OM⊥AB时，点M为AB的中点， 在Rt△AOB中，OM＝AB＝×8＝4， 即EF的最小值为4. 类型2：利用两点间线段最短求最值 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为AB上的一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠，点A落在点A′处，连接A′C，若F，G分别为A′C，BC的中点，则FG的最小值为 ( ) A．1 B．2 C.D. 【解析】连接BD，A′B，则A′B≥BD－A′D，FG为△A′BC的中位线，当点A′在DB上时，FG最小． A 5．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B(－3，5)，点D在线段AO上，且AD＝2OD，点E在线段AB上，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标． 解：作点D关于直线AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E′.此时△DCE′的周长最小． ∵四边形AOCB是矩形， B(－3，5)， ∴OA＝3，OC＝5. ∵AD＝2OD，∴AD＝2，OD＝1， ∴AD′＝AD＝2.∴D′(－5，0)， 易知C(0，5)， ∴直线CD′的表达式为y＝x＋5. ∵点E′在直线AB上， ∴点E′的横坐标为－3， 将x＝－3代入y＝x＋5， 得y＝2. ∴E′(－3，2)， 即△CDE的周长最小时，点E的坐标为(－3，2)． 章末复习与提升(四)　四边形 【考点突破】 考点1：多边形的内角和与外角和 1．当多边形每增加一条边时，它的 （ ） A．外角和与内角和都增加180° B．外角和与内角和都不变 C．外角和增加180°，内角和不变 D．外角和不变，内角和增加180° D 2．(枣庄中考)如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝44°，则∠2的度数为 （ ） A．14° B．16° C．24° D．26° B 3．若n边形恰好有n条对角线，则n为5 . 5 考点2：平行四边形的性质与判定 4．如图，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，则下列结论中不正确的是 ( ) A．∠ABC＝∠ADC B．OA＝OC C．AB＝CD D．AC＝BD D 5．如图①，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝20，AB＝18.今沿两对角线将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并(AD，CB重合)形成对称图形戊，如图②，则图形戊的两条对角线长度之和是2 6. 26 6．如图，在周长为10 cm的四边形ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，OE⊥BD，交AD于点E，则△ABE的周长为 cm. 5 7．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD＝OB，OA＝OC， AB∥CD， ∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO. ∴△FDO≌△EBO(AAS)，∴OF＝OE. 又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形． 考点3：三角形的中位线定理与直角三角形斜边的中线的性质 8．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F.若BC＝6，则DF的长为 ( ) A．3 B．4 C．5 D．6 A 9．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，H是高AD和BE的交点，G，F分别是BH和AC的中点，试探究DG与DF之间的关系，并证明． 解：DG＝DF，DG⊥DF. 证明：易证DG＝BH， DF＝AC，△ACD≌△BHD， 得BH＝AC，∴DG＝DF.由DG＝HG＝BH， 得∠GDH＝∠GHD，同理∠ADF＝∠DAC， 由△ACD≌△BHD得∠GHD＝∠C，∴∠GDH＝∠C， ∴∠GDH＋∠ADF＝∠C＋∠DAC＝90°，∴DG⊥DF. 考点4：特殊四边形的性质与判定 10．(安徽中考)两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2的大小为 ( ) A．α－90° B．α－45° C．180°－α D．270°－α C 11．(铜仁中考)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到点E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F.若DF＝，则BD的长为2 (结果保留根号)． 【解析】连接AC交BD于点H，证△CDH≌△CDF(AAS)，则DH＝DF＝BD. 2 12．(丽水中考)如图，已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝4，E为CD边上一点，CE＝5，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE.设点P运动的时间为t s，请回答下列问题： (1)AE＝5； (2)当t＝2或 时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形． 5 2或 13．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形． (1)求证：AE＝CF； 证明：∵四边形BEDF为正方形， ∴DF＝EB. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB， ∴DC－DF＝AB－EB，即AE＝CF. (2)已知▱ABCD的面积为20，AB＝5，求CF的长． 解：∵四边形BEDF为正方形， ∴∠DEB＝90°，DE＝BE，DE⊥AB. ∵▱ABCD的面积为20，AB＝5， ∴DE＝BE＝4. ∴CF＝AE＝AB－BE＝5－4＝1. 【综合提升】 14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF. (1)判断四边形OEFG的形状并证明； (2)若AC＝8，BD＝6，求菱形ABCD 的面积和EF的长． 解：(1)四边形OEFG是矩形． 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB. ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE，∴OE∥AB，∴OE∥FG. 又∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形． ∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°， ∴四边形OEFG是矩形． (2)菱形ABCD的面积为AC·BD＝×8×6＝24. ∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6， ∴BD⊥AC，AO＝AC＝4，BO＝BD＝3， ∴AB＝＝5. 由(1)知，四边形OEFG是矩形， ∴EF＝OG，OG⊥AB，∴AO·BO＝AB·OG， ∴OG＝＝，∴EF＝.即菱形的面积为24，EF＝. 第19章　四边形 19．1　多边形内角和 1．在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的 封闭图形叫做多边形． 2．在顶点处一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角． 3．多边形中连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线． 4．n边形的内角和等于(n－2)·180°.n边形的外角和等于360°.(n为不小于3的整数) 5．多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形． 不在同一条直线上 首尾顺次相接 封闭 另一边的延长线 不相邻 (n－2)·180° 360° 相等 相等 若正多边形的一个内角等于120°，则这个正多边形的边数是____． 【思路分析】多边形的内角和可以表示成(n－2)·180，因为正多边形的每个内角均相等，故又可表示成120n，列方程可求解． 【自主解答】 【名师支招】正多边形的内角和可用两种不同的方法表示出来． 6 【易错原因】考虑问题不周全 如图，在五边形ABCDE中，有______条对角线，切去一角后是______边形． 【自主解答】 5　四或五或六 知识点1：多边形的有关概念及正多边形 1．下列图形中不是凸多边形的是 ( ) D 2．一个正多边形的周长是100，边长是10，则该正多边形的边数为十． 3．从六边形的一个顶点出发，可以引出3条对角线；如果从一个多边形的一个顶点出发可以引出6条对角线，那么这个多边形是九边形． 十 3 九 知识点2：多边形的内角和与外角和 4．(怀化中考)一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是 ( ) A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 A 5．如果一个n边形的内角和等于它的外角和的3倍，那么n＝8 . 8 6．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是多少？ 解：∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋(180°－∠AED)＝360°， ∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°， ∴∠AED＝100°. 知识点3：四边形的不稳定性 7．下列图形中不具有稳定性的是 （ ） B 8．若一个多边形的每个外角都是72°，则该多边形的边数为 ( ) A．3 B．4 C．5 D．6 C 9．(铜仁中考)如图为长方形ABCD，一条直线将该长方形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a＋b不可能是 （ ） A．360° B．540° C．630° D．720° C 10．图①是将木条用钉子钉成的四边形和三角形木架，拉动木架，观察图②中的变动情况，说一说，其中所蕴含的数学原理是三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性． 三角形具有稳定 性，四边形具有不稳定性 11．如图，正六边形ABCDEF的顶点A，F分别在正方形BMGH的边BH，GH上．若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为4 . 4 12．已知一个多边形有两个内角为直角，其余各内角都等于135°，那么这个多边形的边数是多少？ 解：设这个多边形的边数是n.由题意，得 90×2＋(n－2)×135＝(n－2)×180， 解得n＝6. 答：这个多边形的边数是6. 13．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数． 解：连接BE. 由三角形内角和知 ∠C＋∠D＝∠OBE＋∠OEB， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ ∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F ＝360°. 14．(核心素养·数据分析观念)看图回答问题： (1)内角和为2 024°，小明为什么说不可能？ (2)小华求的是几边形的内角和？ (3)多加的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少？ 解：(1)∵n边形的内角和是(n－2)·180°， ∴内角和一定是180°的倍数． ∵2 024÷180＝11……44， ∴内角和不可能是2 024°. (2)由题意得(n－2)·180°＜2 024°，即n＜13. 故小华求的是十三边形的内角和． (3)能求出来． 由(2)可得多加的外角的度数为 2 024°－(13－2)×180°＝44°. 19.4　综合与实践　多边形的镶嵌 1．用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无 缝隙又不重叠地全部覆盖，叫做平面镶嵌． 2．正三角形、正方形和正六边形都可以用来作平面镶嵌，这是因为在一个顶点处的几个内角恰好拼成一个周角． 缝隙 重叠 周角 知识点1：一种图形镶嵌成平面图案问题 1．只用下列哪一种正多边形可以进行平面镶嵌 ( ) A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形 B 2．由正方形瓷砖铺满地面的图案中，围在每个顶点处的瓷砖数为4 . 4 知识点2：两种及以上图形镶嵌成平面图案问题 3．一个正多边形每个内角都等于150°，若用这种多边形拼接地板，需与下列选项中哪种正多边形组合 ( ) A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形 A 4．下列组合中不能铺满地板的是 （ ） A．正八边形和正方形 B．正六边形和正三角形 C．正十二边形和正三角形 D．正方形、正五边形和正十二边形 D 5．用三块正多边形的木板铺地，相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数均为8，那么第三块的边数应是多少？ 解：正八边形的每个内角的度数为 (8－2)×180°÷8＝135°. 设第三块木板的每个内角的度数为x， 则有135°＋135°＋x＝360°，∴x＝90°， ∴第三块正多边形为正方形，边数是4. 6．如图，用一批形状和大小都完全相同但不规则的四边形地砖能铺成一大片平整且没有空隙的平面，其原理是 ( ) A．四边形有四条边 B．四边形有四个内角 C．四边形具有不稳定性 D．四边形的四个内角的和为360° D 7．如图所示的图形是一瓷砖镶嵌图的一部分，已知∠ABE＝∠DBF＝x°，∠BDF＝22°，且AB⊥CD，则x的值为34 . 34 8．(数据分析观念)探索：当n为何值时，正n边形能进行平面密铺，并完成下表： 取值 n＝3 n＝4 n＝5 n＝6 内角 α3＝60° α4＝90° α5＝108° α6＝120° 拼成周角所需内角个数 6 4 3 是否整数 是 是 否 是 (1)除本身外，360°的最大约数是180°； (2)当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角的时候，就拼成一个平面图形，试根据本题所给的探索过程，总结出结论：用同种正多边形能拼成平面图形的有哪些？ 180° 解：(2)正三角形，正方形，正六边形． 第2课时　菱形的判定 菱形的判定： (1)定义判定： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形． (2)定理判定： ①四边都相等的四边形是菱形； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 邻边相等 都相等 垂直 平行四边形 如图，▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F，求证：四边形AFCE是菱形． 【思路分析】由本题条件EF⊥AC，EF平分AC，可确定只需证OE＝OF即可． 【自主解答】 【名师支招】用对角线判定一个四边形是菱形，必须满足两个条件：一是平行四边形；二是对角线互相垂直． 在▱ABCD中，∵AE∥CF，∴∠1＝∠2. 又∠AOE＝∠COF，OA＝OC， ∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF， ∴四边形AFCE是平行四边形． 又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形． 【易错原因】不能准确把握菱形的判定方法 在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD.若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是(　　) A．∠AOB＝60°　　B．AC⊥BD　　 C．AC＝BD　　 D．AB⊥BC 【自主解答】 B 知识点1：用定义判定菱形 1．要使▱ABCD成为菱形，需添加的一个条件是 （ ） A．AC＝AD B．BA＝BC C．∠ABC＝90° D．AC＝BD B 2．如图，在▱ABCD中，因为∠1＝∠2，所以BC＝DC.所以▱ABCD是菱形，其判定依据是有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 菱形 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 知识点2：用判定定理判定菱形 3．如图，△ABC为等腰三角形，如果把它沿底边BC翻折后，得到△DBC，那么四边形ABDC为 （ ） A．一般平行四边形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 D 4．(齐齐哈尔中考)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是AB＝CD(答案不唯一)．(只需写出一个条件即可) AB＝CD(答案不唯一) 5．(永州中考)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，其对角线相交于点O，OA＝3，BD＝8，AB＝5. (1)△AOB是直角三角形吗？请说明理由； (2)求证：四边形ABCD是菱形． (1)解：△AOB是直角三角形． 理由：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝8， ∴OB＝OD＝BD＝4， ∵OA＝3，OB＝4，AB＝5，∴OA2＋OB2＝AB2. ∴△AOB是直角三角形． (2)证明：由(1)知∠AOB＝90°，∴AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 6．如图，在▱ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是 （ ） A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND C 7．如图，已知点E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是 （ ） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC A 8．如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A′处，并得到折痕DE，测得长边CD＝8， (1)四边形AEA′D是菱形； (2)四边形A′EBC的周长为16. 菱形 16 9．(随州中考)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD. (1)求证：四边形OCED是菱形； 证明：∵DE∥AC， CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， 又∵矩形ABCD中， OC＝OD， ∴▱OCED是菱形． 解：矩形ABCD的面积为BC·DC＝3×2＝6， ∴△OCD的面积为×6＝， ∴菱形OCED的面积为2×＝3. (2)若BC＝3，DC＝2，求四边形OCED的面积． 10．(核心素养·推理能力)如图，在△ABC中，D是AB上的点，E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F. (1)求证：AD＝CF. (2)连接AF，CD.如果D是AB的中点，那么当AC 与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形， 证明你的结论． (1)证明：∵CF∥AB， ∴∠ADF＝∠CFD， ∠DAC＝∠FCA. ∵E是AC的中点， ∴AE＝CE， ∴△ADE≌△CFE(AAS)，∴AD＝CF. (2)解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形． 证明：由(1)知，AD＝CF， ∵AD∥CF， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∵AC⊥BC， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°. ∵D是AB的中点， ∴CD＝AB＝AD， ∴▱ADCF是菱形． 小专题(十二)　与正方形有关的常见模型 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 模型1：正方形中相交垂线段模型 1．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，CE＝DF，连接AE和BF相交于点M.求证：AE＝BF. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 证明：在正方形ABCD中， AB＝BC＝CD＝AD， ∠ABC＝∠BCD＝90°. ∵CE＝DF，∴BE＝CF. 在△AEB与△BFC中， ∴△AEB≌△BFC(SAS)． ∴AE＝BF. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 模型2：正方形中过对角线交点的直角模型 2．已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°.求证：CE＝DF. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°. ∴∠DOF＋∠COF＝90°. ∵∠EOF＝90°，即∠COE＋∠COF＝90°， ∴∠COE＝∠DOF. ∴△COE≌△DOF(ASA)． ∴CE＝DF. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 模型3：正方形中的“外角平分线”模型 3．如图，四边形ABCD是正方形，E点是边BC上的任意一点，AE⊥EF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F. (1)如图①，求证：AE＝EF； (2)如图②，当AB＝2，E是边BC的中点时，请直接写出CF的长． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (1)证明：如图①，在AB上截取BM＝BE，连接ME， ∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°， ∴AM＝EC，∠BAE＋∠AEB＝90°， ∠BME＝∠BEM＝45°，∴∠AME＝135°. ∵CF平分正方形的外角， ∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝∠BCD＋∠DCF＝135°， ∴∠AME＝∠ECF.又∵AE⊥EF， ∴∠AEB＋∠FEC＝90°，∴∠BAE＝∠FEC， ∴△AME≌△ECF，∴AE＝EF. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (2)解：如图②，取AB的中点M，连接EM，则 AM＝MB＝BE＝EC＝1，同(1)可证△AME≌△ECF， ∴CF＝ME＝＝＝. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 模型4：正方形中的半角模型 4．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE. (1)求证：CE＝CF； (2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°， 则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？ 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD， ∠B＝∠CDF.又∵BE＝DF， ∴△CBE≌△CDF(SAS)．∴CE＝CF. (2)解：GE＝BE＋GD成立． 理由：由(1)得，△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF. 又∵∠GCE＝45°，∴∠BCE＋∠GCD＝45°. ∴∠DCF＋∠GCD＝45°.∴∠GCF＝∠GCE＝45°. ∴△ECG≌△FCG(SAS)．∴GE＝GF. ∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 $$小专题(十)　特殊平行四边形中的网格作图与分类思想 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 类型1：特殊平行四边形中的网格作图 1．如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上． (1)在图①中画出以AB为对角线的正方形ACBD，且点C和点D均在格点上； (2)在图②中画出以AB为对角线且周长为8的▱AEBF，且点E和点F均在格点上． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 解：(1)如图①，正方形ACBD即为所求． (2)如图②，▱AEBF即为所求． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 类型2：特殊平行四边形中的分类思想 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝DC＝12 cm，BC＝18 cm.点P在线段BC上以3 cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CD上由C点向D点运动．如果△ABP与△CQP全等，那么点Q的速度为3或 4cm/s. 3或4 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 3．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8 cm，BC＝12 cm，M是BC上一点，且BM＝9 cm，点E从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3 cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为t s，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t＝. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 4．已知△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D.若△ABC的一条边长为6，求点D到直线AB的距离． 解：当B为直角顶点时，过点D作DH⊥AB于点H，如图①. 由题意知D为正方形ABCE的中心，∴DH＝BC. 若AC＝6，则BC＝3，此时DH＝， 即点D到直线AB的距离为； 若AB＝BC＝6，则DH＝BC＝3， 即点D到直线AB的距离为3. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 当B不是直角顶点时，过点D作DH⊥BC于点H，如图②. 在△ABD和△HBD中， ∴△ABD≌△HBD(AAS)，∴AB＝BH. 若AB＝AC＝6，则BH＝6，BC＝6，∴CH＝BC－BH＝6－6， ∴AD＝6－6，即点D到直线AB的距离为6－6. 若BC＝6，则AB＝3，∴BH＝3， ∴CH＝6－3，∴AD＝6－3，即点D到直线AB的距离为6－3. 综上所述，点D到直线AB的距离为，3，6－6或6－3. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 $$小专题(九)　特殊四边形中的折叠问题 类型1：利用折叠求线段的长度 1．(苏州中考)如图，在▱ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝，则B′D的长是 ( ) A．1 B. C. D. 【解析】由折叠得∠BCA＝∠B′CA＝45°，∠B＝∠AB′C＝60°，BC＝B′C，∴∠AEC＝∠BCB′＝90°，B′C＝AD，AE＝. B 2．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线的交点O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2 cm，∠A＝120°，则EF＝ cm. 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长 为3或 . 3或 4．如图，有一边长为2的正方形ABCD，M，N分别是AD，BC边上的中点，将∠C折到线段MN上，落在点P的位置，折痕为BQ，连接PQ.求MP的长． 解：∵四边形ABCD是正方形，M，N分别为AD，BC的中点， ∴四边形ABNM是矩形， MN＝AB＝2，BN＝BC＝1. ∵BP＝BC＝2， ∴PN＝＝， ∴MP＝MN－PN＝2－. 类型2：利用折叠求角的度数 5．把一个长方形的纸片按如图所示折两次，然后剪下一部分，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为 （ ） A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60° D 6．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP(P为AB中点)所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠BEC′的大小为 （ ） A．20° B．25° C．30° D．35° C 类型3：利用折叠求图形的面积 7．(武威中考)如图，将矩形ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH.若AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为 ( ) A．2 B．4 C．5 D．6 B 8．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A落在对角线BD上的点G处(不与点B，D重合)，折痕为EF，若DG＝2，BG＝6，则△BEG的面积为 ( ) A. B. C．4 D．5 【解析】过点E作EH⊥BD于H，设BE＝x，则GE＝AE＝8－x，GH＝6－x，EH＝x，由勾股定理解方程即得． B 9．如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，EC交AD于点F. (1)求证：△AFE≌△CFD； (2)若AB＝3，BC＝6，求图中阴影部分的面积． (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°. 由翻折知，AB＝AE，∠B＝∠E. ∴AE＝CD，∠E＝∠D. ∴△AFE≌△CFD(AAS)． (2)解：由折叠得AE＝AB＝3. ∵△AFE≌△CFD，∴EF＝FD. 设AF＝x，则EF＝FD＝6－x. 在Rt△AEF中，由勾股定理得AE2＋EF2＝AF2， ∴32＋(6－x)2＝x2. 解得x＝，即AF＝. ∴S阴影＝AF·AB＝××3＝. 类型4：折叠在特殊四边形中的其他应用 10．如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接CE. (1)求证：四边形AFCE为菱形； 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠AEF＝∠CFE. 由折叠的性质，可得∠AFE＝∠CFE，AF＝CF， ∴∠AEF＝∠AFE. ∴AF＝AE，∴CF＝AE. 又∵CF∥AE， ∴四边形AFCE为平行四边形， 又∵AE＝AF， ∴四边形AFCE为菱形． (2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c.请写出a，b，c三者之间的数量关系，并说明理由． 解：a，b，c三者之间的数量关系式为a2＝b2＋c2， 理由：∵四边形AFCE为菱形，∴AE＝CE＝a. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°， 在Rt△CDE中，CE2＝ED2＋CD2，即a2＝b2＋c2. 11．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A，点D重合)．将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH. (1)求证：∠APB＝∠BPH. (2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是 否发生变化？并证明你的结论． (1)证明：由折叠知PE＝BE，∠EPH＝∠EBC＝90°， ∴∠EBP＝∠EPB. ∠BPH＝∠PBC. 又∵AD∥BC， ∴∠APB＝∠PBC， ∴∠APB＝∠BPH. (2)解：△PDH的周长不变且为定值8. 证明：过点B作BQ⊥PH，垂足为Q， 由(1)知∠APB＝∠BPH， 又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP， ∴△ABP≌△QBP(AAS)． ∴AP＝QP，AB＝BQ. ∵AB＝BC，∴BC＝BQ. 又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH， ∴Rt△BCH≌Rt△BQH(HL)． ∴CH＝QH. ∴△PDH的周长为 PH＋PD＋DH＝PQ＋PD＋DH＋QH ＝AP＋PD＋DH＋HC ＝AD＋CD＝8. 小专题(八)　特殊平行四边形的判定与性质 1．(恩施州中考)如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E，DF⊥CE于点F.求证：DF＝BE＋EF. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°. ∴∠BCE＋∠DCF＝90°. ∵CE⊥BG，DF⊥CE， ∴∠BEC＝∠DFC＝90°. ∴∠BCE＋∠CBE＝90°.∴∠CBE＝∠DCF. ∴△CBE≌△DCF(AAS)．∴BE＝CF，CE＝DF. ∵CE＝CF＋EF，∴DF＝BE＋EF. 2．(岳阳中考)如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形． (1)添加的条件是①或②(选填序号)； (2)添加条件后，请证明▱ABCD为矩形． ①或② 解：(2)添加条件①， 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，∠A＋∠D＝180°， ∴△ABM≌△DCM(SAS)， ∴∠A＝∠D＝90°，∴▱ABCD为矩形． 添加条件②.同理，通过SSS证△ABM≌△DCM，从而证得▱ABCD为矩形． 3．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AB＝，BD＝2，求OE的长． (1)证明：∵AB∥DC，∴∠BAC＝∠DCA. ∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC. ∴∠DAC＝∠DCA. ∴AD＝CD. ∵AB＝AD， ∴AB＝CD. ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． (2)解：由(1)知四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC. ∴∠AOB＝90°，BO＝BD＝1. 在Rt△AOB中，由勾股定理得 AO＝＝2. ∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°. 在Rt△ACE中，点O是斜边AC的中点， ∴OE＝AO＝2. 4．(云南中考)如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，且E，F分别在边BC，AD上，AE＝AF. (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)若∠ABC＝60°，△ABE的面积为4，求平行线AB与DC的距离． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠DCB，BC∥AD，∴∠FAE＝∠BEA， ∵AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线， ∴∠FAE＝∠BAD，∠FCE＝∠BCD， ∴∠FAE＝∠FCE，∴∠BEA＝∠FCE， ∴AE∥FC， 又∵E，F分别在边BC，AD上，∴EC∥AF， ∴四边形AECF是平行四边形． 又∵AE＝AF，∴四边形AECF是菱形． (2)解：连接EF，根据题意，得∠ABC＝∠CDA＝60°，∠BAD＝120°. ∵AE是∠BAD的平分线，AE＝AF，∴∠BAE＝∠EAF＝60°. ∴△ABE，△AEF是边长等于AB的等边三角形． 同理可证△CDF，△CEF是边长等于CD的等边三角形． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD. ∴△ABE，△AEF，△CEF，△CDF都是边长等于AB的等边三角形． 由△ABE的面积为4得AB＝4，且平行四边形ABCD的面积为16. 设平行线AB与CD间的距离为h， 则AB×h＝4h＝16，解得h＝4.∴平行线AB与CD的距离为4. 5．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG. (1)求证：矩形DEFG是正方形； (2)求AG＋AE的值； (3)若F恰为AB的中点，请求出正方形DEFG的面积． (1)证明：过点E作EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB. ∵EM⊥AD，EN⊥AB， ∴EM＝EN，∠EMD＝∠ENF＝∠DAB＝90°， ∴四边形ANEM是矩形，∴∠MEN＝90°. ∵EF⊥ED，∴∠DEF＝90°＝∠MEN， ∴∠DEF－∠MEF＝∠MEN－∠MEF，即∠DEM＝∠FEN. ∵∠EMD＝∠ENF＝90°，EM＝EN，∴△EMD≌△ENF(ASA)，∴ED＝EF. 又∵四边形DEFG是矩形，`∴矩形DEFG是正方形． (2)解：∵四边形ABCD是正方形， 又∵由(1)知矩形DEFG是正方形， ∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4， ∠GDE＝∠ADC＝90°， ∴∠GDE－∠ADE＝∠ADC－∠ADE， 即∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE(SAS)， ∴AG＝CE，∴AG＋AE＝CE＋AE＝AC＝4. (3)解：连接DF. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝4，AB∥CD. ∵F是AB的中点， ∴AF＝FB＝2， ∴DF＝＝2， ∴正方形DEFG的面积为×(2)2＝10. 第2课时　矩形的判定 矩形的判定： (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形； (2)对角线相等的平行四边形是矩形； (3)三个角是直角的四边形是矩形． 直角 相等 直角 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点B作AD的平行线交外角∠BAF的平分线于点E.求证：四边形ADBE是矩形． 【思路分析】易证∠ADB，∠DBE和∠DAE均为直角，即可得出四边形ADBE是矩形． 【自主解答】 ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∠BAD＝∠CAD＝∠BAC. ∵AE平分∠BAF，∴∠BAE＝∠BAF. ∵∠BAC＋∠BAF＝180°， ∴∠BAD＋∠BAE＝90°， 即∠DAE＝90°.又∵BE∥AD， ∴∠DBE＝∠ADC＝∠ADB＝90°，∴四边形ADBE是矩形． 【名师支招】证明四边形是矩形，已知对角线相等时，只需再证明四边形是平行四边形；已知四边形是平行四边形时，只需再证对角线相等或有一个角是直角；已知四边形的两个角是直角，此时选择“有三个角是直角的四边形是矩形”证明比较简单. 知识点1：有一个角是直角的平行四边形是矩形 1．如图，要使▱ABCD成为矩形，可以添加的条件是 ( ) A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2 C 知识点2：对角线相等的平行四边形是矩形 2．(聊城中考)要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是 ( ) A．测量两条对角线是否相等 B．度量两个角是否为90° C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D．测量两组对边是否分别相等 C 3．在▱ABCD中，AB＝5，BC＝6，若AC＝BD，则▱ABCD的面积为30 . 30 4．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形．求证：▱ABCD是矩形． 证明：∵△OAB是等边三角形， ∴OA＝OB. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD＝BD，OA＝OC＝AC， ∴BD＝AC，∴▱ABCD是矩形． 知识点3：有三个角是直角的四边形是矩形 5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件不可能是 （ ） A．AD＝BC B．∠A＝90° C．∠B＝90° D．∠C＝90° D 6．如图，直角∠AOB内的任意一点P到这个角的两边的距离之和为8，则图中四边形的周长为16 . 16 7．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是 ( ) A．AB＝BE B．BE与DC互相平分 C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE B 8．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH.若EH＝3 cm，EF＝4 cm，则边AD的长是5 cm. 5 9．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： (1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①)，使AB＝CD，EF＝GH； (2)摆放成如图②所示的四边形，则这时窗框的形状是平行四边形，根据的数学原理是两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③)，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④)，说明窗框合格，这时窗框是矩形，根据的数学原理是有一个角是直角的平行四边形是矩形． 平行四边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 矩 有一个角是直角的平行四边形是矩形 10．如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线． (1)求证：AF与DE互相平分； (2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由． (1)证明：∵线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线， ∴AD＝BD＝AB， AE＝CE，BF＝CF， ∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，EF＝AB， ∴EF＝AD，∴四边形ADFE是平行四边形， ∴AF与DE互相平分． (2)解：当AF＝BC时，四边形ADFE为矩形， 理由：∵线段DE为△ABC的中位线， ∴DE＝BC.又∵AF＝BC，∴AF＝DE. 又由(1)得四边形ADFE是平行四边形， ∴四边形ADFE为矩形． 11．如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H. (1)求证：四边形AGPH是矩形； (2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在 最小值？若存在，请求出最小值，若不存在， 请说明理由． (1)证明：∵AC＝9， AB＝12，BC＝15， ∴AC2＋AB2＝BC2. ∴∠A＝90°. ∵PG⊥AC，PH⊥AB， ∴∠AGP＝∠AHP＝90°. ∴四边形AGPH是矩形． (2)解：存在．连接AP. ∵四边形AGPH是矩形， ∴GH＝AP.当AP⊥BC时，AP最短． ∵S△ABC＝AC·AB＝BC·AP，∴9×12＝15·AP. ∴AP＝.∴GH的最小值为. 第3课时　平行四边形的判定 平行四边形的判定： (1)定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (2)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (3)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 平行且相等 平行 互相平分 如图，在▱ABCD中，过点B作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过点D作DN⊥AC于点F，交AB于点N. 求证：四边形BMDN是平行四边形． 【思路分析】只要证明DN∥BM，DM∥BN即可． 【自主解答】 【名师支招】证明一个四边形是平行四边形的方法较多，注意根据条件选择合适的方法． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB. ∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴DN∥BM， ∴四边形BMDN是平行四边形． 【易错原因】不能正确判断四边形是否为平行四边形 在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有________种． 【自主解答】 4 知识点1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 1．在四边形ABCD中，AD＝BC，若四边形ABCD是平行四边形，则还应满足 （ ） A．∠A＋∠C＝180° B．∠B＋∠D＝180° C．∠A＋∠B＝180° D．∠A＋∠D＝180° C 2．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠D＝∠DCE，则四边形ABCD是(选填“是”或“不是”)平行四边形，理由是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 是 一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形 知识点2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3．在四边形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，CD＝3，要使该四边形是平行四边形，则AD的长为 ( ) A．3 B．4 C．5 D．6 B 4．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD.若∠B＝65°，则∠ADC的大小为65 °. 65° 知识点3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 5．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件：BO＝DO(答案不唯一)(只写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形． BO＝DO(答案不唯一) 6．如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC， ∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO， 在△AOD和△COB中， ∴△AOD≌△COB(AAS)，∴OD＝OB， ∴四边形ABCD是平行四边形． 7．(嘉兴中考)如图，在△ABC中，AB＝AC＝8.点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是 ( ) A．8 B．16 C．24 D．32 B 8．如图，等腰直角三角板BDF的顶点放置在线段AC上，分别过顶点B，F作线段AC的垂线，垂足分别为C，A，点E为BC上的点，且CD＝BE，若BD的长为2，则AE的长为 ( ) A．3 B．3 C．2 D．2.5 C 9．如图，已知四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝AC，DO＝BD，AB＝3，AD＝5， (1)四边形ABCD是平行四边形； (2)四边形ABCD的周长为16. 平行 16 10．如图，E，F，G，H分别是▱ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝CG，BF＝DH.求证：四边形EFGH是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D. 又∵AE＝CG， ∴AB－AE＝CD－CG，即BE＝DG， 又∵∠B＝∠D，BF＝DH， ∴△BEF≌△DGH(SAS)， ∴EF＝GH.同理可证HE＝FG， ∴四边形EFGH是平行四边形． 11．如图，在四边形ABCD中，M是BC的中点，AM，BD互相平分且相交于点O.求证：AM＝DC，且AM∥DC. 证明：连接DM， ∵AM，BD互相平分， ∴四边形ABMD是平行四边形， ∴AD∥BM且AD＝BM. 又∵M是BC的中点，∴BM＝MC， ∴AD∥MC，且AD＝MC， ∴四边形AMCD是平行四边形， ∴AM＝DC，且AM∥DC. 12．(核心素养·推理能力)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12 cm，BC＝15 cm，点P自点A向点D以1 cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q自点C向点B以2 cm/s的速度运动，到点B即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t s. (1)用含t的代数式表示： AP＝tcm，DP＝(12－t)cm， CQ＝2tcm，BQ＝(15－2t)cm； (2)当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？ (3)当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？ t (12－t) 2t (15－2t) 解：(2)∵AD∥BC， 即AP∥BQ， ∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形， ∴t＝15－2t，解得t＝5， ∴当t＝5时，四边形APQB是平行四边形． (3)∵AD∥BC，即PD∥QC， ∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形， ∴12－t＝2t，解得t＝4， ∴当t＝4时，四边形PDCQ是平行四边形． 19.3.3　正方形 1．正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它的四个角都是直角，四条边都相等，对角线相等且互相垂直平分． 2．正方形是轴对称图形，它有4条对称轴． 3．正方形的判定方法： (1)有一组邻边相等的矩形是正方形； (2)有一个角是直角的菱形是正方形； (3)对角线互相垂直的矩形是正方形； (4)对角线相等的菱形是正方形． 直角 相等 相等且互相垂直平分 4 相等 直角 矩形 菱形 如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为 ( ) A.　 B．2　 C.＋1　 D．2＋1 【思路分析】由正方形的性质和已知条件得出△CEF是等腰直角三角形，进而求出EF的长，即可得解． 【自主解答】 【名师支招】在解决与正方形相关的问题时，常用到等腰三角形与直角三角形的性质及勾股定理． B 【易错原因】考虑问题不周全 以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE，连接BE，CE，则∠BEC的度数是________． 【自主解答】 30°或150° 知识点1：正方形的性质 1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A．四个角都是直角 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 C 2．如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点C在第一象限，则点C的坐标是 ( ) A．(6，3) B．(3，6) C．(0，6) D．(6，6) D 3．如图，正方形ABCD中，BD为对角线，且BE为∠ABD的平分线，并交CD的延长线于点E，则∠E＝22.5 °. 22.5° 4．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE＝CF.求证：△ABE≌△BCF. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°. 在△ABE和△BCF中， ∴△ABE≌△BCF(SAS)． 知识点2：正方形的判定 5．要使菱形ABCD成为正方形，需要添加的条件是 ( ) A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD D 6．如图是一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他判定是正方形的依据是有一组邻边相等的矩形是正方形． 有一组邻边相等的矩形是 正方形 7．(青岛中考)如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE的长度为 ( ) A. B. C．2 D．2 B 8．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是3 . 3 9．(邵阳中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA.求证：四边形AECF是正方形． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC， OB＝OD， ∵BE＝DF， ∴OE＝OF，∴四边形AECF是菱形． 又∵OE＝OA，∴OE＝OF＝OA＝OC， 即EF＝AC，∴菱形AECF是正方形． 10．已知正方形ABCD，将一个等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转． (1)当三角板旋转到如图的位置时，连接AE，AF，CE，试猜想CE与AF的数量关系，并加以证明； (2)在(1)的条件下，若DE∶AE∶CE ＝1∶∶3，求∠AED的度数． 解：(1)CE＝AF. 证明：由题意得AD＝CD， ∠ADC＝∠EDF＝90°， DF＝DE， ∴∠ADF＝∠CDE， ∴△ADF≌△CDE(SAS)， ∴CE＝AF. (2)设DE＝k，∴EF＝k. ∵DE∶AE∶CE＝1∶∶3，∴AE＝k，CE＝AF＝3k. ∵AE2＋EF2＝7k2＋2k2＝9k2，AF2＝9k2， 即AE2＋EF2＝AF2， ∴△AEF为直角三角形，且∠AEF＝90°. ∴∠AED＝∠AEF＋∠DEF＝90°＋45°＝135°. 微专题7：巧用等面积法求特殊四边形中两线段 之和为定值问题 【方法指导】在特殊四边形中，求两垂线段长度之和，可通过作辅助线，将它们转化为两个不同三角形的高线，用面积法求出它们长度的和即可． 【针对训练】 1．如图，菱形ABCD的周长为16，面积为12，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB，AD的垂线段PE，PF，则PE＋PF＝3 . 3 2．如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，AB＝6，BC＝8，则PE＋PF的值为. 3．如图，正方形ABCD的边长为1，点E为对角线BD上一点，且BE＝BC，点P为线段CE上一动点，且PM⊥BE于点M，PN⊥BC于点N，则PM＋PN的值为. 19.2　平行四边形 第1课时　平行四边形边、角的性质 1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 2．平行四边形的性质： 性质1：平行四边形的对边相等； 性质2：平行四边形的对角相等． 3．平行线间的距离：①夹在两条平行线之间的平行线段相等；②两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离． 平行 相等 相等 相等 任意一点 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，AE＝4 cm，AF＝6 cm，▱ABCD的周长为40 cm，求▱ABCD的面积． 【思路分析】设AB＝x cm，BC＝y cm，列出方程组，求出x，y的值，从而得出结论． 【自主解答】 设AB＝x cm，BC＝y cm，则 解得 ∴S▱ABCD＝4×12＝48(cm2)． 【易错原因】考虑问题不全面 在▱ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，则∠A的度数为____． 【自主解答】 55°或35° 知识点1：平行四边形的概念 1．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，则图中平行四边形共有 （ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 2．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成的四边形是平行四边形． 平行四边形 知识点2：平行四边形边、角的性质 3．已知平行四边形相邻两角的度数比为2∶3，则较大的角为 ( ) A．72° B．90° C．108° D．126° C 4．如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点．求证：BE＝DF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝CB. ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴AE＝AD，CF＝BC， ∴AE＝CF，∴△ABE≌△CDF，∴BE＝DF. 知识点3：两平行线之间的距离 5．如图，已知直线a∥b，点C，D在直线a上，点A，B在直线b上，线段BC，AD相交于点E，写出图中面积相等的三角形： S△ABC＝S△ABD，S△AEC＝S△DEB，S△ . S△ABC＝S△ABD，S△AEC＝S△DEB，S△ACD＝S△BCD 6．如图，在▱ABCD中，若∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝1，则▱ABCD的周长是 ( ) A.＋2 B．2 C．2＋2 D．2＋2 D 7．如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在A′处．若∠1＝∠2＝50°，则∠A′＝105°. 105° 8．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上两点，连接AE，CF.若BF＝DE，求证：∠BAE＝∠DCF. 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∴∠ABE＝∠CDF. ∵BF＝DE，∴BF－EF＝DE－EF.∴BE＝DF. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(SAS)．∴∠BAE＝∠DCF. 9．(核心素养·推理能力)如图，在▱ABCD中，点M在边AD上，且AM＝DM，CM，BA的延长线相交于点E. (1)求证：AE＝AB； 证明：∵AB∥CD， ∴∠E＝∠DCM， 又∵∠AME＝∠DMC，AM＝DM， ∴△AME≌△DMC(AAS)． ∴AE＝DC＝AB. (2)如果BM平分∠ABC，求证：BM⊥CE. 证明：∵BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠CBM＝∠AMB， ∴∠ABM＝∠AMB，∴AB＝AM. 又∵AB＝AE，AM＝DM， ∴BE＝AB＋AE＝2AB，AD＝AM＋DM＝2AM， ∴BE＝AD，∴BE＝BC. 又∵BM平分∠ABC，∴BM⊥CE. 微专题5：平行四边形中的等腰三角形模型 【方法指导】平行四边形＋角平分线→等腰三角形． 【模型展示】 【针对训练】 1．如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为 ( ) A．2　　　 B．4　　　 C．6　　　 D．8 B 2．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是 （ ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 B 3．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E，交CD的延长线于点F，则图中共有3 个等腰三角形． 3 第4课时　三角形的中位线 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 1．如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． 2．经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边． 3．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 4．三角形中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 相等 中点 平行 平分 中点 平行于 一半 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 如图，△ABC中，D是AB上一点，且AD＝AC，AE⊥CD于E，F是BC的中点．求证：EF＝(AB－AC)． 【思路分析】由于AB－AC＝AB－AD＝BD，故只 需证出EF为△CBD的中位线即可． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 【自主解答】 【名师支招】利用三角形的中位线定理可以证明两直线平行以及线段的倍分关系． ∵AD＝AC，AE⊥CD，∴CE＝ED. 又F是BC的中点， ∴EF为△CBD的中位线， ∴EF＝BD＝(AB－AD) ＝(AB－AC)． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 【易错原因】不能灵活运用三角形的中位线定理 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F，G分别是AD，AE的中点，且FG＝2 cm，则BC的长是________． 【自主解答】 8 cm 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 知识点1：平行线等分线段定理及推论 1．如图，AB∥CD∥EF，AC＝CE，则下列说法中正确的是 ( ) A．AB＝CD B．AB＝CD＝EF C．BD＝DF D．AC＝BD C 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 2．如图，D，E分别为AB的三等分点，DF∥EG∥BC，分别交AC于点F，G，若AC＝12，则AF＝4，GC＝4. 4 4 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 知识点2：三角形中位线定理及应用 3．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，若∠C＝65°，则∠AED的度数为 ( ) A．25° B．65° C．95° D．115° B 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 4．(长沙中考)如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50 m，则AB的长是10 0 m. 100 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 5．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝2，BC＝6，CD＝2.求证：BD⊥CD. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 证明：∵E，F分别是AB，AD的中点， ∴BD＝2EF. ∵EF＝2，∴BD＝4. 又∵BC＝6，CD＝2， ∴BD2＋CD2＝42＋(2)2＝62＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴BD⊥CD. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 6．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是 （ ） A．15° B．20° C．25° D．30° D 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点B，C的坐标分别是(－1，0)，(5，0)，D，E分别是AB，AC的中点，点D的坐标为(1，2)，则点E的坐标是 （ ） A．(3.5，2) B．(4，2) C．(2，3.5) D．(2，4) B 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 8．如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠ABC＝45°，点M是AD上一动点，点E，F，G分别是BM，CM，AM的中点， (1)△EFG是等腰直角三角形； (2)△EFG的周长为＋ 2. 等腰直角 2＋2 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 9．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，CE，AF分别交BD于点M，N，求证：BM＝MN＝ND. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∵E，F分别是AB，CD的中点， ∴AE＝AB，CF＝CD.∴AE＝CF. ∴四边形AECF是平行四边形．∴AF∥CE. 又∵F是CD的中点，∴DN＝MN. 同理，BM＝MN.∴BM＝MN＝ND. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 10．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD，AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，连接DH，求线段DH的长． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 解：延长CH交AB于点F， ∵AE为△ABC的角平分线， ∴∠FAH＝∠CAH. ∵CH⊥AE，∴∠AHF＝∠AHC＝90°. ∴△AHF≌△AHC(ASA)．∴AF＝AC，HF＝HC. ∵AC＝3，AB＝5， ∴AF＝AC＝3，BF＝AB－AF＝5－3＝2. ∵AD为△ABC的中线，∴DH是△BCF的中位线． ∴DH＝BF＝1. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 11．(核心素养·推理能力)如图，O是△ABC所在平面内一动点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，如果DEFG能构成四边形． (1)当O在△ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形； (2)当O点移到△ABC外时，第(1)题中的结论是否成立？ 画出图形并说明理由． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (1)证明：∵AD＝DB，AG＝GC，∴DG BC， 同理，EF BC，∴DG EF， ∴四边形DEFG是平行四边形． (2)解：成立．如答图，理由略． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 $$第2课时　平行四边形对角线的性质 平行四边形对角线互相平分． 互相平分 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AD，OF⊥BC，垂足分别是点E，F.求证：OE＝OF. 【思路分析】根据平行四边形对角线的性质可得OA＝OC，又由于OE⊥AD，OF⊥BC，易证得△AEO≌△CFO，从而得出OE＝OF. 【自主解答】 【名师支招】在解决(平行)四边形的计算、证明问题时，要随时联想并运用全等三角形的判定和性质等有关知识，这是常用、有效的重要途径． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC. ∴∠OAE＝∠OCF. 又∵OE⊥AD，OF⊥BC， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°. ∴△AOE≌△COF(AAS)． ∴OE＝OF. 【易错原因】无图形时未分类讨论 在▱ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，BD＝，则▱ABCD的面积为________． 【自主解答】 4＋2或4－2 知识点：平行四边形对角线的性质 1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法中一定正确的是 ( ) A．AO＝OD B．AO⊥OD C．AO＝OC D．AO⊥AB C 2．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若△AOB的面积为3，则▱ABCD的面积为 ( ) A．6 B．9 C．12 D．18 C 3．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝16，若△BCO的周长为14，则AD的长为 ( ) A．12 B．9 C．8 D．6 D 4．已知一个平行四边形的周长为28 cm，其两条对角线分得的相邻两个三角形的周长之差是4 cm，则其两邻边的长分别为5 cm，9 cm. 5．如图，在▱ABCD中，AC＝6，BD＝8，AC⊥BD，则AB的长为5. 5 cm，9 cm 5 6．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF，EF与AC相交于点P.求证：P是▱ABCD对角线的交点． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠AEP＝∠CFP. ∵BE＝DF，∴AE＝CF. 在△AEP和△CFP中， ∴△AEP≌△CFP(AAS)，∴PA＝PC， ∴P是▱ABCD对角线的交点． 7．▱ABCD的一边长为10，则它的两条对角线长可以是 ( ) A．10和12 B．12和32 C．6和8 D．8和10 A 8．如图，在▱ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14， (1)△AOD的周长是21； (2)△DBC比△ABC的周长长6. 21 6 9．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝，AC＝2，BD＝4，求AE的长． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝2，BD＝4， ∴AO＝OC＝1， BO＝OD＝2，又∵AB＝，∴AB2＋AO2＝BO2， ∴∠BAO＝90°，在Rt△BAC中， BC＝＝＝， ∵S△ABC＝AB·AC＝BC·AE， ∴AE＝＝＝. 10．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O任作一直线，分别交BA，DC的延长线于点E，F，交BC于点G. (1)求证：AE＝CF； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，OA＝CO， ∴∠OAE＝∠OCF， ∠E＝∠F， ∴△AOE≌△COF(AAS)， ∴AE＝CF. (2)连接DG，若EF⊥BD，△CDG的周长为16，求▱ABCD的周长． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO. 又∵EF⊥BD，∴BG＝DG， ∴C△CDG＝CD＋CG＋DG＝CD＋BC＝16， ∴C▱ABCD＝2(BC＋CD)＝32. 微专题6：平行四边形中的面积模型 【模型展示】 【针对训练】 1．如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则 ( ) A．S1＋S2＞　 B．S1＋S2＜ C．S1＋S2＝ D．S1＋S2的大小与P点位置有关 C 2．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF，GH过点O，且点E，H在边AB上，点G，F在边CD上，则阴影区域的面积与▱ABCD的面积的比值是 ( ) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. C 3．如图，已知▱ABCD的面积为24，点E为AD边上一点，则图中阴影部分的面积是12 . 12