第18章　勾股定理课件 2024-2025学年 沪科版数学八年级下册

第18章　勾股定理 18．1　勾股定理 第1课时　勾股定理 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 勾股定理： 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方． 平方和 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 知识点1：勾股定理 1．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为 ( ) A．5 B．6 C．7 D．8 A 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积．若S1＝3，S2＝10，则S3＝7 . 7 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1. (1)若∠B＝45°，则AB＝ ； (2)若∠B＝30°，则BC＝ . 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 知识点2：勾股定理的验证 4．利用如图①或图②所示的两个图形中的有关面积的等量关系能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理中的数量关系是a2＋b2＝c2. 勾股定理 a2＋b2＝c2 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 易错点：直角边不确定时漏解 5．若一个直角三角形的两条边长分别为6和10，则这个三角形的第三边长为8或2 . 8或2 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 6．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则面积为 （ ） A．96 B．49 C．24 D．48 C 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 7．(金华中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝ 2 cm.把△ABC沿AB方向平移1 cm，得到△A′B′C′，连接CC′，则四边形AB′C′C的周长为(8＋2 cm. (8＋2) 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 8．如图，螺旋形是由一系列等腰直角三角形组成的，其序号依次为①②③④⑤…若第1个等腰直角三角形的直角边长为a，则第2 024个等腰直角三角形的面积为22 022a2. 【解析】第n个等腰直角三角形的直角边长为()n－1a. 22 022a2 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为点N.求证：AN2－BN2＝AC2. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 证明：∵MN⊥AB于点N， ∴AN2＝AM2－MN2， BN2＝BM2－MN2. ∴AN2－BN2＝AM2－BM2. 又∵∠C＝90°，∴AM2＝AC2＋CM2. ∴AN2－BN2＝AC2＋CM2－BM2. 又∵AM是△ABC的中线， ∴CM＝BM.∴AN2－BN2＝AC2. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 $$章末复习与提升(三)　勾股定理 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 【考点突破】 考点1：勾股定理及其应用 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，则BC的长为 ( ) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. A 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 2．如图，点E在正方形ABCD的边AB上．若EB＝1，EC＝3，则正方形ABCD的面积为 ( ) A．2　　　 B．8　　　 C.　　　 D．10 B 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 3．如图，数轴上的点M表示的数是 （ ） A．－2 B．2 C．3－2 D．3＋2 C 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 4．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的长方形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该长方形的面积为 ( ) A．20 B．24 C. D. B 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 5．如图，一只蚂蚁要从A处沿圆柱体的侧面爬到B处，已知圆柱体的高是8，底面周长是12，则蚂蚁爬行的最短路程为1 0. 10 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 6．如图，四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成了一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b. (1)直角三角形的两直角边长的积ab＝6； (2)两直角边长的和的平方(a＋b)2＝25. 6 25 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 7．在如图所示的方格图中画出一个有一边长为的等腰三角形ABC，三角形的顶点必须在格点上(每个小正方形的顶点叫做格点)． 解：如图所示．(答案不唯一) 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 8．为了丰富少年儿童业余文化生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书阅览室，本社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB＝25 km，CA＝15 km，BD＝10 km.则阅览室E应建在距点A多远处，才能使它到C，D两所学校的距离相等？ 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 解：设AE＝x km，则BE＝(25－x)km， 在Rt△ACE中，CE2＝AC2＋AE2＝152＋x2， 在Rt△BDE中， ED2＝BE2＋BD2＝(25－x)2＋102， ∵CE＝DE，∴CE2＝DE2， 即152＋x2＝(25－x)2＋102， 解得x＝10， ∴阅览室E应建在距点A 10 km处，才能使它到C，D两所学校的距离相等． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 考点2：勾股定理的逆定理及其应用 9．以下列长度(单位：cm)为三边，能构成直角三角形的是 （ ） A．1，2，3 B.，， C．2，3，4 D．4，5，6 B 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 10．观察下列每组勾股数a，b，c，都满足a<b<c，62＋82＝102，82＋152＝172，102＋242＝262，122＋352＝372，…，a2＋b2＝c2，试根据已有的规律填空： (1)当a＝20时，b＝99，c＝101； (2)把b，c用含a的代数式表示： b＝－ 1 ，c＝＋ 1. 99 101 －1 ＋1 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 11．如图，已知A(1，2)，B(5，0)，O(0，0)．求证：OA⊥AB. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 证明：过点A作AC⊥OB于点C. ∵OA2＋AB2 ＝OC2＋AC2＋AC2＋BC2＝12＋22＋22＋(5－1)2＝25， OB2＝52＝25，∴OA2＋AB2＝OB2， ∴∠OAB＝90°，∴OA⊥AB. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 12．已知△ABC的三边长分别为m2＋n2，m2－n2，2mn. (1)当m＝2，n＝1时，△ABC是不是直角三角形？请说明理由； (2)当m＝3，n＝2时，△ABC是不是直角三角形？请说明理由； 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 解：(1)△ABC是直角三角形． 理由：∵当m＝2，n＝1时，(m2＋n2)2＝25， (m2－n2)2＝9，(2mn)2＝16， ∴(m2－n2)2＋(2mn)2＝(m2＋n2)2， ∴△ABC是直角三角形． (2)△ABC是直角三角形． 理由：当m＝3，n＝2时， 仍有(m2－n2)2＋(2mn)2＝(m2＋n2)2， ∴△ABC是直角三角形． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (3)当m，n为任意正整数时(m>n)，你能说明△ABC为直角三角形吗？ 解：∵(m2－n2)2＋(2mn)2＝(m2＋n2)2， ∴当m，n为任意正整数时(m>n)，△ABC是直角三角形． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 【综合提升】 13．(核心素养·推理能力)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝，DA＝1，且∠B＝90°. (1)求∠BAD的度数； (2)求四边形ABCD的面积(结果保留根号)； (3)将△ABC沿AC翻折至△AB′C，如图所示， 连接B′D，求四边形ACB′D的面积． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 解：(1)∵AB＝BC＝1，∠B＝90°， ∴∠BAC＝∠ACB＝45°， AC＝＝. 又∵CD＝，DA＝1， ∴AC2＋DA2＝CD2. ∴△ADC为直角三角形， 且∠DAC＝90°. ∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝135°. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (2)∵S△ABC＝AB·BC＝，S△ADC＝AD·AC＝， ∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (3)过点D作DE⊥AB′，垂足为E，由(1)知∠DAC＝90°. 根据折叠可知∠B′AC＝∠BAC＝45°， AB＝AB′＝1，S△AB′C＝S△ABC＝. ∴∠DAE＝∠DAC－∠B′AC＝45°.∴AE＝DE. 设DE＝AE＝x，在Rt△ADE中，AE2＋DE2＝AD2. ∴x2＋x2＝1，解得x＝(负值舍去)． ∴S△ADB′＝×1×＝.∴S四边形ACB′D＝S△AB′C＋S△ADB′＝＋＝. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 $$18.2　勾股定理的逆定理 第1课时　勾股定理的逆定理 1．勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 2．勾股数 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数． 等于 正整数 判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形． (1)在△ABC中，AB＝25，BC＝24， AC＝7； (2)三角形的三边长之比为5∶12∶13. 【思路分析】利用勾股定理的逆定理判断即可． 【自主解答】 (1)在△ABC中，∵AB2＝252＝625， BC2＋AC2＝242＋72＝625， ∴AB2＝BC2＋AC2， ∴△ABC是直角三角形． (2)设三边长分别为5k，12k，13k(k>0)， ∵(13k)2－(12k)2 ＝(13k＋12k)(13k－12k)＝25k2， (5k)2＝25k2，∴(5k)2＋(12k)2＝(13k)2， ∴这个三角形是直角三角形． 【名师支招】判断一个三角形是否为直角三角形，应先确定最长边，再分别计算最长边的平方与另两边的平方和． 【易错原因】直角边和斜边不确定 一个三角形的三边长分别为a＝，b＝2，c＝3，这个三角形____(选填“是”或“不是”)直角三角形． 【自主解答】 是 知识点1：勾股定理的逆定理 1．下列各组数中，可作为三边长构成直角三角形的是 （ ） A．5，8，10 B．1.5，2，2.5 C．7，8，9 D．1，，3 B 2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，(a＋b)(a－b)＝ c2，则下列结论中正确的是 （ ） A．△ABC是直角三角形，且∠A为直角 B．△ABC是直角三角形，且∠B为直角 C．△ABC是直角三角形，且∠C为直角 D．△ABC不是直角三角形 A 3．已知在△ABC中，AB＝k，AC＝k－1，BC＝3，则当k＝5时，∠C＝90°. 4．已知一个三角形的三边长分别为2，3，，则这个三角形的面积是3. 5 3 5．一个零件的形状如图所示，按规定，这个零件中∠A和∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸如下：AD＝4，AB＝3，BD＝5，DC＝12，BC＝13，则这个零件符合要求吗？为什么？ 解：这个零件符合要求． 理由：在△ABD中， AB2＋AD2＝32＋42＝25，BD2＝52＝25. ∴AB2＋AD2＝BD2，∴∠A＝90°， 同理可证∠BDC＝90°，∴这个零件符合要求． 知识点2：勾股数 6．下列各组数中不是勾股数的是 ( ) A．3，4，5 B．6，8，10 C．8，15，17 D．7，25，26 D 7．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请写出具有以上规律的第⑥组勾股数： 13，84，85. 【解析】第1个数为2n＋1，第2个数为2n(n＋1)． 13，84，85 8．若△ABC的三边a，b，c满足(a－b)2＋|a2＋b2－c2|＝0，则△ABC的形状是 （ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 C 9．如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高． (1)∠ABC的度数为90°； (2)BD的长为4. 90° 4 10．如图，在正方形ABCD(即四条边都相等，四个角都是直角)中，E为AB的中点，F是AD上一点，且AF＝AD.求证：△FEC是直角三角形． 证明：设正方形的边长为4a， 则AE＝EB＝2a，AF＝a，FD＝3a， 在Rt△AEF中， EF2＝a2＋(2a)2＝5a2， 在Rt△BCE中， CE2＝(2a)2＋(4a)2＝20a2， 在Rt△CDF中，CF2＝(3a)2＋(4a)2＝25a2， ∵CE2＋EF2＝CF2， ∴△FEC是直角三角形． 11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，CD＝PC＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数． 解：连接BD.∵CD⊥CP，CP＝CD＝2，∴△CPD为等腰直角三角形， ∴∠CPD＝45°. ∵∠ACP＋∠BCP＝∠BCP＋∠BCD＝90°， ∴∠ACP＝∠BCD.∵CA＝CB， ∴△CAP≌△CBD(SAS)，∴DB＝PA＝3. 在Rt△CPD中，DP2＝CP2＋CD2＝22＋22＝8. 又∵PB2＝1，DB2＝9， ∴DP2＋PB2＝8＋1＝9＝DB2，∴∠DPB＝90°， ∴∠BPC＝∠CPD＋∠DPB＝45°＋90°＝135°. 12．(核心素养·推理能力)张老师在一次“探究性学习”中设计了下表： n a b c 2 22－1 4 22＋1 3 32－1 6 32＋1 4 42－1 8 42＋1 5 52－1 10 52＋1 … … … … (1)请分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含n(n＞1，且是自然数)的式子表示a，b，c. a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1； (2)猜想以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形，并证明． n2－1 2n n2＋1 解：(2)是直角三角形． 证明：∵a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1， ∴a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝(n2＋1)2，c2＝(n2＋1)2. ∴a2＋b2＝c2， ∴以a，b，c为边长的三角形是直角三角形． 小专题(四)　利用勾股定理解决折叠问题 类型1：用勾股定理求折叠中线段的长度 1．如图，在长方形ABCD中，点E在DC上，将长方形沿直线AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则CF的长为 （ ） A．1 B. C. D．2 A 2．(鞍山中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D，E分别在AB，BC上，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点B′恰好落在AB上，连接CB′.若CB′＝BB′，则AD的长为7. 5. 7.5 3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′. (1)如图①，若点B′和顶点A重合，求CE的长； (2)如图②，若B′是AC的中点，求CE的长． (2)∵B′是AC的中点，∴CB′＝AC＝3. 设CE＝y，同(1)可列出方程y2＋32＝(8－y)2， 解得y＝，即CE的长为. 解：(1)设CE＝x，则BE＝8－x， 由题意得AE＝BE＝8－x. 由勾股定理得x2＋62＝(8－x)2， 解得x＝，即CE的长为. 类型2：用勾股定理求折叠中图形的面积 4．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为10 . 10 5．(核心素养·几何直观)如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠起来，使其对角顶点A与C重合，D与G重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4. (1)求DE的长； (2)连接DG，求△GED的面积． 解：(1)设DE＝EG＝x， 则AE＝8－x， 在Rt△AEG中， AG2＋EG2＝AE2， ∴16＋x2＝(8－x)2， 解得x＝3， ∴DE＝3. (2)过点G作GM⊥AD于点M， 则AG·GE＝AE·GM. ∵AG＝CD＝AB＝4，AE＝AD－DE＝5，GE＝DE＝3， ∴GM＝， ∴S△GED＝GM·DE＝. 第2课时　勾股定理的逆定理的应用 解与方向有关的实际应用题时，注意南北方向线与东西方向线互相垂直，正确运用这一条件并结合运用直角三角形有关性质是解此类题的常用方法． 如图，学校有一块三角形空地ABC，现计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉．经测量，∠EDC＝90°，DC＝6 m，CE＝10 m，BD＝14 m，AB＝16 m，AE＝2 m. (1)DE的长为____m； (2)求四边形ABDE的面积． 【思路分析】(1)在Rt△CDE中利用勾股定理即可求出DE.(2)先判断△ABE为直角三角形，连接BE，则S四边形ABDE＝S△ABE＋S△BDE. 【自主解答】 (1)8 (2)连接BE，易证△ABE是直角三角形，∠A＝90°， ∴S△ABE＝AB·AE＝×16×2＝16. ∵S△BDE＝BD·DE＝×14×8＝56， ∴S四边形ABDE＝S△ABE＋S△BDE＝72(m2)． 【名师支招】利用勾股定理的逆定理解题时一定要先判断三角形为直角三角形. 知识点：勾股定理的逆定理的应用 1．有两根长度分别为15 cm和25 cm的小木棒，在下列长度的小木棒中选取一根，使之与已有的两根搭成一个直角三角形，应该选取 ( ) A．40 cm B．30 cm C．20 cm D．17 cm C 2．已知A，B，C三地的两两距离如图所示，B地在A地的正西方向，那么B地在C地的 ( ) A．正南方向 B．正北方向 C．正东方向 D．正西方向 A 3．小明和小刚两人同时从学校步行去公园，速度都是50 m/min，小明从学校直接去公园走直线用了10 min，而小刚走直线从学校出发先回家用时6 min，再从家去公园用时8 min，则小刚从学校到公园走了个 （ ） A．锐角弯 B．钝角弯 C．直角弯 D．不能确定 C 4．如图，木工师傅要做一个长方形(即四个角都是直角)桌面，做好后量得AB＝DC＝5 m，AD＝BC＝12 m，AC＝13 m，则这个桌面合 格(选填“合格”或“不合格”)． 合格 5．某村在两个山丘之间修建一个如图所示的三角形小水库，经了解，水库的平均水深是10 m，三条边岸的长度分别是AB＝75 m，BC＝45 m，AC＝60 m，你能求出这座水库的蓄水量吗？ 解：∵AB＝75 m，BC＝45 m，AC＝60 m， ∴AC2＋BC2＝602＋452＝752＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴S△ABC＝AC·BC＝×60×45＝1 350(m2)， ∴这座水库的蓄水量大约为1 350×10＝13 500(m3)． 6．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是40 m/min，甲客轮用30 min到达A处，乙客轮用40 min到达B处．若A，B两处的直线距离为2 000 m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是 北偏西60°或南偏 东60°. 北偏西60°或南偏东60° 7．如图，在△ABC中，AB∶BC∶CA＝3∶4∶5，且周长为36 cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1 cm的速度移动，点Q从点B沿BC边向点C以每秒2 cm的速度移动，如果同时出发，那么第3 s时△BPQ的面积为多少？ 解：设AB＝3x，BC＝4x，CA＝5x， ∴3x＋4x＋5x＝36，解得x＝3. ∴AB＝9，BC＝12，AC＝15. ∵AB2＋BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴S△PBQ＝BP·BQ ＝×(9－3)×6＝18(cm2)． ∴当同时出发3 s时△BPQ的面积为18 cm2. 8．有一旅游景点C在一条笔直河流的一侧，河边有两个码头A，B，并且AB＝AC.由于某种原因，由C到A的路已经不通，为方便游客，决定在河边H点新建一个码头(点A，H，B在同一直线上)，并新修建一条笔直的公路CH，测得BC＝10 km，CH＝8 km，BH＝6 km. (1)判断△BCH的形状，并说明理由； 解：△BCH是直角三角形．理由：在△BHC中， ∵CH2＋BH2＝82＋62＝100，BC2＝100， ∴CH2＋BH2＝BC2， ∴△BCH是直角三角形，且∠CHB＝90°. (2)求原路线AC的长． 解：设AC＝AB＝x km，则AH＝(x－6)km. 在Rt△ACH中，由勾股定理得AC2＝AH2＋CH2， ∴x2＝(x－6)2＋82，解得x＝. ∴原路线AC的长为km. 9．(核心素养·应用意识)拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150 m和200 m，又AB＝ 250 m，拖拉机周围130 m以内为受噪声影响区域． (1)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (2)若拖拉机的行驶速度为每分钟200 m， 拖拉机噪声影响该学校的时间有多长？ 解：(1)学校C会受噪声影响． 理由：过点C作CD⊥AB于点D， ∵AC＝150 m，BC＝200 m，AB＝250 m， ∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC是直角三角形． ∴AC·BC＝CD·AB，∴150×200＝250CD， ∴CD＝＝120(m)＜130 m， ∴学校C会受噪声影响． (2)如图，当EC＝130 m，FC＝130 m时，正好影响C学校， ∵ED＝＝＝50， ∴EF＝100， 100÷200＝0.5(min)． 答：拖拉机噪声影响该学校的时间有0.5 min. 小专题(五)　网格作图中的勾股定理 1．(临沂中考)如图，每个小格的长度均为1，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为 ( ) A. B. C．2 D．3 B 2．如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，A，B，C均为格点．以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为 （ ） A. B. C. D．2－ D 3．如图，在4×4的方格纸上，每个小正方形的边长都为1. (1)在方格纸上画一个面积为8的正方形(4个顶点都在格点上)； (2)用圆规在数轴上找出表示的点(保留作图痕迹)． 解：(1)如图， 正方形ABCD即为所求． (2)如图，E为表示的点． 小专题(六)　古代数学问题中的勾股定理 1．有诗曰：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”(注：1步＝5尺，示意图如图) ( ) A．12尺 B．13.5尺 C．14.5尺 D．15.5尺 C 2．《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部有3尺远．问原处还有多高的竹子．(1丈＝10尺)如图，则AC的长为 ( ) A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 B 3．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何．题目大意如下：如示意图，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺＝10寸)，求AB的长． 解：过点D作DE⊥AB于点E.由题意得 DE＝10寸，OE＝CD＝1寸． 设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸， 则AB＝2r寸，AE＝(r－1)寸． 在Rt△ADE中，(r－1)2＋102＝r2， 解得r＝50.5，∴AB＝101寸. 第2课时　勾股定理的应用 在将实际问题转化为数学问题时，关键是画出符合题意的图形，把实际问题转化为几何问题，然后利用直角三角形或构造直角三角形，运用 勾股定理求解． 勾股定理 知识点：勾股定理的应用 1．如图，一竖直的木杆在离地面3 m处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端4 m处，木杆折断之前的高度为 （ ） A．7 m B．8 m C．9 m D．12 m B 2．如图，在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24 m处有一建筑工地B，现要在A，B间建一条直水管，则水管的长度至少应为 m. 40 3．如图，有两棵树AB和CD，AB＝10 m，CD＝4 m，两树之间的距离BD＝8 m，一只鸟从A处飞到C处，则小鸟至少飞行10 m. 10 易错点：未看准图形 4．如图，数轴上点B，C表示的数分别是1，－2，过点B作AB垂直于数轴，AB的长为1个单位长度，以点C为圆心，CA长为半径画弧交数轴于点P，则点P表示的数是－ 2. －2 5．如图，小明将一张长为20 cm，宽为15 cm的长方形纸(AE＞DE)剪去了一角，量得AB＝6 cm，CD＝8 cm，则剪去的直角三角形的斜边长为15 cm. 15 cm 6．如图是一个长方体盒子，底面长AB＝3，宽BC＝4，高BD＝5，F是DE边的中点，A处有一只蚂蚁，F处有一块蛋糕，则蚂蚁沿长方体盒子表面爬行到F处的最短距离是5 . 5 7．(核心素养·应用意识)如图是一副秋千架，图①是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5 m(踏板厚度忽略不计)，图②是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B的位置时，点B离地面的垂直高度BC为1 m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5 m(不考虑支柱的直径)．求秋千支柱AD的高． 解：设AD＝x m．由题意，得 AB＝(x－0.5) m， AE＝(x－1) m. 在Rt△ABE中， AE2＋BE2＝AB2， 即(x－1)2＋1.52＝(x－0.5)2，解得x＝3. 答：秋千支柱AD的高为3 m.