第17章　一元二次方程课件 2024-2025学年 沪科版数学八年级下册

章末复习与提升(二)　一元二次方程 【考点突破】 考点1：一元二次方程的有关概念 1．下列方程中，属于一元二次方程的是 ( ) A．x－1＝2x－3 B．2x－x2＝0 C．3x－2＝y D.－x＋3＝0 B 2．把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般式为x2－3x＋10＝0，其中a＝1，b＝－3，c＝10. 3．(娄底中考)若m是方程x2－2x－1＝0的根，则m2＋＝6. x2－3x＋10＝0 1 －3 10 【解析】由题可得m2－2m－1＝0，且m≠0，∴m－2－＝0，m－＝2，2＝4，∴m2＋－2＝4，m2＋＝6. 6 考点2：一元二次方程的解法 4．(赤峰中考)用配方法解方程x2－4x－1＝0时，配方后正确的是 （ ） A．(x＋2)2＝3 B．(x＋2)2＝17 C．(x－2)2＝5 D．(x－2)2＝17 C 5．(怀宁县期中)一个三角形两边长分别为3和5，第三边长是方程x2－8x＋12＝0的根，则该三角形的周长为14. 6．定义一种运算“*”：当a≥b时，a*b＝a2＋b2；当a＜b时，a*b＝a2－b2.则方程x*2＝12的解是x1＝2，x2＝－4. 14 x1＝2，x2＝－4 7．用适当的方法解下列方程： (1)(x－2)(x－3)＝6； 解：整理得x2－5x＝0， ∴x(x－5)＝0. ∴x＝0或x－5＝0. 解得x1＝0，x2＝5. (2)x2＋2x＋2＝0； 解：配方，得(x＋)2＝1. 开平方，得x＋＝±1， ∴x1＝－＋1，x2＝－－1. (3)4(2x＋1)2－1＝24； 解：移项得4(2x＋1)2＝25， ∴(2x＋1)2＝. ∴2x＋1＝±. ∴x1＝，x2＝－. (4)x2－5＝2(x＋1)． 解：x2－2x－7＝0， a＝1，b＝－2，c＝－7， b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－7)＝32＞0. ∴x＝＝＝1±2， ∴x1＝1＋2，x2＝1－2. 考点3：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 8．若方程x2－3x－4＝0的两根分别为x1和x2，则＋的值是 ( ) A．1 B．2 C．－ D．－ C 9．若关于x的一元二次方程bx2＋2bx＋4＝0有两个相等的实数根，则b的值为4 . 4 10．(随州中考)已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不等实数根x1，x2. (1)求k的取值范围； (2)若x1x2＝5，求k的值． 解：(1)根据题意得Δ＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＞0， 解得k＞. (2)根据题意得x1x2＝k2＋1， ∵x1x2＝5，∴k2＋1＝5， 解得k1＝－2，k2＝2， ∵k＞，∴k＝2. 考点4：一元二次方程的应用 11．(广西中考)据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为 ( ) A．3.2(1－x)2＝3.7　 B．3.2(1＋x)2＝3.7 C．3.7(1－x)2＝3.2　 D．3.7(1＋x)2＝3.2 B 12．北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚忍的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．某特许零售店“冰墩墩”的销售火爆．据调查“冰墩墩”每盒进价8元，售价12元． (1)商店老板计划首月销售330盒，经过首月销售，老板发现单盒“冰墩墩”售价每增加1元，月销量就将减少20盒，最低月销量为270盒，则每盒售价最高为多少元？ (2)实际销售时，售价比(1)中最高售价减少了2a元，月销量比(1)中最低销量增加了60a盒，于是月销售利润达到了1 650元，求a的值． 解：(1)设每盒的售价为x元，则月销售量为 330－20(x－12)＝570－20x， 依题意得570－20x≥270，解得x≤15. 答：每盒售价最高为15元． (2)依题意得(15－2a－8)×(270＋60a)＝1 650， 解得a1＝1，a2＝－2(不合题意，舍去)． 答：a的值为1. 【综合提升】 13．某小区计划用40 m的篱笆围一个长方形花坛，其中一边靠墙(墙足够长，篱笆要全部用完)． (1)如图①，AB为多少米时，长方形ABCD的面积为200 m2? (2)如图②，长方形EMNF的面积比(1)中的长方形ABCD面积小20 m2，小明认为只要此时长方形的长MN比图①中长方形的长BC少2 m就可以了．请通过计算，判断小明的想法是否正确． 解：(1)设AB＝x m，则BC＝(40－2x)m， 依题意得x(40－2x)＝200， 整理得x2－20x＋100＝0， 解得x1＝x2＝10. 答：AB为10 m时，长方形ABCD的面积为200 m2. (2)由(1)可知：BC＝40－2x＝40－2×10＝20. ∵MN＝BC－2＝20－2＝18(m)， ∴EM＝＝＝11(m)， ∴长方形EMNF的面积＝MN·EM＝18×11＝198(m2)， 200－20＝180≠198， ∴小明的想法不正确． 小专题(二)　一元二次方程的应用 1．某校去年投资2万元购买实验器材，预期明年的投资额为8万元．若该校这两年购买实验器材的投资的年平均增长率为x，则下面所列方程中正确的是 （ ） A．2(1＋2x)＝8 B．2(1＋x)2＝8 C．8(1－2x)＝2 D．8(1－x)2＝2 B 2．如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点……第n行有n个点，容易发现，三角形点阵中前4行的点数和是10，若三角形点阵中前a行的点数之和为300，则a的值为2 4. 24 3．如图，某中学有一块长30 m，宽20 m的矩形空地，计划在这块空地面积的一半区域种花，其余部分硬化．小亮同学设计了一个宽度均为x m的“U”形区域种花，则花带的宽度为5 m. 5 4．有一个人收到短信后，再用手机转发该短信，每人只转发一次，经过两轮转发后共有133人收到该短信，则每轮转发中平均一个人转发给几个人？ 解：设每轮转发中平均一个人转发给x个人， 由题意得1＋x＋x2＝133， 解得x1＝11，x2＝－12(不合题意，舍去)， 答：每轮转发中平均一个人转发给11个人． 5．西部建设中，某工程队承包了一段72 km的铁轨的铺设任务，计划若干天完成，在铺设完一半后，增添工作设备，改进了工作方法，这样每天比原计划可多铺3 km，结果提前了2天完成任务．原计划每天铺多少千米？计划多少天完成任务？ 解：设原计划每天铺x km.根据题意，得 ＝＋＋2. 整理，得x2＋3x－54＝0. 解得x1＝6，x2＝－9(不合题意，舍去)． 经检验，x＝6是原方程的根， 当x＝6时，＝12(天)． 答：原计划每天铺6 km，计划12天完成任务． 6．某商场计划购进一批书包，经市场调查发现：某种进货价格为30元/个的书包以40元/个的价格出售时，平均每月可售出600个，并且每个书包的售价每提高1元，则每月的销售量就减少10个． (1)若售价定为42元/个，则每月可售出书包多少个？ (2)若书包的月销售量为300个，则每个书包的售价为多少元？ (3)当该商场每月销售这种书包有10 000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，销售价格应定为多少？ 解：(1)当售价为42元/个时，每月可售出的书包个数为600－10×(42－40)＝580(个)． (2)当书包的月销售量为300个时，每个书包的售价为40＋(600－300)÷10＝70(元)． (3)设销售价格定为x元/个，根据题意，得 (x－30)[600－10(x－40)]＝10 000， 整理，得x2－130x＋4 000＝0. 解得x1＝50，x2＝80. 当x＝50时，销售量为600－10×(50－40)＝500(个)； 当x＝80时，销售量为600－10×(80－40)＝200(个)． 因此为体现“薄利多销”的销售原则，销售价格应定为50元/个． 小专题(三)　一元二次方程中的易错问题 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 易错点1：忽视了一元二次方程的二次项系数不为0 1．若方程(k－1)x2＋x＝1是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是 （ ） A．k≠1 B．k≥0 C．k≥0且k≠1 D．k为任意实数 C 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 2．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－4＝0的常数项为0，则m的值为 （ ） A．－2 B．2 C．－2或2 D．0 A 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 3．关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ( ) A．m＜－1 B．m＞0 C．m＜1且m≠0 D．m＞0且m≠1 D 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 易错点2：方程不化为一般形式导致系数弄错 4．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a，b，c的值．对于方程－4x2＋3＝5x，下列叙述中正确的是 ( ) A．a＝－4，b＝5，c＝3 B．a＝－4，b＝－5，c＝3 C．a＝4，b＝5，c＝3 D．a＝4，b＝－5，c＝－3 B 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 5．一元二次方程2x2＝3－6x的根的判别式的值为60. 6．一元二次方程2x2＋(m＋1)x－1＝x(x－1)的一次项系数是3，则m＝1. 60 1 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 易错点3：利用根与系数的关系求值时忽略Δ≥0 7．若x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，且x1＋x2＝1－x1x2，则m的值为 （ ） A．－1或2 B．1或－2 C．－2 D．1 D 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 8．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个实数根x1，x2. (1)求实数m的取值范围； (2)是否存在m使得－＝0成立？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵原方程有两个实数根， ∴Δ＝(2m－1)2－4m2＝－4m＋1≥0， ∴m≤. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (2)假使存在实数m使得-＝0， ∴x1＋x2＝0或x1＝x2， 当x1＋x2＝0时，－(2m－1)＝0， ∴m＝＞(舍去)； 当x1＝x2时，Δ＝0，∴m＝. ∴存在m使-＝0成立，此时m＝. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 易错点4：与三角形结合时忘记取舍 9．等腰三角形ABC的三边长分别为a，b，c，其中a＝5.若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋6－b＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长． 解：∵关于x的方程x2＋(b＋2)x＋6－b＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(b＋2)2－4(6－b)＝0， 即b2＋8b－20＝0，解得b＝2或b＝－10(舍去)． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 ①当a为底边长，b为腰长时，△ABC的三边长分别为5，2，2，而2＋2＜5，不能构成三角形， ∴此种情况不成立； ②当a为腰长，b为底边长时，△ABC的三边长分别为5，5，2，能构成三角形， 此时△ABC的周长为5＋5＋2＝12. 综上所述，△ABC的周长是12. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 $$17.3　一元二次方程根的判别式 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 1．一元二次方程根的判别式 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式Δ＝b2－4ac. b2－4ac 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 2．一元二次方程根的判别式的运用 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况由“Δ”的符号来判定： (1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ＝b2－4ac<0时，方程没有实数根； (3)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根：x1＝x2＝－. > < ＝ － 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况： (1)2x－5＝x2； (2)3x－x2－＝0. 【思路分析】先将各方程化为一般形式，再求出Δ的值，然后与0比较． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 【自主解答】 (1)x2－2x＋5＝0， ∵a＝1，b＝－2，c＝5， ∴Δ＝b2－4ac＝4－20＝－16＜0， ∴原方程无实数根． (2)∵a＝－，b＝3，c＝－， ∴Δ＝b2－4ac＝18－18＝0， ∴原方程有两个相等的实数根． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 【易错原因】忽略一元二次方程的二次项系数不为0 关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 【自主解答】 k>－1且k≠0 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 知识点1：利用“Δ”判断方程根的情况 1．一元二次方程x2＋3x－2＝0根的情况为 ( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定 A 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 2．下列方程中，没有实数根的是 ( ) A．x2－2x＝0 B．x2－2x－1＝0 C．x2－2x＋1＝0 D．x2－2x＋2＝0 D 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 3．一元二次方程2x2－3x＋4＝0中，Δ＝－23，该方程的根的情况为 无实数根． －23 无实数根 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 4．不解方程，判断下列方程根的情况． (1)2x2－2x＋1＝0； 　 解：a＝2，b＝－2，c＝1， Δ＝b2－4ac＝－4<0， ∴此方程无实数根． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (2)3(x2－1)－5x＝0. 解：化为一般形式为3x2－5x－3＝0. ∵a＝3，b＝－5，c＝－3， ∴Δ＝b2－4ac＝61>0. ∴此方程有两个不相等的实数根． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 知识点2：利用根的判别式求字母的值或取值范围 5．(眉山中考)关于x的一元二次方程x2－2x＋m－2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ( ) A．m＜ B．m＞3 C．m≤3 D．m＜3 D 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 6．(安徽中考)若一元二次方程2x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，则m＝2 . 2 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 7．若一元二次方程mx2－3x＋2＝0有实数根，求实数m的取值范围． 解：依题意，得 ∴m≤且m≠0. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 8．已知一元二次方程ax2＋x＋1＝0有两个相等的实数根，则a，b的值可能是 （ ） A．a＝－1，b＝－4 B．a＝0，b＝0 C．a＝1，b＝2 D．a＝1，b＝4 D 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 9．(河南中考)定义运算：m☆n＝mn2－mn－1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7.则方程1☆x＝0的根的情况为 （ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 A 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 10．(连云港中考)已知关于x的一元二次方程ax2＋2x＋2－c＝0有两个相等的实数根，则＋c的值为2 . 2 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 11．已知关于x的一元二次方程(m2－1)x2＋2(m－2)x＋1＝0有实数根， (1)m的取值范围为 且m ≠±1； (2)当m取最大整数值时，3x2＋12x＋3的值为6 . m≤且m≠±1 6 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 12．(广州中考)已知T＝(a＋3b)2＋(2a＋3b)·(2a－3b)＋a2. (1)化简T； (2)若关于x的方程x2＋2ax－ab＋1＝0有两个相等的实数根，求T的值． 解：(1)T＝a2＋6ab＋9b2＋4a2－9b2＋a2 ＝6a2＋6ab. (2)∵关于x的方程x2＋2ax－ab＋1＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2a)2－4(－ab＋1)＝0. ∴a2＋ab＝1. ∴T＝6×1＝6. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 13．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0. (1)当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况； (2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根． 解：(1)由题意得a≠0，当b＝a＋2时， Δ＝b2－4a＝(a＋2)2－4a＝a2＋4. ∵a2>0，∴Δ>0. ∴方程有两个不相等的实数根． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (2)∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2－4a＝0， 取b＝2，a＝1，符合b2－4a＝0， 则方程变形为x2＋2x＋1＝0， 解得x1＝x2＝－1.(答案不唯一) 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 14．(运算能力)已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋4＝0. (1)求证：这个方程总有两个实数根； (2)若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边b，c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (2)解：若底边为a＝4，则b＝c，Δ＝(2k－3)2＝0， ∴k＝，x1＝x2＝2，有b＋c＝a，不能构成三角形；若腰为a＝4时，显然4是该方程的一个根，代入可得k＝，从而解得x1＝2，x2＝4， ∴△ABC的周长为10. (1)证明：∵Δ＝(2k＋1)2－4×4 ＝(2k－3)2≥0， 故方程总有两个实数根． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 $$第17章　一元二次方程 17．1　一元二次方程 1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式为ax2＋b x＋c＝0(a≠0)，其中ax2叫做二次项，a是二次项的系数；bx叫做一次项，b是一次项系数，c叫做常数项，a，b，c是任意实数，且a≠0. 一个 2 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) ax2 一次项 一次项系数 常数项 任意实数 a 把方程(x＋2)(x－1)＝6化为一般形式为____，其二次项系数为____，一次项系数为____，常数项为____． 【思路分析】先对方程进行整理，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形，化为一般形式，再指出二次项系数、一次项系数、常数项． 【自主解答】 x2＋x－8＝0；1；1；－8. 【名师支招】一元二次方程的一般形式中，各项的系数及常数项都要带上它前面的符号． 【易错原因】忽视一元二次方程二次项系数a≠0这一条件 已知方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 【自主解答】 2 B 知识点1：一元二次方程的概念及根 1．下列方程中是一元二次方程的是 （ ） A．3x2＋x3＝0 B．(3x－1)(3x＋1)＝3 C．x2－2x＝x2 D．2x－3y＋1＝0 2．若关于x的方程(a－2)x2－2ax＋a＋2＝0是一元二次方程，则a的值是 （ ） A．2 B．－2 C．0 D．不等于2的任意实数 D 1 3．(广州中考)若x＝1是方程x2－2x＋a＝0的根，则a＝1 . C 知识点2：一元二次方程的一般形式 4．一元二次方程5x2－4x－1＝0的二次项系数和一次项系数分别为( ) A．5，－1 B．5，4 C．5，－4 D．5x2，－4x 5．将2x(x－1)＝3(x＋5)＋4化为一元二次方程的一般形式为 2x2－5x－19＝0，其二次项系数是2，一次项系数是－5，常数项是－19. 2x2－5x－19＝0 2 －5 －19 C 知识点3：一元二次方程的模型 6．(新疆中考)临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为 （ ） A．8(1＋2x)＝11.52 B．2×8(1＋x)＝11.52 C．8(1＋x)2＝11.52 D．8(1＋x2)＝11.52 7．(瑶海区期中)参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了 15次，若设共有x人参加同学聚会，列方程得x( x－1)＝15. x(x－1)＝15 D 8．合肥市某广场准备修建一个面积为200 m2的矩形草坪，它的长比宽多10 m，设草坪的宽为x m，则可列方程为 ( ) A．x(x－10)＝200 B．2x＋2(x＋10)＝200 C．2x＋2(x－10)＝200 D．x(x＋10)＝200 9．已知a是方程2x2－4x－9＝0的一个根，则a2－2a＝. 10．已知关于x的方程(k2－1)x2＋(k－1)x－3＝0. (1)当k为何值时是一元一次方程？ (2)当k为何值时是一元二次方程？ 解：(1)当k2－1＝0，且k－1≠0时，即k＝－1时，此方程是一元一次方程． (2)当k2－1≠0，即k≠±1时，此方程是一元二次方程． 11．关于x的一元二次方程(x－1)2＝2(x＋m)－3的一个根为－2. (1)求m的值； (2)将方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 解：(1)把x＝－2代入原方程，得 (－2－1)2＝2(－2＋m)－3.解得m＝8. (2)一般形式为x2－4x－12＝0， 二次项系数为1， 一次项系数为－4， 常数项为－12. 12．古算趣题：“笨伯执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭，有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服．“其大意是：笨伯拿竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门宽4尺，竖着比门高2尺．他的邻居教他沿着门的对角线斜着拿竿，笨伯一试，刚好进去．则竹竿有多少尺？请列出一元二次方程，并化成一般形式． 解：设竿长为x尺， 由题意得(x－2)2＋(x－4)2＝x2. 化简得x2－12x＋20＝0. 微专题2：巧用一元二次方程根的定义求值 【方法指导】①已知一元二次方程的根求方程中待定字母的值时，一般将根代入原方程中即可求解；②已知一元二次方程的根求代数式的值时，若方程中的参数无法求出，应采用整体思想解决问题，将所求代数式的一部分看成一个整体，通常这部分通过已知条件可求出，将其整体代入即可求解． 【针对训练】 1．(黔东南州中考)若关于x的一元二次方程x2－ax＋6＝0的一个根是2，则a的值为 ( ) A．2　　　 B．3　　　 C．4　　　 D．5 D 2．已知m为方程x2＋3x－2 024＝0的根，那么m3＋2m2－2 027m＋2 024的值为 （ ） A．－2 023 　B．0 C．2 023 D．4 046 【解析】m3＋2m2－2 027m＋m2＋3m＝m(m2＋3m)－2 024m＝0. B 3．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋2n＝0的根，则m＋n＝－ 2. －2 17.2.3　因式分解法 1．因式分解法的概念：通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法． 2．理论依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0，即若a·b＝0，则a＝0或b＝0；反之，如果两个因式中有一个等于0，那么它们的积就等于0. 3．一元二次方程的解法： 一元二次方程共有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法． 一元一次方程 0 a＝0 b＝0 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 用因式分解法解方程： 4x(x－5)－3(5－x)＝0. 【思路分析】可将方程变形为4x(x－5)＋3(x－5)＝0，再用提公因式法将左边因式分解． 【自主解答】 将原方程整理，得4x(x－5)＋3(x－5)＝0， (x－5)(4x＋3)＝0， ∴x－5＝0或4x＋3＝0，∴x1＝5，x2＝－. 【名师支招】用因式分解法解方程的步骤是先将方程整理成适合因式分解的形式，常用到的分解因式的方法：提取公因式法和公式法． 【易错原因】方程两边同除以含有未知数的代数式导致漏解 一元二次方程x2＝2x的根为________． 【自主解答】 x1＝0，x2＝2 知识点1：解形如“AB＝0”或“A(x＋m)＝nA”的一元二次方程 1．方程x(x＋2)＝0的根是 ( ) A．x＝2 　　　　　　 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝－2 　　　　　　 D．x1＝0，x2＝2 C 2．方程x(x＋1)＝5(x＋1)的解是 ( ) A．x＝5 　　　　　　 B．x1＝1，x2＝5 C．x1＝－1，x2＝－5 　　　　　　 D．x1＝－1，x2＝5 D 3．一元二次方程x2－3x＝0的解为x1＝0，x2＝3. 4．一元二次方程7x2－21＝0的解为x1＝，x2＝－. x1＝0，x2＝3 x1＝，x2＝－ 5．用因式分解法解下列方程： (1)2x(x－4)＝0； 解：2x＝0或x－4＝0， ∴x1＝0，x2＝4. (2)3x(x－2)＝2－x. 解：3x(x－2)＋(x－2)＝0， (x－2)(3x＋1)＝0， ∴x1＝2，x2＝－. 知识点2：解形如“x2＋(a＋b)x＋ab＝0”的一元二次方程 6．(天津中考)方程x2＋4x＋3＝0的两个根为 ( ) A．x1＝1，x2＝3 　　　　　　 B．x1＝－1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝－3 　　　　　　 D．x1＝－1，x2＝－3 D 7．用因式分解法解下列方程： (1)x2＋x－12＝0； (2)x2－3x－28＝0. 解：(x－7)(x＋4)＝0， ∴x1＝7，x2＝－4. 解：(x＋4)(x－3)＝0， ∴x1＝－4，x2＝3. 　　　　　　 知识点3：用适当的方法解一元二次方程 8．解方程2(5x－1)2＝3(5x－1)的最适当的方法是 （ ） A．直接开平方法 　　　　　　 B．配方法 C．公式法 　　　　　　 D．因式分解法 D 9．对方程①(2x－1)2＝5；②x2－x－1＝0；③x(x－)＝－x，选择合适的解法依次是 ( ) A．因式分解法、公式法、因式分解法 B．直接开平方法、公式法、因式分解法 C．公式法、配方法、公式法 D．直接开平方法、配方法、公式法 B 10．若实数x，y满足(x2＋y2＋1)(x2＋y2－2)＝0，则x2＋y2的值为 ( ) A．1 B．2 C．2或－1 D．－2或－1 B 11．(广安中考)一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2－6x＋8＝0的根，则这个三角形的周长为12 . 12 12．用因式分解法解下列方程： (1)(3x＋2)2－4x2＝0； 解：(3x＋2＋2x)(3x＋2－2x)＝0， (5x＋2)(x＋2)＝0， ∴x1＝－，x2＝－2. (2)2(x－3)2＝x2－9； 解：2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)， 2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0， (x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0， (x－3)(x－9)＝0， ∴x－3＝0或x－9＝0， ∴x1＝3，x2＝9. (3)x(2x－5)＝4x－10； 解：x(2x－5)＝2(2x－5)， x(2x－5)－2(2x－5)＝0， (2x－5)(x－2)＝0， ∴x1＝，x2＝2. (4)(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝13. 解：原方程可化为x2＋2x－8＝0， (x－2)(x＋4)＝0， ∴x1＝2，x2＝－4. 13．已知关于x的方程x2－2 024x＋m2－3m＝0的一个根与关于x的方程x2＋2 024x－m2＋3m＝0的一个根互为相反数，求m的值． 解：设这两个方程的根分别为a，－a. 把x＝a代入方程x2－2 024x＋m2－3m＝0，得 a2－2 024a＋m2－3m＝0.① 把x＝－a代入方程x2＋2 024x－m2＋3m＝0，得a2－2 024a－m2＋3m＝0.② ①－②，得2m2－6m＝0， 解得m＝3或m＝0. 14．(核心素养·创新能力)解方程(x－1)2－5(x－1)＋4＝0时，我们可以将x－1看成一个整体，设x－1＝y，则原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，解得x＝2；当y＝4时，解得x＝5，所以原方程的解为x1＝2，x2＝5.请利用这种方法求方程(2x＋3)2－4(2x＋3)－5＝0的解． 解：设2x＋3＝a，则原方程可化为a2－4a－5＝0， 解得a1＝5，a2＝－1. 当a＝5时，2x＋3＝5，解得x＝1； 当a＝－1时，2x＋3＝－1，解得x＝－2. ∴原方程的解为x1＝1，x2＝－2. 17.5　一元二次方程的应用 第1课时　平均变化率问题与数字问题 1．在平均增长(下降)率问题中，若增长(下降)前的量为a，平均增长(下降)率为x，则第一次增长(下降)后的量为a(1±x)，第二次增长(下降)后的量为a(1±x)2. 2．若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则这个三位数表示为100a＋10b＋c. a(1±x) a(1±x)2 100a＋10b＋c 某科技公司成功研制一种新产品，决定向银行贷款200万元的资金用于生产这种产品，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息，年利率为4%，该产品投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外，还盈利72万元，若该公司资金在生产期间每年比上一年增长的百分比相同，求这个百分数． 【思路分析】本题中基本的数量关系是“到期时的总产值－投入的成本(贷款加利息)＝盈余72万元”． 【自主解答】 【名师支招】解决增长(降低)率问题要注意增长(降低)前的基数a，连续以相同的增长(或降低)率x增长(或降低)两次后的数量为a(1＋x)2[或a(1－x)2]. 设这个百分数为x，由题意得200(1＋x)2－200(1＋2×4%)＝72，∴(1＋x)2－1.08＝0.36， ∴(1＋x)2＝1.44，解这个方程，得 x1＝0.2，x2＝－2.2(不符合题意，舍去)， ∴x＝0.2＝20%. 答：这个百分数为20%. 知识点1：平均变化率问题 1．安徽省作为国家首批电子商务进农村示范省之一，先后携手多家电商巨头，推动线上线下融合发展，激发农村消费潜力，实现“安徽特产卖全国”．根据某农村超市统计十月份的营业额为38万元，十二月份的营业额为50万元．设每月的平均增长率为x，则可列方程为 ( ) A．50(1＋x)2＝38 B．38(1－x)2＝50 C．38(1＋x)2＝50 D．50(1－x)2＝38 C 2．为了践行“绿水青山就是金山银山”，蜀山区计划经过两年时间，使绿地面积增加69%，这两年平均每年绿地面积的增长率是30 %. 30% 3．某果农2021年的年收入为2万元，由于技术的改进，2023年年收入增长到4.5万元，求平均每年年收入的增长率． 解：设平均每年年收入的增长率为x，由题意，得 2(1＋x)2＝4.5， 解得x1＝0.5＝50%，x2＝－2.5(不合题意，舍去)． 答：平均每年年收入的增长率为50%. 知识点2：数字问题 4．有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换位置后，得到新的两位数，比这两个数字的积还大38，则原来的两位数为6 8. 5．两个数的和是14，积是33，求这两个数． 68 解：设其中一个数为x，则另一个数为14－x，由题意得 x(14－x)＝33，解得x1＝3，x2＝11，即这两个数分别为3，11. 易错点：没正确理解题意 6．庐阳区某校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出方程为70(1＋x)＋70(1＋x)2＝220. 70(1＋x)＋70(1＋x)2＝220 7．如图是一张月历表，在此月历表上用一个长方形任意圈出2×2个数(如17，18，24，25)．如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为52. 52 8．(上海中考)去年某商店十一黄金周进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%. (1)求该商店去年十一黄金周这七天的总营业额； (2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8，9月份营业额的月增长率相同，十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8，9月份营业额的月增长率． 解：(1)450＋450×12%＝504(万元)． 答：该商店去年十一黄金周这七天的总营业额为504万元． (2)设该商店去年8，9月份营业额的月增长率为x，依题意，得350(1＋x)2＝504， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． 答：该商店去年8，9月份营业额的月增长率为20%. 9．全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，某市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人员10万人，5月份接待参观人员增加到12.1万人． (1)求这两个月参观人数的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计6月份的参观人员有多少人？ 解：(1)设这两个月参观人数的月平均增长率为x， 依题意，得10(1＋x)2＝12.1， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)， 答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%. (2)12.1×(1＋10%)＝13.31(万人)． 答：预计6月份的参观人员有13.31万人． 10．(核心素养·模型思想)某养殖场今年起采用“场内＋农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同． (1)求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率； (2)假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg.如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？ 解：(1)设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x， 根据题意，得 2．5(1＋x)2＝3.6， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)． 答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%. (2)设再增加y个销售点，根据题意，得 3．6＋0.32y≥3.6×(1＋20%)， 解得y≥. 答：至少再增加3个销售点． 第2课时　几何图形与商品利润问题 1．解决几何图形面积要注意： (1)图形的面积公式是基本的等量关系；(2)利用平移的性质(图形面积不变)将零散的图形拼聚在一起． 2．解决营销问题常用的关系式：(1)利润＝售价－进价；(2)售价＝进价×(1＋利润率)；(3)总利润＝单个利润×销售量＝总收入－总支出． 面积 面积 进价 进价 销售量 总支出 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．当每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？ 【思路分析】因为每降价1元，可多售出2件，则降价x元，可多售出2x件，每件商品盈利的钱数为(50－x)元，每天的销售量为(30＋2x)件，根据题意列出方程即可． 【自主解答】 【名师支招】在解决定价或降价问题时，通常会出现两个结果，需根据题意如减少库存，使顾客获利等进行取舍，所以要注意题中的隐含条件. 设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到2 100元，由题意可得方程(50－x)(30＋2x)＝2 100，解得x1＝15，x2＝20.当x＝15时，可售出30＋2×15＝60(件)；当x＝20时，可售出30＋2×20＝70(件)． 所以为尽快减少库存，取x＝20. 答：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元． 知识点1：几何图形问题 1．从一块正方形的木板上锯掉2 dm宽的长方形木条，剩下的面积是48 dm2，则原来这块木板的面积是 ( ) A．100 dm2 B．64 dm2 C．121 dm2 D．144 dm2 B 2．如图，有一长方形空地，长为x m，宽为120 m，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙为正方形．现计划甲建成住宅区，乙建成商场，丙开辟成公司． (1)请用含x的代数式表示正方形乙的边长：(x－120)m； (2)若丙地的面积为3 200 m2，请求出x的值． (x－120) 解：(2)丙的宽为 120－(x－120)＝(240－x) m， 所以丙的面积为 (x－120)(240－x)＝3 200. 解得x1＝200，x2＝160. 答：x的值为200或160. 知识点2：商品利润问题 3．“砀山梨”是安徽砀山著名特产，产品畅销省内外．现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品每涨价2元，日销售量将减少5箱．据此规律，要使每天的盈利达到600元，设每箱产品涨价x元，则列出关于x的方程是 （ ） A．(10－x)(50－2.5x)＝600 B．(10＋x)(50＋2.5x)＝600 C．(10－x)(50＋2.5x)＝600 D．(10＋x)(50－2.5x)＝600 D 4．某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天盈利1 080元，每件应降价2或14元． 2或14 5．如图，在长为10 m，宽为8 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种草，要使草坪的面积为48 m2，则道路的宽为2 m. 2 6．已知一个包装盒的表面展开图如图． (1)若此包装盒的容积为1 125 cm3，请列出关于x的方程，并求出x的值； (2)是否存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为1 800 cm3？若存在，请求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)根据题意，得 15x(20－x)＝1 125， 整理，得x2－20x＋75＝0. 解得x1＝5，x2＝15. ∴x的值为5或15. (2)根据题意，得 15x(20－x)＝1 800，即x2－20x＋120＝0. ∵Δ＝(－20)2－4×1×120＝－80＜0， ∴此方程无解， 即不存在这样的x的值，使得包装盒的容积为1 800 cm3. 7．(核心素养·创新意识)某皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1 100元出售，平均每天可售出30件，每件每降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣装卖店若想要平均每天获利12 000元，则每件皮衣定价为多少元？ (1)以下是小明和小红的两种不同设法，请帮助填完整． 小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程： (1 100－x－750)＝12 0 00； 小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程： (y－750)＝12 000； (y－750)＝12 000 (1 100－x－750)＝12 000 (2)请选择一种设法完成解答． 解：(2)答案不唯一，如选择小红的设法，则 整理，得y2－2 000y＋997 500＝0， 解得y1＝1 050，y2＝950. 答：每件皮衣定价为1 050元或950元． 微专题4：“每……每……”模型中的等量关系 【方法指导】销售利润中“每……每……”问题主要有两类：(1)提价减销量；(2)降价提销量，如“某商品每件进价为a元，售价为b元时，每天的销售量为m件”． (1)提价减销量：若每件售价每增加d元，每天的销售量减少c件，设每天的利润为n元，当售价增加了x元时，可列方程为(b＋x－a)＝n； (2)降价提销量：若每件售价降低d元，每天的销售量增加c件，设每天的利润为n元，当售价降低了x元时，可列方程为(b－x－a)＝n. 【对应练习】 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是 (x＋3)(4－0.5x)＝15. (x＋3)(4－0.5x)＝15 第3课时　可化为一元二次方程的分式方程的应用和其他问题 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 建立方程解决实际问题时可能会出现能转化为一元二次方程的分式方程，解分式方程时一定要检验． 检验 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 解放军某部接到了为干旱受灾区限期打30口水井的工作任务，他们增派机械车辆，争分夺秒，每天比原计划多打3口井，结果提前5天完成任务．求原计划每天打多少口井？ 【思路分析】此题中存在两个等量关系，“每天比原计划多打3口井”，“提前5天完成任务”，根据所求问题来设未知数，根据等量关系来列方程． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 【自主解答】 【名师支招】列分式方程解应用题不要忘记检验，检验分两步，一是检验是不是原方程的根，二是检验是否使实际问题有意义． 设原计划每天打x口井，由题意列方程为－＝5. 整理得x2＋3x－18＝0. 解得x1＝3，x2＝－6(舍去)， 经检验，x＝3是原方程的根，且符合题意． 答：原计划每天打3口井． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 【易错原因】把“单循环赛”和“双循环赛”弄混淆 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛72场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，所列方程为________． 【自主解答】 x(x－1)＝72 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 知识点1：可化为一元二次方程的分式方程的应用 1．一列客车已晚点6 min，如果将速度每小时加快10 km，那么继续行驶20 km便可准时到达，如果设客车原来行驶的速度是x km/h，可列出分式方程为 ( ) A.－＝6 B.－＝6 C.－＝ D.-＝ C 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 2．炎炎夏日，甲安装队为A小区安装60台空调，乙安装队为B小区安装50台空调，两队同时开工且甲队提前天完工，甲队比乙队每天多安装2台， 设乙队每天安装x台空调，根据题意，列出方程为 . 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 3．某玩具店采购员第一次用100元去采购某品牌玩具，很快售完．第二次去采购时发现批发价上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件．两批玩具的售价均为2.8元，则第二次采购玩具多少件？ 答：第二次采购玩具60件． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 解：设第二次采购玩具x件，则第一次采购玩具(x－10)件．根据题意，得＋＝， 整理，得x2－110x＋3 000＝0，解得x1＝50，x2＝60. 经检验，x1＝50，x2＝60都是原方程的解． 当x＝50时，每件玩具的批发价为150÷50＝3(元)，高于玩具的售价，不合题意，舍去； 当x＝60时，每件玩具的批发价为150÷60＝2.5(元)，低于玩具的售价，符合题意． 答：第二次采购玩具60件． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 知识点2：其他问题 4．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为 （ ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 B 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 5．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场5 个． 5 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 6．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意如下：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽的价钱，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽．设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是 ( ) A．3(x－1)＝ B.＝3 C．3x－1＝ D.＝3 A 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 7．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是43，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是 ( ) A．4 B．5 C．6 D．7 C 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 8．某品牌瓶装饮料每箱价格26元，某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”的促销活动，即整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元，则该品牌饮料一箱有10 瓶． 10 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 9．(贺州中考)某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24 000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌． (1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ 解：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌，根据题意，得 60(1＋x)2＝24 000. 解得x1＝19，x2＝－21(不合题意，舍去)． 答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？ 解：60×(1＋19)3＝60×203＝480 000(个)． 答：经过三轮培植后共有480 000个有益菌． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 10．(核心素养·推理能力)某公路上一路段的道路维修工程准备对外招标，现有甲、乙两个工程队竞标，竞标资料上显示：若由两队合作，6天可以完成，需工程费用10 200元；若甲队单独完成此项工程，甲队比乙队少用5天，但甲队每天的工程费用比乙队多300元，工程指挥部决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，若从节省资金的角度考虑，应选哪个工程队？为什么？ 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 解：设甲队单独做x天完成，则乙队单独做(x＋5)天 完成，依题意得 ＋＝， 整理得x2－7x－30＝0， 解得x1＝10，x2＝－3(不合题意，舍去)， 经检验，x＝10是原方程的根，则x＋5＝15. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 设甲队每天的工程费用为a元，乙队每天的工程费用为b元．依题意得 解得 ∴甲队单独完成的费用：1 000×10＝10 000(元)， 乙队单独完成的费用：700×15＝10 500(元)． ∵10 000<10 500， ∴从节省资金的角度考虑，应选甲队． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 $$17.2　一元二次方程的解法 17．2.1　配方法 第1课时　直接开平方法 利用开方的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法．它是一元二次方程的最基本的解法． (1)x2＝a(a≥0)，解得x＝±； (2)(x＋a)2＝b(b≥0)，解得x＝－a ±； (3)(ax＋b)2＝c(a≠0且c≥0)，解得ax＋b＝±，从而x＝. 开方 根 ± －a± ± 解方程：3(x＋1)2＝. 【思路分析】先把方程变形为(x＋1)2＝，然后两边直接开平方，从而可得到方程的解． 【自主解答】 (x＋1)2＝， x＋1＝±， ∴x1＝－，x2＝－. 【名师支招】形如(ax＋b)2＝c(c≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解． 【易错原因】忽视一元二次方程若有解就是两个 方程(x＋2)2＝0的解是________． 【自主解答】 x1＝x2＝－2 知识点1：形如x2＝p(p≥0)的解法 1．一元二次方程x2－1＝0的解是 ( ) A．x＝1 B．x＝－1 C．x1＝1，x2＝－1 D．x1＝1，x2＝0 C 2．方程2x2＋8＝0的根为 ( ) A．2 B．－2 C．±2 D．没有实数根 D 3．一元二次方程x2＝(－3)2的解为x1＝3，x2＝－3. x1＝3，x2＝－3 4．解下列方程： (1)x2－4＝0； 解：x2＝4， ∴x1＝2，x2＝－2. 4 (2)9x2＝25. 解：x2＝， ∴x1＝，x2＝－． 知识点2：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的解法 5．方程(x－3)2＝5的根为 ( ) A．x1＝－3＋，x2＝－3－ B．x1＝－3，x2＝＋3 C．x1＝3＋，x2＝3－ D．x1＝5＋，x2＝5－ C 6．解方程3(x－2)2－48＝0时，把(x－2)2作为一个整体，移项、系数化为1，得(x－2)2＝16，直接开平方，得x－2＝±4，即x－2＝4或x－2＝－4，解得x1＝6，x2＝－2. (x－2)2＝16 x－2＝±4 x－2＝4或x－2＝－4 6 －2 7．用直接开平方法解下列方程： (1)(x－1)2＝4； 解：x－1＝±2， ∴x1＝3，x2＝－1. (2)(2x＋3)2＝49. 解：2x＋3＝±7， 2x＋3＝7或2x＋3＝－7， ∴x1＝2，x2＝－5. 8．已知一元二次方程(x－2)2＝3的两根为a，b且a＞b，则2a＋b的值为（ ） A．9 B．－3 C．6＋ D．－6＋ C 9．若关于x的一元二次方程(m－3)x2＋x＋m2－9＝0的一个根为0，则m的值为 （ ） A．3 B．0 C．－3 D．－3或3 C 10．(核心素养·创新意识)对于实数m，n，我们用符号min{m，n}表示m，n两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{x2－1，2x2}＝2， (1)可列方程为x2－1＝2； (2)x的值为±. x2－1＝2 ± 11．用直接开平方法解下列方程： (1)4(x－2)2－36＝0； 解：4(x－2)2＝36， (x－2)2＝9， x－2＝±3， ∴x1＝5，x2＝－1. (2)x2＋2x＋1＝3； 解：(x＋1)2＝3， x＋1＝±， x＝－1±， ∴x1＝－1＋，x2＝－1－. (3)(3x－1)2－(x＋2)2＝0. 解：(3x－1)2＝(x＋2)2， 3x－1＝±(x＋2) ∴x1＝，x2＝－. 12．用直接开平方法解一元二次方程4(2x－1)2－25(x＋1)2＝0. 解：移项得4(2x－1)2＝25(x＋1)2，① 直接开平方得2(2x－1)＝5(x＋1)，② ∴x＝－7.③ (1)上述解题过程，有无错误？如有，错在第②步，原因是漏掉了2(2x－1)＝－5(x＋1)； (2)请写出正确的解答过程． ② 漏掉了2(2x－1) ＝－5(x＋1) 解：(2)正确的解答过程如下： 移项得4(2x－1)2＝25(x＋1)2， 直接开平方得2(2x－1)＝±5(x＋1)， 即2(2x－1)＝5(x＋1)或2(2x－1)＝－5(x＋1)． ∴x1＝－7，x2＝－. 13．(核心素养·应用意识)已知一元二次方程(x－3)2＝1的两个解恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，求等腰三角形ABC的周长． 解：∵(x－3)2＝1， ∴x－3＝±1， 解得x1＝4，x2＝2. ∵一元二次方程(x－3)2＝1的两个解恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长， ∴分两种情况： ①当底边长和腰长分别为4和2时，2＋2＝4，此时不能构成三角形； ②当底边长和腰长分别是2和4时，符合三角形三边的关系，此时△ABC的周长为2＋4＋4＝10. 综上所述，等腰三角形ABC的周长为10. 第2课时　配方法 1．通过配成完全平方式的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2．用配方法解一元二次方程的步骤： (1)将二次项系数化为1：将方程两边同时除以二次项系数；移项：将含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边； (2)配方：方程左边和右边同时加上一次项系数一半的平方，使方程左边成为一个完全平方式． 完全平方式 二次项系数 一次项系数一半的平方 完全平方式 用配方法解方程： 3x2－6x－2＝0. 【思路分析】按配方法的一般步骤求解． 【自主解答】 3x2－6x＝2， x2－2x＝， (x－1)2＝， ∴x1＝1＋，x2＝1－. 【名师支招】在用配方法解一元二次方程时，必须把二次项系数化为1后才能进行配方． 【易错原因】考虑问题不周全导致漏解 若方程x2－mx＋4＝0的左边是一个完全平方式，则m的值为　 A．±2　　B．±4　　C．2　　D．4 【自主解答】 B 知识点1：配方 1．将二次三项式x2＋4x－96配方，下列正确的是 （ ） A．(x＋2)2＋100 B．(x－2)2－100 C．(x＋2)2－100 D．(x－2)2＋100 C 2．若x2－10x＋m是一个完全平方式，则m的值为25. 3．填上适当的数，使下列等式成立： (1)x2＋12x＋36＝(x＋6)2； (2)x2－4x＋4＝(x－2 )2； (3)x2＋7x＋＝； (4)x2－3x＝－. 25 36 4 2 知识点2：用配方法解方程 4．用配方法解方程x2＋4x－5＝0时，配方正确的是 （ ） A．(x＋2)2＝－1 B．(x＋2)2＝－9 C．(x＋2)2＝1 D．(x＋2)2＝9 D 5．用配方法解方程x2＋10x＋16＝0. 解：移项，得x2＋10x＝－16. 两边同时加52，得x2＋10x＋52＝－16＋52. 左边写成完全平方的形式，得(x＋5)2＝9. 方程两边开方，得x＋5＝±3. 解得x1＝－2，x2＝－8. x2＋10x＝－16 x2＋10x －16 (x＋5)2＝9 x＋5＝±3 x1＝－2，x2＝－8 6．用配方法解下列方程： (1)x2－2x－5＝0； 解：x2－2x＝5， x2－2x＋1＝5＋1， 即(x－1)2＝6， ∴x－1＝±， ∴x1＝1＋，x2＝1－. (2)2x2＋5x－12＝0. 解：2x2＋5x＝12， ∴x2＋x＝6， ∴x2＋x＋＝6＋， 即＝， ∴x＋＝±， ∴x1＝，x2＝－4. 7．用配方法解下列方程，其中应在等号左右两边同时加上9的方程是（ ） A．3x2－3x＝8 B．x2＋6x＝－3 C．2x2－6x＝10 D．2x2＋3x＝3 B 8．对于任意实数m，n，多项式m2＋n2－6m－10n＋36的值总是 ( ) A．非负数 B．0 C．大于2 D．不小于2 D 9．一元二次方程x2－2x＋m＝0配方后得(x－1)2＝n，则m＋n的值是1 . 1 10．用配方法解方程： (1)x2＋x－2＝0； 解：x2＋4x－8＝0，x2＋4x＝8， (x＋2)2＝12，x＋2＝±2， ∴x1＝－2＋2，x2＝－2－2. (2)x(x＋4)＝6x＋12. 解：方程可化为x2－2x＝12， 配方，得(x－1)2＝13， x－1＝±， ∴x1＝1＋，x2＝1－. 11．(核心素养·模型思想)“数形结合”是一种很重要的数学思想，在我们的学习过程中，如果能够加以体会和利用，往往会给我们解题带来帮助，如图①－④就反映了给一个方程配方的过程． (1)请根据图示顺序分别用方程表示出来： 图①：x(x＋4)＝21； 图②：x2＋4x＝21； 图③：x2＋4x＋22＝21＋22； 图④：(x＋2)2＝25； (2)请直接运用配方法填空： x2－5x＋＝； (3)请运用配方法解方程：2x2＋5x＋2＝0. x(x＋4) x2＋4x x2＋4x＋22 (x＋2)2 解：(3)移项，得2x2＋5x＝－2. 方程两边同除以2，得x2＋x＝－1. 方程两边同加上，得 x2＋x＋＝－1＋， ＝，x＋＝±， ∴x1＝－，x2＝－2. 微专题3：巧用配方法求值 【阅读理解】 先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式y2＋4y＋8的最小值． 解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝(y＋2)2＋4. ∵(y＋2)2≥0， ∴(y＋2)2＋4≥4， ∴y2＋4y＋8的最小值是4. 请利用以上方法，解答下列问题： 1．当x＝1时，代数式x2－2x－3有最小(选填“大”或“小”)值，是－4. 2．当x＝2时，代数式－2x2＋8x＋5有最大(选填“大”或“小”)值，是13. 3．若实数x，y满足x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，则x－y＝3. 1 小 －4 2 大 13 3 17.2.2　公式法 1．求根公式及概念： (1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为：x＝ (b2－4ac ≥0)； (2)概念：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法，由此可知，一元二次方程最多有两个实数根． (b2－4ac≥0) 求根 两个 2．公式法解一元二次方程的步骤： (1)将方程化成一般形式； (2)确定出系数a，b，c的值； (3)当b2－4ac≥ 0时，将a，b，c的值代入公式中即可求出方程的解． 一般 a，b，c ≥ 用公式法解方程： x2＋3＝2x. 【思路分析】把方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解． 【自主解答】 移项，得x2－2＋3＝0， ∴a＝1，b＝－2，c＝3， b2－4ac＝(－2)2－4×1×3 ＝－4＜0，∴原方程没有实数根． 【名师支招】利用公式法解一元二次方程，首先要把方程化为一般形式． 【易错原因】用求根公式解方程时未化为一般形式 一元二次方程3x2－2x＝1中，b2－4ac的值为________． 【自主解答】 16 知识点：用公式法解一元二次方程 1．用公式法解方程6x－8＝5x2时，a，b，c的值分别是 ( ) A．5，6，－8 B．5，－6，－8 C．5，－6，8 D．6，5，－8 C 2．用公式法解方程(x＋2)2＝6(x＋2)－4时，b2－4ac的值为 ( ) A．52 B．32 C．20 D．－12 C 3．以x＝为根的一元二次方程是 ( ) A．x2＋bx＋c＝0 B．x2＋bx－c＝0 C．x2－bx＋c＝0 D．x2－bx－c＝0 D 4．用公式法解方程5x＋2＝3x2. 解：将方程化为一般形式，得3x2－5x－2＝0， ∴a＝3，b＝－5，c＝－2，b2－4ac＝49， 代入求根公式，得x＝＝， ∴x1＝2，x2＝－ . 3x2－5x－2＝0 －5 －2 49 2 － 5．已知关于x的一元二次方程x2－2x－m＝0中，b2－4ac＝8，则m＝1 . 1 6．用公式法解下列方程： (1)x2＋3x－1＝0； 解：a＝1，b＝3，c＝－1， b2－4ac＝32－4×1×(－1)＝13＞0， ∴x1＝，x2＝. (2)x2－3x＝－. 解：将原方程化为一般形式为x2－3x＋＝0， ∵b2－4ac＝9－4＜0， ∴方程无实数根． 7．若代数式2x2＋3x－5与2x＋1的值相等，则x的值为 ( ) A．x1＝，x2＝－2 B．x1＝－，x2＝2 C．x1＝x2＝2 D．x1＝x2＝－ A 8．方程2x2－4x＝5的解为x1＝ ，x2＝. x1＝，x2＝ 9．(核心素养·几何直观)如图，将图甲表示的正方形纸片剪成四块，恰好拼成图乙表示的长方形．若x＝1.则 (1)y的值为； (2)正方形纸片的面积为. 10．用公式法解下列方程： (1)－x2－x＋＝0； 解：将方程两边同乘－6，得3x2＋2x－5＝0， 则a＝3，b＝2，c＝－5， ∴b2－4ac＝22－4×3×(－5)＝64＞0， 代入求根公式，得x＝＝， ∴x1＝1，x2＝－. (2)x2＝2(x＋1)． 解：将原方程化为一般形式，得x2－2x－2＝0. ∴a＝1，b＝－2，c＝－2， b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－2)＝12＞0， 代入求根公式，得x＝＝1±， ∴x1＝1＋，x2＝1－. 11．小明在解方程x2－5x＝－3的过程中出现了错误，其解答如下： 解：∵a＝1，b＝－5，c＝－3， ……第一步 ∴b2－4ac＝(－5)2－4×1×(－3) ＝37， ……第二步 ∴x＝， ……第三步 ∴x1＝，x2＝ .……第四步 (1)小明的解答是从第一 步开始出错的； (2)请写出本题正确的解答． 一 解：(2)方程化为一般式为x2－5x＋3＝0， a＝1，b＝－5，c＝3， Δ＝(－5)2－4×1×3＝13＞0， x＝＝， ∴x1＝，x2＝. 12．(定远县校级月考)已知实数a，b，c，且＋|b＋1|＋(c＋3)2＝0，求方程ax2＋bx＋c＝0的根． 解：∵＋|b＋1|＋(c＋3)2＝0， ∴a2－3a＋2＝0，b＋1＝0，c＋3＝0， 解得a＝1或a＝2，b＝－1，c＝－3， ∴当a＝1，b＝－1，c＝－3时，原方程为x2－x－3＝0， ∵Δ＝1＋12＝13＞0， ∴x＝， ∴x1＝，x2＝； 当a＝2，b＝－1，c＝－3时，原方程为2x2－x－3＝0， ∴(2x－3)(x＋1)＝0， ∴2x－3＝0或x＋1＝0， ∴x3＝，x4＝－1. *17.4　一元二次方程的根与系数的关系 (2022版课程标准调整为必学内容) 一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝，x1x2＝.这个关系通常称为韦达定理． － 设方程x2－4x＋2＝0的两根为x1，x2，求下列各式的值： (1)＋；　　　　(2)＋. 【思路分析】由根与系数的关系知 x1＋x2＝4，x1x2＝2，将所求代数式化成含x1＋x2和x1x2的式子即可求解． 【自主解答】 ∵x1，x2是方程x2－4x＋2＝0的两根，∴x1＋x2＝4，x1x2＝2. (1)原式＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12. (2)原式＝＝2. 【名师支招】常用等式变形： ①+＝(x1＋x2)2－2x1x2； ②(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2. 【易错原因】利用根与系数的关系时，忽略方程有实数根的前提 关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－1＝0的两个实数根分别是x1，x2，且+＝7，则m的值为____． 【自主解答】 －1 知识点1：一元二次方程的根与系数的关系 1．若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1x2的值是 （ ） A．－2 B．－3 C．2 D．3 B 2．已知x1，x2是一元二次方程x2－3x＝4的两根，则x1＋x2的值是 ( ) A．0 B．3 C．－2 D．4 B 3．(随州中考)已知一元二次方程x2－3x＋1＝0有两个实数根x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为2. 4．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： (1)x2＋2x＋1＝0，x1＋x2＝－2，x1x2＝1； (2)2x2＋3＝7x2＋x，x1＋x2＝，x1x2＝； (3)5x－5＝6x2－4，x1＋x2＝，x1x2＝. 2 －2 1 － － 知识点2：运用根与系数的关系求字母的值 5．如果一元二次方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的两个根互为相反数，那么有 ( ) A．m＝0 B．m＝－1 C．m＝1　　 D．以上结论都不对 B 6．(黄冈中考)已知一元二次方程x2－3x＋k＝0的两个实数根为x1，x2，若x1x2＋2x1＋2x2＝1，则实数k＝－ 5. －5 7．已知关于x的一元二次方程x2＋kx－1＝0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设方程的两根分别为x1，x2，且满足x1＋x2＝x1x2，求k的值． (1)证明：∵b2－4ac＝k2＋4>0， ∴方程有两个不相等的实数根． (2)解：x1＋x2＝－k，x1x2＝－1， 由x1＋x2＝x1x2，得－k＝－1， ∴k＝1. 8．已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是 （ ） A．x2－7x＋12＝0 B．x2＋7x＋12＝0 C．x2＋7x－12＝0 D．x2－7x－12＝0 A 9．(黔东南州中考)已知关于x的一元二次方程x2－2x－a＝0的两根分别记为x1，x2，若x1＝－1，则a－－的值为 （ ） A．7 B．－7 C．6 D．－6 B 10．(岳阳中考)已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2－m＋2＝0有两个不相等的实数根，且x1＋x2＋x1x2＝2，则实数m＝3 . 3 11．已知关于x的一元二次方程x2－4x－m2＝0. (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个实数根x1，x2满足x1＋2x2＝9，求m的值． (1)证明：∵Δ＝b2－4ac＝16＋4m2＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根． (2)解：由题意得 ②－①得x2＝5，把x2＝5代入①得x1＝－1， ∴x1x2＝－5，∴m2＝5，∴m＝±. 12．(宜秀区开学)已知：关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0， (1)求证：方程总有两个实数根； 证明：Δ＝b2－4ac＝(k＋3)2－4×1×(2k＋2) ＝k2－2k＋1＝(k－1)2， ∵(k－1)2≥0， ∴Δ≥0， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程的一根是另一根的2倍，求k的值． 解：设x1，x2是一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0两个根，x1＝m，x2＝2m， ∴ 解得k＝0或k＝3， ∴k的值为0或3. 13．已知关于x的一元二次方程x2－4x－2m＋5＝0有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值． 解：(1)根据题意，得 Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4(－2m＋5)＞0， 解得m＞. ∴实数m的取值范围是m＞. (2)设x1，x2是方程的两根，根据题意，得 x1＋x2＝4＞0， x1x2＝－2m＋5＞0，解得m＜. ∴m的范围为＜m＜. 又∵m为整数，∴m＝1或m＝2. 当m＝1时，方程两根都是整数； 当m＝2时，方程两根不是整数． ∴整数m的值为1.