第16章　二次根式 课件 2024-2025学年 沪科版数学八年级下册

第2课时　二次根式的除法 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 1．二次根式的性质4：如果a≥0，b>0，那么有＝ ，也可以写成＝ (a≥0，b>0)． 2．满足下列两个条件的二次根式是最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 整数 整式 能开得尽方 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 计算：－4÷5 【思路分析】应用二次根式的除法法则，把系数及被开方数分别相除，然后化简求得结果． 【自主解答】 原式＝－ ＝－×＝－. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 【名师支招】被开方数相除时，可以用法则“除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数”进行约分，再利用二次根式的乘法法则得出最终结果，若被开方数是假分数，要先把假分数化成带分数． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 【易错原因】忽视了字母的隐含符号 已知xy<0，化简二次根式y的正确结果为 (　　) A．－　 B.　 C．－　 D. 【自主解答】 A 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 知识点1：二次根式的除法 1．计算÷的结果是 （ ） A．2 B. C．3 D. B 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 2．计算：(1)(安徽中考)÷＝3； (2)÷＝3 . 3 3 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 知识点2：商的算术平方根 3．下列各式中成立的是 （ ） A.＝＝B.＝ C.＝×D.＝ A 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 ＝= 4．化简： (1)； (2). 解：原式＝ 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 知识点3：分母有理化 5．分母有理化： (1)＝ ； (2)＝ . 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 知识点4：最简二次根式 6．下列式子中，为最简二次根式的是 ( ) A. B. C. D. B 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 7．把下列二次根式化为最简二次根式： (1)；　　　　 (2). 解：＝＝ ＝. 解：＝ ＝× ＝4. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 8．若＝成立，则 ( ) A．x＜6 B．0≤x≤6 C．x≥0 D．0≤x＜6 D 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 9．在化简3时，甲、乙、丙三名同学化简的方法分别是甲：原式＝3×＝；乙：原式＝3×＝3×＝；丙：原式＝＝.其中解答正确的是 ( ) A．甲 B．乙 C．丙 D．都正确 D 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 10．(潍坊中考)从－，，中任意选择两个数，分别填在算式 (□＋〇)2÷里面的“□”与“〇”中，计算该算式的结果是 4－2(答 案不唯 ．(只需写出一种结果) 4－2(答案不唯一) 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 11．计算： (1)； 解：原式＝＝ ＝＝. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (2)÷÷； 解：原式＝ ＝. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (3)÷÷. 解：原式＝× ＝. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 12．已知x为奇数，且＝，求＋的值． 解：由题意得 解得6≤x<9. ∵x为奇数，∴x＝7， ∴原式＝＋ ＝＋ ＝8＋2. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 13．(核心素养·创新意识)定义：若两个二次根式a，b满足a·b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于4的共轭二次根式，则a＝2； (2)若2＋与4＋m是关于2的共轭二次根式，求m的值． 2 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 解：(2)∵2＋与4＋m是关于2的共轭二次根式， ∴(2＋)(4＋m)＝2， ∴4＋m＝＝＝4－2， ∴m＝－2. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 $$第3课时　二次根式的大小比较及乘除混合运算 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 1．比较二次根式大小时，可将根号外的正因数移到根号内． 2．二次根式的乘除混合运算，有括号时先算括号里的，没有括号时，按从左到右的顺序运算，运算结果必须化成最简二次根式． 正因数 括号里的 从左到右 最简二次根式 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 比较下列各组数的大小： (1)2与5； (2)－3与－4. 【思路分析】利用二次根式的性质，把根号外的因数平方后移入根号内，通过比较被开方数的大小或利用二次根式的除法运算来比较大小． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 【自主解答】 (1)2＝×＝， 5＝＝， ∵<，∴2<5. (2)3＝＝， 4＝＝， ∵<，∴－>－. ∴－3>－4. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 【名师支招】两个正数相比较，被开方数较大，其算术平方根也较大；两个正数相除，如果商大于1，被除数大于除数，反之，被除数小于除数． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 【易错原因】乘除混合运算中，运算顺序弄错 计算÷×的结果为________． 【自主解答】 4 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 知识点1：二次根式的大小比较 1．当a>0，b>0时，如果a>b，那么下列结论中正确的是 ( ) A.> B.< C.＝ D．无法确定 A 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 2．(天津中考)估计的值在 ( ) A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 B 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 3．比较大小： (1)2<3；(2)<；(3)－4>－3. < < > 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 知识点2：二次根式的乘除混合运算 4．计算×÷的结果是 （ ） A. B．2 C. D．3 D 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 C 5．已知长方形的面积为12，其中一边长为2，则另一边长为 （ ） A．2 B．3 C．3 D．2 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 6．计算：＝6 . 6 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 7．计算： (1)÷×； (2)÷×； 解：原式＝ ＝. 解：原式＝ ＝. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (3)2÷×； (4)4×÷. 解：原式＝4×× ＝12. 解：原式＝2×× ＝1. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 B 8．计算÷(－×2)的结果是 （ ） A．－ B．－ C．－ D．－ 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 A 9．已知a＝，b＝，c＝，则下列大小关系中正确的是 （ ） A．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．a>c>b 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 A 10．已知m＝×(－2)，则m的取值范围是 （ ） A．5<m<6 B．4<m<5 C．－5<m<－4 D．－6<m<－5 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 11．已知一个长方体的长、宽、高分别是，，. (1)长方体的体积为8； (2)若一个正方体的体积是这个长方体体积的3倍，则正方体的棱长为 2. 8 2 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 12．计算： (1)×÷； 解：原式＝×× ＝－9. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (2)； 解：原式＝×5 ＝× ＝－. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (2)-. 解：原式＝- ＝- ＝-× ＝－. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 13．已知实数a，b满足＋＝0，求2a· 的值． 解：要使原式有意义，必须解得 ∴原式＝2a·＝2a2 ＝2×2×＝. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 14．(核心素养·运算能力)已知a＝，b＝，试比较与1的大小． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 解：＝÷＝， ∵2 022×2 024 ＝(2 023－1)(2 023＋1) ＝2 0232－1. 而20232－1<2 0232，∴<1， ∴<1，即<1. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 $$第16章　二次根式 16．1　二次根式 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 1．二次根式的有关概念 (1)形如(a≥ 0)的式子叫做二次根式； (2)被开方数a可以是数，也可以是代数式，但必须为非负数； (3)(a≥0)是一个非负数． (a≥0) 非负 非负 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 2．二次根式的性质 性质1：()2＝a(a≥0)； 性质2：＝|a|＝ 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 若式子有意义，则实数x的取值范围是________． 【思路分析】由题意得x＋2≥0且(x－3)2≠0，即可得出结论． 【自主解答】 【名师支招】判断代数式在实数范围内是否有意义，要弄清其中每一个数学表达式的含义，根据分式和二次根式成立的条件去解，既要使每个二次根式有意义，还必须使分母不为零． x≥－2且x≠3 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 【易错原因】运用＝|a|化简时符号出现错误 如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a＋＝_______. 【自主解答】 2 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 知识点1：二次根式的定义 1．下列各式中，一定是二次根式的是 ( ) A. B. C. D. A 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 2．小红说：“因为4的算术平方根为2，即＝2，所以不是二次根式．”则她的说法对吗？不对(选填“对”或“不对”)． 不对 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 知识点2：二次根式有意义的条件 3．(湘潭中考)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ( ) A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1 D 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 4．x为何值时，下列式子在实数范围内有意义： (1)；　　(2)＋；　　(3). 解：x≥－. 解：x>. 解：2≤x≤5. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 知识点3：()2＝a(a≥0) 5．计算()2的结果是 ( ) A．5 B．－5 C．25 D．－25 A 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (1)()2＝16; (2)()2＝； (3)()2＝1.5; (4)()2＝0 . 16 1.5 0 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 知识点4：＝|a| 7．(1)＝|－7|＝7； (2)＝|－ 2|＝2－ . 8．若＝2－x，则x的取值范围是x≤2 . x≤2 －7 7 －2 2－ 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 9．(济宁中考)若代数式有意义，则实数x的取值范围是 （ ） A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠2 D 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 10．若是二次根式，则x的值为 （ ） A．0 B．1 C．2 D．4 D 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 11．将下列各数写成一个数的平方的形式： 7＝( )2；m＝()2(m≥0)． 12．已知y＝－x＋4，当x分别取1，2，3，…，2 024时，所对应y值的总和是2 030. ()2 ()2 2030 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 13．计算： (1)32＋-； 解：原式＝3×＋0.3－ ＝1.1. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (2)＋＋6－. 解：原式＝3＋4＋6×－(－1) ＝3＋4＋9－＋1 ＝17－. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，请化简：|a|－－. 解：由数轴可知a<0<b ∴原式＝|a|－|a|－|b| ＝－|b| ＝－b. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 15．(核心素养·数据分析观念)有如下一串二次根式： ①；②；③；④；… (1)求①，②，③，④的值； (2)仿照①，②，③，④，写出第⑤个二次根式； (3)仿照①，②，③，④，⑤，写出第 个二次根式，并化简． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 解：(1)①原式＝＝3；②原式＝＝15； ③原式＝＝35；④原式＝＝63. (2)第⑤个二次根式为＝99. (3)第 个二次根式为 原式＝ ＝ ＝(2n－1)(2n＋1) ＝4n2－1. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 微专题1：二次根式非负性的应用 【方法指导】 式子的两个非负性：(1)被开方数a必须是非负数；(2)的结果一定是非负数． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 【针对训练1】二次根式有意义的条件 1．已知y＝1＋＋，则2x＋3y的值为4. 【针对训练2】二次根式的非负性 2．若|x－2|＋＝0，则x＋y＝5. 3．若(2x＋y－5)2＋＝0，则x－y的值是9. 4．已知与互为相反数，则a＋b的值为－1. 4 5 9 －1 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 $$章末复习与提升(一)　二次根式 考点1：二次根式的有关概念及性质 1．下列各式中一定是二次根式的是 ( ) A. B. C. D. D 2．若有意义，则x的值可能是 ( ) A．1 B．0 C．－1 D．－2 D 3．如果＝1－2a，则 （ ） A．a< B．a≤ C．a> D．a≥ B 4．计算：(1)()0＝1 ； (2)()2＝； (3)＝5 ； (4)＝2.5. 1 5 2.5 5．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：－＋. 解：由数轴可知b<a<0<c，且|b|>|c|， ∴a－b>0，b＋c<0，a－c<0， ∴原式＝|a－b|－|b＋c|＋|a－c| ＝a－b＋b＋c＋c－a ＝2c. C 考点2：二次根式的运算 6．下列二次根式是最简二次根式的为 ( ) A. B. C. D. C 7．化简二次根式(x－3)得 ( ) A. B. C．－ D．－ 8．下列计算中正确的是 （ ） A．6－＝5 　 B．4×2＝8 C．3÷×＝3 　 D．5÷＝ D 9．若最简二次根式与是同类二次根式，则a＋b＝2 . 10．一个长方形的长和宽分别是2＋1，4，则它的面积是4＋2. 11．如果a＋＝＋1，那么a2＋＝9＋2. 2 4＋2 9＋2 12．计算： (1)×÷； 解：原式＝5×× ＝ ＝10. (2)4＋3－； 解：原式＝4×＋3×－3 ＝－. (3)(17＋12)(3－2)2. 解：原式＝(17＋12)(17－12) ＝289－288 ＝1. 13．先化简，再求值： (1)(m－n)2－m(m－2n)，其中m＝，n＝； 解：原式＝m2－2mn＋n2－m2＋2mn＝n2， 当m＝，n＝时，原式＝()2＝2. (2)÷，其中x＝－2＋. 解：原式＝· ＝· ＝－. 当x＝－2＋时，原式＝－＝－. C 考点3：二次根式的大小比较 14．下列无理数中，大小在3与4之间的是 （ ） A. B．2 C. D. 15．一个长方形的面积为6，其中一边长a＝2，则a和它的邻边长b的大小关系为a> b(选填“>”“＝”或“<”)． > 16．仔细阅读下面的例题，然后解答后面的问题． 例题：比较4－与2＋的大小． 解：4－－(2＋)＝2(1－)． ∵>1，∴1－<0，∴4－<2＋. 试比较2＋与2＋的大小． 解：(2+)－(2+)＝->0， ∴2+>2+. 【综合提升】 17．(核心素养·推理能力)下面是一个按某种规律排列的数阵． 根据数阵排列的规律，解答下列问题： (1)第10行共有20个数； (2)第n(n是整数，且n≥3)行从左向右数第(n－2)个数是.(用含n的代数式表示) 20 18．妇女节要到了，为了表示对妈妈的爱，小明做了两张大小不同的正方形壁画准备送给妈妈，其中一张面积为800 cm2，另一张面积为450 cm2，他想再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有1.2 m长的金彩带．请帮助算一算，他的金彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金彩带？(≈1.414.结果保留整数) 解：两张正方形壁画的边长分别为 cm， cm，该壁画所用的金彩带长为 4×(＋)＝140≈197.96(cm)． ∵1.2 m＝120 cm<197.96 cm， ∴不够用． 197．96－120≈78(cm)． 答：小明的金彩带不够用，还需买约78 cm长的金彩带． 16．2.2　二次根式的加减 第1课时　二次根式的加减 1．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 2．合并同类二次根式类似于合并同类项，就是将同类二次根式“系数”合并，根指数与被开方数保持不变． 3．二次根式加减法的一般步骤： ①先把各根式化成最简二次根式； ②找出其中的同类二次根式； ③合并同类二次根式． 被开方数 合并 不变 最简 同类 合并 计算： -- 【思路分析】先将每个二次根式化简，再合并同类二次根式． 【自主解答】 原式＝2－－＋ ＝＋. 【名师支招】二次根式的加减法类似于合并同类项，即先将二次根式化为最简二次根式，然后将被开方数相同的二次根式(同类二次根式)合并，需注意：(1)系数的符号；(2)带分数要写成假分数． 【易错原因】对同类二次根式的概念理解不透彻 与最简二次根式是同类二次根式，则m＝______． 【自主解答】 4 C 知识点1：同类二次根式 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是 （ ） A. B. C. D. 2．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a＝1 . 3．在下列二次根式中：2，，，4，. (1)能与合并的是4 ； (2)能与合并的是，. 4 ， 1 D 知识点2：二次根式的加减运算 4．计算3－的值是 ( ) A．2 B．3 C. D．2 5．下列运算中正确的是 ( ) A.＋3＝3 B．4－＝4 C.＋＝ D．3－＝2 D 6．(哈尔滨中考)计算＋3的结果是2. 2 7．计算： (1)2－； (2)＋； 解：原式＝ ＝. 解：原式＝ ＝. (3)－； (4)－2＋. 解：原式＝5－2 ＝6. 解：原式＝2－4 ＝－2. A 8．计算|2－|＋|3－|的结果是 ( ) A．1 B．－1 C．5－2 D．2－5 C 9．若3＋＝5，则m的值为 （ ） A．56 B．34 C．28 D．14 D 10．若三角形的三边长分别是a，b，c，且(a－2)2＋＋|c－4|＝0，则这个三角形的周长是 ( ) A．2＋5 B．4－3 C．4＋5 D．4＋3 11．如图所示的方格中，纵向、横向及对角线方向上的实数相乘都能得出同样的结果，则两个空格中的实数之和为4. 2 3 1 6 2 4 12．计算： (1)2－＋3； (2)(＋)－(－)； 解：原式＝2×2－＋＝. 解：原式＝3－. (3)－2＋－3. 解：原式＝2－10＋－ ＝－. 13．如图，面积为48 cm2的正方形的四个角均是面积为3 cm2的小正方形，将这四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的底面边长． 解：－2 　＝4－2 　＝2(cm)， ∴这个长方体盒子的底面边长为2 cm. 14．(核心素养·应用意识)先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 设a，b是有理数，且满足a＋b＝3－2，求ba的值． 解：由题意得(a－3)＋(b＋2)＝0， ∵a，b都是有理数， ∴a－3，b＋2也是有理数．由于是无理数， ∴a－3＝0，b＋2＝0.∴a＝3，b＝－2. ∴ba＝(－2)3＝－8. 问题：设x，y都是有理数，且x2－2y＋y＝8＋4，求x＋y的值． 解：∵x2－2y＋y＝8＋4， ∴(x2－2y－8)＋(y－4)＝0， ∵x，y都是有理数，是无理数， ∴x2－2y－8＝0，y－4＝0. 解得y＝4，x＝±4. 当x＝4，y＝4时，x＋y＝4＋4＝8； 当x＝－4，y＝4时，x＋y＝－4＋4＝0， 即x＋y的值是8或0. 第2课时　二次根式的混合运算 二次根式的混合运算 (1)在二次根式的运算中，实数的运算性质和法则同样适用； (2)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的． 运算性质 法则 乘方、开方 乘除 加减 括号里的 (1)(＋)÷； (2)(3－)(3＋)＋(2－)． 【思路分析】(1)类似于多项式除以单项式；(2)先去括号，再化简． 【自主解答】 (2)原式＝9－7＋2－2 ＝2. (1)原式＝＋ ＝2＋3. 【名师支招】在二次根式的运算中，多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用． 计算：÷(＋)． 【自主解答】 原式＝ ＝ ＝3－2 . A 知识点1：运用乘法公式计算 1．下列各数中，与2－的积为有理数的是 （ ） A．2＋ B．2－ C．－2＋ D. D 2．下列运算中正确的是 ( ) A．(3－)(3＋)＝3－2＝1 B．(＋)2＝()2＋()2＝5 C．(2－)(＋)＝(2)2－()2＝5 D．(－)2＝3－2＋＝ 3．(天津中考)计算(＋1)(－1)的结果为9 . 9 4．计算： (1)(＋)2；　　　　 (2)(＋1)(－1)－(－1)2. 解：原式＝3＋2＋5 ＝8＋2. 解：原式＝3－1－(3－2) ＝2－1. 知识点2：二次根式的混合运算 5．(重庆中考)计算×－的结果是 ( ) A．7 B．6 C．7 D．2 B 6．计算×＋×的结果在 （ ） A．4至5之间 B．5至6之间 C．6至7之间 D．7至8之间 B 7．计算： (1)×－； 解：原式＝－ ＝3－2 ＝. (2)(－)×. 解：原式＝4－ ＝3. A 8．如图，数轴上的点可近似地表示(4－)÷的值的是 ( ) A．点A B．点B C．点C D．点D A 9．计算(－)2 024×(＋)2 025的结果是 （ ） A.＋ B．－－ C.－ D.－ 10．梯形的上底长为2，下底长为3，高为(3－2)，则梯形的面积为3 . 11．规定a※b＝·＋，a*b＝ab－b2， (1)3※5＝； (2)2*(－1)＝4－ 5. 3 4－5 12．计算： (1)2(＋)－3(3－)； 解：原式＝2×2＋2×2－9＋3 ＝4＋4－9＋3 ＝－5＋7. (2)(－)÷＋×2； 解：原式＝－＋2 ＝1＋2. (3)－＋(－1)2＋÷； 解：原式＝2－＋4－2＋2 ＝＋4. (4)(1＋－)(1－＋) . 解：原式＝[1＋(-)][1－(-)] ＝12－(－)2 ＝1－(5－2) ＝2－4. 13．已知a＝2＋，b＝2－，求下列各式的值： (1)a2b＋ab2；　　(2)a2－ab＋b2. (2)a2－ab＋b2＝(a＋b)2－3ab＝42－3×1＝13. 解：∵a＝2＋，b＝2－，∴a＋b＝4，ab＝1. (1)a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝1×4＝4. 14．(核心素养·模型思想)先阅读材料，然后回答问题． 已知x＝－1，求x2＋2x－1的值．计算时，若将x＝－1直接代入，则运算比较麻烦，观察代数式，发现由x＝－1可得x＋1＝，所以(x＋1)2＝3，整理得x2＋2x＝2，再代入求值则非常方便，解答过程如下： 解：由x＝－1得x＋1＝，∴(x＋1)2＝3， 整理得x2＋2x＝2，∴x2＋2x－1＝2－1＝1. 请仿照上述方法解答： 已知x＝＋2，求2 024－2x2＋8x的值． 解：由x＝＋2得x－2＝， ∴(x－2)2＝3. ∴x2－4x＝－1， ∴原式＝2 024－2(x2－4x) ＝2 024＋2＝2 026. 16．2　二次根式的运算 16．2.1　二次根式的乘除 第1课时　二次根式的乘法 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 1．二次根式的性质3：如果a≥0，b≥0，那么有·＝z . 2．二次根式的性质3的逆用： ＝ ·(a≥0，b≥0)． · 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 计算： (1)×；(2)6×(－2)； (3)××6. 【思路分析】(1)题直接利用二次根式的乘法进行计算；(2)题将两个“系数”和两个二次根式分别相乘，同时注意确定积的符号；(3)题利用公式··＝(a≥0，b≥0，c≥0)进行计算． 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 【自主解答】 【名师支招】二次根式相乘，被开方数的积 中有开得尽方的因数或因式时，一定要开方． (1)原式＝＝＝5. (2)原式＝6×(－2)× ＝－12× ＝－12×9＝－108. (3)原式＝6×＝6. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 【易错原因】把根号外的因式移到根号内时忽略符号 把a中根号外的因式移到根号内的结果是________． 【自主解答】 - 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 知识点1：二次根式的乘法 1．化简×的结果是 ( ) A．2 B．4 C．4 D．8 B 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 2．下列等式中成立的是 ( ) A．4×2＝8 B．5×4＝20 C．4×3＝7 D．5×4＝20 D 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 3．(益阳中考)计算：×＝10 . 10 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 4．计算： (1)×； (2)×(－)． 解：原式＝. 解：原式＝－1. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 知识点2：积的算术平方根的性质 5．(桂林中考)化简的结果是 （ ） A．2 B．3 C．2 D．2 A 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 6．根据二次根式的性质，若＝·，则a的取值范围是 （ ） A．a≤5 B．a≥0 C．0≤a≤5 D．a≥5 C 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 7．化简： (1)； (2). 解：原式＝ ＝10. 解：原式＝7. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 8．若a＝，b＝，则用含a，b的式子表示是 （ ） A．2ab B．3ab C．6ab D．8ab A 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 9．如果ab>0，a＋b<0，那么下列各式中正确的是 （ ） A.＝· B.×＝1 C.×＝a D．()2＝－ab B 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 10．若计算×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是 (答案不唯一)(写出一个符合条件的值即可)． 11．观察分析下列数据： 0，－，，－3，－2，－，3，…. (1)根据数据排列的规律得到第16个数据应是－3(结果需化简)； (2)第n个数据是(－1)n＋1(结果不需化简)． (答案不唯一) －3 (－1)n＋1 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 12．计算： (1)－； 解：原式＝－3×16×2× ＝－96. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (2)×3×. 解：原式＝3×× ＝. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 13．小星在课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是 cm，宽是 cm，他又想设计一个面积与该长方形相等的圆，请帮助他求出圆的半径． 解：设圆的半径为r cm.根据题意，得 πr2＝×. ∵×＝＝70π， ∴πr2＝70π，∴r2＝70.∵r>0，∴r＝. ∴圆的半径为 cm. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 14．(核心素养·创新意识)先阅读下列解题过程，再解决问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b(a>b)，使a＋b＝m，ab＝n，这样()2＋()2＝m，·＝，于是＝＝±. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 例如：化简. 解：这里m＝7，n＝10.∵5＋2＝7，5×2＝10，即()2＋()2＝7，×＝，∴＝＝＋. 用上述例题的方法化简： (1)；　　(2). 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (2)这里m＝3，n＝2. ∵2＋1＝3，2×1＝2，即()2＋()2＝3，×＝， ∴＝＝－1. 解：(1)这里m＝8，n＝15. ∵3＋5＝8，3×5＝15， 即()2＋()2＝8，×＝， ∴＝＝＋. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 $$小专题(一)　二次根式中的运算 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 类型1：运用运算法则进行计算 1．计算： (1)2×÷3； 解：原式＝4×× ＝. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (2)3÷×； 解：原式＝3×3÷×× ＝9××× ＝20. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (3)＋|－3|－(－)； 解：原式＝4＋3－＋＝7. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (4)－＋－＋－. 解：原式＝－＋2－＋2－3 ＝(－＋2－3)＋(－1＋2) ＝－＋. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 2．计算： (1)×＋－； 解：原式＝＋4－ ＝＋4－ ＝6. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (2)(＋×)×； (3)(1＋2)(－1)； 解：原式＝(＋5)× ＝18. 解：原式＝－1＋6－2 ＝－＋5. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (4)(3＋－4)÷－1. 解：原式＝(6＋－2)÷4－1 ＝5÷4－1 ＝. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 类型2：运用乘法公式进行计算 3．计算： (1)(＋)2； (2)(－-)(-)； 解：原式＝-(+)(-) ＝－(3－5)＝2. 解：原式＝5＋2＋7 ＝12＋2. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (3)(＋)(-)； (4)(＋－)(-+)． 解：原式＝[＋(-)][－(-)] ＝5－(-)2 ＝2. 解：原式＝(3＋3)(－) ＝3×(3－2)＝3. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 类型3：与二次根式有关的化简求值 4．(内江中考)先化简，再求值： (＋)÷，其中a＝－，b＝＋4. 解：原式＝[＋]· ＝·＝. 当a＝－，b＝＋4时， 原式＝ ＝. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 5．已知x＝＋，y＝-，试求代数式3x2－5xy＋3y2的值． 解：原式＝3(x2－2xy＋y2)＋xy ＝3(x－y)2＋xy ＝3(+-+)2＋(+)(-) ＝3×28－4 ＝80. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 类型4：用整体的思想进行运算 6．(济宁中考)已知a＝2＋，b＝2－，求代数式a2b＋ab2的值． 解：a2b＋ab2 ＝ab(a＋b) ＝(2＋)(2－)(2＋＋2－) ＝(4－5)×4 ＝－4. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 类型5：运用等式规律进行计算 7．(核心素养·运算能力)观察下列运算： ①由(＋1)(－1)＝1，得＝－1； ②由(＋)(-)＝1，得＝-； ③由(＋)(－)＝1，得＝-； …… 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 (1)通过观察能得出什么规律？用含n的式子表示出来；(n为正整数) (2)利用(1)中发现的规律计算：(＋＋＋…＋)×(＋1)． (2)原式＝(－1＋－＋－＋…＋－)(＋1) ＝(－1)(＋1) ＝2 023. 解：(1)＝－. 八年级 数学 下册 沪科版 第 1 页 $$