预习专题04 向量的数乘运算7题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题04 向量的数乘运算7题型分类 一、向量数乘的定义 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向：. 特别地，当λ＝0时，λa＝0.当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 二、向量数乘的运算律 1.(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 三、向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. （一） 向量的线性运算 1、向量的线性运算: 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 2、向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数. (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算. 题型1：对向量数乘运算的理解 1．（2024高一·全国·课堂例题）与有什么关系？ 2．（2024高一·全国·课堂例题）若向量是非零向量，则向量与向量的方向如何？ 3．（2024高一·全国·课后作业）实数与向量的乘积还是向量．( ) 4．（2024高一下·全国·课后作业）设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（    ） A．与的方向相反 B．与的方向相同 C． D． 5．（2024高一下·全国·课后作业）已知m、n是实数，、是向量，对于命题： ①     ② ③若，则     ④若，则 其中正确命题的个数是：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型2：向量的线性运算 6．（2024高一下·重庆綦江·期中）化简为（    ） A． B． C． D． 7．（2024高一下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3). 8．（2024高一·全国·课后作业）计算： （1）； （2）. 9．（河南省平顶山市蓝天高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题）化简： (1)； (2)； (3)． 10．（2024高一·全国·随堂练习）求下列未知向量． (1)； (2)． 11．（2024高一下·北京顺义·期末）如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（    ） A． B． C． D． 12．（2024高三上·北京朝阳·期中）已知平面内四个不同的点满足，则（    ） A． B． C．2 D．3 （二） 用已知向量表示其他向量 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程. 题型3：用已知向量表示其他向量 13．（2024高一下·湖南长沙·期末）在中，已知D为BC上一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024高二上·湖北黄石·期中）如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 15．（2024高一下·江西赣州·期末）在中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 16．（2024高一下·山东聊城·期中）如图所示，已知，，，则（    ）    A． B． C． D． 17．（2024高一下·浙江台州·期中）如图，在中，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 18．（2024高一下·河南周口·阶段练习）如图所示平行四边形中，设向量，，又，，用，表示､､.    （三） 共线向量的判定及应用 (1)证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可. (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． (3)判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y，且x＋y＝1. 题型4：向量共线的判定 19．（2024高一·全国·随堂练习）判断下列各小题中的向量，是否共线： (1)，； (2)，（其中两个非零向量和不共线）； (3)，. 20．（2024高一·全国·课后作业）判断向量是否共线(其中,是两个非零不共线的向量): (1); (2); (3). 题型5：证明或判断三点共线的方法 21．（黑龙江省哈尔滨市第九中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷）已知空间不共线的向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 22．（2024高一·全国·课后作业）若，则共线的三点是 . 23．（2024高一·全国·课后作业）设两个非零向量与不共线． (1)若，，，求证：，，三点共线； (2)试确定实数，使和同向． 24．（2024高一·全国·课后作业）设，是两个不共线的向量，如果，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定的值，使和共线； (3)若与不共线，试求的取值范围. 25．（2024高一下·安徽合肥·期中）设是不共线的两个向量，.若三点共线，则k的值为 . 26．（2024高一下·重庆沙坪坝·期末）已知平面向量，不共线，且，，，若，，三点共线，则 . 27．（2024高一上·辽宁·期末）已知与为非零向量，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型6：利用向量共线求参数 28．（2024高一·浙江·期中）已知为不共线的两个单位向量，若与平行，则的值为（    ） A． B． C． D． 29．（2024高一下·安徽淮南·期末）已知向量不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D．1或2 30．（2024高二下·宁夏石嘴山·期末）设向量，不平行，向量与平行，则实数（    ）． A． B． C． D． 31．（2024高三上·青海西宁·期末）已知向量，不共线，，，，则（    ） A． B． C．6 D． 32．（2024高一下·山西运城·期中）已知向量，不共线，且向量与方向相同，则实数的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 题型7：向量共线定理推论 33．（2024高三上·辽宁铁岭·期中）在中，D为CB上一点，E为AD的中点，若，则 ． 34．（2024高三上·陕西渭南·期末）如图所示，中为重心，过点，，，则 ．    35．（2024·四川成都·一模）已知平行四边形，若点是边的三等分点（靠近点处），点是边的中点，直线与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 36．（2024高一上·广西玉林·开学考试）如图，在中，中线AD、BE、CF相交于点G，点G称为的重心，那么是（    ）    A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶3 一、单选题 1．（2024高一下·重庆·期末）已知点在线段上，且，若向量，则（    ） A．2 B． C． D． 2．（2024高三上·江苏南京·开学考试）在中，点为边的中点．记，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一下·全国·课后作业）下列运算正确的个数是（    ） ①； ②； ③. A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2024高二上·黑龙江·学业考试）已知向量，化简（    ） A． B． C． D． 5．（广东省大湾区（步升联考）2024-2025学年高三上学期新高考适应性测试数学试题）已知向量，不平行，，则（   ） A． B． C．1 D．2 6．（黑龙江省哈尔滨市第九中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷）已知空间不共线的向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 7．（2024高一上·辽宁锦州·期末）“实数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 8．（2025高三·全国·专题练习）已知在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E满足，记，，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）如图，在四边形中，，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·北京·阶段练习）下列关于向量的线性运算，不正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（2024高三·全国·专题练习）在中，点为边的中点，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（   ） A．2 B． C． D． 13．（2024高二下·安徽·学业考试）如图，在中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 14．（2025高三·全国·专题练习）在中，点为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 15．（2024高三·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，，，若，则（    ） A． B．2 C． D． 二、多选题 16．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）已知是两个不共线的单位向量，则下列各组向量中，一定能推出 的是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高三上·河南安阳·期中）已知中，点是边的中点，点是所在平面内一点且满足，则下列结论正确的有（    ） A．点是中线的中点 B．点在中线上但不是的中点 C．与的面积之比为1 D．与的面积之比为 18．（2024高一下·全国·单元测试）已知向量，不共线，若，，且，则关于实数，的值可以是（ ） A．2， B．， C．2， D．， 19．（2024高一上·辽宁沈阳·期末）已知，D为BC边中点，若点P满足，则下列说法正确的是（    ） A．点P一定在内部 B． C． D．点P在直线AD上 三、填空题 20．（2024高三上·湖南邵阳·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F为BE的中点，若，则 ． 21．（2024高一下·山东菏泽·阶段练习）设，是两个不共线的向量，向量，共线，则 . 22．（2024高三·全国·专题练习）已知向量不共线，向量与共线，则 . 23．（2024高二上·辽宁·学业考试）已知向量与不共线，而且与共线，则的值为 . 24．（24-25高一上·浙江宁波·期末）设是平面内不共线的一组基底，，若三点共线，则实数 . 25．（24-25高三上·山东泰安·期末）在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为 . 四、解答题 26．（2024高一·全国·随堂练习）求下列未知向量． (1)； (2)． 27．（2024高一·全国·随堂练习）判断三点是否共线. (1)已知两个非零向量和不共线，，，.求证：A，B，D三点共线. (2)已知任意两个非零向量，，求作，，.试判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由. 28．（2024高一下·广东汕头·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； 29．（2024高一下·全国·课堂例题）已知、是两个不平行的向量，向量，，， (1)求证：； (2)判断三点的位置关系. 30．（2024高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 31．（2024高二上·海南·开学考试）化简： (1)； (2)； (3) 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题04 向量的数乘运算7题型分类 一、向量数乘的定义 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向：. 特别地，当λ＝0时，λa＝0.当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 二、向量数乘的运算律 1.(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 三、向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. （一） 向量的线性运算 1、向量的线性运算: 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 2、向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数. (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算. 题型1：对向量数乘运算的理解 1．（2024高一·全国·课堂例题）与有什么关系？ 【答案】答案见解析 【详解】与方向相反，的长度是长度的2倍． 2．（2024高一·全国·课堂例题）若向量是非零向量，则向量与向量的方向如何？ 【答案】答案见解析 【详解】向量是与共线且方向相同的向量. 3．（2024高一·全国·课后作业）实数与向量的乘积还是向量．( ) 【答案】正确 【分析】由数乘向量的定义可判断正误. 【详解】由数乘向量的定义知，实数与向量的乘积还是向量. 故答案为：正确. 4．（2024高一下·全国·课后作业）设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（    ） A．与的方向相反 B．与的方向相同 C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量的基本概念及数乘运算一一判定即可. 【详解】对于A，当时，与的方向相同，当时，与的方向相反，故A不正确；对于B，显然，即B正确； 对于C，，由于与1的大小不确定，故与的大小关系不确定，故C不正确； 对于D，是向量，而表示长度，两者不能比较大小，故D不正确． 故选：B 5．（2024高一下·全国·课后作业）已知m、n是实数，、是向量，对于命题： ①     ② ③若，则     ④若，则 其中正确命题的个数是：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①和②属于数乘对向量与实数的分配律，③中若，结论不成立，④中若，结论不成立. 【详解】①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确； ③中若，与没有确定关系，结论不成立，错误； ④中若，m与n没有确定关系，结论不成立，错误. 故①②两个命题正确． 故选：B 题型2：向量的线性运算 6．（2024高一下·重庆綦江·期中）化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的数乘及加减运算即可求得结果. 【详解】根据向量的四则运算可知， . 故选：D 7．（2024高一下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】（1）. （2）. （3）. 8．（2024高一·全国·课后作业）计算： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据向量的运算法则，展开整理，即可得答案. （2）根据向量的运算法则，展开整理，即可得答案. 【详解】（1） =. （2） = 9．（河南省平顶山市蓝天高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】（1）. （2） . （3）. 10．（2024高一·全国·随堂练习）求下列未知向量． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用平面向量的线性运算可解得向量. 【详解】（1）因为，所以，. （2）因为，所以，. 11．（2024高一下·北京顺义·期末）如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得. 【详解】因为四边形为矩形，为中点， 所以， 所以. 故选：B 12．（2024高三上·北京朝阳·期中）已知平面内四个不同的点满足，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】将条件变形，得到的关系，进而可得的值. 【详解】, , 即, . 故选：D. （二） 用已知向量表示其他向量 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程. 题型3：用已知向量表示其他向量 13．（2024高一下·湖南长沙·期末）在中，已知D为BC上一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案. 【详解】在中，， 所以. 故选：B    14．（2024高二上·湖北黄石·期中）如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得. 【详解】因为， 所以 . 故选：C 15．（2024高一下·江西赣州·期末）在中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算求解. 【详解】解：因为， 所以， ． 故选：C． 16．（2024高一下·山东聊城·期中）如图所示，已知，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用向量的线性运算计算即可. 【详解】. 故选：D 17．（2024高一下·浙江台州·期中）如图，在中，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 18．（2024高一下·河南周口·阶段练习）如图所示平行四边形中，设向量，，又，，用，表示､､.    【答案】，， 【分析】根据向量加法､减法，及数乘的几何意义，及其运算，以及向量加法的平行四边形法则，即可表示出，，. 【详解】解：∵， ∴； 又，； ∴. （三） 共线向量的判定及应用 (1)证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可. (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． (3)判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y，且x＋y＝1. 题型4：向量共线的判定 19．（2024高一·全国·随堂练习）判断下列各小题中的向量，是否共线： (1)，； (2)，（其中两个非零向量和不共线）； (3)，. 【答案】(1)共线； (2)共线； (3)共线. 【分析】用向量共线定理判断. 【详解】（1），，所以， 所以，共线. （2），, 所以，所以，共线. （3）因为，， 所以， 所以. 所以，共线. 20．（2024高一·全国·课后作业）判断向量是否共线(其中,是两个非零不共线的向量): (1); (2); (3). 【答案】(1)共线； (2)共线； (3)不共线. 【分析】（1）（2）（3）根据给定条件计算，再利用共向量定理直接判断作答. 【详解】（1）因，则有，所以共线. （2）因，，则，所以共线. （3）假设，则，即， 因不共线，于是得，此方程组无解，因此不存在实数，使得， 所以不共线. 题型5：证明或判断三点共线的方法 21．（黑龙江省哈尔滨市第九中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷）已知空间不共线的向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【分析】利用空间向量平行证明三点共线即可. 【详解】因为，，， 对于A：因为， 则不存在任何，使得，所以、、不共线，故A错误； 对于B：因为， 则不存在任何，使得，所以、、不共线，故B错误； 对于C：因为， 所以，则、、三点共线，故C正确； 对于D：因为， 则不存在任何，使得，所以、、不共线，故D错误； 故选：C 22．（2024高一·全国·课后作业）若，则共线的三点是 . 【答案】 【分析】根据已知条件结合共线向量定理分析判断即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以与共线，因为与有公共端点， 所以三点共线. 故答案为： 23．（2024高一·全国·课后作业）设两个非零向量与不共线． (1)若，，，求证：，，三点共线； (2)试确定实数，使和同向． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）求出，原题即得证； （2）存在实数，使，解方程组即得解. 【详解】（1）证明：因为，，， 所以． 所以，共线． 又因为，有公共点，所以，，三点共线． （2）解：因为与同向， 所以存在实数，使， 即．所以． 因为，是不共线的两个非零向量， 所以，解得，或， 又因为，所以． 24．（2024高一·全国·课后作业）设，是两个不共线的向量，如果，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定的值，使和共线； (3)若与不共线，试求的取值范围. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【分析】（1）要证明A，B，D三点共线，只需证明向量与共线； （2）两向量与（）共线，所以存在唯一实数实数，使.由此列方程组可解； （3）知两向量不共线，求参数.可先求两向量共线时的参数值，实数集中去除这些值，即为不共线的参数值或范围. 【详解】（1）证明：因为， 所以与共线. 因为与有公共点B， 所以A，B，D三点共线. （2）因为与共线， 所以存在实数，使. 因为，不共线，所以 所以. （3）假设与共线，则存在实数m，使. 因为，不共线，所以 所以. 因为与不共线， 所以. 25．（2024高一下·安徽合肥·期中）设是不共线的两个向量，.若三点共线，则k的值为 . 【答案】 【分析】根据三点共线可得向量共线，由此利用向量共线定理可列出向量等式，即可求得答案. 【详解】因为三点共线，故, 则，使得， 又， 故，则，解得， 故答案为： 26．（2024高一下·重庆沙坪坝·期末）已知平面向量，不共线，且，，，若，，三点共线，则 . 【答案】1 【分析】先根据向量的减法法则表示出，然后根据向量的共线定理进行计算. 【详解】依题意得，， 由三点共线可知，存在，使得，即， 由于，是两个不共线的向量，则， 解得. 故答案为：1. 27．（2024高一上·辽宁·期末）已知与为非零向量，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案. 【详解】由题意知，三点共线，故, 且共线， 故不妨设，则， 所以，解得， 故选：D 题型6：利用向量共线求参数 28．（2024高一·浙江·期中）已知为不共线的两个单位向量，若与平行，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理可得存在唯一实数，使得，列出方程组，解之即可得解. 【详解】解：因为与平行， 所以存在实数，使得，即， 又为不共线， 所以，解得. 故选：B. 29．（2024高一下·安徽淮南·期末）已知向量不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D．1或2 【答案】C 【分析】利用平面向量共线基本定理列等式，利用不共线向量相等列方程组求解. 【详解】若向量与共线， 则存在实数，使得， 又因为向量，不共线，所以，解得或. 故选：C. 30．（2024高二下·宁夏石嘴山·期末）设向量，不平行，向量与平行，则实数（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量共线列式计算即得. 【详解】由向量与平行，得，而向量不平行， 于是，所以. 故选：A 31．（2024高三上·青海西宁·期末）已知向量，不共线，，，，则（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】由向量平行的性质计算即可. 【详解】因为，所以， ，则 解得. 故选：A. 32．（2024高一下·山西运城·期中）已知向量，不共线，且向量与方向相同，则实数的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】A 【分析】利用向量共线定理求解即可 【详解】因为向量与方向相同， 所以存在唯一实数，使， 因为向量，不共线， 所以，解得或（舍去）， 故选：A 题型7：向量共线定理推论 33．（2024高三上·辽宁铁岭·期中）在中，D为CB上一点，E为AD的中点，若，则 ． 【答案】/0.1 【分析】 由平面向量的线性运算和三点共线的充分必要条件得出结果. 【详解】 因为E为AD的中点，所以， 因为B，D，C三点共线，所以， 所以，解得． 故答案为： 34．（2024高三上·陕西渭南·期末）如图所示，中为重心，过点，，，则 ．    【答案】3 【分析】根据题意，由向量的线性运算可得的表达式，又由向量共线的性质设，即，变形整理可得结论； 【详解】设 根据题意，； ，，，三点共线，则存在，使得， 即，即， ，整理得，所以； 故答案为：3 35．（2024·四川成都·一模）已知平行四边形，若点是边的三等分点（靠近点处），点是边的中点，直线与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，设，，利用向量的基本定理可得，求得，从而问题可解. 【详解】    设，则，， 设，， 则，， 因为， 所以，解得， 所以，即. 故选：C. 36．（2024高一上·广西玉林·开学考试）如图，在中，中线AD、BE、CF相交于点G，点G称为的重心，那么是（    ）    A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶3 【答案】B 【分析】 设，得到，结合向量共线定理的推论得到，求出，求出答案. 【详解】因为为的中线，所以， 设，则， 故，所以， 因为，所以， 因为三点共线，可设，则， 故， 故，相加得， 解得，故. 故选：B 一、单选题 1．（2024高一下·重庆·期末）已知点在线段上，且，若向量，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，结合向量的线性表示即可求得. 【详解】如图，由，可得，所以，即， 故选：D. 2．（2024高三上·江苏南京·开学考试）在中，点为边的中点．记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】    因为点D为边的中点，所以， . 故选：D. 3．（2024高一下·全国·课后作业）下列运算正确的个数是（    ） ①； ②； ③. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项分析求解即可. 【详解】根据向量数乘运算和加减运算规律知①②正确； 在③中，，显然该运算错误. 所以运算正确的个数为2. 故选：C 4．（2024高二上·黑龙江·学业考试）已知向量，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算计算即得. 【详解】. 故选：C 5．（广东省大湾区（步升联考）2024-2025学年高三上学期新高考适应性测试数学试题）已知向量，不平行，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据向量共线得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，则. 故选：B. 6．（黑龙江省哈尔滨市第九中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷）已知空间不共线的向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【分析】利用空间向量平行证明三点共线即可. 【详解】因为，，， 对于A：因为， 则不存在任何，使得，所以、、不共线，故A错误； 对于B：因为， 则不存在任何，使得，所以、、不共线，故B错误； 对于C：因为， 所以，则、、三点共线，故C正确； 对于D：因为， 则不存在任何，使得，所以、、不共线，故D错误； 故选：C 7．（2024高一上·辽宁锦州·期末）“实数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据“”与“”的互相推出情况判断出结果. 【详解】当时，显然成立， 当时，此时不一定成立，例如时可取任意实数， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 8．（2025高三·全国·专题练习）已知在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E满足，记，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以． 故选：A 9．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）如图，在四边形中，，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得. 【详解】因为， 所以 . 故选：C. 10．（24-25高一上·北京·阶段练习）下列关于向量的线性运算，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算法则逐项判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由数乘向量的运算律知，，D正确. 故选：B. 11．（2024高三·全国·专题练习）在中，点为边的中点，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量的线性运算即可得到答案. 【详解】如图，因为点为边的中点，点在上，且， 所以，． 又，， 所以， 故选：D． 12．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量共线建立等式，解得的值. 【详解】因为与共线，所以存在实数使得，， 所以，即． 因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得， 故选：C． 13．（2024高二下·安徽·学业考试）如图，在中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由向量的线性运算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以， 即得. 故选：B. 14．（2025高三·全国·专题练习）在中，点为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】D 【分析】由题意得，且，再利用基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】 由题意，在中，点为线段上任一点（不含端点）， 若，则有， 设，则， 所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为16． 故选：D． 15．（2024高三·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，，，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由向量平行可得出，列出方程求解即可. 【详解】因为，所以存在实数，使得， 即， 又因为不共线， 所以 解得． 故选：A 二、多选题 16．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）已知是两个不共线的单位向量，则下列各组向量中，一定能推出 的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据共线向量定理，即可判断选项． 【详解】对于A，因为，，故，即，故A正确； 对于B，因为，，则，故B正确； 对于C，，，由于不共线，故，所以向量不平行，故C错误． 对于D，，故，此时，故D正确， 故选：ABD． 17．（24-25高三上·河南安阳·期中）已知中，点是边的中点，点是所在平面内一点且满足，则下列结论正确的有（    ） A．点是中线的中点 B．点在中线上但不是的中点 C．与的面积之比为1 D．与的面积之比为 【答案】ACD 【分析】由平面向量的线性运算得到，则AB可判断，利用三角形中线的性质得，则CD可判断. 【详解】因为的中点为，所以. 又，所以， 所以，即为的中点，A正确，B错误. 由A正确可知，，所以C，D正确. 故选：ACD. 18．（2024高一下·全国·单元测试）已知向量，不共线，若，，且，则关于实数，的值可以是（ ） A．2， B．， C．2， D．， 【答案】AB 【分析】根据，可得出存在，使得，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则存在实数，使得， 即，即，所以， 又因为向量，不共线，所以，解得， 所以实数，的值互为倒数． 故选：AB． 19．（2024高一上·辽宁沈阳·期末）已知，D为BC边中点，若点P满足，则下列说法正确的是（    ） A．点P一定在内部 B． C． D．点P在直线AD上 【答案】ABC 【分析】设、分别是、的中点，依题意可得，从而得到点是中位线上靠近点的三等分点，即可判断A，D再根据面积关系判断C，又平面向量线性运算法则判断B. 【详解】由，所以， 设、分别是、的中点，所以， 于是点是中位线上靠近点的三等分点，则点一定在内部，故A正确，D错误. 又，所以，则，故B正确； 由A可知，，且， 所以，，即，故C正确； 故选：ABC 三、填空题 20．（2024高三上·湖南邵阳·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F为BE的中点，若，则 ． 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算计算即可. 【详解】 ， 所以，，. 故答案为：. 21．（2024高一下·山东菏泽·阶段练习）设，是两个不共线的向量，向量，共线，则 . 【答案】 【分析】用向量的共线定理，结合平面向量基本定中的唯一性构建参数方程组，即可求解. 【详解】与共线，，， 又，是两个不共线的向量，，解得. 故答案为：. 22．（2024高三·全国·专题练习）已知向量不共线，向量与共线，则 . 【答案】 【分析】由向量共线列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为向量不共线，向量与共线， 所以， 即，解得. 故答案为： 23．（2024高二上·辽宁·学业考试）已知向量与不共线，而且与共线，则的值为 . 【答案】/ 【分析】由向量平行的判定列出等式即可求解. 【详解】因为与共线，又向量与不共线， 所以，解得， 故答案为： 24．（24-25高一上·浙江宁波·期末）设是平面内不共线的一组基底，，若三点共线，则实数 . 【答案】 【分析】借助向量线性运算可得、，再利用向量共线定理计算即可得. 【详解】， ， 由三点共线，则有，解得. 故答案为：. 25．（24-25高三上·山东泰安·期末）在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为 . 【答案】/ 【分析】将题设将变形为，再结合共线定理的推论即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为三点共线，所以. 故答案为：. 四、解答题 26．（2024高一·全国·随堂练习）求下列未知向量． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用平面向量的线性运算可解得向量. 【详解】（1）因为，所以，. （2）因为，所以，. 27．（2024高一·全国·随堂练习）判断三点是否共线. (1)已知两个非零向量和不共线，，，.求证：A，B，D三点共线. (2)已知任意两个非零向量，，求作，，.试判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)A，B，C三点共线，理由见解析 【分析】根据向量共线定理判断. 【详解】（1）， 所以， 又因为有公共起点，故A，B，D三点共线. （2） ， 所以， 又因为有公共起点，故A，B，C三点共线. 28．（2024高一下·广东汕头·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用向量的加减法的法则求解即可. （2）直接利用向量的加减法、数乘运算化简即可得出答案. 【详解】（1） . （2）. 29．（2024高一下·全国·课堂例题）已知、是两个不平行的向量，向量，，， (1)求证：； (2)判断三点的位置关系. 【答案】(1)证明见解析； (2)三点共线 【分析】（1）求出，找到使成立的即可证明； （2）根据可知三点共线. 【详解】（1）证明：， 因此， （2）由（1）知，又有公共点C，故三点共线. 30．（2024高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用向量的线性运算计算即可； （2）应用向量的线性运算计算即可； （3）应用向量的线性运算计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 31．（2024高二上·海南·开学考试）化简： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$