2025年九年级中考数学一轮专题复习 三角函数的有关计算 课件

的 当 心 中 有 更 高 想 去 攀登 时， 怎会 在意 的泥泞 脚 下 三角函数的有关计算 一轮中考数学 回顾与思考 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角α 30° 45° 60° sin α cos α tan α 三角 函数 问题: 如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？（结果精确到0.01m） 问题: 如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？（结果精确到0.01m） 在 Rt△ABC中，∠ABC=90°， BC=ABsin∠α=200sin16° 你知道sin16°是多少吗？ 用计算器求三角函数值 一 1.求sin18°． 第一步：按计算器 键， sin 第二步：输入角度值18， 屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994 （也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）. 2.求cos72°． 第一步：按计算器 键， cos 第二步：输入角度值72， 屏幕显示结果cos72°=0.309 016 994 第一步：按计算器 键， tan 3.求 tan30°36'. 第二步：输入角度值30，按 键，输入36， 按 °＇ ″ 最后按等号，屏幕显示答案：0.591 398 351； 第一步：按计算器 键， tan 第二步：输入角度值30.6 （因为30°36'＝30.6°） 屏幕显示答案：0.591 398 351. 第一种方法： 第二种方法： °＇ ″ 键， 例1：用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)： (1)sin47°；　　　(2)sin12°30′； (3)cos25°18′；　　(4)sin18°＋cos55°－tan59°. 解：根据题意用计算器求出： (1)sin47°≈0.7314； (2)sin12°30′≈0.2164； (3)cos25°18′≈0.9041； (4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817. 典例精析 问题: 如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？（结果精确到0.01m） 在 Rt△ABC中，∠ABC=90°， BC=ABsin∠α=200sin16° 你知道sin16°是多少吗？ BC=200sin16°≈55.12（米） 问题: 在本节一开始的问题中，当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°，由此你还能计算吗 在 Rt△BDE中，∠BED=90°， DE=BDsin∠β=200sin42° DE≈133.82（米） E 利用计算器由三角函数值求角度 二 为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修建了40m长的斜道（如图）.这条斜道的倾斜角是多少？ 利用计算器由三角函数值求角度 二 为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修建了40m长的斜道（如图）.这条斜道的倾斜角是多少？ 在Rt△ABC中，sin∠A= 那么∠A是多少度呢？ 已知sinA=0.501 8，用计算器求锐角A可以按照下面方法操作： 还以以利用 键，进一步得到 ∠A＝30°7'8.97 " 第一步：按计算器 键， sin 第二步：然后输入函数值0. 501 8 屏幕显示答案： 30.119 158 67° °＇″ 操作演示 SHIFT 例2：已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)： (1)sinA＝0.7，sinB＝0.01； (2)cosA＝0.15，cosB＝0.8； (3)tanA＝2.4，tanB＝0.5. 解：(1)由sinA＝0.7，得∠A≈44.4°；由sinB＝0.01，得∠B≈0.6°； (2)由cosA＝0.15，得∠A≈81.4°；由cosB＝0.8，得∠B≈36.9°； (3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得∠B≈26.6°. cos55°= cos70°= cos74°28 '= tan3°8 ' = tan80°25'43″= sin20°= sin35°= sin15°32 ' = 0.3420 0.3420 0.5736 0.5736 0.2678 0.2678 5.930 0.0547 角度增大 正弦值增大 余弦值减小 正切值增大 拓广探索 比一比，你能得出什么结论？ 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 归纳总结 例3：如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝45°.因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路． (1)求改直后的公路AB的长； (2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)? 利用三角函数解决实际问题 三 (1)求改直后的公路AB的长； 解：(1)过点C作CD⊥AB于点D， ∵AC＝10千米，∠CAB＝25°， ∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)， AD＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千米)． ∵∠CBA＝45°，∴BD＝CD＝4.2(千米)， ∴AB＝AD＋BD＝9.1＋4.2＝13.3(千米)． 所以，改直后的公路AB的长约为13.3千米； (2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)? (2)∵AC＝10千米， ∴AC＋BC－AB＝10＋5.9－13.3＝2.6(千米)． 所以，公路改直后该段路程比原来缩短了约2.6千米． 【方法总结】解决问题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用三角函数关系求出有关线段的长． 解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形． 方法总结 d A D C a ┌ c b M B C m ┌ c 锐角三角函数配对 知识回顾1 直角三角形中的6个元素的关系： 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为a、b、c。 (1)边的关系： a2+b2=c2(勾股定理)； (2)角的关系： ∠A +∠B=90°； (3)边角关系： 以上是Rt△ABC中，∠A、∠B、a、b、c 六个元素的关系 b A B C a ┌ c tanA= a b a b tanB= sinA= a c cosA= b c sinB= b c cosB= a c 知识回顾2 三角函数 锐角α 正弦sinα 余弦cosα 正切tanα 300 450 600 特殊角的三角函数值 记住秘诀是什么？ 知识回顾3 ┌ ┌ 300 600 450 450 1 2 1 1 当堂练习 1. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角： （1）sinA=0.627 5，sinB＝0.6175； （2）cosA＝0.625 2，cosB＝0.165 9； （3）tanA＝4.842 8，tanB＝0.881 6. ∠B≈38°8′2″ ∠A≈38°51′57″ ∠A≈51°18′11″ ∠B≈80°27′2″ ∠A≈78°19′58″ ∠B≈41°23′58″ 2.已知：sin232°+cos2α=1，则锐角α等于（　　） A．32° B．58° C．68° D．以上结论都不对 A 3.用计算器验证，下列等式中正确的是（　　） A．sin18°24′+sin35°26′=sin45° B．sin65°54′-sin35°54′=sin30° C．2sin15°30′=sin31° D．sin72°18′-sin12°18′=sin47°42′ D A 4.下列各式中一定成立的是（ ） A.tan75°﹥tan48°﹥tan15° B. tan75°﹤tan48°﹤tan15° C. cos75°﹥cos48°﹥cos15° D. sin75°﹤sin48°<sin15° 5.sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是(　) A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70° C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70° 解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又cos70°＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°.故选D. 【方法总结】当角度在0°<∠A<90°间变化时，0<sinA<1，1>cosA>0.当角度在45°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞1. D 6.如图所示，电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°. (1)求大楼与电视塔之间的距离AC； (2)求大楼的高度CD(精确到1米)． 1、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=12 ， 求:b、 ∠A、∠B。 试一试 b A B C a=6 ┌ c=12 如图,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°,那么缆车垂直上升的距离是多少? 在Rt△ABC中,BC=ABsin16° 可是，sin16°=？ 200m 当缆车继续从点B 到达点D 时,它又走过了200m.缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°,由此你能计算DE、BE吗? 想一想 E 200m ∵cosβ= BE BD ∴ BE=BD cosβ =BD cos42° 哦，cos42°是可以用计算器或查表知道的。 解决问题 AD= ×20=10m 1 2 解： 在Rt△ABD中 ∵tan∠1= ≈0.5208 ∴∠1≈27.5°（计算器或查表可得） ∴∠ACB＝2∠1≈2×27.5° ＝55° ∴V形角约为55° A B C D 1 4.求图中避雷针的长度(结果精确到0.01m). 解：如图，根据题意，可知 AB=20，∠CAB=50°，∠DAB=56° 在Rt△DBA中，DB=ABtan56° ≈20×1.4826 =29.652(m)； 在Rt△CBA中，CB=ABtan50° ≈ 20×1.1918 =23.836(m) ∴避雷针的长度 DC=DB- CB＝29.652-23.836≈5.82(m). 课堂总结 有关三角函数的计算步骤： 1、构造Rt△。 2、熟练掌握锐角三角函数定义，并灵活选择锐角 的某个三角函数进行计算（注意精确度的要求） $$