预习专题03 向量的减法运算4题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题03 向量的减法运算4题型分类 一、相反向量 1．定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a． 2．性质： (1)零向量的相反向量仍是零向量. (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 二、向量的减法 1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示. 3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. （一） 向量的减法运算 求作两个向量的差向量的两种思路： (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可. (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. 题型1：相反向量 1．（2024高二下·浙江嘉兴·期中）下列说法中，错误的是（    ） A．等长且方向相反的两个向量是相反向量 B．方向相反的向量是相反向量 C．零向量的相反向量是零向量 D．互为相反向量的两个向量是共线向量 2．（2024高一下·全国·课后作业）下列等式中，正确的个数为（    ） ①②③④⑤⑥． A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2024高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．若与都是单位向量,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则与是相反向量 4．（2024高一下·全国·课后作业）非零向量与是相反向量，下列不正确的是（    ） A． B． C． D．方向相反 5．（2024高一·全国·随堂练习）在如图所示的向量，，，，中（小正方形的边长为1），是否存在：    (1)共线向量？ (2)相反向量？ (3)相同的向量？ (4)模相等的向量？ 若存在，分别写出这些向量． 题型2：向量的减法运算 6．（24-25高一·上海·随堂练习）如图，在各小题中，已知，分别求作． 7．（2024高一·江苏·专题练习）如图，已知向量，，，求作向量．    8．（24-25高二上·四川达州·期中）下列表达式化简结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024高三·全国·专题练习）化简：（   ） A． B． C． D． 10．（2024高二上·山东枣庄·学业考试）等于（   ） A． B． C． D． （二） 向量减法法则的应用 (1)向量减法运算的常用方法 (2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连且为和. ②起点相同且为差. 题型3：向量减法法则的应用 11．（2024高一下·全国·单元测试）化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 12．（2024高一下·四川成都·阶段练习）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 13．（2024高一下·天津河西·期中）化简：（    ） A． B． C． D． 14．（2024高一下·福建福州·期中）计算 ． 15．（2024高一下·上海·期中）化简 ． 16．（2024高一下·天津滨海新·阶段练习）下列四式不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 17．（2024高一·全国·专题练习）化简下列各向量的表达式： (1)； (2)； (3)； 题型4：向量减法的几何意义及应用 18．（2024高一下·北京东城·期末）如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 19．（2024高一下·北京东城·阶段练习）在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 20．（2024高一·全国·课堂例题）若是不共线向量，则与的几何意义分别是什么？ 21．（2024高三·全国·专题练习）若，，则的取值范围是 . 22．（2024高一下·山西大同·阶段练习）设，则的最大值与最小值分别为 . 23．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，，，，试求：.    一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知下列各式：①；②；③.其中结果为零向量的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．若与都是单位向量,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则与是相反向量 3．（2024高一下·全国·专题练习）已知在四边形ABCD中，则四边形ABCD一定是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 4．（2024高一下·北京·期中）设如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一·全国·课后作业）若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误的是（    ）． A． B． C． D． 6．（2024高二上·湖南·阶段练习）在平面四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高一下·河南驻马店·期末）已知矩形的对角线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（2024高一·江苏·课后作业）下列结论恒为零向量的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024高一下·河南三门峡·阶段练习）化简以下各式，结果为的有（    ） A． B． C． D． 10．（2024高一下·四川成都·阶段练习）对于菱形ABCD，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（2024高二上·贵州黔西·阶段练习）化简以下各式，结果为的有（      ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2024高一下·全国·课前预习）向量减法的三角形法则：一般地，平面上任意给定两个向量，，如果向量满足，则称为与的差，记作 .平面内任取一点O，作，，作出向量，由于，因此向量就是向量与的差（也称为向量与的差向量），即 . 13．（24-25高一下·全国·课后作业）在矩形中，，，则 ， ． 14．（2024高一·全国·课后作业）在中，若，则 ． 15．（2024高一下·全国·随堂练习）如图，向量，，，则向量 16．（2024高一·上海·课堂例题）在中，化简： （1） ；     （2） ． 四、解答题 17．（2024高一·全国·假期作业）化简   18．（2024高一下·全国·课后作业）如图，在各小题中，已知，分别求作． 19．（2024高一·上海·课堂例题）已知正方形ABCD的边长为1，求： (1)； (2)； (3)． 20．（2024高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 21．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在平行四边形中，记，，你能找到，吗？ 22．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，的三边长均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点．在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中： (1)找出与相等的向量； (2)分别找出与，，相反的向量． 23．（2024高一·全国·专题练习）化简下列各式： (1)； (2)． 24．（2024高一·全国·课前预习）如图所示，O为△ABC内一点，，，，求作：.    25．（2024高一·全国·课后作业）已知，.求的最大值和最小值. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题03 向量的减法运算4题型分类 一、相反向量 1．定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a． 2．性质： (1)零向量的相反向量仍是零向量. (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 二、向量的减法 1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示. 3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. （一） 向量的减法运算 求作两个向量的差向量的两种思路： (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可. (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. 题型1：相反向量 1．（2024高二下·浙江嘉兴·期中）下列说法中，错误的是（    ） A．等长且方向相反的两个向量是相反向量 B．方向相反的向量是相反向量 C．零向量的相反向量是零向量 D．互为相反向量的两个向量是共线向量 【答案】B 【分析】利用相反向量的定义判断选项AB；利用零向量的性质判断选项C；利用共线向量的定义判断选项D. 【详解】解：相反向量是指大小相等，方向相反的向量，故A正确，B错误； 零向量的相反向量是零向量，故C正确； 共线向量是指方向相同或相反的向量，互为相反向量的两个向量方向相反，故D正确， 故选：B． 2．（2024高一下·全国·课后作业）下列等式中，正确的个数为（    ） ①②③④⑤⑥． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据向量加减法的概念和相反向量的概念分别判断即可. 【详解】根据向量的运算及相反向量的概念知①②③④⑤正确，⑥错误，所以正确的个数为5． 故选:C． 3．（2024高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．若与都是单位向量,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则与是相反向量 【答案】C 【分析】根据单位向量、向量的模、向量加法减法、相反向量等知识确定正确答案. 【详解】A选项，若与都是单位向量，可能与的方向不相同， 故不能得到，所以A选项错误. B选项，只有方向相同且大小相等才有，所以B选项错误. C选项，若，则，所以， 所以C选项正确. D选项，若，则， 所以与不是相反向量，所以D选项错误. 故选：C 4．（2024高一下·全国·课后作业）非零向量与是相反向量，下列不正确的是（    ） A． B． C． D．方向相反 【答案】A 【分析】根据相反向量的定义，即可判断选项. 【详解】非零向量与是相反向量，则有，即，，且方向相反． 故选：A 5．（2024高一·全国·随堂练习）在如图所示的向量，，，，中（小正方形的边长为1），是否存在：    (1)共线向量？ (2)相反向量？ (3)相同的向量？ (4)模相等的向量？ 若存在，分别写出这些向量． 【答案】(1)向量与共线，向量与共线 (2)向量与是相反向量 (3)不存在相同的向量 (4) 【分析】对于（1），根据共线向量是指方向相同或相反的非零向量即可解答；对于（2），根据相反向量是大小相等、方向相反的向量即可解答；对于（3），根据相等向量可解答；对于（4），求出模长可解答. 【详解】（1）向量与共线，向量与共线，所以存在共线向量； （2）向量与是相反向量，所以存在相反向量； （3）不存在相同的向量； （4），，， 所以存在模相等的向量，即为，，. 题型2：向量的减法运算 6．（24-25高一·上海·随堂练习）如图，在各小题中，已知，分别求作． 【答案】答案见解析 【分析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 【详解】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 如图，， 7．（2024高一·江苏·专题练习）如图，已知向量，，，求作向量．    【答案】作图见解析 【分析】根据向量减法的三角形法则作出图形. 【详解】在平面内任取一点，作向量，，则向量， 再作向量，则向量，即为所求作向量.    8．（24-25高二上·四川达州·期中）下列表达式化简结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用向量加减的运算法则逐一判断即可. 【详解】对于A，，不满足题意，故A错误； 对于B，，满足题意，故B正确； 对于C，，不满足题意，故C错误； 对于D，结果与的具体关系不确定，故D错误. 故选：B. 9．（2024高三·全国·专题练习）化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算即可. 【详解】由． 故选：A. 10．（2024高二上·山东枣庄·学业考试）等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的加减法法则计算． 【详解】， 故选：D． （二） 向量减法法则的应用 (1)向量减法运算的常用方法 (2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连且为和. ②起点相同且为差. 题型3：向量减法法则的应用 11．（2024高一下·全国·单元测试）化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由向量的加减法运算即可得答案. 【详解】（1）． （2）. （3）. 12．（2024高一下·四川成都·阶段练习）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【详解】A：，不符合题意； B：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：B 13．（2024高一下·天津河西·期中）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的加法和减法运算求解即可. 【详解】. 故选：A. 14．（2024高一下·福建福州·期中）计算 ． 【答案】 【分析】根据向量加减法运算，即可化简． 【详解】， 故答案为：． 15．（2024高一下·上海·期中）化简 ． 【答案】 【分析】利用平面向量的减法运算求解. 【详解】解：， 故答案为： 16．（2024高一下·天津滨海新·阶段练习）下列四式不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的加法与减法原则求解即可. 【详解】， ， ， . 故选：A. 17．（2024高一·全国·专题练习）化简下列各向量的表达式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1). (2). (3) 【分析】根据平面向量的加法运算和减法运算法则可求出结果. 【详解】（1）. （2） . （3） . 题型4：向量减法的几何意义及应用 18．（2024高一下·北京东城·期末）如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的加法减法运算法则即可求解. 【详解】由题图可知，. 故选：C. 19．（2024高一下·北京东城·阶段练习）在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算，结合模的定义及等边三角形的定义即可判断. 【详解】，，则， 是等边三角形. 故选：A 20．（2024高一·全国·课堂例题）若是不共线向量，则与的几何意义分别是什么？ 【答案】答案见解析 【详解】如图所示，设，.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有，.因为四边形OACB是平行四边形，所以，，即分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长． 21．（2024高三·全国·专题练习）若，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由两向量同向共线和反向共线时分别由最大值和最小值，不共线时取值在其中计算即可； 【详解】由题意知，，且， 当，同向时，取得最小值，； 当，反向时，取得最大值，； 当，不共线时，， 故的取值范围是. 故答案为：. 22．（2024高一下·山西大同·阶段练习）设，则的最大值与最小值分别为 . 【答案】， 【分析】根据向量与共线且反向和同向，结合向量模的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，当向量与共线且反向时，可得； 当向量与共线且同向时，可得. 故答案为：，. 23．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，，，，试求：.    【答案】2 【分析】利用相等向量转化，再求，再求模. 【详解】作，连结，则，    而， 所以，且， 所以. 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知下列各式：①；②；③.其中结果为零向量的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据平面向量的加法、减法运算法则，逐一计算即可求得结果. 【详解】①中； ②中； ③； 即①③结果为零向量， 故选：C. 2．（2024高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．若与都是单位向量,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则与是相反向量 【答案】C 【分析】根据单位向量、向量的模、向量加法减法、相反向量等知识确定正确答案. 【详解】A选项，若与都是单位向量，可能与的方向不相同， 故不能得到，所以A选项错误. B选项，只有方向相同且大小相等才有，所以B选项错误. C选项，若，则，所以， 所以C选项正确. D选项，若，则， 所以与不是相反向量，所以D选项错误. 故选：C 3．（2024高一下·全国·专题练习）已知在四边形ABCD中，则四边形ABCD一定是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】A 【分析】根据平面向量减法法则判断即可. 【详解】由，可得， 所以四边形一定是平行四边形. 故选：A 4．（2024高一下·北京·期中）设如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由相等向量的定义即可得，所以A错误；由向量的加减法则，结合三角形法则可知BC错误，D正确. 【详解】根据相等向量的概念可得，即A错误； 由向量的三角形法则可得，即B错误； 易知，所以可得，即C错误； 由向量的减法法则可得，所以D正确； 故选：D 5．（2024高一·全国·课后作业）若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相反向量的定义逐项判断即可． 【详解】解：由平行向量的定义可知项正确； 因为和的方向相反，所以，故项正确； 由相反向量的定义可知，故选项正确； 由相反向量的定义知，故项错误； 故选：C． 6．（2024高二上·湖南·阶段练习）在平面四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面的线性运算求得正确答案. 【详解】，不符合题意. ，符合题意. ，不符合题意. ，不符合题意. 故选：B    7．（2024高一下·河南驻马店·期末）已知矩形的对角线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相等向量结合平面向量的减法可化简向量. 【详解】在矩形中，，又因为，则， 因此，. 故选：D. 二、多选题 8．（2024高一·江苏·课后作业）下列结论恒为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项直接求解判断即可. 【详解】对于A，，A错； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 9．（2024高一下·河南三门峡·阶段练习）化简以下各式，结果为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】根据向量的加减运算法则求解即可. 【详解】对于A，，符合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，符合题意； 对于D，，符合题意． 故选：ABCD． 10．（2024高一下·四川成都·阶段练习）对于菱形ABCD，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】对于选项AB：菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B结论正确，A结论错误； 对于选项C：因为，， 所以，即C结论错误； 对于选项D：因为， ，所以D结论正确. 故选：BD. 11．（2024高二上·贵州黔西·阶段练习）化简以下各式，结果为的有（      ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量加减法的计算法则直接可得解. 【详解】A选项：，A选项正确； B选项：，B选项正确； C选项：，C选项错误； D选项：，D选项正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．（2024高一下·全国·课前预习）向量减法的三角形法则：一般地，平面上任意给定两个向量，，如果向量满足，则称为与的差，记作 .平面内任取一点O，作，，作出向量，由于，因此向量就是向量与的差（也称为向量与的差向量），即 . 【答案】 【分析】略 【详解】略 13．（24-25高一下·全国·课后作业）在矩形中，，，则 ， ． 【答案】 8 【分析】由向量的加法、减法以及模的概念即可求解. 【详解】 在矩形中，因为， 所以． 因为， 所以． 故答案为：，8. 14．（2024高一·全国·课后作业）在中，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据向量运算得到为等边三角形，得到答案. 【详解】，故为等边三角形，故. 故答案为：. 15．（2024高一下·全国·随堂练习）如图，向量，，，则向量 【答案】 【分析】根据向量的加减法求解即可. 【详解】依题意，得， 故答案为： 16．（2024高一·上海·课堂例题）在中，化简： （1） ；     （2） ． 【答案】 【分析】在三角形中，向量的加减法遵循三角形法则. 【详解】(1)， (2). 故答案为： 四、解答题 17．（2024高一·全国·假期作业）化简   【答案】 【详解】解： 18．（2024高一下·全国·课后作业）如图，在各小题中，已知，分别求作． 【答案】见解析 【解析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量. 【详解】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 如图，，                 (1)                                  (2)         (3)                                                    (4) 【点睛】本题考查向量减法的三角形法则，考查数形结合思想，属于基础题. 19．（2024高一·上海·课堂例题）已知正方形ABCD的边长为1，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量的加法法则运算求解； （2）（3）利用平面向量的加法和减法法则运算求解. 【详解】（1） 如图所示：因为正方形ABCD的边长为1， 所以. （2）如图所示：因为正方形ABCD的边长为1， 所以. （3）如图所示：因为正方形ABCD的边长为1， 所以. 20．（2024高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】根据向量的加减法法则即可作图． 【详解】（1）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则， 作，则． （2）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，则． 21．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在平行四边形中，记，，你能找到，吗？ 【答案】能．，． 【分析】根据向量的平行四边形法则得出加减法. 【详解】能， 22．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，的三边长均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点．在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中： (1)找出与相等的向量； (2)分别找出与，，相反的向量． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）由是的中位线，且D为的中点，结合向量相等的概念得到与向量相等的向量； （2）由分别是的中位线，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点，结合相反向量概念可得与向量相反的向量. 【详解】（1）因为E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点, 所以,, 与，方向相同且长度相等，故与相等的向量有，． （2）因为E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点, 所以,,,, 则与相反的向量有，，； 与相反的向量有，，； 与相反的向量有，，． 23．（2024高一·全国·专题练习）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据向量的加法减法运算求解即可. 【详解】（1）. （2） 24．（2024高一·全国·课前预习）如图所示，O为△ABC内一点，，，，求作：.    【答案】作图见解析 【分析】方法一，首先利用平行四边形法则，作出，再利用向量减法，即可作出； 方法二，首先求得，利用相等向量进行转化，即可作出. 【详解】方法一　以为邻边作，连接，，    则，. 方法二　作    连接，则， 25．（2024高一·全国·课后作业）已知，.求的最大值和最小值. 【答案】最大值是3，最小值是1. 【分析】根据得到最大值，得到最小值. 【详解】因为，， 所以，当且仅当与，即与的方向相同时取等号. ，当且仅当与，即与的方向相反时取等号. 所以的最大值是3，最小值是1. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$