1.1 锐角三角函数 课件 2024--2025学年北师大版九年级数学下册

锐角三角函数 第一章 直角三角形的边角关系 复习引入 1.分别求出图中∠A，∠B的正切值. 梯子是我们生活中常用的生活工具，有时需要陡一些，有时候需要缓一点。 创设情境 你会比较两个梯子哪个更陡吗？有哪些办法？ 探索新知 水平宽度 梯子与地面的夹角∠ＡＢＣ称为倾斜角 从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度 从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度 A C B 探索新知 活动1：如图，梯子AB和EF哪个更陡？你怎么判断的？ 探索新知 活动2：如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡 甲组 乙组 探索新知 当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡. 1 倾斜角越大，梯子越陡. 2 总结:铅直高度与水平宽度的比和倾斜角的大小都可用来判断梯子的倾斜程度. 归纳结论 活动3：如图，小明想通过测量 ，算出他们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量 ，算出他们的比，也能说明梯子的倾斜程度，你同意小亮的看法吗？ 由此你能得到什么结论？ 3、如果改变 的位置呢？ 探索新知 B 总结概念 当锐角A变化时,tanA的值也随之变化. 定义中的几点说明： 1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一个锐角. 2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1. 3.tanA﹥0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序： ）. 4.tanA不表示“tan”乘以“A ”. 5.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 6.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等,则这两个锐角相等. 梯子的倾斜程度与tanB有什么关系？ 思考： 例1 如图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？ 解：在甲梯中， 例2.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=12cm,AB=20cm ,求tanA和tanB. 设BC=3k，AC=4k. 例3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,tanA= ,求AC和BC. 三个量中，我们可以知2求1. 小结：在直角三角形中， 正切通常也用来描述山坡的坡度. 坡度越大，坡角越大，坡面就越陡. 例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度(即tanα)就是: 坡角：坡面与水平面的夹角α称为坡角； 坡度（坡比）：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比),即坡度等于坡角的正切. 探索新知 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与邻边的比就随之确定.想一想，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ A B C 邻边b 对边a 斜边c 任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？ A B C A' B' C' 正弦的定义 一 合作探究 在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以△ABC∽△A'B'C' 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值． A B C A' B' C' ∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA ， 即 A B C c a b 对边 斜边 在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c 概念学习 典例精析 例1 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6，求BC的长. 解： 在Rt△ABC中， 即 ∴ BC=200×0.6=120. A B C 余弦的定义 二 合作探究 任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？ A B C A' B' C' A B C A' B' C' 在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以△ABC∽△A'B'C' 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值． ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即 A B C c a b 对边 斜边 在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c 概念学习 锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数（当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化. 三角函数的定义 三 定义中应该注意的几个问题: 1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). 2.sinA,cosA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦 (习惯省去“∠”号). 3.sinA,cosA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA均﹥0,无单位. 4.sinA,cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关. 5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 例2：如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6. 求: sinB,cosB,tanB. 提示:过点A作AD⊥BC于D. 5 5 6 A B C ┌ D 如图，梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？ A sinA的值越大,梯子越 ____ ; cosA的值越 ____ ,梯子越陡. 陡 小 8 10 6 8 10 6 A 议一议 例3：在Rt△ABC中,∠C=90°,如图,已知AC=3,AB=6, 求sinA和cosB. ┌ B C A 3 6 想一想:我们发现sinA=cosB,其中有没有什么内在的联系? 正弦、余弦和正切的相互转化 四 求:AB,sinB. 10 ┐ A B C 变式：如图:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10, 思考:我们再次发现sinA=cosB,其中的内在联系你可否掌握? 如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°， 要点归纳 sinA=cosB 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为_________. 针对训练 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列式子一定成立的是（　　） A．sinA=sinB B．cosA=cosB C．tanA=tanB D．sinA=cosB D 1.如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是 米. 解析：∵∠ACB＝90°，坡度为1∶3， ∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)． 练一练 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=5，则 tan A=______， tan B =______． 互余两锐角的正切值互为倒数. 2.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出∠A和∠B的对边、邻边. (1) tanA = = AC ( ) CD ( ) (2) tanB= = BC ( ) CD ( ) 课堂检测 4.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 A B C ┌ C 3.已知∠A,∠B为锐角， (1)若∠A=∠B,则tanA tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A ∠B. = = 课堂检测 1.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 2.已知∠A,∠B为锐角 (1)若∠A=∠B,则sinA sinB; (2)若sinA=sinB,则∠A ∠B. A B C ┌ C = = 巩固练习 3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB =10，BC＝6，求sinA、cosA、tanA的值． 解：∵ 又∵ A B C 6 10 变式1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， cosA＝ ，求sinA、tanA的值． 解：∵ A B C 设AC=15k，则AB=17k ∴ ∴ 变式2：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝ ，求sinA、cosB的值． A B C 8 解：∵ 4．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，求sin∠ECM. 解：设正方形ABCD的边长为4x，∵M是AD的中点，BE=3AE， ∴AM＝DM＝2x,AE＝x,BE＝3x． 由勾股定理可知， A M E D B C 4．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，求sin∠ECM. A M E D B C 由勾股定理逆定理可知，△EMC为直角三角形. 5．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝ (1)求点B的坐标； (2)求cos∠BAO的值． A B H 解：(1)如图所示，作BH⊥OA， 垂足为H．在Rt△OHB中， ∵BO＝5，sin∠BOA＝ , ∴BH=3，OH＝4， ∴点B的坐标为(4，3)． 6．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝ (2)求cos∠BAO的值． A B H (2)∵OA＝10，OH＝4， ∴AH＝6． ∵在Rt△AHB中，BH=3， 1.在Rt△ABC中 课堂小结 2.梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系： sinA的值越大,梯子越陡; cosA的值越小,梯子越陡. $$