东北三省卓越联盟2025届高三第一次模拟检测数学试卷

卓越联盟·高三一月联考 数学试卷 第 1页，共 2页 东北三省卓越联盟·高三年级 2025 年 1 月第一次模拟检测 数学试卷 一、选择题（每题 5分，共 40分） 1．设集合  |1 5A x x   R ，  2| 3 4 0B x x x    R ，则 A B  ( ) A.  1,1 B.  1,4 C. 1,4 D. 1,5 2．已知复数 z满足  1 i 2 3iz   ，则复数 z的虚部为( ) A. 1 2 B. 5 2 C. 1 2  D. 5 2  3．已知向量  3,2 1a m m   ，  3, 5b m    ，则“ 2m  ”是“a b  ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．圆 2 2 2 8 13 0x y x y     的圆心到直线 1 0ax y   的距离为 1，则a  ( ) A. 4 3  B. 3 4  C. 3 D.2 5．已知    sin 2cos      ， 4tan tan 3    ，则 tan tan   ( ) A.3 B.-3 C. 1 3 D. 1 3  6．等比数列 na 的各项均为正数，且 1 22 3 1a a  ， 23 2 69a a a 设 3 1 3 2 3log log logn nb a a a   ，则数列 1 nb       的前项和 nS  ( ) A. 2n B. 2 1 n n   C. 1 11 2 3 n         D.   4 1 n n n   7．已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yE a b a b     的右焦点为  5,0F ，过点 F的直线交双曲线 E 于 A、B两点若 AB的中点坐标为  6, 2 ，则 E的方程为( ) A. 2 2 1 5 20 x y   B. 2 2 1 16 9 x y   C. 2 2 1 9 16 x y   D. 2 2 1 15 10 x y   8．某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到 10年内每年此农 产品的销售额（单位：万元）等于上一年的 1.3倍再减去 3已知第一年（2024年）该公司 该产品的销售额为 100万元，则按照计划该公司从 2024年到 2033年该产品的销售总额约 为( )（参考数据： 101.3 13.79 ） A.3937万元 B.3837万元 C.3737万元 D.3637万元 二、多项选择题（每题 6 分，部分选对给部分分，有选错没有分，共 18 分） 9．设 m，n是两条不同的直线， ，  是两个不同的平面，给出下列命题正确的是( ) A.若m  ， //n ，则m n B.若m n ， //n  ，则m  . C.若m  ， //  ，则m  D.若 //m  ， //n  ，则 //m n . 10．已知函数   2log 1f x x  ，若函数      2 2g x f x af x b   有 6个不同的零点，且 最小的零点为 1x   ，则下列说法正确的是( ) A. 0a  B. 1a b   C. 1b   D.6个零点之和是 6 11．已知函数    πsin 0 6 f x x        ，则下列说法正确的是( ) A.当 3  时，  f x 在 4π 7π, 9 9       上单调递增 B.若    1 2 2f x f x  ，且 1 2 min π 2 x x  ，则函数  f x 的最小正周期为 π C.若  f x 的图像向左平移 π 12 个单位长度后得到的图像关于 y轴对称，则 的最小值为 3 D.若  f x 在 0,2π 上恰有 4个零点，则 的取值范围为 23 29, 12 12     三、填空题（每题 5 分，共 15 分） 12．过原点且倾斜角为60的直线被圆 2 2 4 0x y y  所截得的弦长为__________. 13．已知数列 na 前 n项和为 nS ，且 2 1n nS a  ， n N ，若存在两项 ma ， na 使得 12m na a a ，当 0x  ， 0y  ， x y m n   时，则 9 1 x y  最小值是__________. 14．已知曲线   exf x x  在点   0, 0f 处的切线与曲线  ln 1y x a   相切，则 a __________. 四、解答题（15 题 13分，16、17 题各 15分，18、19题各 17 分，共 77分） 15．如图，已知 O 的半径是 1，点 C在直径 AB的延长线上， 1BC  ，点 P是 O 上半 圆上的动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点 D与圆心分别在 PC的两侧 (1)若 POB   ，试将四边形OPDC的面积 y表示成 的函数 (2)求四边形OPDC的面积的最大值 卓越联盟·高三一月联考 数学试卷 第 2页，共 2页 16．统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表为 2020 年—2024年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中 2020年—2024年对应 的代码依次为 1—5. 年份代码 x 1 2 3 4 5 市场规模 y 3.98 4.56 5.04 5.86 6.36 5.16y  ， 1.68v  ， 5 1 45.10i i i v y   ，其中 i iv x 参考公式：对于一组数据  1 1,v y 、  2 2,v y 、、  ,n nv y ，其经验回归直线 y bv a  的斜 率和截距的最小二乘估计公式分别为 1 22 1 n i i i n i i v y nv y b v nv         ， 1.83a  . (1)由上表数据可知，若用函数模型 y b x a  拟合 y与 x的关系，请估计 2028年我国在 线直播生活购物用户的规模（结果精确到0.01）； (2)已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率 P，现从我国在线 直播购物用户中随机抽取 5人，记这 5人中选择在品牌官方直播间购物的人数为 X，若    5 4P X P X   ，求 X的数学期望和方差 17．如图，在正四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 2AB  ， 1 4AA  点 2A ， 2B ， 2C ， 2D 分别 在棱 1AA ， 1BB ， 1CC ， 1DD 上， 2 1AA  ， 2 2 2BB DD  ， 2 3CC  (1)证明： 2 2 2 2//B C A D (2)是在棱 1BB 上否存在点 P，使得二面角 2 2 2P A C D  为150，若存在，求出点 P位置， 若不存在，请说明理由 18．已知抛物线  2: 2 0C y px p  的准线与椭圆 2 2 1 4 x y  相交所得线段长为 3 . (1)求抛物线 C的方程； (2)设圆 M过  2,0A ，且圆心 M在抛物线 C上， BD是圆 M在 y轴上截得的弦当 M在抛 物线 C上运动时，弦 BD的长是否有定值？说明理由； (3)过  10F , 作互相垂直的两条直线交抛物线 C于 G、H、R、S，求四边形GRHS的面积 最小值 19．已知函数   3 2 2 1f x x ax a x    . (1)当 5a   时，则过点  0,2 的曲线  f x 的切线有几条？并写出其中一条切线方程； (2)讨论  f x 的单调性； (3)若  f x 有唯一零点，求实数 a的取值范围 高三数学参考答案 第 1页，共 4页 东北三省卓越联盟·高三年级2025年1月第一次模拟检测 数学试卷·参考答案 1．答案：C 解析：集合  |1 5 [1,5)A x x    R ，  2| 3 4 0 ( 1, 4)B x x x      R , 故  1,4A B  ， 故选；C 2．答案：A 解析：因为复数 z满足  1 i 2 3iz   ， 则         2 3i 1 i2 3i 5 1 i 1 i 1 i 1 i 2 2 z          ， 因此，复数 z的虚部为 1 2 . 故选：A. 3．答案：B 解析：    23 5 2 1a b m m      .  22 4 4 2 0 2m m m m        而 2m  ，解得 2m  或 2m   ， 所以“ 2m  ”是“a b  ”的必要不充分条件 故选：B 4．答案：A 解析：由 2 2 2 8 13 0x y x y     配方得 2 2( 1) ( 4) 4x y    ， 所以圆心为 (1, 4)C ， 因为圆 2 2 2 8 13 0x y x y     的圆心 (1, 4)C 到直线 1 0ax y   的距离为 1， 所以 2 | 4 1| 1 1 a a     ，解得 4 3 a   . 故选：A. 5．答案：D 解析：因为 4tan tan 3    ，则 cos 0  ， cos 0  ， 因为    sin 2cos      ， 则 sin cos cos sin 2cos cos 2sin sin          ①， 等式①的两边同时除以 cos cos  可得 4tan tan 2 2 tan tan 3        ， 解得 1tan tan 3     ， 故选：D. 6．答案：B 解析：设等比数列 na 的公比为 q，则 0q  ， 则 3 2 2323 2 36 39 9 9q a qa a a aq a     ， 所以 29 1q  ，所以 1 3 q  ， 因为 1 2 12 3 3 1a a a   ，可得 1 1 3 a  ， 所以 1 1 1 1 1 1 3 3 3 n n n na a q           ， 所以 3 3log lo 1 3 g nna n   ， 所以 3 1 3 ( 1)log log 1n na a n n        ， 13 1log a   ， 即数列 3log na 是首项为-1，公差为-1的等差数列， 所以 3 1 3 2 3log log logn nb a a a   ， ( 1)1 2 3 2 n nn         所以 1 2 2 2 ( 1) 1nb n n n n            ， 因此 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 3 1 1 1n nS n n n n                 . 故选：B. 7．答案：D 解析：设  1 1,A x y 、  2 2,B x y ， 若 AB x 轴，则线段 AB的中点在 x轴上，不合乎题意， 因为线段 AB的中点坐标为  6, 2 ， 则 1 2 1 2 12 4 x x y y       ，则 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x y a b x y a b        ， 两式相减得 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 0 x x y y a b     ， 则 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 y y y y y y b x x x x x x a          ， 因为 1 2 1 2 2 0 2 6 5 y y x x         ， 所以， 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 4 22 12 3 y y y yb a x x x x            ， 所以， 2 2 2 2 2 2 3 25 b a c a b        ， 解得 2 2 15 10 a b     ， 因此，双曲线 E的标准方程为 2 2 1 15 10 x y   . 故选：D. 8．答案：A 解析：设该公司在 2024年，2025年，...，2033年的销售 额（单位：万元） 分别为 1a ， 2 ,a ， 10a 依题意可得  1 1.3 3 1,2, ,9n na a n     ， 则   1 10 1.3 10 1,2, ,9n na a n      ， 所以数列 10na  是首项为 90，公比为 1.3的等比数列， 则 110 90 1.3nna    ，即 190 1.3 10nna    ， 则     10 1 2 10 90 1 1.3 10 10 100 300 13.79 1 3937 1 1.3 a a a                ， 故从 2024年到 2033年该产品的销售总额约为 3937万元 故选：A. 9．答案：AC 解析：对于 A：因为 //n  ， 可知在平面 内存在直线 l，使得 //l n，如图所示， 又因为m  ，且 l  ，则m l ，所以m n ，因此 A 高三数学参考答案 第 2页，共 4页 正确； 对于 B：如图所示：m n ， //n  ，但 //m  ，故 B错误； 对于 C：若m  ， //  ，则由线面垂直的判定定理得 m  ，故 C正确 对于 D： //m  ， //n ，如图所示，m n P ，故 D错误 故选：AC. 10．答案：BD 解析：由函数   2logf x x 的图像， 经过 y轴翻折变换，可得函数   2logf x x 的图像， 再向右平移 1个单位，可得   2 2log 1 log 1f x x x    的 图像， 最终经过 x轴翻折变换，可得   2log 1f x x  的图像， 如图所示， 则函数  f x 的图像关于直线 1x  对称，令  t f x ， 因为函数      2 2g x f x af x b   最小的零点为 1x   ， 且   1f x  ， 故当   1f x  时，方程   0g x  有 4个零点， 所以要使函数有 6个不同的零点， 且最小的零点为 1x   ，则   0f x  或   1f x  ， 由   0f x  ，可得 1 0x  或 2 2x  ， 设   1f x  的四个根从小到大依次为 3x ， 4x ， 5x ， 6x 由函数  y f x 的图像关于直线 1x  对称， 可得 3 6 4 5 2x x x x    ， 所以  g x 的所有零点之和是 6，故 D正确； 关于 t的方程 2 2 0t at b   的两个实数根为 0和 1， 由韦达定理，得 1a   ， 0b  ， 1a b   所以 B正确， A，C错误 故选：BD. 11．答案：ABD 解析：对于 A，当 3  时，若 4π 7π, 9 9 x      ，则 π 3π 5π3 , 6 2 2 x       ， 由于 siny x 在 3π 5π, 2 2       上单调递增， 故  f x 在 4π 7π, 9 9       上单调递增；故 A正确； 对于 B，若    1 2 2f x f x  ，且 1 2 min π 2 x x  ， 则当且仅当 π π 2 2 T T   ，故 B正确； 对于 C，若  f x 的图像向左平移 π 12 个单位长度后， 得到的图像所对应的函数表达式为：    1 π πsin 0 12 6 f x x          ， 若  1f x 的图像关于 y轴对称， 则 π π π π 12 6 2 k    ， kZ 4 12k   ， kZ 注意到 0  ， 所以当且仅当 0k  时， 的最小值为 4，故 C错误； 对于 D， 0  ，  0,2πx ， 得到 π π π, 2 π 6 6 6 x       ， 若  f x 在 0,2π 上恰有 4个零点， 则当且仅当 π 2 π 4π 6 π 2 π<5π 6          ， 解得 23 29 12 12   ， 即 的取值范围为 23 29, 12 12     ，故 D正确 故选：ABD. 12．答案： 2 3 解析：设弦长为 l，过原点且倾斜角为60的直线方程为 3 3 0y x x y    整理圆的方程为： 2 2( 2) 4x y   ，圆心为 (0,2)，半径 2r  圆心到直线的距离为： | 2 0 | 1 2   则： 2 21 3 2 l r   2 3l  故答案为： 2 3 13．答案：4 解析：由 2 1n nS a  ，得  1 12 1 2n nS a n    ， 两式相减得 1 12 2n n n n nS S a a a     1 12 2 2n n n na a a a     而 1 1 1 12 1 1S a a a     ， 所以数列 na 是首项为 1，公比为 2的等比数列，即 12nna  ， 因为 12m na a a ，则 4m na a  ， 即 1 12 2 4 2 2 4m n m n m n          ， 因为 0x  ， 0y  ， x y m n   所以 4x y  ， 所以  9 1 1 9 1 4 x y x y x y          ，  1 9 1 9 110 2 10 2 3 10 4 4 4 4 y x y x x y x y                     当且仅当 9y x x y  ，即 3x  ， 1y  时取等号， 高三数学参考答案 第 3页，共 4页 所以 9 1 x y  最小值是 4， 故答案为：4. 14．答案： 4 ln 2 解析：因为   exf x x  的导数为   1 exf x   ， 则  0 1f  ，  0 2f   所以曲线  f x 在   0, 0f 处的切线方程为 1 2y x  ，即 2 1y x  ， 又切线 2 1y x  与曲线  ln 1y x a   相切，设切点为  0 0,x y ， 因为 1 1 y x    ，所以切线斜率为 0 1 2 1 k x    ，解得 0 3 2 x  ， 所以 0 02 1 4y x   ，则 34 ln 1 2 a       ，解得 4 ln 2a   . 故答案为； 4 ln 2 . 15．答案：(1)   π 5 3y 2sin 0, π 3 4          (2) 5 32 4  解析：(1)由已知： OPC DPCOPDCS S S 四边形 △ △ ， 在 POC△ 中， POB  ， 1OP  ， 2OC  由余弦定理知： 2 1 4 2 1 2cos 5 4cosPC         ， 所以， OPC DPCOPDCy S S S  四边形 △ △ ， 21 3sin 2 4 OP OC PC       5 3 π 5 3sin 3cos 2sin 0, π 4 3 4               ， 即   π 5 32sin 0, π 3 4 y          ； (2)由(1)知   π 5 32sin 0, π 3 4 y          ， 则 π π 2π, 3 3 3         ，所以 πsin 2 3       ， max 5 32 4 y   当 π π 3 2    ，即 5π 6   时取到最大值 5 32 4  . 即四边形OPDC的面积的最大值为 5 32 4  . 16．答案：(1)7.77亿人 (2)   25 6 E X  ，   25 36 D X  解析：(1)设 v x ，则 y bv a  ， 因为 5.16y  ， 1.68v  ， 5 5 2 1 1 15i i i i v x      ， 所以， 5 5 1 222 1 5 45.10 5 1.68 5.16 1.98 15 5 1.685 i i i i i v y v y b v v              ， 所以，y与 x的拟合函数关系式为 1.98 1.83y x  当 9x  时， 1.98 3 1.83 7.77y     ， 则估计 2028年我国在线直播生活购物用户的规模为 7.77 亿人 (2)由题意知  5,X B P ， 所以，      4 4 454 C 1 5 1P X P P P P     ，   5 555 CP X P  ， 由    5 4P X P X   ， 可得  4 55 1P P P  ， 因为0 1P  ，解得 5 6 P  ， 所以，   5 255 6 6 E X    ，   5 5 255 1 6 6 36 D X         . 17．答案：(1)证明见解析 (2)存在，  0,2,1P 或  0,2,3P 解析：(1)以 C为坐标原点，CD，CB， 1CC 所在直线为 x，y，z轴 建立空间直角坐标系，如图， 则  0,0,0C ，  2 0,0,3C ，  2 0,2,2B ，  2 2,0,2D ，  2 2,2,1A  2 2 0, 2,1B C    ，  2 2 0, 2,1A D    2 22 2//B C A D   ， 又 2 2B C ， 2 2A D 不在同一条直线上， 2 2 2 2//B C A D (2)假设在棱 1BB 上存在点   0,2, 0 4P    ， 使得二面角 2 2 2P A C D  为150， 则  2 2 2, 2,2A C     ，  2 0, 2,3PC     ，  2 2 2,0,1D C    设平面 2 2PA C 的法向量  , ,n x y z  ， 则   2 2 2 2 2 2 0 2 3 0 n A C x y z n PC y z                 ， 令 2z  ，得 3y   ， 1x    1,3 ,2n      设平面 2 2 2A C D 的法向量  , ,m a b c  ， 则 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 m A C a b c m D C a c                ， 令 1a  ，得 1, 2b c  ，  1,1,2m  2 2 6 3cos , cos150 26 4 ( 1) (3 ) n m n m n m                    ， 化简可得， 2 4 3 0    ， 解得 1  或 3  ，  0,2,1P 或  0,2,3P ， 所以在棱 1BB 上存在点 P， 使得二面角 2 2 2P A C D  为150， 高三数学参考答案 第 4页，共 4页 点 P是线段 1BB 靠近两端点的两个四等分点 18．答案：(1) 2 4y x (2)有，理由见解析 (3)32 解析：(1)由已知，抛物线 C的准线与椭圆相交线段的一个 端点坐标是 3, 2 2 p       ， 把 3, 2 2 p       代入椭圆方程化简得 2 3 1 16 4 p   ，解得 2p  . 所以抛物线 C的方程为 2 4y x . (2)假设 M在抛物线 C上运动时弦 BD的长为定值，理由如 下： 设  0 0,M x y 在抛物线 C上， 可知  0 0,M x y 到 y轴距离为 0x ， 根据圆的弦长公式可知： 2 2 02BD MA x  ， 由已知  2 20 202MA x y   ， 20 04y x ， 所以 2 2 2 2 2 0 0 0 0 02 2 4 4 4BD MA x x x y x        ， 则 M在抛物线 C上运动时弦 BD的长的定值为 4. (3)若过点 F且相互垂直的两条直线分别与两条坐标轴垂 直， 则其中与 x轴重合的直线与抛物线只有一个交点，不合乎 题意， 设过的 F的两条直线的方程分别为  1y k x  、  1 1y x k    ，其中 0k  ， 设直线  1y k x  交抛物线 C于点  1 1,G x y 、  2 2,H x y ， 由   2 1 4 y k x y x      得  2 2 2 22 4 0k x k x k    ，  22 4 22 4 4 16 16 0k k k       ， 由韦达定理可得 2 1 2 2 2 4kx x k    ， 则 1 2 2 42 4GH x x k      ， 同理可得 24 4RS k  ， 所以，四边形GRHS的面积 1 2 T GH RS   2 22 21 4 14 4 4 8 22 k kk k                 2 2 18 2 2 32k k           ， 当且仅当 2 2 1k k  时，即当 1k   时，等号成立， 即四边形GRHS的面积的最小值为 32. 19．答案：(1)有 3条切线， 32 2y x   (2)答案见解析 (3) 33 25 ,1 5        解析：(1)当 5a   时，   3 25 25 1f x x x x    ，   23 10 25f x x x   ， 设切点为  0 0,x y ， 因为切线过点  0,2 ，所以切线斜率存在， 故可设切线方程为 2y kx  ， 则 3 2 0 0 0 0 2 0 0 2 5 25 1 3 10 25 kx x x x k x x           ， 化简可得  2 20 0 02 1 3 3 0x x x    ， 即    20 0 01 2 3 3 0x x x    ， 由 20 02 3 3 0x x   的判别式 9 24 0    知方程有 2个不 等实根且不为 1， 故    20 0 01 2 3 3 0x x x    有 3个不等的实根， 所以切线有 3条，其中一条切点横坐标为 1， 故 3 10 25 32k      ， 所以切线方程为 32 2y x   . (2)     2 23 2 3f x x ax a x a x a      ， 当 0a  时，   23 0f x x  ，所以函数在 R上单调递增； 当 0a  时， 3 aa  ， 所以 x a  或 3 a x 时，   0f x  ， ( )f x 单调递增， 当 3 aa x   时，   0f x  ， ( )f x 单调递减； 当 0a  时， 3 aa  ， 所以 x a  或 3 ax  时，   0f x  ， ( )f x 单调递增， 当 3 a x a   时，   0f x  ， ( )f x 单调递减； 综上， 0a  时， ( )f x 在 R上单调递增，无递减区间； 当 0a  时， ( )f x 在  , a  和 , 3 a     上单调递增， 在 , 3 aa     上单调递减；当 0a  时， ( )f x 在 , 3 a     和  ,a  上单调递增，在 , 3 a a     上单调 递减 (3)当 0a  时， 3( ) 1f x x  ，函数仅有 1个零点 1； 当 0a  时，由(2)知， ( )f x 的极大值为 ( )f a ， 且当 x时， ( )f x  ， 若  f x 有唯一零点，则 3 3 3( ) 1 0f a a a a       ， 解得 1a  ，故  0,1a ， 当 0a  时，由(2)知， ( )f x 的极大值为 3 af      ，同理， 若  f x 有唯一零点，则 35 1 0 3 27 af a         ， 解得 33 25 5 a   ，故 33 25 ,0 5 a         ，