预习11 复数的四则运算（六大考点）-2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习11 复数的四则运算 知识点 1 ：复数的加减运算 1.复数的加减运算 （1）运算法则:设,则 （2）加法运算律： 对任意，有 交换律 结合律 2.复数加减法的几何意义 （1）复数加法的几何意义. 如图,设复数 对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是. （2）向量减法的几何意义 如图所示,设分别与复数对应,且不共线,则这两个复数的差与向量（即对应. 知识点 2 ：复数的乘除运算 1.复数的乘法法则 设是任意两个复数,则 2.复数的乘法的运算律 对于任意,有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 3.复数的除法法则 设,且,则. 注:. 4.在复数范围内,实系数一元二次方程的求根公式 （1）当时,;（2）当时,. 考点01 复数的加减运算 【方法点拨】（1）复数的加、减运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部. （2）复数的加、减运算可以类比多项式的加、减运算(类似于合并同类项).若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算. 【例1】已知为虚数单位，设复数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 则. 故选：A. 【例2】若复数，，则（   ）. A． B． C．2 D．5 【答案】A 【详解】. 故选：A. 【变式1-1】已知复数（i是虚数单位），则（   ）． A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 故选：C. 【变式1-2】已知复数，若为纯虚数，则（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由可知， ， 因为为纯虚数，所以，解得. 故选：C. 【变式1-3】已知复数，且，则 ． 【答案】2 【详解】由，则， 所以，解得， 所以． 故答案为：2. 考点02 复数加减运算的几何意义 【方法点拨】向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量对应的复数是 (终点对应的复数减去起点对应的复数). 【例3】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在复平面中，设分别与向量对应， 由题意可得，， 因为， 即，解得，即. 故选：B. 【例4】已知复数z满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】表示对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 的取值范围转化为点到圆心的距离加上半径可得最大值， 减去半径可得最小值， 所以最大距离为，最小距离为， 所以的取值范围为. 故答案为：.    【变式2-1】已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以，所以的最大值为． 故选：B 【变式2-2】在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为 ． 【答案】5 【详解】依题意得对应的复数为， 所以A，C两点间的距离为． 故答案为：5． 【变式2-3】已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为 ． 【答案】 【详解】，是以复平面内点为圆心，以为半径的圆， ， ， ，即， 复数以复平面内点为圆心，半径为1和的两圆构成的圆弧， 则在复平面所对应的点组成的图形的面积为： 故答案为：. 考点03 复数的乘除运算 【方法点拨】（1）复数乘法运算法则：复数的乘法可以按照多项式的乘法计算,只是在结果中要将换成,并将实部、虚部分别合并； （2）两个复数代数形式的除法运算：①首先将除式写为分式;②再将分子、分母同乘分母的共轭复数;③然后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式. 【例5】设复数在复平面内对应的点关于实轴对称，且，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为复数在复平面内对应的点关于实轴对称，且， 所以，则， 所以则的虚部为， 故选：D 【例6】若复数z满足，则在复平面内z对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】由复数，可得， 所以复数对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 【变式3-1】若，则（   ） A．2 B． C．3 D．5 【答案】B 【详解】因为. 故选：B 【变式3-2】已知复数满足，则（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，， 则， ． 故选：A. 【变式3-3】已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以． 故选：D. 考点04 复数的乘方运算 【方法点拨】有如下性质：如果，那么有 【例7】（    ） A．0 B． C． D．8 【答案】C 【详解】因为， 所以. 故选：C 【例8】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以，则. 故选：B. 【变式4-1】已知复数满足，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为，所以. 故选：B 【变式4-2】若，则 . 【答案】16 【详解】因为， 所以，， 故答案为：16 【变式4-3】= . 【答案】 【详解】观察原式 ． 故答案为： 考点05 复数的运算（需假设复数） 【例9】若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则 又，得到， 所以，所以或，得到， 所以. 故选：B. 【例10】设为虚数单位，若复数满足，则 . 【答案】2 【详解】设复数，，则， 所以， 因为， 所以， 则，所以. 故答案为：. 【变式5-1】已知复数和复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】 【详解】设， 则， 所以， 因为， 所以， 则. 故答案为：. 【变式5-2】（多选）若复数满足，则（   ） A． B．的虚部为 C．为纯虚数 D． 【答案】BCD 【详解】设，则，∴， ∴，解得，故. A. ，选项A错误. B. 的虚部为，选项B正确. C. ，为纯虚数，选项C正确. D. 由得，故，选项D正确. 故选：BCD. 【变式5-3】已知，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【详解】设，则， 由，得，即， 所以， 所以，解得， 所以， 故选：A． 考点06 复数范围内解方程 【方法点拨】在复数范围内,实系数一元二次方程的求解方法 （1）求根公式法：当时,;当时,. （2）利用复数相等的定义求解：设方程的根为,将此根代入方程,化简后利用复数相等的定义求解. 【例11】（多选）已知是关于的方程的两根，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】关于的二次方程． 当时，，所以，，但不一定成立． 当时，，是方程的两个复数根，仍成立，此时，故A正确，B错误． 若，方程的两根为，所以互为共轭复数，C正确． 若，由于，所以，D正确． 故选：ACD 【例12】（多选）已知为方程的根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】设， 因为为方程的根，且，则， 所以，即， 解得或， 所以，则； ，所以，故ACD正确，B错误. 故选：ACD. 【变式6-1】（多选）已知方程的两个复数根为，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】方程的两个复数根为，， 由一元二次方程根与系数的关系得，，故AC正确； B选项，的两个复数根为， 若，，则，故B错误； D选项，由B选项知，或，均有，故D正确. 故选：ACD. 【变式6-2】已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且．求的值． 【答案】3 【详解】因为关于的一元二次方程有两个虚根， 所以，即，得或， 所以中， 因为， 整理得，解得或（舍），故， 所以实数的值为3. 【变式6-3】已知复数是关于的实系数方程的一个根，则 . 【答案】10 【详解】因为复数是关于的实系数方程的一个根， 所以复数是关于的实系数方程的一个根， 所以，即. 故答案为：10. 1．（2023-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知，是两个复数，则“，互为共轭复数”是“为实数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】设， 若“，互为共轭复数”，则，故， 故“为实数”成立， 若“为实数”，取，则为实数成立， 但，不互为共轭复数， 故“，互为共轭复数”是“为实数”的充分不必要条件， 故选：A. 2．（2023-24高三上·重庆·期末）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】由题，则在复平面对应坐标为， 在第四象限. 故选：D 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】由， 则，的虚部为2. 故选：D. 4．（2023-24高三上·安徽阜阳·期末）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，等式两边同时乘以得到. 将右边展开，移项可得，即. 且.所以.则 故选：C. 5．（2023-24高三上·黑龙江·期末）已知，则在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】解法一：设，则， 解得，则， 则在复平面内所对应的点为，位于第三象限. 解法二：设，由题意可知其在复平面内对应的点到，的距离相等， 故点位于直线上，则， 则在复平面内所对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 6．（2023-24高三上·山东日照·期中）已知复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点，若（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（    ） A．的虚部为 B．对应的点在第二象限 C． D． 【答案】C 【详解】由可知，则逆时针旋转后相应点为， 所以，即，其虚部为，故A错误； ，其对应的点在第三象限，故B错误； ，故C正确； ， 则，故D错误. 故选：C 7．（2023-24高三上·甘肃白银·期末）（多选）已知两个复数满足，且，则下面选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对A：，故A错误； 对B：，故B正确; 对C：，故，故C错误； 对D：，故D正确； 故选：BD. 8．（2023-24高三上·河南·期中）（多选）已知，，其中i为虚数单位，若，，为纯虚数，为实数，则（    ） A． B．的虚部为 C． D． 【答案】ACD 【详解】因为， 且，可得， 对于A：，故A正确； 对于B：的虚部为，故B错误； 对于C：因为为纯虚数，可得，即，故C正确； 对于D：因为为实数，可得，即，故D正确； 故选：ACD. 9．（2023-24高二上·四川南充·阶段练习）复数是纯虚数，则 . 【答案】 【详解】因为为纯虚数，则， 解得. 故答案为：. 10．（2023-24高三上·上海·阶段练习）设，若存在复数满足（为虚数单位），则 ． 【答案】0 【详解】设,则, 所以 所以, 即 故答案为：0. 11．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则的值为 ． 【答案】 【详解】设，则， 所以， 由题意，，， ， 所以，令，则，即， 所以，即． 故答案为：． 12．（2023-24高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）若复数z满足，求z的模. 【答案】 【详解】由得, 则. 13．（2023-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， ； （2） . （3） . 14．（2023-24高二上·江苏无锡·阶段练习）设是虚数，是实数，且，． (1)求的值以及的实部的取值范围； (2)求证为纯虚数； (3)求的最小值, 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)1 【详解】（1）设， 则 因为是实数，所以，即， 因为，所以，即，且， 由，得，解得， 即的实部的取值范围为； （2）∵， ， 因为，， 所以为纯虚数； （3） ， 由， 故， 当且仅当，即时，取最小值1． 15．（2023-24高一下·河北·期中）在复平面内复数，，其所对应的点为，，为坐标原点，是虚数单位． (1)求与； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为，， 所以，又， 得到，，所以． （2）设是方程的一个实根，则． 根据复数相等的意义知 解得：，，． 所以，当时，原方程有一实根． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习11 复数的四则运算 知识点 1 ：复数的加减运算 1.复数的加减运算 （1）运算法则:设,则 （2）加法运算律： 对任意，有 交换律 结合律 2.复数加减法的几何意义 （1）复数加法的几何意义. 如图,设复数 对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是. （2）向量减法的几何意义 如图所示,设分别与复数对应,且不共线,则这两个复数的差与向量（即对应. 知识点 2 ：复数的乘除运算 1.复数的乘法法则 设是任意两个复数,则 2.复数的乘法的运算律 对于任意,有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 3.复数的除法法则 设,且,则. 注:. 4.在复数范围内,实系数一元二次方程的求根公式 （1）当时,;（2）当时,. 考点01 复数的加减运算 【方法点拨】（1）复数的加、减运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部. （2）复数的加、减运算可以类比多项式的加、减运算(类似于合并同类项).若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算. 【例1】已知为虚数单位，设复数，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】若复数，，则（   ）. A． B． C．2 D．5 【变式1-1】已知复数（i是虚数单位），则（   ）． A．1 B． C．2 D． 【变式1-2】已知复数，若为纯虚数，则（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．3 【变式1-3】已知复数，且，则 ． 考点02 复数加减运算的几何意义 【方法点拨】向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量对应的复数是 (终点对应的复数减去起点对应的复数). 【例3】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【例4】已知复数z满足，则的取值范围为 ． 【变式2-1】已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【变式2-2】在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为 ． 【变式2-3】已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为 ． 考点03 复数的乘除运算 【方法点拨】（1）复数乘法运算法则：复数的乘法可以按照多项式的乘法计算,只是在结果中要将换成,并将实部、虚部分别合并； （2）两个复数代数形式的除法运算：①首先将除式写为分式;②再将分子、分母同乘分母的共轭复数;③然后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式. 【例5】设复数在复平面内对应的点关于实轴对称，且，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【例6】若复数z满足，则在复平面内z对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-1】若，则（   ） A．2 B． C．3 D．5 【变式3-2】已知复数满足，则（   ） A．2 B．5 C． D． 【变式3-3】已知复数，则（   ） A． B． C． D． 考点04 复数的乘方运算 【方法点拨】有如下性质：如果，那么有 【例7】（    ） A．0 B． C． D．8 【例8】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知复数满足，则（   ） A． B． C． D．1 【变式4-2】若，则 . 【变式4-3】= . 考点05 复数的运算（需假设复数） 【例9】若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【例10】设为虚数单位，若复数满足，则 . 【变式5-1】已知复数和复数满足（为虚数单位），则 . 【变式5-2】（多选）若复数满足，则（   ） A． B．的虚部为 C．为纯虚数 D． 【变式5-3】已知，则（    ） A． B．5 C． D． 考点06 复数范围内解方程 【方法点拨】在复数范围内,实系数一元二次方程的求解方法 （1）求根公式法：当时,;当时,. （2）利用复数相等的定义求解：设方程的根为,将此根代入方程,化简后利用复数相等的定义求解. 【例11】（多选）已知是关于的方程的两根，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【例12】（多选）已知为方程的根，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（多选）已知方程的两个复数根为，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且．求的值． 【变式6-3】已知复数是关于的实系数方程的一个根，则 . 1．（2023-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知，是两个复数，则“，互为共轭复数”是“为实数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023-24高三上·重庆·期末）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D．2 4．（2023-24高三上·安徽阜阳·期末）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023-24高三上·黑龙江·期末）已知，则在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2023-24高三上·山东日照·期中）已知复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点，若（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（    ） A．的虚部为 B．对应的点在第二象限 C． D． 7．（2023-24高三上·甘肃白银·期末）（多选）已知两个复数满足，且，则下面选项正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2023-24高三上·河南·期中）（多选）已知，，其中i为虚数单位，若，，为纯虚数，为实数，则（    ） A． B．的虚部为 C． D． 9．（2023-24高二上·四川南充·阶段练习）复数是纯虚数，则 . 10．（2023-24高三上·上海·阶段练习）设，若存在复数满足（为虚数单位），则 ． 11．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则的值为 ． 12．（2023-24高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）若复数z满足，求z的模. 13．（2023-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 14．（2023-24高二上·江苏无锡·阶段练习）设是虚数，是实数，且，． (1)求的值以及的实部的取值范围； (2)求证为纯虚数； (3)求的最小值, 15．（2023-24高一下·河北·期中）在复平面内复数，，其所对应的点为，，为坐标原点，是虚数单位． (1)求与； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$