河北省沧州市2024-2025学年高二上学期期末教学质量监测数学预测卷

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 沧州市 2024—2025学年第一学期期末教学质量监测 预测卷 高二数学 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参照机密级管理★启用前 沧州市 2024—2025学年第一学期期末教学质量监测 预测卷 高二数学 班级：___________ 姓名：___________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、班级和考号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在三棱台中，，为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．已知过点的直线分别与轴的正半轴交于点为坐标原点，则的面积的最小值是（    ） A．4 B． C．8 D．5 3．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知分别是椭圆的左，右焦点，过作垂直于轴的直线交于两点，若直线与直线互相垂直，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知正项数列中，，则该数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于、两点（不同于左、右顶点），则下列说法正确的是（    ） A．当直线与轴垂直时， B．的周长为 C．的最大值为 D．的内切圆的面积的最大值为 10．已知等比数列的前项和为，公比为，且满足，则（    ） A． B．若，则 C． D．若，则当最小时， 11．设函数 ，则下列结论正确的是（    ） A．当 时， 在点 处的切线方程为 B．当 时， 有三个零点 C．若 有两个极值点，则 D．若 在 上有解，则正实数 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ． 13．已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于两点，则的取值范围为 14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.已知，Q为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知的三个顶点分别是点 (1)求的外接圆C的标准方程． (2)已知直线与圆相交于两点，求弦长的值． 16．已知数列满足. (1)证明：数列为等差数列，并求； (2)令，求数列的前项和. 17．已知函数 (1)求在点处的切线方程； (2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程. 18．如图，已知在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，其中是等腰直角三角形，，点在棱上，且三棱锥的体积为，点是棱的中点． (1)判断是否为棱的中点，并说明理由； (2)求平面与底面所成角的余弦值． 19．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，其斜率分别为，交点为． (1)当直线过焦点时，证明：互相垂直． (2)当时，设弦的中点为． ①点是否在一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． ②求的最大值． 高二数学 沧州卷 预测卷 第 2 页（共 4 页） 高二数学 沧州卷 预测卷 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页） 学科网（北京）股份有限公司 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 沧州市 2024—2025 学年第一学期期末教学质量监测 预测卷 高二数学 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5分，共 40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5分，共 15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15分） 数学 第 4页（共 6页） 数学 第 5页（共 6页） 数学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 高二数学 沧州卷 预测答案 第 1 页（共 14 页） 参照机密级管理★启用前 沧州市 2024—2025 学年第一学期期末教学质量监测 预测卷 高二数学 参考答案 答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A D C C B C B ACD ACD ACD 1．D 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量的加减运算 【分析】由已知根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】  1 1 1 1 1 1 1 11 1 12 4 4AM AA AM AA AC A B AA AC AB                 . 故选：D . 2．A 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线的点斜式方程及辨析 【分析】由题意设  : 1 2 , 0l y k x k    ，求出 ,A B坐标，则  1 14 4 2AOB S k k         ，结合基本不等式计算即可 求解. 【详解】直线 l与 ,x y轴的正半轴分别交于 ,A B两点，可知直线 l的斜率为负数， 设直线  : 1 2 , 0l y k x k    ， 令 0x  ，得 1 2y k= - ，令 0y  ，得 12x k   ，可知 11 2 0,2 0k k - > - > ， 可得      1 1 1 1 11 2 2 4 4 2 4 4 42 2 2AOBS k kk k                      ， 当且仅当 14k k    ，即 1 2 k   时，等号成立， 所以 AOB 面积的最小值为 4. 故选：A. 3．D 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】直接利用抛物线的方程求解焦点坐标即可. 高二数学 沧州卷 预测答案 第 2 页（共 14 页） 【详解】因为抛物线 2 2 2x y  的焦点在 y轴上，且 2p  ， 所以 2 2 2 p    ，所以抛物线 2 2 2x y  的焦点坐标为 20, 2        . 故选：D. 4．C 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、简单复合函数的导数、导数的乘除法 【分析】对于 A：根据基本初等函数法则求解；对于 B：根据导数的乘法法则运算求解；对于 C：根据复合函数的 链式法则运算求解；对于 D：根据导数的加法法则运算求解. 【详解】对于选项 A：  2e 0  ，故 A错误； 对于选项 B：      cos cos cos cos sinx x x x x x x x x      ，故 B错误； 对于选项 C： 4 3 3(2 1) 4(2 1) 2 8(2 1)x x x          ，故 C正确； 对于选项 D：  2 2 ln 2 1x xx    ，故 D错误； 故选：B. 5．C 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】先求出 2 1 1 bAF BF a   ，再由直线 2AF 与直线 2BF 互相垂直可知 1 1 2AF FF ，所以 2 2b c a  ，解方程即可得 出答案. 【详解】令 x c  可得 2 2 2 2 1 c y a b   ，则 ，所以 2by a   ， 所以 2 1 1 bAF BF a   ，因为直线 2AF 与直线 2BF 互相垂直， 所以 2 1 2 1 45AF F BF F    ， 所以在Rt 1 2AF F△ 中， 1 1 2AF FF ，所以 2 2b c a  ， 所以 2 2 2 2b a c ac   ，所以 2 2 1 0e e   ， 所以 1 2e    或 1 2  （舍去）， 所以C的离心率为 2 1 . 故选：C. 高二数学 沧州卷 预测答案 第 3 页（共 14 页） 6．B 【知识点】圆的弦长与中点弦、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据垂径定理可得点Q在以 为圆心， 3为半径的圆上，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可得圆的标准方程为  22 1 4x y   ， 设圆心为C，半径为 r，则 ， 2r  ， 2MN  ,所以由垂径定理可得 2 22 1 3CQ    ， 故点Q在以 为圆心， 3为半径的圆上， 因为点C到直线 3 3 0x y   的距离 | 0 1 3 | 2 3 1 d     ， 所以 PQ 的最小值为 2 3 ， 故选：B. 7．C 【知识点】对数的运算性质的应用、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列 【分析】对  21 1 1n na a    两边同时取对数，可得     1lg 1 2 lg 1 n n a a     ，所以   lg 1na  是等比数列，即可求解该数列 的通项公式. 【详解】因为正项数列 na 中，  21 13, 1 1n na a a    ， 显然 1na  ，所以  21 1 1 0n na a     ， 所以对  21 1 1n na a    两边同时取对数，可得       2 1lg 1 lg 1 2 lg 1n n na a a      ， 所以     1lg 1 2 lg 1 n n a a     ，所以   lg 1na  是以  1lg 1 lg 2a   为首项， 2为公比的等比数列， 高二数学 沧州卷 预测答案 第 4 页（共 14 页） 所以     11 2lg 1 lg 2 2 lg 2 nnna     ，所以 121 2 n na    ， 所以 122 1 n na    . 故选：C. 8．B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、简单复合函数的导数、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单 调性解不等式 【分析】由已知，令    2 4g x f x   ，可得  g x 为奇函数，则  f x 的图象关于点  2,4 中心对称，可得    4 8f x f x   ，由    22 2 8f a f a   可得    22 6f a f a  ， 利用导数确定  f x 函数的单调性，再利用单调性解不等式即可. 【详解】根据题意，函数    22 1 e sin 2 4 4 e x xf x x       ， 所以   12 e sin 2 4 e x xf x x     ， 令     12 4 e sin 2 e x xg x f x x      ， 则    g x g x   ，所以  g x 为奇函数， 所以  f x 的图象关于点  2,4 中心对称，所以    4 8f x f x   ， 由    22 2 8f a f a   ，可得    22 8 2f a f a   ， 所以    22 6f a f a  ， 由    22 1 e sin 2 4 4 e x xf x x       ， 则   22 1 e e x xf x           2 2 12cos 2 4 e 2cos 2 4 0 e x xx x              ， 所以函数  f x 单调递减， 由    22 6f a f a  可得， 22 6a a  ， 即 22 6 0a a   ，解得 32 2 a   ，实数 a的取值范围是 32, 2      . 故选：B． 【点睛】关键点点睛：令    2 4g x f x   ，证得  g x 为奇函数，可得  f x 的图象关于点  2,4 中心对称，由    22 2 8f a f a   可得    22 6f a f a  ，再利用导数确定  f x 函数的单调性，再利用单调性解不等式即可. 9．ACD 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、求椭圆中的最值问题、椭圆中的通径问题、椭圆中焦点三角形的周长问 高二数学 沧州卷 预测答案 第 5 页（共 14 页） 题 【分析】将直线 l的方程与椭圆方程联立，求出 AB ，可判断 A选项；利用椭圆定义可判断 B选项；利用基本不等 式结合椭圆定义可判断 C选项；分析可知，当A为椭圆C的上顶点或下顶点时， 1 2AF F△ 的面积取得最大值，此时， 1 2AF F△ 内切圆的半径取最大值，结合圆的面积公式可判断 D选项. 【详解】对于椭圆C， 2a  ， 3b  ， 2 2 1c a b   ，则 ， 对于 A选项，当直线 l与 x轴垂直时，直线 l的方程为 1x  ， 将 1x  代入椭圆方程可得 21 1 4 3 y   ，解得 3 2 y   ，此时， 3AB  ，A对； 对于 B选项， 1ABF 的周长为 1 2 1 2 4 8AF AF BF BF a     ，B错； 对于 C选项，由椭圆的定义可得 1 2 2 4AF AF a   ， 由基本不等式可得 2 1 2 2 1 2 2 42 AF AF AF AF          ， 当且仅当 1 2 1 2 4 AF AF AF AF      时，即当 1 2 2AF AF  时，等号成立， 因此 1 2AF AF 的最大值为 4，C对； 对于 D选项，设 1 2AF F△ 的内切圆的半径为 r，       1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2AF F S r AF F F AF r a c a c r       ， 当A为椭圆C的上顶点或下顶点时， 1 2AF F△ 的面积取得最大值， 最大值 1 2 3 3 2 S     ， 所以 1 2AF F△ 的内切圆的半径的最大值 3 3 Sr a c    ， 1 2AF F△ 的内切圆的面积的最大值为 2 ππ 3 r  ，D对. 故选：ACD. 10．ACD 【知识点】判断数列的增减性、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前 n项和 高二数学 沧州卷 预测答案 第 6 页（共 14 页） 【分析】根据 ,n na S 的关系，作差即可根据等比数列的性质求解公比，即可求解 A,计算 1 2b b 即可判断 B，根据等比 求和公式即可求解 C，根据 nb 的单调性，结合 10n  时，0 1nb  即可求解 D. 【详解】对于 A，由  1 1, 2n n n na S c a S c n      可得 11 1 2 2nn n n n n n aa a a a a a         ，由于数列 na 是等比 数列，故公比为 2， 由 3 8a  ，则 1 22, 4, 2 n na a a   ，A正确； 对于 B，        2 1 1 2 1 2 1 n n n n n n n ab a a       ，则 1 2 2 2 4 14 1 1 4 14,1 1 , 3 15 15 2 1 5 5 15 b b          B错误； 对于 C，   1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 n n n n n nS a S             ，所以 2c  ，C正确； 对于 D， 2 2024 2024 n n n ab   ，所以数列 nb 单调递增，又当 10n  时， 10 10 2 20 1 2024 2024 n nb b     ；当 11n  时， 11 11 2048 12 2 2024 2024 2024 n nb b    ，所以当 1 2 nbb bL 最小时， 10n  ，D正确. 故选：ACD. 11．ACD 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究能成立问题、利用导数研究函数的零点、根据极 值点求参数 【分析】选项 A,根据导数大集合意义，求出切线斜率，得出方程；选项 B，利用导数求得函数的极值，极大值大于 0，极小值小于 0，函数有三个零点；选项 C,极值点的个数转化为导函数零点的个数求参数范围；选项 D，不等式 在区间上有解，转化为函数的最值问题，求参数范围. 【详解】选项 A,当 1m  时，   lnf x x x  ，所以   1 1f x x    ，  1 0f   ， 又  1 ln1 1 1f     ，所以  f x 在点 h 处的切线方程为 1y   ，故 A正确； 选项 B，   2 1g x x   ，令   0g x  ，得 1x   ； 当    , 1 1,x       时，   0g x  ，当 时，   0g x  ， 所以  g x 在 上单调递增；  g x 在    , 1 , 1,    上单调递减；  g x 的极小值为   21 3 g a    ，  g x 的极大值为   21 3 g a  ， 要使  g x 有三个零点，则    1 0 1 0 g g      ，即 2 0 3 2 0 3 a a         ，解得 2 2 3 3   a ，故 B错误. 选项 C,       2ln 1F x f x g x m x x x      ，则   222 1m x x mF x x x x       高二数学 沧州卷 预测答案 第 7 页（共 14 页） 若      F x f x g x   有两个极值点， 则 22 0x x m   在 ∞ 有两个不同的正根， 则 1 2 1 2 Δ 1 8 0 1 0 2 0 2 m x x mx x               ，解得 10 8 m  ，故 C正确； 选项 D, 令     e ln ex xh x f mx mx m mx     ，则 ln exm mx  , 所以 1ln exmx m  ,即 1ln ln ln e x mm x    可整理为 lnln e lnx mx x x m    即 ln lne ln e lnx x mx x m    令   exg x x  ,   e 1 0xg x    ， 所以  g x 单调递增， 所以 ln lnx x m  ，即 ln lnm x x  ， 令   lnp x x x  ，   1 11 xp x x x      ， 当0 1x  时，   0p x  ，当 1x  时，   0p x  ， 所以  p x 在 上单调递减，在 ∞ 上单调递增， 所以    min 1 1p x p  ，即 ln 1m  ， em  ，所以m的取值范围为 e, 所以 D正确。 故选：ACD 12． 1 ,1 3      【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由函数  f x 的单调性结合题设即可列出关于 m的不等式，解不等式即可得解. 【详解】由题得  f x 定义域为 R，        22 1 e 2 1 ex xx x xf x       ， 所以  1,x  时，   0f x  ；  ,1x  时，   0f x  ， 所以函数  f x 在  1, 上单调递增，在  ,1 上单调递减， 又函数  f x 在区间  2 1,3 2m m  上不单调， 高二数学 沧州卷 预测答案 第 8 页（共 14 页） 所以 12 1 1 3 2 1 3 m m m        ，故 m的取值范围是 1 ,1 3      . 故答案为： 1 ,1 3      . 13．8 12MA MB     . 【知识点】向量的模、向量加法的法则、轨迹问题——圆、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】取 AB中点为D，连接MD，CD，确定点D的轨迹为以 NC为直径的圆，根据 MF r MD MF r     得 到答案. 【详解】取 AB中点为D，连接MD，如图所示： 则CD ND ，又  6,0C ， (4,0)N ， (2, 4)M 故点D的轨迹为以 NC为直径的圆，圆心为  5,0G ，半径为 1r  ， 因为 2MA MB MD     ，    2 22 5 4 0 5MG      ， 所以 MG r MD MG r    ，即 4 6MD  ，则8 12MA MB     . 故答案为：8 12MA MB     . 14． 2 2 【知识点】轨迹问题——圆、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】先利用“阿波罗尼斯圆”定义设出点  0 0,N x y ，由 1| | | | 2 RN PR ，得到  0,1N ，再由 1| | | | 2 RQ PR | | | | | |RQ RN QN   ，即可求出最小值. 【详解】由阿波罗尼斯圆的定义，设  ,R x y ，定点  0 0,N x y ，令 1| | | | 2 RN PR ，则        2 2 2 20 0 1 0 4 2 x x y y x y       ， 平方化简得     2 2 0 002 2 0 4 48 18 3 3 3 x yy x y x x y       ， 因为此方程与 2 2 4x y  为同一方程， 高二数学 沧州卷 预测答案 第 9 页（共 14 页） 所以     0 0 2 2 0 0 8 0 3 8 1 0 3 4 4 4 3 x y x y              ，解得 0 0 0 1 x y    ，所以点  0,1N ， 所以 1| | | | 2 RQ PR | | | | | |RQ RN QN   ， 当且仅当 R、Q、N三点共线时，等号成立， 即最小值为点 N到直线 3y x  的距离： 1 3 2 2 2 d     ， 故答案为： 2 2 . 15．(1) 2 2( 2) 4x y   ； (2)2 3 . 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）根据已知易得 90  ABO ，进而确定圆心和半径，即可得圆的标准方程； （2）由点线距离公式求弦心距，再由几何法求弦长即可. 【详解】（1）由题设 | | 4,| | 2,| | 9 3 2 3OA OB AB     ，则 2 2 2| | | | | |OA OB AB  ， 所以 90  ABO ，故OA是 AOBV 的外接圆的直径， 所以所求圆的圆心为 (2,0)，半径为 2，即圆的标准方程为 2 2( 2) 4x y   . （2）由 (2,0)到 : 3 4 1 0l x y   距离 | 6 0 1| 1 9 16 d     ， 所以 2 22 2 1 2 3AB    . 16．(1)证明见解析， 1n na n   . (2) 1n nT n   . 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和 【分析】（1）把 1 12 1n n na a a   代入 1 1 1 1 1n na a    化简即可. 高二数学 沧州卷 预测答案 第 10 页（共 14 页） （2）通过对 nb 变形，即 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 n n n n n n n a a n nb a a a a n n n n                ，然后求和即可. 【详解】（1）由 1 12 1n n na a a   ，知 1 1 2n n a a   ， 所以 1 2 11 1 1 1 1 111 1 1 1 1 11 2 n n n n n n n n n a a a a a a a a a                   ， 所以数列 1 1na       是以 1 1 2 1a    为首项，-1为公差的等差数列， 所以     1 2 1 1 1 1n n n a          ， 所以 1n na n   . （2）因为 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 n n n n n n n a a n nb a a a a n n n n                ， 所以 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 1n T n n            11 1 1 n n n      . 17．(1) 2 2e e 0x y   (2) ey x 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、导数的运算法则 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案； （2）设切点坐标，写出切线方程，利用原点在切线上，求出切点坐标，即可求得答案. 【详解】（1）因为   exf x  ，所以     2e , 2 exf x f  ， 故曲线  y f x 在点  22,e 处的切线方程为  2 2e e 2y x   ，即 2 2e e 0x y   ； （2）设切点为  00 , exx ，则   00 exf x  ，切线方程为  0 0 0e ex xy x x   ， 因为切线经过原点，故 0 00e e x xx   ，所以 0 1x  ， 故  1 ef   ，切点为  1, e ，切线方程为  e e 1y x   ， 即过原点的切线方程为 ey x . 18．(1)M 是棱 PD的中点，理由见解析. (2) 5 29 29 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）由题意 AD / /平面 PBC，求得体积关系： 1 2M PBC D PBC V V  ，即可得出答案； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面MNC的法向量和底面 ABCD的法向量，利用二面角的向量公 式求解即可. 【详解】（1）取 AB的中点O，连接 ,PO CO， 高二数学 沧州卷 预测答案 第 11 页（共 14 页） 因为 2PA PB  ， 2AB  ，所以 PO AB ， 1PO  ， 1BO  . 又因为 ABCD是菱形， 60ABC  ，所以CO AB ， 3CO  ， 因为 2 2 2CO PO PC  ，所以 PO CO ， , , AB CO O AB CO 平面 ABCD， 所以 PO 平面 ABCD， 因为 / /AD BC， BC 平面 PBC， AD 平面 PBC，所以 AD / /平面 PBC， 所以 1 1 1 31 2 3 3 3 2 3AD PBC A PBC P ABC BC V V V P SO           △ . 因为 3 1 6 2M PBC D PBC V V   ， 所以点 M到平面 PBC的距离是点 D到平面 PBC的距离的 12 ， 所以 PM MD ，所以M 为棱 PD的中点. （2）因为 PO 平面 ABCD， ,BO CO 平面 ABCD， 所以 PO BO ， PO CO ，又 BO CO ， 如图，以 O为坐标原点，OC  ，OB  ，OP  的方向分别为 x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系， 则  0, 1,0A  ，  0,1,0B ，  3,0,0C ，  3, 2,0D  ， ， 所以 3 1, 1, 2 2 M        ， 1 10, , 2 2 N      ， 3 1, 1, 2 2 CM           ， 3 3, ,0 2 2 MN          ， 底面 ABCD的法向量为  0,0,1m  ， 设平面MNC的法向量为  , ,n x y z ， 则 0 0 n MN n CM         ，即 3 3 0 2 2 3 1 0 2 2 x y x y z          ， 取 1y  ， 3, 5x z  ，得  3,1,5n  . 设平面MNC与底面 ABCD所成角为， 所以 5 5 5 29cos cos , 293 1 25 29 m nm n m n               ， 高二数学 沧州卷 预测答案 第 12 页（共 14 页） 平面MNC与底面 ABCD所成角的余弦值为 5 29 29 . 19．(1)证明见解析 (2)①是， 2y   ；② 1 2, 2 2       【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）联立方程组，利用 0  分别用点 ,A B的横坐标表示 1k ， 2k ，联立直线 l与抛物线的方程，结合韦达定 理，可得结果； （2）①联立两切线方程可得交点坐标，利用韦达定理化简可得点Q在定直线上； ②由中点坐标公式可得M 点坐标，从而得到 MQ ，再由弦长公式可得 AB ，再求 2 1 11 2 1 MQ AB k    取值范围即可. 【详解】（1）由题意知，直线的 l斜率存在，设直线 l与抛物线C交于不同的两点 ， ， 由于焦点 ，设直线 l的方程为 1y kx  ， 联立 2 1 4 y kx x y     ，消去 y得， 2 4 4 0x kx   ，且 216 16 0k    ， 则 1 2 1 2 4 4 x x k x x       设 2 1 1, 4 xA x       ， 2 2 2 , 4 xB x       ，则过点A的切线方程为   2 1 1 14 xy k x x   ， 联立方程组   2 1 1 1 2 4 4 xy k x x x y        ，得 2 2 1 1 1 14 4 0   x k x k x x 。 则  2 21 1 1 1Δ 16 4 4 0k k x x    ，解得 11 2 xk  ，同理 22 2 xk  ， 1 2 1 2 1 1 ( 4) 1 4 4 k k x x         ，所以 1 2,l l 互相垂直． （2）①当 2t  时，设直线 l的方程为 2y kx  ， 联立 2 2 4 y kx x y     ，消去 y得， 2 4 8 0x kx   ，且 216 32 0k    ， 高二数学 沧州卷 预测答案 第 13 页（共 14 页） 则 1 2 1 2 4 8 x x k x x       直线 1l 与 2l 交于点Q，设 ( , )Q x y ， 抛物线在点 A处的切线 1l 方程为  21 1 1 1 1 4 2 y x x x x   ，即 21 1 1 1 2 4 y x x x  ， 同理，在点 B处的切线 2l 方程为 2 2 2 1 1 2 4 y x x x  . 联立 2 1 1 2 2 2 1 1 2 4 1 1 2 4 y x x x y x x x         ，解得  1 2 1 2 1 2 1 4 x x x y x x        ， 将式代入化简得 2 2 x k y     ， 则点 (2 , 2)Q k  在定直线 2y   上. ②线段 AB的中点为M ， 由（1）可得， 21 2 1 2( ) 4 4( 1)y y k x x k      ， 21 2 2( 1) 2 y y k   ， 则  22 , 2( 1)M k k  .    2 22 1 2 2 2MQ k k     ， 又  22 21 2 1 2 1 21 1 4AB k x x k x x x x       将式代入得，   2 2 2 21 (4 ) 32 4 1 2AB k k k k      ， 则 2 2 2 1 2 1 11 2 1 2 1 MQ k AB k k       ， 由 2 2 2 10 1 1,0 1 1 k k k       ， ，则 1 2, 2 2 MN AB       . MN AB 的取值范围为 1 2, 2 2       . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为 ， ； 高二数学 沧州卷 预测答案 第 14 页（共 14 页） （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 x（或 y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为 1 2 1 2,x x x x 的形式； （5）代入韦达定理求解. 参照机密级管理★启用前 沧州市 2024—2025学年第一学期期末教学质量监测 预测卷 高二数学 参考答案 答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A D C C B C B ACD ACD ACD 1．D 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量的加减运算 【分析】由已知根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】   . 故选：. 2．A 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线的点斜式方程及辨析 【分析】由题意设，求出坐标，则，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】直线与轴的正半轴分别交于两点，可知直线的斜率为负数， 设直线， 令，得，令，得，可知， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最小值为4. 故选：A. 3．D 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】直接利用抛物线的方程求解焦点坐标即可. 【详解】因为抛物线的焦点在轴上，且， 所以，所以抛物线的焦点坐标为. 故选：D. 4．C 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、简单复合函数的导数、导数的乘除法 【分析】对于A：根据基本初等函数法则求解；对于B：根据导数的乘法法则运算求解；对于C：根据复合函数的链式法则运算求解；对于D：根据导数的加法法则运算求解. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误； 故选：B. 5．C 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】先求出，再由直线与直线互相垂直可知，所以，解方程即可得出答案. 【详解】令可得，则，所以， 所以，因为直线与直线互相垂直， 所以， 所以在中，，所以， 所以，所以， 所以或（舍去）， 所以的离心率为. 故选：C. 6．B 【知识点】圆的弦长与中点弦、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据垂径定理可得点在以为圆心，为半径的圆上，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可得圆的标准方程为， 设圆心为，半径为，则，， ,所以由垂径定理可得， 故点在以为圆心，为半径的圆上， 因为点到直线的距离， 所以的最小值为， 故选：B. 7．C 【知识点】对数的运算性质的应用、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列 【分析】对两边同时取对数，可得，所以是等比数列，即可求解该数列的通项公式. 【详解】因为正项数列中，， 显然，所以， 所以对两边同时取对数，可得， 所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 所以. 故选：C. 8．B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、简单复合函数的导数、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】由已知，令，可得为奇函数，则的图象关于点中心对称，可得，由可得， 利用导数确定函数的单调性，再利用单调性解不等式即可. 【详解】根据题意，函数， 所以， 令， 则，所以为奇函数， 所以的图象关于点中心对称，所以， 由，可得， 所以， 由， 则， 所以函数单调递减， 由可得，， 即，解得，实数a的取值范围是. 故选：B． 【点睛】关键点点睛：令，证得为奇函数，可得的图象关于点中心对称，由可得，再利用导数确定函数的单调性，再利用单调性解不等式即可. 9．ACD 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、求椭圆中的最值问题、椭圆中的通径问题、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】将直线的方程与椭圆方程联立，求出，可判断A选项；利用椭圆定义可判断B选项；利用基本不等式结合椭圆定义可判断C选项；分析可知，当为椭圆的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值，此时，内切圆的半径取最大值，结合圆的面积公式可判断D选项. 【详解】对于椭圆，，，，则， 对于A选项，当直线与轴垂直时，直线的方程为， 将代入椭圆方程可得，解得，此时，，A对； 对于B选项，的周长为，B错； 对于C选项，由椭圆的定义可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此的最大值为，C对； 对于D选项，设的内切圆的半径为， ， 当为椭圆的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值， 最大值， 所以的内切圆的半径的最大值， 的内切圆的面积的最大值为，D对. 故选：ACD. 10．ACD 【知识点】判断数列的增减性、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】根据的关系，作差即可根据等比数列的性质求解公比，即可求解A,计算即可判断B，根据等比求和公式即可求解C，根据的单调性，结合时，即可求解D. 【详解】对于A，由可得，由于数列是等比数列，故公比为2， 由，则，A正确； 对于B，，则B错误； 对于C，，所以，C正确； 对于D，，所以数列单调递增，又当时，；当时，，所以当最小时，，D正确. 故选：ACD. 11．ACD 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究能成立问题、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】选项A,根据导数大集合意义，求出切线斜率，得出方程；选项B，利用导数求得函数的极值，极大值大于0，极小值小于0，函数有三个零点；选项C,极值点的个数转化为导函数零点的个数求参数范围；选项D，不等式在区间上有解，转化为函数的最值问题，求参数范围. 【详解】选项A,当时，，所以，， 又，所以在点处的切线方程为 ，故A正确； 选项B，，令，得； 当时，，当时，， 所以在上单调递增；在上单调递减； 的极小值为，的极大值为， 要使有三个零点，则，即，解得，故B错误. 选项C,，则 若 有两个极值点， 则在有两个不同的正根， 则，解得，故C正确； 选项D, 令，则, 所以,即 可整理为 即 令,， 所以单调递增， 所以，即， 令，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， ，所以的取值范围为 所以D正确。 故选：ACD 12． 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由函数的单调性结合题设即可列出关于m的不等式，解不等式即可得解. 【详解】由题得定义域为R，， 所以时，；时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在区间上不单调， 所以，故m的取值范围是. 故答案为：. 13．. 【知识点】向量的模、向量加法的法则、轨迹问题——圆、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】取中点为，连接，，确定点的轨迹为以为直径的圆，根据得到答案. 【详解】取中点为，连接，如图所示： 则，又，， 故点的轨迹为以为直径的圆，圆心为，半径为， 因为，， 所以，即，则. 故答案为：. 14． 【知识点】轨迹问题——圆、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】先利用“阿波罗尼斯圆”定义设出点，由，得到，再由，即可求出最小值. 【详解】由阿波罗尼斯圆的定义，设，定点，令，则 ， 平方化简得， 因为此方程与为同一方程， 所以，解得，所以点， 所以， 当且仅当、、三点共线时，等号成立， 即最小值为点到直线的距离：， 故答案为：. 15．(1)； (2). 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）根据已知易得，进而确定圆心和半径，即可得圆的标准方程； （2）由点线距离公式求弦心距，再由几何法求弦长即可. 【详解】（1）由题设，则， 所以，故是的外接圆的直径， 所以所求圆的圆心为，半径为2，即圆的标准方程为. （2）由到距离， 所以. 16．(1)证明见解析，. (2). 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和 【分析】（1）把代入化简即可. （2）通过对变形，即，然后求和即可. 【详解】（1）由，知， 所以， 所以数列是以为首项，-1为公差的等差数列， 所以， 所以. （2）因为， 所以. 17．(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、导数的运算法则 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案； （2）设切点坐标，写出切线方程，利用原点在切线上，求出切点坐标，即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 故曲线在点处的切线方程为，即； （2）设切点为，则，切线方程为， 因为切线经过原点，故，所以， 故，切点为，切线方程为， 即过原点的切线方程为. 18．(1)是棱的中点，理由见解析. (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）由题意平面PBC，求得体积关系：，即可得出答案； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量和底面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为，，所以，，. 又因为是菱形，，所以，， 因为，所以，平面， 所以平面， 因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC， 所以. 因为， 所以点M到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的， 所以，所以为棱的中点. （2）因为平面，平面ABCD， 所以，，又， 如图，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，， 底面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 取，，得. 设平面与底面所成角为， 所以， 平面与底面所成角的余弦值为. 19．(1)证明见解析 (2)①是，；② 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）联立方程组，利用分别用点的横坐标表示，，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理，可得结果； （2）①联立两切线方程可得交点坐标，利用韦达定理化简可得点在定直线上； ②由中点坐标公式可得点坐标，从而得到，再由弦长公式可得，再求取值范围即可. 【详解】（1）由题意知，直线的斜率存在，设直线与抛物线交于不同的两点，， 由于焦点，设直线的方程为， 联立，消去得，，且， 则 设，，则过点的切线方程为， 联立方程组，得。 则，解得，同理， ，所以互相垂直． （2）①当时，设直线的方程为， 联立，消去得，，且， 则 直线与交于点，设， 抛物线在点A处的切线方程为，即， 同理，在点B处的切线方程为. 联立，解得， 将式代入化简得， 则点在定直线上. ②线段AB的中点为， 由（1）可得，，， 则. ， 又 将式代入得，， 则， 由，则. 的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 高二数学 沧州卷 预测答案 第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$高二数学 沧州卷 预测卷 第 1 页（共 4 页） 参照机密级管理★启用前 沧州市 2024—2025 学年第一学期期末教学质量监测 预测卷 高二数学 班级：___________ 姓名：___________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、班级和考号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．在三棱台 1 1 1ABC ABC 中， 1 12AB AB ，M 为线段 1 1BC 的中点，则 AM   （ ） A． 1 1 1 4 4 AA AC AB     B． 1 1 1 4 4 AA AC AB     C． 1 1 1 2 4 AA AC AB     D． 1 1 1 4 4 AA AC AB     2．已知过点  2,1P 的直线 l分别与 ,x y轴的正半轴交于点    , 0 , 0, ,A a B b O为坐标原点，则 OAB△ 的面积的最小值 是（ ） A．4 B． 2 2 C．8 D．5 3．抛物线 2 2 2x y  的焦点坐标为（ ） A．  2,0 B． 2 ,0 2        C．  0, 2 D． 20, 2         4．下列求导正确的是（ ） A．  2 2e e  B． ( cos ) cos sinx x x x x   C． 4 3(2 1) 8(2 1)x x     D．  2 2 1x xx    5．已知 1 2,F F 分别是椭圆   2 2 2 2: 1 0 x yC a b a b     的左，右焦点，过 1F 作垂直于 x轴的直线交C于 ,A B两点，若直 线 2AF 与直线 2BF 互相垂直，则C的离心率为（ ） A． 1 3 B． 12 C． 2 1 D． 2 1 2  6．已知点M 、N在圆 2 2 2 3 0x y y    上，点 P在直线 3 3 0x y   上，点Q为MN中点，若 2MN  ，则 PQ 的最小值为（ ） A． 2 B． 2 3 C． 2 2 D． 3 高二数学 沧州卷 预测卷 第 2 页（共 4 页） 7．已知正项数列 na 中，  21 13, 1 1n na a a    ，则该数列的通项公式是（ ） A． 2 1nna   B． 22 1nna   C． 122 1 n na    D． 22 1 n na   8．已知函数    22 1 e sin 2 4 4 e x xf x x       ，若    22 2 8f a f a   ，则实数 a的取值范围是（ ） A．  2, B． 32, 2      C． 3, 2       D．  3, 2, 2         二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．已知椭圆 2 2 : 1 4 3 x yC   的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，过 2F 的直线 l交椭圆C于A、B两点（不同于左、右顶点）， 则下列说法正确的是（ ） A．当直线 l与 x轴垂直时， 3AB  B． 1ABF 的周长为3 2 C． 1 2AF AF 的最大值为 4 D． 1 2AF F△ 的内切圆的面积的最大值为 π 3 10．已知等比数列 na 的前 n项和为 nS ，公比为 q，且满足 3 18, n na a S c   ，则（ ） A． 1 2a  B．若   1 1 n n n n ab a a    ，则 1 2 11 2 1n n b b b      C． 2c  D．若 2024 n n ab  ，则当 1 2 nbb bL 最小时， 10n  11．设函数     31ln 3 f x m x x g x x x a     ， ，则下列结论正确的是（ ） A．当 1m  时，  f x 在点   1 1f， 处的切线方程为 e B．当 1 1a   时，  g x 有三个零点 C．若      F x f x g x   有两个极值点，则 10 8 m  D．若   exf mx mx  在  0,  上有解，则正实数 m 的取值范围为  e,  三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 高二数学 沧州卷 预测卷 第 3 页（共 4 页） 12．已知函数    2 2 e 2 5xf x x x x     在区间  2 1,3 2m m  上不单调，则 m的取值范围是 ． 13．已知圆 2 2: ( 6) 9C x y   ，点M 的坐标为 (2,4)，过点 (4,0)N 作直线 l交圆C于 A B、 两点，则 MA MB   的取 值范围为 14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值 ( 1)   的点的轨迹是圆，此圆被称 为“阿波罗尼斯圆”.已知 (0, 4)P ，Q为直线 3y x  上的动点， R为圆 2 2: 4O x y  上的动点，则 1| | | | 2 RQ PR 的 最小值为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知 AOBV 的三个顶点分别是点      4,0 , 0,0 , 1, 3A O B (1)求 AOBV 的外接圆 C的标准方程． (2)已知直线 : 3 4 1 0l x y   与圆C相交于 ,A B两点，求弦长 AB 的值． 16．已知数列 na 满足  *1 1 11 ,2 12 n n na a a a n    N . (1)证明：数列 1 1na       为等差数列，并求 na ； (2)令 1 1 n n n n n a ab a a     ，求数列 nb 的前 n项和 nT . 17．已知函数   exf x  (1)求  f x 在点  22,e 处的切线方程； (2)若  f x 的一条切线 l恰好经过坐标原点，求切线 l的方程. 高二数学 沧州卷 预测卷 第 4 页（共 4 页） 18．如图，已知在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是边长为 2的菱形，其中 60 ,ABC ABP    是等腰直角三角形， , 2PA PB CP  ，点M 在棱 PD上，且三棱锥M PBC 的体积为 3 6 ，点 N是棱 PB的中点． (1)判断M 是否为棱 PD的中点，并说明理由； (2)求平面MNC与底面 ABCD所成角的余弦值． 19．已知抛物线 2: 4C x y 的焦点为 F ，过点   0, 0P t t  的直线 l与抛物线C交于 ,A B两点，抛物线C在点 ,A B处 的切线分别为 1 2,l l ，其斜率分别为 1 2,k k ，交点为Q． (1)当直线 l过焦点 F时，证明： 1 2,l l 互相垂直． (2)当 2t  时，设弦 AB的中点为M ． ①点Q是否在一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． ②求 MQ AB 的最大值．