上海市格致中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

格致中学2024学年第以学期高一年级数学期末 2025.01 一、填空题：（本大题共12小题，第1-6小题，每题3分，第7-12小题，每题4分） 1．已知全集，，则________． 2．不等式的解集为________． 3．若指数函数的图像经过点，则________． 4．弧长为，半径为10的扇形的面积为________． 5．已知，则方程的解为________． 6．设，．若函数是定义在上的奇函数，则________． 7．已知实数满足，则的最小值为________． 8．已知，则实数的取值范围是________． 9．关于的方程在上有解，则实数的取值范围 为________． 10．已知为实数，，，用表示有限集合的元素个数，的取值集合为________． 11．已知，，，. 若，则的最小值为________． 12．设且，函数、的定义域都是，且满足，（其中表示最小值）．记函数的值域为，若集合中仅有四个元素，则实数的取值范围为________． 二、选择题：（第13、14题，每题3分，第15、16题，每题4分，满分14分） 13．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 14．下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（ ） A． B． C． D． 15．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则关于函数在上的零点的说法正确的是（ ） A．有4个零点，其中只有一个零点在区间上 B．有4个零点，其中两个零点在区间上，另外两个零点在区间上 C．有5个零点，两个正零点中一个在区间上，一个在区间上 D．有5个零点，都不在区间上 16．设，函数的表达式为，若，且关于的方程的整数解有且仅有4个，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 三、解答题：（本题共有5大题，满分44分．解题时要有必要的解题步骤） 17．（本题满分6分） 设，证明：若是奇数，则也是奇数． 18．（本题满分6分） 已知及是关于的方程的两个实根，求的值． 19．（本题共2小题，每小题4分，满分8分） 已知常数，函数的表达式为． （1）证明：函数是奇函数； （2）若函数在区间上的最大值为2，求实数的值． 20．（本题共2小题，第1小题4分，第2小题6分，满分10分） 某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库．因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）．现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元． （1）请写出甲队整体报价（单位：百元）关于前面墙体长（单位：米）的函数解析式； （2）已知乙队给出的整体报价为元．不考虑其他因素，若乙队要确保竟标成功，求实数的取值范围． 21．（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分，满分14分） 已知函数的定义域为，现有两种对变换的操作：甲变换：；乙变换：，其中为大于0的常数． （1）若，，经甲变换得到，求方程的解； （2）若，经乙变换得到，求不等式的解集； （3）若函数在上是严格增函数．将先进行甲变换得到，再将进行乙变换得到；将先进行乙变换得到，再将进行甲变换得到．若恒成立，求证：函数在．上是严格增函数． 参考答案 一、填空题 1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.；8.； 9.； 10.； 11.； 12. . 11.已知，，，. 若，则的最小值为________． 【答案】8 【解析】因为， 则方程与有相同的解，不妨设为，则，故，即，整理得. 因为，所以 ， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以的最小值为8．故答案为：8. 二、选择题 13.A； 14.C； 15.D； 16.C 15.．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则关于函数在上的零点的说法正确的是（ ） A．有4个零点，其中只有一个零点在区间上 B．有4个零点，其中两个零点在区间上，另外两个零点在区间上 C．有5个零点，两个正零点中一个在区间上，一个在区间上 D．有5个零点，都不在区间上 【答案】D 【解析】函数是定义在上的奇函数，且当时，． 可知是函数的零点，并且，，所以函数在时有两个零点，函数是奇函数，可知时，有两个零点，函数共有5个零点，如图： 可知选项A/B/C均不正确．选项D正确．故选D． 16.设，函数的表达式为，若，且关于的方程的整数解有且仅有4个，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知函数在定义域内单调递增，且， 因为， 所以，且，即， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以. 当时，无解；当时，有四个整数解，由图得．故答案为C． 三、解答题 17.证明略. 18.. 19.（1）证明略；（2）. 20.某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库．因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）．现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元． （1）请写出甲队整体报价（单位：百元）关于前面墙体长（单位：米）的函数解析式； （2）已知乙队给出的整体报价为元．不考虑其他因素，若乙队要确保竟标成功，求实数的取值范围 【答案】（1），；（2）. 【解析】（1）由题意可得： 甲队的报价为元，， （2）乙队给出的整体报价为元，若乙队要确保竞标成功， 则恒成立， ，设， 则，又在为增函数， 则，则，即，又，则， 即实数的取值范围是．故答案为：． 21.已知函数的定义域为，现有两种对变换的操作：甲变换：；乙变换：，其中为大于0的常数． （1）若，，经甲变换得到，求方程的解； （2）若，经乙变换得到，求不等式的解集； （3）若函数在上是严格增函数．将先进行甲变换得到，再将进行乙变换得到；将先进行乙变换得到，再将进行甲变换得到．若恒成立，求证：函数在上是严格增函数． 【答案】（1）2；（2）；（3）见解析 【解析】（1）∵为做甲变换后的结果，， 解得． （2）∵为做乙变换后的结果， 当时，恒成立； 当时，，解得或 综上所述：不等式的解集为； （3）证明：先做变换后得到再做变换后得到， 先做乙变换后得到再做甲变换后得到， 对恒成立，∴函数在上单调递增． 学科网（北京）股份有限公司 $$