二项分布与超几何分布专项训练-2025届高三数学二轮复习

二项分布与超几何分布专项训练 二项分布与超几何分布专项训练 考点一 二项分布 1．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知离散型随机变量服从二项分布，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·上海·期中）重复次成功概率为的伯努利试验，其成功次数的分布为（   ） A．伯努利分布 B．二项分布 C．超几何分布 D．正态分布 3．（24-25高三上·湖北·期中）英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·青海·一模）已知随机变量，若随机变量，则（    ） A．10 B．12 C．30 D．32 5．（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）如果随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·湖南长沙·期末·多选）如图，某电子实验猫线路图上有，两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，，两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，.同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在处遇到红灯的次数为，在，两处遇到红灯的次数之和为，则（    ） A． B． C．一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为 D．当时， 7．（24-25高三上·山西·阶段练习·多选）某科技企业通过一家代工厂为其加工某种零部件，加工后的零部件先由智能检测系统进行检测，智能检测系统能检测出不合格零部件，但会把的合格零部件判定为不合格，所以智能检测系统检测出的不合格零部件需要进行人工第二次检测，人工检测可以准确检测出合格与不合格的零部件，通过统计需要人工进行第二次检测的零部件中，零部件的合格率为，则（    ） A．该零部件的合格率为 B．从该代工厂加工的零部件中任取100个，则取到的合格品个数的均值为96 C．从该代工厂加工的零部件中先后两次各取一个，若至少有1个为合格品，则第1次取到合格品的概率为 D．从需要进行人工第二次检测的零部件中任取10件，取到5件或6件合格品的概率最大 8．（24-25高三上·甘肃白银·期中·多选）一纸盒中共有6张形状和质地一样的卡片，其中4张是红色卡片，2张是黄色卡片.现从纸盒中有放回地随机取4次，每次取1张卡片，取到红色卡片记1分，取到黄色卡片记0分，记4次取卡片所得的总分数为，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·重庆·期末）某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务.为了测试该模型的性能，对其进行了500次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如下的样本数据频率分布直方图. (1)估计这500次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）; (2)以频率估计概率，随机对该模型进行3次试验，用表示这3次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望. 10．（24-25高三上·山东淄博·期末）某地为弘扬我国传统文化，举办知识竞赛活动，每位参赛者从以下两种方式中选择一种参赛： ①活动共设有3个问题，能正确回答问题者才能进入下一个问题，否则即被淘汰，3个问题都回答正确即获得“智慧星”称号； ②活动需参赛者回答5个问题，至少正确回答4个即能获得“智慧星”称号；甲乙两人参加此次竞赛活动，甲选择第一种方式，他能正确回答第一、二、三个问题的概率分别为，乙选择第二种方式，他能正确回答每一个问题的概率均为．两种方式下各个问题能否正确回答均互不影响，两人彼此之间也互不影响． (1)求甲没有获得“智慧星”称号的概率； (2)求乙获得“智慧星”称号的概率． (3)记事件“乙正确回答问题的个数比甲正确回答问题的个数多3个”，求事件发生的概率． 考点二 超几何分布 1．（24-25高三上·山东滨州·期末·多选）已知袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中个红球，个白球．每次从袋子中随机摸取一球，连续摸取次，则下列结论中正确的是（   ） A．若每次取出的球放回，则恰好两次取出红球的概率为 B．若每次取出的球不放回，则第次取到红球的概率为 C．若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下，第次取到红球的概率为 D．若每次取出的球不放回，则取出红球的次数的数学期望为 2．（24-25高三上·广东广州·阶段练习·多选）从6名女生和8名男生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用表示所选5人中女生的人数，用表示所选5人中男生的人数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）某医院派出16名护士､4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援，设表示其中内科医生的人数，则的期望为 . 4．（23-24高二下·四川德阳·期末）口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望 . 5．（24-25高三上·广东·开学考试）盒中有3个红球、个黄球、个绿球，所有球除颜色不同外其他没有任何区别.从盒中任抽两球，抽到两球均为红球的概率为.从盒中任抽3个球，记其中红球的个数为，则 . 6．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数的数学期望为 . 7．（24-25高三上·广东汕头·期末）某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. (1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望； (3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求. 8．（24-25高三上·广东茂名·阶段练习）已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个黄球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球． (1)求有放回抽样时，取到黄球的次数X的期望与方差； (2)求不放回抽样时，取到黄球的个数Y的分布列． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$二项分布与超几何分布专项训练 二项分布与超几何分布专项训练 考点一 二项分布 1．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知离散型随机变量服从二项分布，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于服从二项分布，故，，故AC错误， ,,故C错误，D正确， 故选：D 2．（24-25高三上·上海·期中）重复次成功概率为的伯努利试验，其成功次数的分布为（   ） A．伯努利分布 B．二项分布 C．超几何分布 D．正态分布 【答案】B 【详解】重复次成功概率为的伯努利试验，其成功次数的分布为二项分布， 亦称成功次数服从二项分布. 故选：B 3．（24-25高三上·湖北·期中）英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】向左下落的概率为向右下落的概率的2倍. 所以向左下落的概率为，向右下落的概率为， 则下落的过程中向左一次，向右三次才能最终落到4号位置， 故此时概率为：. 故选：A 4．（2024·青海·一模）已知随机变量，若随机变量，则（    ） A．10 B．12 C．30 D．32 【答案】B 【详解】由题意可得，则． 故选：B. 5．（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）如果随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，即， 又因为随机变量，且， 则，解得. 故选：D. 6．（24-25高三上·湖南长沙·期末·多选）如图，某电子实验猫线路图上有，两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，，两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，.同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在处遇到红灯的次数为，在，两处遇到红灯的次数之和为，则（    ） A． B． C．一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为 D．当时， 【答案】ACD 【详解】由题意可知，所以，，故A正确，B错误； 一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为，故C正确； 当时，一次实验中没有遇到红灯的概率为，遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为， 故一次实验中遇到红灯次数的数学期望为，所以，故D正确. 故选：ACD. 7．（24-25高三上·山西·阶段练习·多选）某科技企业通过一家代工厂为其加工某种零部件，加工后的零部件先由智能检测系统进行检测，智能检测系统能检测出不合格零部件，但会把的合格零部件判定为不合格，所以智能检测系统检测出的不合格零部件需要进行人工第二次检测，人工检测可以准确检测出合格与不合格的零部件，通过统计需要人工进行第二次检测的零部件中，零部件的合格率为，则（    ） A．该零部件的合格率为 B．从该代工厂加工的零部件中任取100个，则取到的合格品个数的均值为96 C．从该代工厂加工的零部件中先后两次各取一个，若至少有1个为合格品，则第1次取到合格品的概率为 D．从需要进行人工第二次检测的零部件中任取10件，取到5件或6件合格品的概率最大 【答案】BCD 【详解】设零部件的合格率为，由题意可得，解得，故A错误； 从该代工厂加工的零部件中任取100个，记取到的合格品个数为， 则，故B正确； 从该代工厂加工的零部件中先后两次各取一个， 至少有1个为合格品的概率为， 所以所求概率为，故C正确； 从需要进行人工第二次检测的零部件中任取10件，记取到件合格品， 则 ， 所以当时，，当时，， 当时，，所以或最大，故D正确. 故选：BCD. 8．（24-25高三上·甘肃白银·期中·多选）一纸盒中共有6张形状和质地一样的卡片，其中4张是红色卡片，2张是黄色卡片.现从纸盒中有放回地随机取4次，每次取1张卡片，取到红色卡片记1分，取到黄色卡片记0分，记4次取卡片所得的总分数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意可知每次取到红色卡片的概率为，则，故A项错误； ，故B项正确； ，故C项正确； ，故D项错误. 故选：BC 9．（24-25高三上·重庆·期末）某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务.为了测试该模型的性能，对其进行了500次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如下的样本数据频率分布直方图. (1)估计这500次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）; (2)以频率估计概率，随机对该模型进行3次试验，用表示这3次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）， 故均值为29． （2）设1次试验中正确识别图像数量不少于20个的概率为， 则，则， ； ， 列的分布列如下： 0 1 2 3 0.027 0.189 0.441 0.343 10．（24-25高三上·山东淄博·期末）某地为弘扬我国传统文化，举办知识竞赛活动，每位参赛者从以下两种方式中选择一种参赛： ①活动共设有3个问题，能正确回答问题者才能进入下一个问题，否则即被淘汰，3个问题都回答正确即获得“智慧星”称号； ②活动需参赛者回答5个问题，至少正确回答4个即能获得“智慧星”称号；甲乙两人参加此次竞赛活动，甲选择第一种方式，他能正确回答第一、二、三个问题的概率分别为，乙选择第二种方式，他能正确回答每一个问题的概率均为．两种方式下各个问题能否正确回答均互不影响，两人彼此之间也互不影响． (1)求甲没有获得“智慧星”称号的概率； (2)求乙获得“智慧星”称号的概率． (3)记事件“乙正确回答问题的个数比甲正确回答问题的个数多3个”，求事件发生的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设甲获得“智慧星”称号的事件为， 根据独立事件的乘法公式，， 于是， 即甲没有获得“智慧星”称号的概率是； （2）设乙答对的问题数为，则， 由题意，乙获得智慧星的概率为 （3）由于乙最多题，甲最多题，当乙比甲多对题时，甲可能答对题 当甲对题，乙对题时，； 当甲对题，乙对题时，； 当甲对题，乙对题时，； 故 考点二 超几何分布 1．（24-25高三上·山东滨州·期末·多选）已知袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中个红球，个白球．每次从袋子中随机摸取一球，连续摸取次，则下列结论中正确的是（   ） A．若每次取出的球放回，则恰好两次取出红球的概率为 B．若每次取出的球不放回，则第次取到红球的概率为 C．若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下，第次取到红球的概率为 D．若每次取出的球不放回，则取出红球的次数的数学期望为 【答案】AD 【详解】对于A选项，若每次取出的球放回，则每次摸到红球的概率为，摸到白球的概率为， 所以，连续摸取次，恰好两次取出红球的概率为，A对； 对于B选项，若每次取出的球不放回，则第次取到红球的概率为，B错； 对于C选项，若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下， 则袋子中还有个红球，个白球，则第三次抽到红球的概率为，C错； 对于D选项，若每次取出的球不放回，则取出红球的次数服从超几何分布， 且袋中的红球个数为个，白球的个数为个，共个球，且共摸球次， 由超几何分布的期望公式可得，D对. 故选：AD. 2．（24-25高三上·广东广州·阶段练习·多选）从6名女生和8名男生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用表示所选5人中女生的人数，用表示所选5人中男生的人数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由题意，从6名女生和8名男生中任选5人， 则所选5人中女生的人数和男生的人数Y服从超几何分布， 即，所以选项A错误，选项B错误； 又由超几何分布的均值公式，可得: ,, 所以, ,所以选项C，D正确. 故选：CD 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）某医院派出16名护士､4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援，设表示其中内科医生的人数，则的期望为 . 【答案】/0.6 【详解】由题意得，的取值为， ，， ，， . 故答案为：. 4．（23-24高二下·四川德阳·期末）口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望 . 【答案】/ 【详解】从袋中1次随机摸出2个球，记白球的个数为X，则X的可能取值是0，1，2； 则， ， ， 随机变量X的概率分布为； X 0 1 2 P 所以数学期望. 故答案为：. 5．（24-25高三上·广东·开学考试）盒中有3个红球、个黄球、个绿球，所有球除颜色不同外其他没有任何区别.从盒中任抽两球，抽到两球均为红球的概率为.从盒中任抽3个球，记其中红球的个数为，则 . 【答案】/1.5 【详解】设盒中共有个球，则，解得， 依题意满足超几何分布，故. 故答案为：. 6．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数的数学期望为 . 【答案】 【详解】由题意可得 则， ， 可得的分布列为： 0 1 2 3 期望. 故答案为：. 7．（24-25高三上·广东汕头·期末）某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. (1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望； (3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件， 则. （2）样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人），其中可以在2小时内完成的有3人，的所有可能取值为0，1，2，3. ，，，， ∴的分布列为： ∴. （3）由题意得，， ∴. 8．（24-25高三上·广东茂名·阶段练习）已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个黄球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球． (1)求有放回抽样时，取到黄球的次数X的期望与方差； (2)求不放回抽样时，取到黄球的个数Y的分布列． 【答案】(1)； (2)分布列见解析 【详解】（1）有放回抽样时，取到黄球的次数X可能的取值为. 每次抽到黄球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则， 则期望，方差. （2）不放回抽样时，取到的黄球个数Y可能的取值为. ， 故Y的分布列为： Y 0 1 2 P 2 学科网（北京）股份有限公司 $$