预习10 复数的概念（七大考点）-2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习10 复数的概念 知识点 1 ：数系的扩充及复数的有关概念 1.复数的有关概念 （1）复数的定义:形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,且. （2）复数集:全体复数构成的集合叫做复数集. （3）复数的表示:,其中叫做复数的实部,叫做复数的虚部. 2.数系的扩充 3.复数相等 若,则复数与相等的充要条件是且. 4.复数的分类 （1）对于复数,当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当时,它叫做虚数;当且时,它叫做纯虚数. 这样,复数可以分类如下: 知识点 2 ：复数的几何意义 1.复平面 （1）定义:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. （2）实轴:在复平面内,轴叫做实轴,单位是1,实轴上的点都表示实数. （3）虚轴:在复平面内,轴叫做虚轴,单位是,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. （4）原点:原点表示实数0. 2.复数的几何意义 （1）复数一一对应复平面内的点. （2）复数一一对应平面向量. 3.复数的模 向量的模叫做复数的模或绝对值,记作或,即. 如果,那么是一个实数,它的模就等于 知识点 3 ：共轭复数 （1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共复数也叫做共轭虚数. （2）表示：复数的共轭复数表示为,即若,则. （3）性质:①两个共轭复数的对应点关于实轴对称；②实数的共轭复数是它本身,即. 利用这个性质,可以证明一个复数是实数. 考点01 复数的概念 【方法点拨】（1）若,只有当时,才是的实部,才是的虚部,且注意虚部不是,而是；（2）不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分. 【例1】已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】因为的实部与虚部相等， 所以，解得， 故选：C. 【例2】设集合{复数}，{实数}，{纯虚数}，若全集，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】复数，但，所以，选项A错误； 复数，但，所以，选项B错误； ，选项C错误， ，选项D正确； 故选：D. 【变式1-1】已知复数（为虚数单位），则的实部为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】因为复数的实部为， 所以复数的实部为2. 故选：A. 【变式1-2】下列说法正确的是（    ） A．表示虚数单位，所以它不是一个虚数 B．的平方根是 C．是纯虚数 D．若，则复数没有虚部 【答案】B 【详解】A： 表示虚数单位，也是一个虚数，故A错误； B： 由，可知的平方根是，故B正确； C： 当是实数，故C错误； D： 若，则复数虚部为0，故D错误； 故选：B 【变式1-3】给出下列说法： ①复数由实数、虚数、纯虚数构成； ②满足x2=-1的数x只有i； ③形如bi(b∈R)的数不一定是纯虚数； ④复数m+ni的实部一定是m. 其中正确说法的个数为 . 【答案】1 【详解】③中b=0时bi=0，不是纯虚数.故③正确.①中复数分为实数与虚数两大类；②中平方为-1的数为±i；④中m，n不一定为实数，故①②④错误. 故答案为：1 考点02 复数的分类 【方法点拨】判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义.其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解. 【例3】在下列复数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？各数的实部和虚部分别是什么？ 、、、i、0、． 【答案】见解析 【详解】、0是实数，的实部为，虚部为0；0的实部与虚部均为0． 、、、是虚数；i为纯虚数. 的实部为，虚部为6；的实部与虚部均为；的实部为，虚部为；的实部为0，虚部为1． 【例4】“”是“复数是纯虚数”的 条件.（填“必要不充分”“充分不必要”“充要”“既不充分又不必要”） 【答案】必要不充分 【详解】因为复数是纯虚数且，所以“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 【变式2-1】已知复数，，其中R，问m为何值时． 【答案】. 【详解】∵复数，，又因为， 则, 解得， 故当时，有． 【变式2-2】已知复数. (1)若复数是虚数，求实数的值； (2)若复数是纯虚数，求实数的值. 【答案】(1)； (2)1. 【详解】（1）因为是虚数， 所以，解得， （2）因为是纯虚数， 所以，解得. 【变式2-3】在复平面内，复数 (其中)． （1）若复数为实数，求的值； （2）若复数为纯虚数，求的值. 【答案】（1）或4；（2）. 【详解】（1）因为复数为实数，所以， 所以或4． （2）因为复数为纯虚数，所以，所以. 考点03 复数相等及简单应用 【方法点拨】解决复数相等问题的步骤:分别分离出两个复数的实部和虚部,利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解. 【例5】已知，则 ． 【答案】1 【详解】由，得，解得． 故答案为：1． 【例6】已知复数等于，其中、．求x、y的值． 【答案】， 【详解】解：由题意，， 可得， 由，解得， 则， 解得，． 故、的值分别为4，3． 【变式3-1】已知复数，其中、．求x、y的值． 【答案】， 【详解】解：由， 得，解得． ，． 【变式3-2】已知为复数，的实部为复数的实部与虚部的和，的虚部为复数的实部和虚部的积，当时，求复数. 【答案】或 【详解】设， 因为且的实部为复数的实部与虚部的和，的虚部为复数的实部和虚部的积，可得，解得或，所以或. 【变式3-3】已知关系，的方程组有实数解，求实数，的值. 【答案】1，2 【解析】由复数相等的充要条件可得，再求解即可得解. 【详解】解：设是方程组的实数解. 由已知及复数相等，得， 由①②得，代入③④得， ∴实数，的值分别为1，2. 【点睛】本题考查了复数相等的充要条件，重点考查了运算能力，属基础题. 考点04 复数与复平面内的点 【方法点拨】利用复数与点的对应解题的步骤 （1）找对应关系:复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示,是解决此类问题的根据. （2）列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解. 【例7】求复数与在复平面上所对应的点之间的距离． 【答案】 【详解】因为复数与在复平面上所对应的点的坐标分别为、， 所以复数与在复平面上所对应的点之间的距离为： . 【例8】已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】∵复数在复平面内对应的点在第四象限， ∴，解得， 即实数a的取值范围是． 故答案为：． 【变式4-1】已知复数，. (1)表示的复数对应的点在实轴上的有几个？ (2)表示的复数对应的点在虚轴上的有几个？ 【答案】(1)10个 (2)10个 【详解】（1）若点在实轴上，则，此时， 均满足题意，故共有10个这样的复数. （2）若点在虚轴上，则，此时， 均满足题意，故共有10个这样的复数. 【变式4-2】复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为，所以在复平面内对应的点，位于第三象限. 故选：C 【变式4-3】复数对应的点在虚轴上，则（   ） A．或 B．且 C． D．或 【答案】D 【详解】由题意可知，复数对应的点的坐标为， 因为复数对应的点在虚轴上， 则，解得或， 故选：D. 考点05 复数与复平面内的向量 【方法点拨】（1）根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点为原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量. （2）解决复数与平面向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点一一对应的关系为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 【例9】在复平面内，O为坐标原点，复数4i对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转后，再将模变为原来的倍，得到向量，则对应的复数的实部是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为复数4i对应的向量为， 所以 ， 绕点O逆时针方向旋转后变为， 再将模变为原来的倍，得，对应的复数的实部是， 故选：B 【例10】已知复平面上有点和点D，使得向量所对应的复数是．求点D的坐标． 【答案】 【详解】设，因为向量所对应的复数是． 所以，而. 【变式5-1】已知复平面上有点A和点B，向量与向量所对应的复数分别为与．求点B的坐标． 【答案】 【详解】设，由题意知， 可得，即. 【变式5-2】设在复平面上的点A与点B所对应的复数分别为与，对于下列各组复数，分别求向量和向量所对应的复数： (1)，； (2)，． 【答案】(1)向量对应的复数为，向量所对应的复数为. (2)向量对应的复数为向量所对应的复数为. 【详解】（1）因为 所以, 所以, 对应复数为 ; , 对应复数为 . （2）因为 所以， 所以, 对应复数为 ， , 对应复数为 . 【变式5-3】在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，点A的坐标为，则点B的坐标为， 故向量对应的复数为. 故选：C. 考点06 复数的模及简单应用 【方法点拨】（1）两个复数不全为实数时不能比较大小,而任意两个复数的模均可比较大小. （2）复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离,这可以类比实数的绝对值,也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解. 【例11】（   ） A．2 B．4 C． D．6 【答案】C 【详解】由题意：. 故选：C 【例12】若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，得到， 所以或，解得或， 故选：A. 【变式6-1】若复数为纯虚数，则（    ） A．0或2 B．1或2 C．1 D．2 【答案】D 【详解】若为纯虚数， 则，解得， ∴，则. 故选：D. 【变式6-2】已知，则（    ） A．-13 B．0 C． D．13 【答案】D 【详解】，故. 故选：D 【变式6-3】已知（），且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于，故，而，故. 所以. 故选：B. 考点07 与复数模有关的图形问题 【例13】已知复数满足（i是虚数单位），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】表示对应的点是圆心为，半径为的圆上的点，   的几何意义表示该圆上的点和点之间的距离， 而圆心到点的距离为， 所以的最大距离为，最小距离为， 所以的取值范围为. 故选：D. 【例14】复数满足，则 . 【答案】10 【详解】表示复平面内的点，到的距离是1的点的轨迹，是圆， 而的几何意义是复平面内的点到原点的距离， 所以最大值为与的距离加上半径，； 最小值为与的距离减去半径，； 故答案为：10 【变式7-1】（多选）若复数满足：，则的取值可以是：（     ）. A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】设复数在复平面内对应的点为， 因为复数满足：，即点到点的距离为2， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 则，即，可知的取值范围为， 且，可知的取值范围为， 结合选项可知：ABC正确，D错误. 故选：ABC. 【变式7-2】已知复数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在复平面内， 表示到点距离为1的所有复数对应的点， 即表示以为圆心，为半径的圆， 表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为， 最长距离为， 则的取值范围是. 故选：D. 【变式7-3】设复数，，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，表示如图所示的圆环， 而表示复数的对应点与复数的对应点之间的距离， 即圆环内的点到点的距离． 由图易知当与重合时，，当点与点重合时，，． 故答案为：.    1．（2023-24高三上·湖北·期末）若复数是纯虚数，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，，， 得，根据选项可知，只有满足条件. 故选：C 2．（2023-24高一下·全国·单元测试）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 【答案】B 【详解】由得，即， 根据复数相等的充要条件可得，解得. 故选：B. 3．（2023-24高二下·北京丰台·期末）已知复数（，），则“”是“复数对应的点在虚轴上”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】时，对应点在虚轴上，充分性成立， 当复数对应的点在虚轴上，一定有，必要性成立， “”是“复数对应的点在虚轴上”的充分必要条件． 故选：C． 4．（2023-24高二上·广西南宁·阶段练习）设，则在复平面内对应点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】因，则，其在复平面内对应的点为，在第一象限. 故选：A 5．（2023-24高三上·广东·开学考试）若，则（    ） A． B．13 C．5 D．25 【答案】C 【详解】由，得且，解得， 则. 故选:C. 6．（2023-24高一下·江苏南京·期末）已知i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为复数z满足， 所以复数对应的点的轨迹为单位圆，圆心为原点，半径， 圆心到复数对应的点的距离为， 所以的最大值为. 故选：B 7．（2023-24高一下·河南商丘·期中）（多选）已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点可能在第三象限 【答案】AB 【详解】对于A，若为纯虚数，则，解得，A正确； 对于B，若为实数，则，所以，此时，B正确； 对于C，在复平面内对应的点为， 所以，即，解得或，C错误； 对于D，若在复平面内对应的点在第三象限，则无解， 所以在复平面内对应的点不可能在第三象限，D错误. 故选：AB. 8．（2023-24高一下·广东东莞·阶段练习）（多选）设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 C．若，则的模为 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】BD 【详解】对A,由，可得，且，故A错误； 对B,若点的坐标为，则故对应的点的坐标为，在第三象限，故B正确； 对C,若，则的模为，故C错误； 对D,设,若，则， 则点的集合所构成的图形的面积为，故D正确． 故选：BD． 9．（2024·上海宝山·一模）设为虚数单位，若为纯虚数，则实数 . 【答案】 【详解】因为为纯虚数，所以，即， 所以. 故答案为： 10．（2023-24高二上·广东广州·阶段练习），，并且，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意可得，， 所以， 因为， 所以当时，最大值为3；当时，最小值为， 所以的取值范围为， 故答案为：. 11．（2023-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知复数是纯虚数，则复数的虚部是 . 【答案】2 【详解】若是纯虚数，则且，解得． 故答案为： 2． 12．（2023-24高一·上海·课堂例题）已知，其中、．求x、y的值． 【答案】或 【详解】解：由， 得， 解得：或． 13．（2023-24高二·宁夏银川·期中）设，复数. (1)求m为何值时，z为纯虚数； (2)若复数z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）由解得或； 当时，是纯虚数， 当时，为实数， 所以. （2）因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以，解得. 14．（2023-24高一下·福建三明·期中）已知复数，i为虚数单位． (1)若z是纯虚数，求a； (2)若，求； (3)在（1）的条件下，复数w满足，写出复数w在复平面上对应点的轨迹. 【答案】(1)． (2)答案见解析 (3)以为圆心，以1为半径的圆 【详解】（1）若z是纯虚数，则，所以 （2），所以，所以或, 当时，，，                     当时，， （3）由（1）知，                 ∴复数w在复平面上对应点的轨迹为：以为圆心，以1为半径的圆 15．（2023-24高一下·江苏苏州·期末）复数，且在复平面上对应的点在第一象限． (1)若，求复数的模； (2)若复数的模为，复数的实部为，求锐角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）； （2）由题意，， 且由在复平面上对应的点在第一象限可知，， 不妨设是锐角，解得， 因为也是锐角，所以， 所以， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习10 复数的概念 知识点 1 ：数系的扩充及复数的有关概念 1.复数的有关概念 （1）复数的定义:形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,且. （2）复数集:全体复数构成的集合叫做复数集. （3）复数的表示:,其中叫做复数的实部,叫做复数的虚部. 2.数系的扩充 3.复数相等 若,则复数与相等的充要条件是且. 4.复数的分类 （1）对于复数,当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当时,它叫做虚数;当且时,它叫做纯虚数. 这样,复数可以分类如下: 知识点 2 ：复数的几何意义 1.复平面 （1）定义:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. （2）实轴:在复平面内,轴叫做实轴,单位是1,实轴上的点都表示实数. （3）虚轴:在复平面内,轴叫做虚轴,单位是,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. （4）原点:原点表示实数0. 2.复数的几何意义 （1）复数一一对应复平面内的点. （2）复数一一对应平面向量. 3.复数的模 向量的模叫做复数的模或绝对值,记作或,即. 如果,那么是一个实数,它的模就等于 知识点 3 ：共轭复数 （1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共复数也叫做共轭虚数. （2）表示：复数的共轭复数表示为,即若,则. （3）性质:①两个共轭复数的对应点关于实轴对称；②实数的共轭复数是它本身,即. 利用这个性质,可以证明一个复数是实数. 考点01 复数的概念 【方法点拨】（1）若,只有当时,才是的实部,才是的虚部,且注意虚部不是,而是；（2）不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分. 【例1】已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 【例2】设集合{复数}，{实数}，{纯虚数}，若全集，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知复数（为虚数单位），则的实部为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】下列说法正确的是（    ） A．表示虚数单位，所以它不是一个虚数 B．的平方根是 C．是纯虚数 D．若，则复数没有虚部 【变式1-3】给出下列说法： ①复数由实数、虚数、纯虚数构成； ②满足x2=-1的数x只有i； ③形如bi(b∈R)的数不一定是纯虚数； ④复数m+ni的实部一定是m. 其中正确说法的个数为 . 考点02 复数的分类 【方法点拨】判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义.其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解. 【例3】在下列复数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？各数的实部和虚部分别是什么？ 、、、i、0、． 【例4】“”是“复数是纯虚数”的 条件.（填“必要不充分”“充分不必要”“充要”“既不充分又不必要”） 【变式2-1】已知复数，，其中R，问m为何值时． 【变式2-2】已知复数. (1)若复数是虚数，求实数的值； (2)若复数是纯虚数，求实数的值. 【变式2-3】在复平面内，复数 (其中)． （1）若复数为实数，求的值； （2）若复数为纯虚数，求的值. 考点03 复数相等及简单应用 【方法点拨】解决复数相等问题的步骤:分别分离出两个复数的实部和虚部,利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解. 【例5】已知，则 ． 【例6】已知复数等于，其中、．求x、y的值． 【变式3-1】已知复数，其中、．求x、y的值． 【变式3-2】已知为复数，的实部为复数的实部与虚部的和，的虚部为复数的实部和虚部的积，当时，求复数. 【变式3-3】已知关系，的方程组有实数解，求实数，的值. 考点04 复数与复平面内的点 【方法点拨】利用复数与点的对应解题的步骤 （1）找对应关系:复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示,是解决此类问题的根据. （2）列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解. 【例7】求复数与在复平面上所对应的点之间的距离． 【例8】已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是 ． 【变式4-1】已知复数，. (1)表示的复数对应的点在实轴上的有几个？ (2)表示的复数对应的点在虚轴上的有几个？ 【变式4-2】复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-3】复数对应的点在虚轴上，则（   ） A．或 B．且 C． D．或 考点05 复数与复平面内的向量 【方法点拨】（1）根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点为原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量. （2）解决复数与平面向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点一一对应的关系为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 【例9】在复平面内，O为坐标原点，复数4i对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转后，再将模变为原来的倍，得到向量，则对应的复数的实部是（   ） A．6 B． C． D． 【例10】已知复平面上有点和点D，使得向量所对应的复数是．求点D的坐标． 【变式5-1】已知复平面上有点A和点B，向量与向量所对应的复数分别为与．求点B的坐标． 【变式5-2】设在复平面上的点A与点B所对应的复数分别为与，对于下列各组复数，分别求向量和向量所对应的复数： (1)，； (2)，． 【变式5-3】在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 考点06 复数的模及简单应用 【方法点拨】（1）两个复数不全为实数时不能比较大小,而任意两个复数的模均可比较大小. （2）复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离,这可以类比实数的绝对值,也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解. 【例11】（   ） A．2 B．4 C． D．6 【例12】若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】若复数为纯虚数，则（    ） A．0或2 B．1或2 C．1 D．2 【变式6-2】已知，则（    ） A．-13 B．0 C． D．13 【变式6-3】已知（），且，则（    ） A． B． C． D． 考点07 与复数模有关的图形问题 【例13】已知复数满足（i是虚数单位），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例14】复数满足，则 . 【变式7-1】（多选）若复数满足：，则的取值可以是：（     ）. A． B． C． D． 【变式7-2】已知复数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】设复数，，则的取值范围是 ． 1．（2023-24高三上·湖北·期末）若复数是纯虚数，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 2．（2023-24高一下·全国·单元测试）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 3．（2023-24高二下·北京丰台·期末）已知复数（，），则“”是“复数对应的点在虚轴上”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2023-24高二上·广西南宁·阶段练习）设，则在复平面内对应点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2023-24高三上·广东·开学考试）若，则（    ） A． B．13 C．5 D．25 6．（2023-24高一下·江苏南京·期末）已知i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2023-24高一下·河南商丘·期中）（多选）已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点可能在第三象限 8．（2023-24高一下·广东东莞·阶段练习）（多选）设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 C．若，则的模为 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 9．（2024·上海宝山·一模）设为虚数单位，若为纯虚数，则实数 . 10．（2023-24高二上·广东广州·阶段练习），，并且，则的取值范围为 . 11．（2023-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知复数是纯虚数，则复数的虚部是 . 12．（2023-24高一·上海·课堂例题）已知，其中、．求x、y的值． 13．（2023-24高二·宁夏银川·期中）设，复数. (1)求m为何值时，z为纯虚数； (2)若复数z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 14．（2023-24高一下·福建三明·期中）已知复数，i为虚数单位． (1)若z是纯虚数，求a； (2)若，求； (3)在（1）的条件下，复数w满足，写出复数w在复平面上对应点的轨迹. 15．（2023-24高一下·江苏苏州·期末）复数，且在复平面上对应的点在第一象限． (1)若，求复数的模； (2)若复数的模为，复数的实部为，求锐角的余弦值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$