山东省潍坊市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

高二数学 2025.1 注意事项 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知直线l:x+2y-1=0,l2:ax+4y+5=0,若l1∥L2,则a= A.-2 B.2 c号 D-号 2.某中学举行排球赛，共有5个队参加，每两个队比赛一场，共需比赛 A.6场 B.8场 C.10场 D.20场 3. 已知双曲线C: y a2 b2 =1(a>0,b>0)的渐近线方程为4x±3y=0,则C的离心率为 A.⑦ 2 B.号 c D.② 3 4.如图，空间四边形OABC中，OA=a,O元=b,O元=c,D是BC的 中点，币=号P币，则O币= A号a++ c B.3a+b+合 C. 1 2 1 1 D.a+3b+3c 5.已知点P(1,1,2),A(1,0,1),B(-1,3,0),C(0,0,2),则点P到平面 ABC的距离为 A婴 &9 C.23 3 D.√② 6.已知圆C:(x-1)2+y2=4与圆C2:(x-a)2+y2=5相交于A,B两点，且两圆在点A处的切 线互相垂直，则线段AB的长为 A. B.3 C.2⑤ 3 D.4 3 数学试题第1页（共4页） 7.图1通过旋转可得到图2，则图3通过相同的旋转可得到 图1 图2 图3 8.在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC,PB=AB=2,AC=2,BC=4,则该三棱锥的外 接球半径为 A.√5 B.3 C.25 D.4v2 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9.已知α，b是两条不同的直线，a,β是两个不同的平面，则下列结论正确的是 A.若a∥b,a⊥a,则b⊥a B.若a∥a,a∥3，则a∥3 C.若a⊥a,a∥B,b∥B,则a⊥b D.若a⊥B,aCa,bcB,a⊥b,则b⊥a 10.在(2W丘-左 的展开式中，下列结论正确的是 A.二项式系数最大的项是第3项 B.所有的二项式系数和为2 C.系数最小的项是-192x D.所有奇数项的系数和为365 11.双纽线0最早于1694年被瑞士数学家雅各布，伯努利用来描述他发现的曲线.在平面直角 坐标系xOy中，把到定点F(-a,0),F(a,0)的距离之积等于a(a>0)的点的轨迹称为双纽 线.已知点P(x,o)是a=1时的双纽线C上一点，则 A.C关于原点成中心对称 B.C上满足PF=|PF的点P有2个 C.△PFR面积的最大值为号 D.当直线y=kx与C有3个交点时，k的取值范围是(-1,1) 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。 12.已知抛物线Cy2=4x的焦点为F,C上一点M的横坐标为4，则MF= 13.4名同学到3个社区参加志愿者服务活动，每名同学只去1个社区，每个社区至少安排1名同 学，则不同的安排方法共有 种 数学试题第2页（共4页） 14.已知直四棱柱ABCD-AB,CD的底面为菱形，AB=2,AA=2W2,∠ABC=,E为CC 的中点，P为空间中一动点，满足BP⊥AE.若点P在底面ABCD(含边界)上，则点P的 轨迹长度为；若点P在该直四棱柱的表面上，则点P的轨迹长度为 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知直线2x+y-2=0与圆C:x2+y2+4x-2y+a=0(a∈R)交于A,B两点，且AB=4. (1)求a的值； (2)求过点P(1,2)的C的切线方程 D 16.(15分) 如图，在直三棱柱ABC-ABC1中，AA=BC=2AC=2,D是棱AA的中点，DC1⊥BD. (1)证明：平面BCD⊥平面ACCA1; (2)求二面角C-BD-B1的正弦值. 17.(15分) 已知椭圈C号+若=1e>b>0)的离心率为号，短轴长为2. (1)求C的方程； (2)若斜率为k的直线L交C于A,B两点，线段AB的中点为T(1,t)(>0),求k的取值 范围。 数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=2AB=4,BC=6,M,N分别是AD,BC的中点， 将四边形MABN沿MN翻折至四边形MEFN,点Q为CF上一点，且FQ=2QC. M (1)证明：DQ∥平面MEFN; D (2)设二面角F-MN-C的平面角为(0<0<π) )若=行，求直线FM与CD所成角的余弦值； B ()在翻折过程中，是否存在0，使得直线NE与平面 Q MDQ所成角的正弦值为3要？若存在，求出0；若不存 在，请说明理由， 19.(17分) 圆锥曲线的第二定义：平面内到定点的距离与到定直线（定点不在定直线上）的距离之比为 常数的点的轨迹为圆锥曲线.已知平面内的动点M到定点F(√5,0)的距离与它到直线：x= 的距离之比为9 5 (1)求点M的轨迹方程： (2)已知A,B是点M的轨迹上不同的两点，点N为点A关于y轴的对称点，直线AB,NB 分别交y轴于点P,Q. (i)证明：OP·OQ=1; ()若点P的坐标为(O,2),E为平面上一动点(E不在直线AB上)，记直线AE,PE,BE的 斜率分别为长，：，且满足专+局=忌判断动点E是否在定直线上，若在定直线上，求出 该直线的方程：若不在，请说明理由 数学试题第4页（共4页） 高二数学参考答案及评分标准 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1-4 BCBA 5-8 CDDA 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.AC 10.BCD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.513.3614.232(√3+√6)（第1空2分，第2空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解：(1)将圆C:x2+y2+4x-2y+a=0化为(x+2)2+(y-1)2=5-a. 圆心C(-2,1),半径r=5-a,且a<5,…2分 设AB的中点D,则IAD12+IDCI2=r2, 所以圆心C到直线2x+y-2=0的距离d=DC1=12x(-2)+1-2_5 ==√5 …4分 √22+1 因为AB=4,所以1AD1=2,所以2+(5)=5-a,解得a=-4,满足题意， 所以=-4.…………6分 (2)由(1)得(x+2)2+(y-1)2=9,点P在圆C外 当过点P的直线斜率不存在时，直线方程为x=1,与圆C相切. 8分 当过点P的直线斜率存在时，直线方程可设为y-2=k(x-1), 即kx-y-k+2=0, 9分 所以-2-1-k+2=3. √+1 解得k:4 …11分 所以切线方程为y-2=3(x-1),即4r+3y-10=0. 12分 综上，过点P(1,2)的圆C的切线方程为x=1和4x+3y-10=0. 13分 16.解：(1)因为D是棱A41的中点，A4,=2AC=2 所以AD=AC=1,所以CD=√2，同理C,D=√2. …2分 因为CC,=A41,所以C,D+CD=4=CC,2,所以DC,⊥CD. 因为DC1⊥BD,且CD∩BD=D,所以DC,⊥平面BCD. … …4分 因为DC,C平面ACC,A,所以平面BCD⊥平面ACC,A …6分 (2)由(1)知DC,⊥平面BCD,所以DC,⊥BC. 因为CC1⊥BC,DC,∩CC,=C1,所以BC⊥平面ACC,A1, 所以BC⊥AC.… 9分 高二数学答案第1页（共4页）》 以C为原点，C,CB,CC的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示空间直角 坐标系，则C(0,0,0),B(0,2,0),B(0,2,2),D(1,0,1), 所以BD=(1,-2,1).CB=(0,2,0),BB=(0,0,2), 10分 BD·n1=x1-2y1+a1=0, 设平面BCD的一个法向量n1=(x1少1,1)，则 CB.n1=2y1=0, 令x1=1,所以n1=(1,0,-1). 11分 BD·n2=x2-2y2+a2=0, 设平面B,BD的一个法向量n2=(x2,y2,2),则 BB,·n2=2a2=0, 令y1=1,所以n2=(2,1,0). 12分 n1·n22 所以c0s<n1,n2>= ,则sin<n1,n2>= V/15 …14分 n210 所以二面角C-BD-B,的正弦值为 15分 5 17.解：(1)由题意知，2b=2,所以b=1.… 1分 因为离心率为所以-三 a2,a=e. 2分 因为a2=b2+c2,所以2c2=1+c2,所以c=1,a=√2 4分 所以椭圆的标准方程为)=1.……5 5分 (2)设A(x1,y1),B(x22), 因为线段AB的中点为T(1,1),所以x,+x2=2,y+y2=21. 7分 将A,B代人2y=1得 x+2y=2, x+2y=2, 两式相减可得(x,+x2)(x,-x2)+2(y,+y2)(y,-y2)=0, 即2(x1-x2)+41(y1-y2)=0. 所以k=少=-1 10分 x1-x221 因为点T(1,)在C内部，所以。+<1(>0)， 2 解得0<1< 2 13分 1,√2 所以k= 21<-2 即k的取值范围为(-∞，- 15分 2 18.解：(1)取FN的靠近点N的三等分点H,连接HQ,HM, 2 因为FQ=2QC,即Q是靠近C的三等分点，所以H0/NC,HQ=NC=2, 因为MD∥NC,MD=2, 高二数学答案第2页（共4页） 所以MD LHO,即四边形MDQH是平行四边形， …3分 所以DOMH. 因为MHC平面MEFN,DQ￠平面MEFN, 4分 所以DQ/平面MEFN.…5分 (2)(i)在NC上取点P,使PC=2, 因为MD LPC. 所以四边形MDCP为平行四边形， 所以DCMP,…7分 所以直线FM与CD所成的角为∠FMP或 ∠FMP的补角，因为MP=2,FP=√I3, 3 MF=2V3,cos∠FMP= 8 所以直线FW与CD所成角的余弦值为 】 …11分 ()以N为原点，N元，N的方向分别为y轴，：轴的正方向建立如图所示的空间直角坐 标系，则N(0,0,0),M(0,0,5),D(0,2,√5)，F(3sin0,3cos0,0),E(2sin0,2cos0,√5)， Q(sin0,cos0+2,0),NE=(2sin0,2cos0,√5)，M0=(sin0,cos0+2,-3),MD=(0,2.,0), 设平面WD0的一个法向量为n=(x,y),则n·☑=sin8+(eos0+2)y-5:=0. n·MD=2y=0, 令x=√3，则n=(5,0,sin0).… 14分 因为直线NE与平面MDO所成角的正弦值为3个 所以1os<N2,>1=3y l2/3sin0+√3sin0l 14 /4sin20+4cos20+3·√3+sin20 解得sin20=1, 16分 因为0<0<π，所以存在0= ,使得直线NE与平面MDQ所成角的正弦值为 /21 440440 14 ………17分 19.解：(1)设M(x,y),则 /(x-5)2+25 45 5 整理得少， 所以点M的轨迹方程为y2=1 5分 (2)(i)设A(x1,y),B(x2,y2),P(0,m),Q(0,n),则N(-x1,). 由P,A,B三点共线得，-m当 X1 X2-x1 高二数学答案第3页（共4页） 所以m=y1 x1（y3-y1）x2y1-x1y-x1y2+x1y1x2y1-xy2 8分 X2-x1 2-X1 x2-X1 x2y1+xy2 同理由B,Q,N三点共线得n= 9分 x2+x1 2.22.2 所以mn= xXy1-x1y2 22 x2-xj 因为4 1,= -1 4 =-1 x行- x2-xi 所以IOP1·1OQ1=lmnl=1. 11分 (i)设E(xo,y),直线AB:y=kx+2, 所以k,= ，_0-2，y2y0 0,k=0k 44444444:444404404404”44.4044444.4444444年44.444400”。40 12分 x1-x0 xo x2-x0 1,12 因为，+ k ka k2' 所以-.2 13分 1-0y3-%y0-2 所以0.5。 =0 y1-y00-22-y00-2 整理得-，)(。-2)-)，(-)(。-2)-，(y)】 =0. （y-yo)(y。-2) （y2-yo)(y。-2) 因为y1=kx1+2,2=kx+2, 所t以)o-2)-2-o,-o)o-2)-,2-）-0. (y1-yo)(y。-2) (y2-ya)(yo-2) 整理得0-。-2)(0。。-2 0 (y1-ya)(y。-2)(y2-ya)(y。-2) 因为E不在直线y=x+2上，所以y。x。-2≠0，因为y。≠2， 所以+=0，即x,(y0)=-(o). y1-y0y2-y0 所以x1y2-x1y0=-x2y+x2y0, 即y。= 1y2+x2y1 -=n. x1+x2 由()可知n=-1,因为m=2,所以0=) 所以动点E在定直线)y=2 上 17分 高二数学答案第4页（共4页）