1.1.1 锐角三角函数 正切与坡度 课件 2024--2025学年北师大版九年级数学下册

1.1 锐角三角函数 第一章 直角三角形的边角关系 1.1.1 正切与坡度 1. 理解锐角的三角函数中正切的概念； 2. 能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算； 3. 了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题. 学习目标 梯子是我们生活中常用的生活工具，有时需要陡一些，有时候需要缓一点。 情境引入 你会比较两个梯子哪个更陡吗？有哪些办法？ 探索新知 水平宽度 梯子与地面的夹角∠ＡＢＣ称为倾斜角 从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度 从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度 A C B 探索新知 活动1：如图，梯子AB和EF哪个更陡？你怎么判断的？ 探索新知 活动2：如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡 甲组 乙组 探索新知 当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡. 1 倾斜角越大，梯子越陡. 2 总结:铅直高度与水平宽度的比和倾斜角的大小都可用来判断梯子的倾斜程度. 归纳结论 活动3：如图，小明想通过测量 ，算出他们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量 ，算出他们的比，也能说明梯子的倾斜程度，你同意小亮的看法吗？ 由此你能得到什么结论？ 3、如果改变 的位置呢？ 探索新知 B 总结概念 当锐角A变化时,tanA的值也随之变化. 定义中的几点说明： 1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一个锐角. 2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1. 3.tanA﹥0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序： ）. 4.tanA不表示“tan”乘以“A ”. 5.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 6.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等,则这两个锐角相等. 梯子的倾斜程度与tanB有什么关系？ 思考： 例1 如图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？ 解：在甲梯中， 例2.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=12cm,AB=20cm ,求tanA和tanB. 设BC=3k，AC=4k. 例3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,tanA= ,求AC和BC. 三个量中，我们可以知2求1. 小结：在直角三角形中， 正切通常也用来描述山坡的坡度. 坡度越大，坡角越大，坡面就越陡. 例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度(即tanα)就是: 坡角：坡面与水平面的夹角α称为坡角； 坡度（坡比）：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比),即坡度等于坡角的正切. 探索新知 梯子与地面的夹角∠ＡＢＣ称为倾斜角 从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度 C B 从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度 水平宽度 问1：你会比较两个梯子哪个更陡吗？有哪些办法？ 倾斜角越大——梯子越陡 问题2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡 当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡 当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡. 总结：1.当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡； 2.倾斜角越大，梯子越陡. 问题3：如图，梯子AB和EF哪个更陡？你怎么判断的？ 合作探究 若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离B1 C1 ,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？ C1 C2 B2 B1 在Rt△ABC中，如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边的比便随之确定, 这个比叫做∠A的正切,记作tanA ,即 归纳总结 定义中的几点说明： 1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一个锐角. 2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1 (单个字母或用希腊字母表示的角，可直接省略∠，如tanB,tanα，tanβ) 3.tanA是一个比，没有单位，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序： ）. 4.tanA不表示“tan”乘以“A ”. 5.tanA的大小只与∠A的大小有关，与所在直角三角形的大小无关. 议一议 2.锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？ 解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大. 对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.当锐角A变化时,tanA的值也随之变化. A C B 1.梯子的倾斜程度与tanA有什么关系？ tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大 即对于锐角α,β，若tanα＞tanβ，则∠α＞∠β 预习检测 坡度越大，坡角越大，坡面就越陡. 坡角：坡面与水平面的夹角α称为坡角； 坡度（坡比）：坡面的铅直高度与水平宽度的比称 为坡度(或坡比),即坡度等于坡角的正切. 例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度(即tanα)就是: 例2 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是(　　) 典例精析 B 1.如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是 米. 解析：∵∠ACB＝90°，坡度为1∶3， ∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)． 练一练 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=5，则 tan A=______， tan B =______． 互余两锐角的正切值互为倒数. 2.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出∠A和∠B的对边、邻边. (1) tanA = = AC ( ) CD ( ) (2) tanB= = BC ( ) CD ( ) 课堂检测 4.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 A B C ┌ C 3.已知∠A,∠B为锐角， (1)若∠A=∠B,则tanA tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A ∠B. = = 课堂检测 课堂小结 $$