2025年四川眉山洪雅初中数学基本功比赛试题（教师学科素养基本功比赛试题)

教师学科素养基本功比赛 第 1 页 共 8 页 注意事项 初中数学学赛 2025.01 ： 1.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2.请将自己的姓名及准考证号准确填写在《答题卡》上规定的相应位置。 3.答选择题时请使用 2B 铅笔将《答题卡》上对应题目的答案标号涂黑，特别要注意所 涂答案与题号一致。 4.答非选择题时必须用 0.5 毫米黑色字迹签字笔书写，将答案书写在《答题卡》规定的 位置，在答题规定位置以外的地方答题无效。 5.手机不得代入考室. 一.单项选择题（本大题 12个小题，每小题 4分，共 48分） 2. 的相反数是 1.养心之地，山水洪雅，中国养都，大雅之地，生态环境，得天独 厚，森林葱郁，山川秀美，物产丰富，美食诱人.——四川省洪雅 县，中国生态文明县，是一个适合旅游休闲度假居住的好地方。 下列四个字符“山水洪雅”中，呈轴对称的是（ ） （ ） A. 0 B. 3 C. -3 D. 3 1 3.下列计算正确的是（ ） A. a6a2a3  B. 55a-a10  C.   923 a9a3  D. 2ab4098600b2025ab2024  3 教师学科素养基本功比赛 第 2 页 共 8 页 4.我国唐代伟大的诗人李白，千古留名的“诗仙”，李白的经典诗 句“飞流直下三千尺”中，任选两个字，笔画数都为 3画的概率 为（ ） A. 49 16 B. 7 4 C. 7 3 D. 7 2 5.如图，某县 A，B，C，D，E五个奶牛养殖基地，都在同一乡村公 路旁，县政府计划在这条乡村公路旁建一牛奶厂，收购鲜牛奶， 生产加工饮料及奶粉等，每个奶牛养殖基地每天都有一辆同型号 小货车送一次鲜奶到这个牛奶厂，为了减少这五个奶牛养殖基地 每天送奶车油耗的总费用，牛奶厂选址应在（ ） A.选址在 D 附近 B.选址在 D右侧 1km附近（即 AE中点） C.选址在 C 附近 D.选址在 CD 中点附近 6.已知关于 x的方程（m-1）x2+2mx+m+2=0 有实根，则 m的取值范 围为（ ） A. m≤2 B. m≤2且m≠1 C. m≥2 D.1≤m≤2且m≠1 7.烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质 前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代 表氢原子，第 1 种如图①有 4 个氢原子，第 2种如图②有 6个 氢原子，第 3种如图③有 8个氢原子，......按照这一规律，第 12 2km 4km 11km 20km A B C E 乡村公路 D 3km 教师学科素养基本功比赛 第 3 页 共 8 页 种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 22 B. 24 C. 26 D.28 8.已知△ABC，AB=7，BC=6，AC=8，D 为 AC 中点，E为 BC 边上一点， 要使得以 C，D，E 为顶点得的三角形与是△ABC 相似，则 BE 的 长为（ ） A. 3 B. 3或 3 2 C. 3或 2 3 D.3或 2 1 9.如图，正方形 ABCD，AD=4，点 E，F 分别在边 AB，BC上，AE=1， 且∠EDF=45°，则△BEF的面积为（ ） A. 3 B. 5 12 C. 4 D. 2 5 10.已知关于 x 的一元一次方程 mxx 202520232024 2023  的解为 25x ，那么关于 x 的一元一次方程 mxx 2025)1999(20232024 2023 1999   的解为（ ）. A.25 B.2023 C. 2024 D.2025 11.如图，用黑白两种色彩的正方形 纸片，按此规律拼成一列图案， 第 2024个图案中白色的正方形个数是（ ） 教师学科素养基本功比赛 第 4 页 共 8 页 A.6071 B. 6072 C. 6073 D. 6074 12.已知 a，b 为非零实数， 3ba  ，且 0aba 3  ， 那么 a+b的值为（ ） A. 3 B. 13 C. 2 131 D. 134 二、填空题（本大题 6个小题，每小题 4分，共 24分） 13.已知 abc≠0， 0cb-a  ，则 a-b c ac b c-b a    的值为 . 14.定义新运算“▼”：实数 a，b，a▼b=4ab-2（a+b）.若 P（x，y） 为平面直角坐标系中一点，x，y为正整数，且 x▼y=34，则符合 条件的点 P 的个数共有 个. 15.已知 m 为实数，抛物线   m5x4m3x2y 2  ，无论 m取何实数 值时，抛物线过定点 P，则定点 P 坐标为 . 16.已知正方形 ABCD，E 为边 BC 上（不与 B，C重合）一动点，连 结 AE，点 A 绕点 E 顺时针旋转 90° 至 F，连结 CF 并延长与 AD 延长线 交于 H，则 EC FH 的值为 . 17.已知 13x4x2x2xP 22  ，则 P 的最小值为 . 教师学科素养基本功比赛 第 5 页 共 8 页 18.学习探究“裂项相消”. 2 11 21 1   ， 3 1 2 1 32 1   ， 4 1 3 1 43 1   ，...            32 1 21 1 2 1 321 1 ，            43 1 32 1 2 1 432 1 ，.... 10987 3 6543 3 5432 3 4321 3         = . 三、填空题（本大题 8个小题，19题、20题，每小题 8分，21题 —25题，每小题 10分，26题 12分，共 78分） 19.计算：   1 0 3 330sin2202523         20.学生小华异想天开，自制“杆秤”称大象，他找了一根较长的大钢 管，如图 AC，在点 O 处用钢绳挂起，将大象装进框里挂在“杆秤” 右端点 A 处，测得 OA=20cm，先将砝码（相当于秤砣）挂在最左端 的 C 处，挂 4 个砝码，降下升降垫，此时“杆秤”刚好平衡（图一）； 小华将挂砝码位置向左推进 1 米到 B 处时，挂 5 个砝码，降下升降 垫，此时“杆秤”又刚好平衡（图二），所挂砝码每个均 20kg。求自 制“杆秤”的这根大钢管的长度？所称大象有多重？（忽略钢管、框、 钢绳的重及影响） 教师学科素养基本功比赛 第 6 页 共 8 页 21.如图，在平面直角坐标系中，A 为反比例函数 x ky  （k>0）在第一象 限图像上一动点，AB⟂ x 轴于 B，C 为 x 轴上且在 B 右侧的一动点，连 结 AC，D 为 AC 中点，连结 DB 并延长交 y 轴于点 E，连结 CE. （1）求证：△ABC~△EOB； （2）三角形 BCE面积是否存在最大值？ 若存在，求出最大值； 若不存在， 请说明理由. 22.若关于 x的方程 x 1kx xx x 1-x k2 2     只有一个解（方程相等的解算作 一个解），求 k 的值. 23.有四张卡片，正面分别写有数字 -1，0，1，2，它们的背面完全相同， 将这张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张作为 a 的值，然后放回，重 新洗匀后随机再抽取一张作为 b 的值，将两次结果记为（a，b）. （1）若（a，b）记为平面直角坐标系中点 A 坐标，则点 A 出现在第 一象限的概率为 . （2）代数式 22 2 2 2 b-a abb aba a    ，求使代数式值为整数的（a，b）出现的 概率. 教师学科素养基本功比赛 第 7 页 共 8 页 24.如图，已知是 Rt△ABC，∠ACB=90°，⊙O是 Rt△ABC外接圆，过 O作 OF∥BC，过 A 作 AB垂线交于 OF 于 F，连结 FC并延长与 AB 延长线交于点 E，OF 交 AC于 G. （1）求证：EF 是⊙O 切线； （2）若 AF=6，CE=4，求⊙O半径. 25.如图 1，已知∆ABC，BC=12，分别以 AB，AC 为边向∆ABC 外侧作正 方形 ABDE 与正方形 ACFG，连结 BG，CE. （1）求证：∆ABG≌∆AEC； （2）如图 2，连结 DF，P为 DF 中点，连结 PB，PC，试探究 PB 与 PC 的关系； （3）如图 2 中若 A 为平面内一动点，运动中始终保持 AC=2AB 的数 量关系，动点 A 在运动过程中，请判断 DF是否存在最小值，若 存在求出 DF的最小值（直接写出答案），若 DF不存在最小值， 请说明理由. 教师学科素养基本功比赛 第 8 页 共 8 页 26.如图 1，直线 y= 2 3 x+ 2 33 与 x 轴交于点 A，与 y轴交点 C，过 A， C 两点的抛物线 cbxaxy 2  与 x 轴另一交点 B（0，1）. （1）抛物线解析式为 . （2）点 D 为抛物线在第二象限内一动点，连结 AD，CD，BC，四边 形 ABCD 面积为 S，S 是否存在最大值，若存在，求出 S最大值； 若不存在，说明理由； （3）如图 2，若点 E为抛物线顶点，点 P为抛物线对称轴上一动点， 连结 AP， 求 PE 2 2AP 的最小值. 教师学科素养基本功比赛 第 1 页 共 9 页 教师学科素养基本功比赛 初中数学参考答案 2025.01 一、单项选择题（本大题 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D D C A C B B C C D 选择题部分详解 12.分类讨论 因 a，b 为非零实数，所以有 ①当 a>0 时，a+b=3，ab+a3=0；a+b=3，b+a2=0；即 a2-a+3=0， △=1-12=-11<0，此方程无实数解； ②当 a<0 时，-a+b=3，-ab+a3=0；-a+b=3，-b+a2=0；即 a2-a-3=0， a= 2 131 （舍正取负）， 2 131a  ，b=3+a，∴a+b=4- 13； 故选 D. 二、填空题（本大题 6个小题，每小题 4 分，共 24 分） 13. ，1 ； 14. 4； 15.       9 10 3 5 ， ； 16. 2； 17. 5； 18. 720 119 . 部分填空题详解 教师学科素养基本功比赛 第 2 页 共 9 页 13.因 abc≠0， 0cb-a  ， a-b c ac b c-b a    可得 ， a-b c ac b c-b a    c c b b a a c c b b a a    ， 故①当 a、-b、c 都为正时，计算结果可得 3； ②当 a、-b、c 都为负时，计算结果可得-3； ③当 a、-b、c 都为两正一负时，计算结果可得 1； ④当 a、-b、c都为一正两负时，计算结果可得-1； 0cb-a  ，只可能 ③④情况. 故所求式子的值为： 1 14.因 a▼b=4ab-2（a+b），所以 x▼y=34=4xy-2（x+y）， 即（2x-1）（2y-1）=35，又 x，y为正整数，所以①2x-1=1，2y-1=35 ②2x-1=5，2y-1=7，③2x-1=7，2y-1=5，④2x-1=35，2y-1=1， ...故符合条件的解有 4 个.   m5x4m3x2y.15 2 因 0y-4x-m5-x3x2 2  ）（即 当 3x-5=0 时，无论 m 取何实数值时与式子无关，当 x= 3 5 时，y= 9 10  故抛物线过定点 P        9 10 3 5 ， . 16.过程略 教师学科素养基本功比赛 第 3 页 共 9 页 A B 13x4x2x2x17.P 22  方法一： 13x4x2x2xP 22      2222 32-x11x      2222 3x-211x  ≥AB=5，故共线时取得最小值为 5. 方法二：如图因 P     2222 32-x11x  视 C（x，0）为 x轴上一动点， ∵A（-1，1），B（2，3）， 则 P     2 222 32-x11x  =|CA|+|CB|， 转化为将军饮马问题求得最小值.... 18.∵ 432 1 321 1 432 3 321 3 3 1 4321 3          ）（ ， 543 1 432 1 543 3 432 3 3 1 5432 3          ）（ ........ ∴ 10987 3 6543 3 5432 3 4321 3         1098 1 321 1     教师学科素养基本功比赛 第 4 页 共 9 页 720 119  三、填空题（本大题 8 个小题，19 题，20 题，每小题 8 分，21 题—25 题，每 小题 10 分，26 题 12 分，共 78 分） 19.计算：   1 0 3 330sin2202523         231132 解：原式 .........8分 20.解：设 BO=xcm，大象重为 ykg，根据杠杆原理， 80（x+100）=100x=20y，x=400，y=2000 ∴大钢管的长度为 400+100+20=520（cm），大象重为 2000kg ..............8 分 21.（1）证明：∵Rt△ABC，D 为 AC 中点， ∴BD=DC ∴∠ACB=∠DBC ∵∠DBC=∠EBO ∴∠ACB=∠EBO ∵∠ABC=∠EOB=90° ∴△ABC~△EOB； ........5 分 （2）解：三角形 BCE 面积为定值，不存在最大值，理由如下：........6 分 ∵△ABC~△EOB ∴ OB EO BC AB  ∴AB·OB=BC·EO ∵点 A在反比例函数 x ky  图像上， ∴AB·OB=k 即 BC·EO=k，k 为常数，其积为定值. 教师学科素养基本功比赛 第 5 页 共 9 页 ∴S△BCE= 2 1 BC·EO= 2 1 k=定值 ..............10 分 22.解：去分母，整理得 2kx-(x+1)=(kx-2)(x-1) kx2-(3k+1)x+3=0.......方程(Ⅰ) 当 k=0 时，方程(Ⅰ)有一解 x=3 ..............5 分 当 k≠0时，方程(Ⅰ)有解，则   0k121k3 2  时，取等号时方程有相等 两实根，此时统计作一个解，解得 k= 3 1 ， 经检验符合题意， 故所求 k的值为 0 或 3 1 . ...........10 分 23.解：（1） 4 1 ..............5 分 （2）化简 1 b-a abb aba a 22 2 2 2     . .........7 分 ∴只要式子有意义均成立，即 a≠0或 a±b≠0时均成立，可求其概率为 .............10 分 附列表 16 7 教师学科素养基本功比赛 第 6 页 共 9 页 24.（1）证明：连结 OC. ∵⊙O 中 OB=OC ∴∠OBC=∠OCB ∵OF∥BC ∴∠OBC=∠AOF，∠COF=∠OCB， ∴∠AOF=∠COF，又∵OA=OC，FO=FO ∴△AOF≌△COF ............3 分 ∴∠OAF=∠OCF， ∵FA⟂ AB，∴∠OAF=∠OCF=90°， ∴EF 是⊙O 切线； .............5 分 （2）解：∵FA⟂ AB，即 FA是⊙O 切线 ∵EF 是⊙O切线 ∴FC=FA=6， ∵CE=4，∴EF=4+6=10， ............7 分 在 Rt△AEF 中可求 AE=8， 根据切割线定理可知 CE 2 =EB·EA， ∴EB=2，AB=8-2=6， 故所求⊙O 半径为 3 ...............10 分 教师学科素养基本功比赛 第 7 页 共 9 页 25.（1）求证：∆ABG≌∆AEC；略 ..............3 分 （2）所以 PB 与 PC 的关系为：PB=PC，且 PB⟂ PC；.......4 分 理由如下： 延长 BP 至 H，PH=PB，连结 HF，CH. ∵P 为 DF 中点 ∴∆PBD≌∆PHF ∴HF=BD，∠HFP=∠BDP， ∴HF∥BD，则 HF⟂ AB，又 FC⟂ AC， ∴∠BAC=∠HFC，如虚线图模型， ∵AC=FC，HF=BD=AB ∴∆ABC≌∆FHC ∴BC=HC，∠ACB=∠FCH， ∴∠HCB=∠FCH+∠ACH=90°， ∴△BCH 为等腰 Rt△， 又因 P为斜边 BH 中点， 所以 PB 与 PC 的关系为：PB=PC，且 PB⟂ PC；..........6 分 存在最小值）（ DF3 ........... 7 分 16344DF 最小值为 . .............10 分 F A OACBP OD 教师学科素养基本功比赛 第 8 页 共 9 页 26.(1)抛物线解析式为： 2 33x3x 2 3y 2  ；.................3 分 理由如下：∵ 直线 y= 2 3 x+ 2 33 ， ∴A(- 3 , 0 )，C( 0, 2 33 )， ∵ B（1，0），设抛物线 y=a(x+3)(x-1), C( 0, 2 33 )在抛物线上代入 可求得解析式 2 33x3x 2 3y 2  ； (2) 四边形 ABCD 面积 S=S△ABC+S△ACD， S△ABC= 332 334 2 1OCAB 2 1  ，................4 分 ∴ 当 S△ACD取得最大值时，四边形 ABCD 面积 S 最大， （铅垂法计算 S△ACD最大值） ∵ S△ACD最大值= 16 327 4 33 8 3153 2 1        ，.............6 分 ∴ 四边形 ABCD 面积 S 最大值= 16 375 16 32733  ；.........7 分 (3)∵ 抛物线解析式为： 2 33x3x 2 3y 2  =   321x 2 3 2  ， ∴ 抛物线对称轴为 x=-1，顶点 E（-1， 32 ）， .............8 分 如图，在 x轴上取 GD=GE= 32 ，连结 DE，则得等腰 Rt△DGE， 教师学科素养基本功比赛 第 9 页 共 9 页 过 P作 PF⟂ DE 于 F，则得等腰 Rt△PFE， ，PFPE 2 2  连结 PB，BF，作 BH⟂ AE 于 H， 则 AP+ BHBFPFBPPFPAPE 2 2  ， ..............10 分 当 B，P，F 共线且与 DE垂直时，取得最小值，即为图中 BH， ∵GD= 32 ，GB=2，∴DB= 232  ， ∵等腰 Rt△DBH，∴ 26 2 232 2 DBBH  ， 故所求 AP+ PE 2 2 的最小值为 26  . ..............12分 （动点 P 到图中 P´位置时取得最小值） PD OB y AP HFEG C