题型专练01 二次根式（6大题型）-2024-2025学年八年级人教版数学下册同步练

题型专练01 二次根式（6大题型） 目录概览 题型一 二次根式的概念与识别 题型二 二次根式有意义的条件 题型三 求二次根式的值 题型四 利用二次根式的性质化简 题型五 求二次根式中的参数 题型六 复合二次根式的化简 题型一 二次根式的概念与识别 1．在下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式．二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，根据概念逐项判断，即可解题． 【解析】解：A、，被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； B、，根指数为3，不是二次根式，不符合题意； C、，不能确定被开方数是否为非负数，不一定是二次根式，不符合题意； D、，能满足被开方数为非负数，故是二次根式，符合题意； 故选D． 2．下列式子中，是二次根式的是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义解答即可． 【解析】解：A、1不是二次根式，不符合题意； B、不是二次根式，不符合题意； C、是二次根式，符合题意； D、不是二次根式，不符合题意； 故选C． 3．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的概念，形如的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【解析】A、，含有二次根号，但被开方数是负数，不是二次根式； B、，含有二次根号，且被开方数，一定是二次根式； C、，含有三次根号，不是二次根式； D、含有二次根号，但当时，，不是二次根式． 4．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可． 【解析】解：①当时，不是二次根式； ②当时，不是二次根式； ③是二次根式； ④当时，不是二次根式； ⑤是二次根式； ⑥是二次根式． 故选B． 题型二 二次根式有意义的条件 5．当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数非负．根据被开方数非负得到，再解不等式即可． 【解析】解：由题意得， 解得：， 故选C． 6．二次根式中字母的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据二次根式的意义：被开方数大于等于，列不等式求解． 【解析】解：由题意可得：， 解得：， 故选B． 7．若，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式性质化简，掌握二次根式的性质是关键．根据二次根式的性质得出不等式进行计算即可． 【解析】解：∵， ∴， 解得：， 故选B． 8．当 时有意义． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【解析】解：根据题意得，，且， 解得，， 故答案为：． 9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得． 【解析】解：由题意可得， ， ， 故答案为：． 10．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．根据二次根式与分式有意义的条件求解即可． 【解析】解：由题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且． 11．若实数m满足，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求出m的取值范围．理解是解决问题的关键． 【解析】解：由题意可知：， 解得：， 故答案为：． 12．若满足等式，则的值为 ． 【答案】2022 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值、一元一次方程等知识点，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到m的取值范围，再根据m的取值范围去绝对值和二次根式的性质得到一元一次方程，进而得到，即，最后整体代入计算即可． 【解析】解：∵， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴． 故答案为：2022． 题型三 求二次根式的值 13．当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，把代入求值即可． 【解析】解：当时，二次根式， 故选D． 14．当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 【解析】解：当时，． 故选B． 15．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选． 16．当时，二次根式的值是 【答案】1 【分析】本题考查二次根式求值． 将的值代入计算可得． 【解析】解：将代入，得：， 故答案为：1． 17．当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，把代入计算即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴， 故答案为：． 18．当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【解析】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 题型四 利用二次根式的性质化简 19．化简的结果是（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式化简性质，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据二次根式化简性质即可作答． 【解析】解：． 故选A． 20．若，则 化简后的结果是（      ） A．xy B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，有意义可得，进而即可求解． 【解析】解：∵，有意义， ∴， ∴， 故选D． 21．下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【解析】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选D． 22．把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得，得到，据此利用二次根式的性质化简即可． 【解析】解：根据题意可得，得到， 那么 故选A． 23．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．观察数轴可得，从而得到，再根据绝对值的性质，即可求解． 【解析】解：观察数轴得：， ∴， ∴． 故选A 24．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简绝对值，利用二次根式的性质化简，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 先根据化简绝对值和二次根式，然后合并同类项即可． 【解析】解：∵， ，， ∴， 故选D． 25．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，判断数的符号和式子的符号，再进行化简即可． 【解析】解：由图可知：， ∴， ∴原式； 故选C 26．实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（    ） A．7 B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值，首先根据数轴得到a的范围，从而得到与的符号；然后利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求解． 【解析】解：根据数轴得：， ∴， ∴ ． 故选A． 27．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，由题意可得，，再利用二次根式的性质化简即可得解． 【解析】解：∵， ∴，， ∴， 故选A． 28．化去根号内的分母 . 【答案】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 把被开方数的分子、分母同时乘以即可． 【解析】解：， 故答案为：． 29．化简得 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，最简二次根式定义，是解题关键． 根据公式， 以及 进行化简即可． 【解析】解：． 故答案为：． 30．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简，按照化简二次根式的步骤化简即可得出答案． 【解析】解：∵， ∴， 故答案为： ． 31．若，a，b为实数，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，求不等式组的解集．根据二次根式有意义的条件求出，进而求出，然后代入计算即可． 【解析】解：∵， 　∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：3． 32．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质，由数轴可得：，，从而得出，再由二次根式的性质化简即可得解． 【解析】解：由数轴可得：，， ∴， ∴， 故答案为：． 33．实数a、b在数轴上位置如图，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值、二次根式的性质等知识点，根据数轴确定相关代数式的正负是解题的关键． 先根据数轴确定的正负，然后运用绝对值、二次根式的性质化简，然后合并同类项即可． 【解析】解：由数轴可得：，且， ∴， ∴． 故答案为：． 34．已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．根据题意得到，，根据二次根式以及绝对值的性质，化简即可． 【解析】解：， ，， ， 故答案为：1． 35．如果数轴上表示、两个数的点都在原点的左侧，且在的左侧，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简与性质，以及绝对值的性质，关键是掌握性质：． 首先根据、在数轴上的位置确定、得到小关系，再根据绝对值得性质去绝对值，合并同类项即可． 【解析】解：数轴上表示、两个数的点都在原点的左侧， ，， 在的左侧， ， ， 故答案为． 36．有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、绝对值的性质、立方根，由数轴可知：，从而得出，，，再根据绝对值的性质、立方根和二次根式的性质化简即可． 【解析】解：由数轴可知：， ∴，，， ∴ ． 题型五 求二次根式中的参数 37．若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可解答． 【解析】∵， ∴， ∴-2． 故选A． 38．已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【解析】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为6， 故选D． 39．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【解析】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选D． 40．若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可． 【解析】解：∵， ∴， ∵是整数，或或， ∴满足条件的正整数是或或． 即满足条件的正整数共有3个， 故答案为：3． 41．已知是整数，则自然数的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求二次根式中参数的值，先根据二次根式中被开方数是非负数求出的范围，再分析求出的值． 【解析】解：根据被开方数是非负数可得，中的， 解得：， ∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴，， ∴自然数的值是或， 故答案为：或． 42．已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ． 【答案】35 【分析】本题主要考查了二次根式的化简．根据题意可变形为，即可求解． 【解析】解：∵，是整数，n是正整数， ∴n的最小值为35． 故答案为：35 43．已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如（）的式子叫做二次根式，还考查了二次根式的性质：．由已知可得且为完全平方数求解． 【解析】解：由已知得， 又∵为整数 为完全平方数， 或或或 自然数x的所有取值为：． 44．若属于真分数，任意写出一个符合条件的的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】属于真分数，则是整数，且不能为的因数，即可求解． 【解析】∵属于真分数， ∴，且为整数， ∴可以取，即， 故答案为：（答案不唯一）． 45．若是整数，则整数n的所有可能的值为 ． 【答案】1，4，9，36 【分析】是整数，则，且是完全平方数，即可求出n的值． 【解析】解：∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴①，即； ②，即； ③，即； ④，即； 综上所述，整数n的所有可能的值为1，4，9，36． 故答案是：1，4，9，36． 46．已知是整数，则的最小整数值是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件等知识点，确定n的取值范围成为解题的关键． 由结合题意可得是完全平方数，即，进而确定n的取值范围，然后取最小整数即可． 【解析】解：∵且是整数， ∴是整数， ∴是完全平方数． ∵， ∴， ∴n的最小整数值是0． 故答案为：0． 题型六 复合二次根式的化简 47．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【解析】解：原式 ， 故选D． 48．已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据，得出，即可得出，，，根据，分三种情况求出的值进行验证即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴，，， 又∵， 当时，不合题意， 当时，不合题意， 当时，符合题意， 满足条件的取值只有1组． 故选A． 49．已知：，m，n均为正整数，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次根式的性质及运算，先利用二次根式的性质将原等式变形为，根据m，n均为正整数，可得的最小值为1，此时m最小值为5，由此可得答案． 【解析】解：原式， 均为正整数， 的最小值为1，此时m最小值为5， 的最小值为． 故答案为：5． 50．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，再利用二次根式的性质进行化简，然后将代入计算即可得． 【解析】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 51．当时，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】先配方，把二次根式转化为绝对值，化简解答即可． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式，绝对值的化简是解题的关键． 【解析】解： ， ∵， ∴ ． 故答案为：． 52．“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【解析】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 53．先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质结合小明与小莉谁的计算过程分析即可； （2）仿照小莉的解答过程求解即可． 【解析】（1）小莉的化简结果正确，理由如下： （2）原式 54．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 【分析】本题主要考查了复合二次根式化简： （1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可； （2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可． 【解析】（1）解： ； 故答案为：；；；； （2）解： ． 55．阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． （1）仿照例题，根据，即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． （2）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可． 【解析】（1）解：∵， ； ， ； （2）解： ． 56．先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【解析】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为：； （2）解：原式 ． 57．先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于即，； ． 由上述例题的方法化简：． 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，读懂阅读材料中的方法是解题的关键．先将原式变形，再由，，仿照阅读材料中的方法计算即可． 【解析】解：，这里， 由于，， ∴， ∴ ． 58．像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可． 【解析】（1）解：； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴k的值为：或． 59．观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【解析】解： ； 故答案为：． 60．观察下面的式子：，，， (1)类比上述式子，再写3个同类型的式子； (2)用字母表示你猜想的规律，并给出证明． 【分析】本题是数字规律题，分式的化简，二次根式的性质，考查学生把特殊归纳到一般的能力，解题关键是仔细观察，找出各式的内在联系， （1）先观察列举出的式子，再写出3个同类型的式子； （2）可找出它们的一般规律，用含有n的式子表示出来即可，再根据分式的性质化简证明即可． 【解析】（1）解：答案不唯一，如3个同类型的式子是： ，，； （2）猜想：（为自然数）． 证明：． 61．先阅读下列材料然后作答． 提出问题 该如何化简？ 分析问题 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，这样，，那么便有． 解决问题 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， ． 方法应用 （1）利用上述解决问题的方法化简：， （2）在中，，，，求边的长．（结果化成最简）． 【分析】本题考查的是复合二次根式的化简，勾股定理和完全平方公式，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． （1）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可； （2）根据勾股定理及题中方法求出即可． 【解析】解：（1），这里，， 由于，，即，， ； （2）在中，，，， ， 即 ，， ，， ，， ． 62．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件， 解得， ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简（结果保留） 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：    （3）已知a，b，c为的三边长．化简： 【分析】本题考查了二次根式的化简、三角形的三边关系、数轴等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）先根据二次根式的被开方数的非负性可得，从而可得，再利用二次根式的性质进行化简即可得； （2）先根据数轴的性质可得，从而可得，再利用二次根式的性质进行化简即可得； （3）先根据三角形的三边关系可得，，，，从而可得，，，，再利用二次根式的性质进行化简即可得． 【解析】解：（1）隐含条件， 解得， ∴， ∴ ； （2）由数轴可知，， ∴， ∴ ； （3）∵为的三边长， ∴，，，， ∴，，，， ∴ ． 63．阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式： （1）先把变形为，进而得到，据此化简即可；同理可把变形为据此化简即可； （2）①根据进行化简即可；②根据进行化简即可； （3）先把原式变形为，进一步变形得到，据此化简即可． 【解析】（1）解： ； ； 故答案为：；； （2）解：① ； ② ； （3）解： ． 64．阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______． 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法． 任务： (1)文中的________． (2)化简：________． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． (4)化简：________．（直接写出答案） 【分析】本题主要考查了复合二次根式的化简： （1）根据题目所给信息即可得到答案； （2）根据结合完全平方公式求解即可； （3）根据，得出，，根据x，y为正整数，求出，或，，最后求出a的值即可． （4）根据进行化简求解即可． 【解析】（1）解：∵， ∴，． 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：由题意得， ∴，， ∵x，y为正整数， ∴，或，， ∴或． （4）解： ， 当，即时，则原式； 当，即时，则原式； 综上所述，当时，，当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 题型专练01 二次根式（6大题型） 目录概览 题型一 二次根式的概念与识别 题型二 二次根式有意义的条件 题型三 求二次根式的值 题型四 利用二次根式的性质化简 题型五 求二次根式中的参数 题型六 复合二次根式的化简 题型一 二次根式的概念与识别 1．在下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子中，是二次根式的是（    ） A．1 B． C． D． 3．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型二 二次根式有意义的条件 5．当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（    ） A． B． C． D． 6．二次根式中字母的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．若，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 8．当 时有意义． 9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 10．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 11．若实数m满足，则m的取值范围是 ． 12．若满足等式，则的值为 ． 题型三 求二次根式的值 13．当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 14．当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 15．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 16．当时，二次根式的值是 17．当时，的值是 ． 18．当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 题型四 利用二次根式的性质化简 19．化简的结果是（    ） A． B． C． D．6 20．若，则 化简后的结果是（      ） A．xy B． C． D． 21．下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 22．把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 23．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ）    A． B． C． D． 24．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 25．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 26．实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（    ） A．7 B． C． D．无法确定 27．若，则等于（    ） A． B． C． D． 28．化去根号内的分母 . 29．化简得 ． 30．化简： ． 31．若，a，b为实数，则的值为 ． 32．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： ． 33．实数a、b在数轴上位置如图，化简： ． 34．已知，则 ． 35．如果数轴上表示、两个数的点都在原点的左侧，且在的左侧，则的值为 ． 36．有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：． 题型五 求二次根式中的参数 37．若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 39．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 40．若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 41．已知是整数，则自然数的值是 ． 42．已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ． 43．已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 44．若属于真分数，任意写出一个符合条件的的值 ． 45．若是整数，则整数n的所有可能的值为 ． 46．已知是整数，则的最小整数值是 ． 题型六 复合二次根式的化简 47．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 48．已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 49．已知：，m，n均为正整数，则的最小值为 ． 50．已知，则的值为 ． 51．当时，化简的结果是 ． 52．“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 53．先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 54．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 55．阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 56．先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 57．先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于即，； ． 由上述例题的方法化简：． 58．像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 59．观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 60．观察下面的式子：，，， (1)类比上述式子，再写3个同类型的式子； (2)用字母表示你猜想的规律，并给出证明． 61．先阅读下列材料然后作答． 提出问题 该如何化简？ 分析问题 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，这样，，那么便有． 解决问题 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， ． 方法应用 （1）利用上述解决问题的方法化简：， （2）在中，，，，求边的长．（结果化成最简）． 62．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件， 解得， ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简（结果保留） 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：    （3）已知a，b，c为的三边长．化简： 63．阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 64．阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______． 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法． 任务： (1)文中的________． (2)化简：________． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． (4)化简：________．（直接写出答案） 学科网（北京）股份有限公司 $$