广东省深圳实验学校高中部2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

深圳实验学校 2024-2025 学年第一学期期末考试 高一数学 时间：120 分钟 满分：150 分 一．选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1. α 是第四象限角， cos 3 5 α = ，则 2 c s 3o πα −  =    ( )． A． 3 5 B． 4 5 C． 3 5 − D． 4 5 − 2. 化简 3 2 2− 的结果为( )． A． 1 32− B． 1 22− C． 2 32− D． 3 22− 3. 已知函数 ( ) ( )( )n 00 0si xf x A Aω ϕ ω ϕ π> <>+ <= ， ， 的部分图象如图所示，则下列结 论正确的是( )． A． ( )f x 的图象关于直线 3 x π= − 对称 B．将 ( )f x 的图象向右平移 12 π 个单位长度得到的图象关于原点对称 C．方程 ( ) 3f x = 在区间 [ ]0 2π， 有 5 个不等实根 D． ( )f x 在 3 3 4 2 π π     ， 上单调递增 4. 声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型 是函数 siny tA ω= ．音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数 siny tA ω= 中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调 与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利．像我们平时听到声音不只是一个 音在响，而是许多音的结合，称为复合音．我们听到的声音函数是 ( ) 1sin sin 2 2 f x x x= + 1 1sin 3 sin 4 3 4 x x+ + +，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是( )． A．函数 ( ) 1 1 1 1sin sin 2 sin 3 sin 4 sin100 2 3 4 100 f x x x x x x= + + + + + 具有奇偶性 B．函数 ( ) 1 1 1sin sin 2 sin 3 sin 4 2 3 4 f x x x x x= + + + 在区间 8 8 π π −   ， 上单调递增 C．若声音甲对应函数近似为 ( ) 1 1 1sin sin 2 sin 3 sin 4 2 3 4 f x x x x x= + + + ，则声音甲的响度 不一定比纯音 ( ) 1 sin 2 2 h x x= 的响度大 D．若某声音乙对应函数近似为 ( ) 1sin sin 2 2 g x x x= + ，则声音乙一定比纯音 ( ) 1 sin 3 2 h x x= 更低沉 5. 欢乐港湾摩天轮——“湾区之光”是深圳的一处标志性景点．已知某摩天轮最高点 距离地面高度为 128 米，转盘直径为 120 米，等距设置有 60 个座舱，开启后按逆 时针方向匀速旋转，旋转一周大约需要 30min，若甲、乙两人的座舱之间有 4 个座 舱，则甲、乙两人座舱高度差的最大值为( )． A． ( )30 3 1− 米 B． ( )30 6 2− 米 C． 20 3 米 D．30 3 米 6. 已知函数 ( ) ( )2lg 9 1 3 1f x x x= + − + ，正实数 a b， 满足 ( ) ( )2 4 2f a f b+ − = ，则 2 4 2 b a a ab b + + 的最小值为( )． A．1 B．2 C．3 D．4 7. 函数 ( ) ( )sin xf xx π π+= − 在区间 5 9 2 2 π π −   ， 上所有零点之和为( )． A． 2π B． 4π C． 6π D．8π 8. 已知函数 ( ) ( )2 2sin 2cos 04sin 2 4 f xx xx ω πω ω ω ⋅ += + >    在区间 2 2 3 π π −   ， 上是增函 数，且在 [ ]0 π， 上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是( )． A． 30 4      ， B． 3 5 4 2     ， C． [ )1 + ∞， D． 1 3 2 4      ， 二．选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项 是符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 关于△ ABC ，下列说法正确的是( )． A．若 sin 2 sin 2A B= ，则△ ABC 是等腰三角形 B． tan tan tan tan tan tanA B C A B C= + + C．若△ ABC 为锐角三角形，则 sin cosA B> 恒成立 D．若 5sin cos 5 A A+ = ，则△ ABC 为钝角三角形 10. 已知函数 ( ) 2log 0 2 sin 2 10 4 x x f x x xπ  < < =    ≤ ≤    ， ， ，若存在 1 2 3 4x x x x， ， ， ，满足 1 2 3 4x x x x< < < ， ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4f x f x f x f x= = = ，则 1 2 3 4x x x x 的值可以为( )． A．20 B．24 C．28 D．32 11. 若1 10 10 10a b< < < ，则( )． A． 4 5 4 5a b b a− −+ < + B． ln sin sina b a b > − C． ( ) ( )cos cosa ba b> D． lg lga b b a> 三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知 1cos 0 5 sinα α α π− = ≤ ≤， ，则 4 sin 2 πα +  =    ____________． 13. 求值： ( )cos50 3 tan10° − ° = ____________． 14. 设 ( )0y m m= > 与 ( ) ( )4sin 2f x x ϕ= + 图象的相邻 3 个公共点自左向右依次为 A B C， ， ，若5 7AB BC= ，则m 的值为____________． 四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本题满分 13 分） 已知 ( ) 7 2 5cos tan 5 1α β β+ = =， ，且 0 2 πα β  ∈    ， ， ． ⑴ 求 22c oos 2sin sin c sβ β β β− + 的值； ⑵ 求 2α β+ 的值． 16. （本题满分 15 分） 中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与水的温度有关，如果刚泡好的 茶水温度是 1θ ℃，环境温度是 0θ ℃，那么 t 分钟后茶水的温度θ （单位：℃）可由公式 ( ) ( )0 1 0 ktt eθ θ θ θ −= + − 求得，其中 k 是常数，现有刚泡好的茶水温度是 100℃，放在室 温 25℃的环境中自然冷却，5 分钟以后茶水的温度是 50℃． ⑴ 求 k 的值（计算结果精确到 0.01）； ⑵ 经验表明，当室温是 15℃时，刚泡好的茶水温度是 95℃，自然冷却至 60℃时引用 口感最佳，刚刚泡好的茶水大约要放置几分钟才能达到最佳饮用口感？（计算结果精确 到 0.1）参考数据： ln 2 0.693 ln 3 1.099≈ ≈， 17. （本题满分 15 分） 已知 ( ) 1 3sin cos sin 2 3 2 3 4 f x x x xπ π   = + + + −        ． ⑴ 求 ( )f x 的最小正周期和单调递增区间； ⑵ 求 ( )f x 在 4 4 π π −   ， 上的值域； ⑶ 将函数 ( )f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 ( )g x 的图象，若 2 3 6 ag x g xπ π   − − + ≥        对任意的 2 6 5x π π ∈    ， 恒成立，求 a的取值范 围． 18. （本题满分 17 分） 意大利画家列奥纳多·达·芬奇曾经提出，固定项链的两段，使其在重力的作用下自然 下垂，项链所成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，历史上，莱布尼兹等人 曾研究并得出了悬链线的方程，其中双曲余弦函数 ( )cosh 2 x xe ex −+ = 尤为特殊，与此类 似的还有双曲正弦函数 ( )sinh 2 x xe ex −− = （ e是自然对数的底数， 2.71828e ≈ ）． ⑴ 计算 ( ) ( )2cosh 2 2cosh 1− 的值； ⑵ 类比两角差的余弦公式，写出两角差的双曲余弦公式 ( )cosh x y− = ____________， 并加以证明； ⑶ 判断函数 ( ) ( ) ( )2cosh 2 4 cosh 4 2f x x b x b= − + − 的零点个数，并求出零点． 19. （本题满分 17 分） 若对于实数m n， ，关于 x的方程 ( ) ( ) ( )f x m f x m nf x+ + − = 在函数 ( )y f x= 的定义域 D 上有实数解 0x x= ，则称 0x 为函数 ( )f x 的“ ( )m n， 可消点”，若存在实数m n， ，对 任意实数 x D∈ ，x均为函数 ( )f x 的“ ( )m n， 可消点”，则称函数 ( )f x 为“可消函数”， 此时，有序数对 ( )m n， 称为函数 ( )f x 的“可消数对”． ⑴ 若 ( ) 2f x x= + 是“可消函数”，求函数 ( )f x 的“可消数对”； ⑵ 若 ( )1m， 为函数 ( ) sin cosf x x x= 的“可消数对”，求m 的值； ⑶ 若函数 ( ) 2sinf x x= 的定义域为R ，存在实数 0 0 4x π ∈   ， 同时为 ( )f x 的“ 12 n π      ， 可消点”与“ 23 nπ     ， 可消点”，求 2 21 2n n+ 的最小值． 1. 【答案】A 【解析】由α 为第四象限角， 2 31 cos 5 sinα α= − − = − ，由诱导公式， 2 c s 3o πα −  =    5 cos sin 3 2 πα α  = −   + =  ，故选 A． 2. 【答案】B 【解析】 ( ) 1 13 33 22 2 2 2 2 − = − = − = −   ，故选 B． 3. 【答案】C 【解析】由题意 ( )f x 相邻对称轴间的距离为 2 π ，可得 2 2 T π = ，因此T π= ， 2 2 T πω = = ， 当 12 x π= 时，2 2 2 12 k kπϕπ π× + + ∈= Z， ，故 3 kk πϕ π + ∈= Z， ．由 0 πϕ< < 可得 3 ϕ π= ， 由函数最大值为 2 可得 2A = ，因此 ( ) 2sin 2 3 f x x π = +    ．A 选项， 3 3 f π − = −    ，非 最值，故 3 x π= − 不是 ( )f x 的对称轴，A 错误．B 选项， ( )f x 图象向右平移 12 π 个单位 长度后的解析式为 2sin 2 12 6 f x xπ π   − = +        ，不关于原点对称，B 错误．C 选项，令 ( ) 3f x = ，可得 3 2 2 3 x kπ ππ= ++ 或 2 2 3 k kππ + ∈Z， ，解得 x kπ= 或 6 k kππ + ∈Z， ， 在 [ ]0 2π， 上，实根为 6 0 7 6 2π ππ π， ，， ， ，共 5 个，C 正确．D 选项， ( )f x 的单调区 间长度为 2 π ，不可能在长为 3 4 π 的区间 3 3 4 2 π π     ， 上单调递增，D 错误．故选 C． 4. 【答案】C 【 解 析 】 A 选 项 ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1sin sin 2 sin 3 sin 100 2 3 100 f x x x x x− = − + − + − + + − ( )1 1 1 1sin sin 2 sin 3 sin 2 3 100 100 x x x x f x= − − − − − = − ，故 ( )f x 是奇函数，A 正确．B 选 项， 8 8 x π π ∈ −   ， 时， 32 3 4 4 4 8 8 2 2 3x x xπ π π π π π     ∈ − ∈ − ∈ −           ， ， ， ， ， ，故 siny x= ， 1 1 1sin 2 sin 3 sin 4 2 3 4 y x y x y x= = =， ， 在 8 8 π π −   ， 上都是增函数， ( )f x 在 8 8 π π −   ， 上 单调递增，B 正确．C 选项，由 1 3 1 2sin si1sin sin 2 2 2 3 n 2 3 2 4 f π π ππ π  + +=   =+  可得， ( )f x 深圳实验学校 2024-2025 学年第一学期期末考试高一数学试题解析 的最大值 ( )max 2 1 3 2 f x ≥ > ，故 ( )f x 的振幅必然大于 ( ) 1 sin 2 2 h x x= 的振幅，即声音甲的 响度一定大于纯音的响度，C 错误．D 选项，对于 ( ) 1sin sin 2 2 g x x x= + ，设其最小正周 期为 T ，则 ( ) ( ) 0g T gπ π+ = = ，即 ( )1sin sin 2 0 sin cos 1 0 2 T T T T− + = ⇒ − = ，故 sin 0T = ，故 *T k kπ= ∈N， ，由于 ( )g x 是奇函数， 2 2 g gπ π   − = −        ，故T π= 不会是 ( )g x 的周期，而 2T π= 显然是 ( )g x 的周期，故 ( )g x 的最小正周期为 2π ，其频率 1 1 1 2 f T π = = Hz，纯音 ( )h x 的最小正周期为 2 3 π ，其频率 2 1 3 2 f T π = = Hz，声音乙的频率 更低，比 ( )h x 低沉，D 正确．故选 C． 5. 【答案】B 【解析】甲乙两人的座舱所连的弧所对应的圆心角为θ ，则 5 2 60 6 πθ π= ⋅ = ，以摩天轮 中心为原点建立坐标系，设某一时刻甲座舱位于 ( )n6 60c ios 0sα α， 处，乙座舱位于 60cos 60s 6 in 6 π πα α     +       +   ， 处 ， 则 两 人 高 度 差 ssin60 in 6 y πα α =∆ + −   =  ( )60 sin sin 120 sin cos 120sin 30 6 212 12 12 12 2112 12 π π π π π π πα α α     − =+ + + − + ≤ = −            米，故选 B． 6. 【答案】B 【解析】 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2lg 9 1 3 lg 9 1 3 2 lg 9 1 9 2f x f x x x x x x x+ − = + − + + + + = + − + 2= ，这说明 ( )f x 的图象关于点 ( )0 1， 对称，类似奇函数，在原点两侧单调性相同，由 于 0x > 时 ( ) 2 1lg 1 9 1 3 f x x x = + + + ， 29 1 3y x x= + + 在 ( )0 + ∞， 上单调递增且函数值 恒正，可推出 ( )f x 在 ( )0 + ∞， 上单调递减，因此 ( )f x 是减函数． ( ) ( )2 4 2f a f b+ − = ( ) ( ) ( )2 2 4 4 2 4f a f b f b a b⇔ = − − = − ⇔ = − ，即 2 4a b+ = ，因此 2 4 2 b a a ab b + = + ( ) 4 4 42 2 2 4 4 b a b a b a a b a b a b a b + = + ≥ ⋅ = + ，当 4a b= 即 16 9 4 9 a b  =   =  时取得，故选 B． 7. 【答案】B 【解析】 ( ) 0 sinf x x x π π = ⇔ = − − ，作出 siny x= 和 y x π π = − − 在 区间 5 9 2 2 π π −   ， 上的图象如图，可知两个图象共有 4 个交点，因 此 ( )f x 在区 间上共 有 4 个零 点，由小 到大记为 1 2 3 4x x x x， ， ， ．同 时， ( ) ( )sin sin xf x x x xπ π π π+ = −=+ + ， ( ) ( )sin sin xf x x x xπ π π π− = −=− − ，可得 ( ) ( )xf fxπ π+ −= ，故 ( )f x 的图象关于直线 x π= 对称，因此 1 4 2 3 2x x x x π+ = + = ， 故所有零点之和为 4π ，故选 B． 8. 【答案】D 【 解 析 】 ( ) 2 2 2 1 cos 2 2cos 2sin 2sin 2c4si o 2 n s x x x x x xf x πω ω ω ω ω ω  − +  ⋅ + +=  = + 2sin 2xω += ，当 2 2 3 x π π ∈ −   ， 时 2 2 3 x πω πωω  −   ， ，由 ( )f x 在区间上单调递增可得， 2 2 2 3 2 πω π πω π − ≥ −   ≤  ，解得 3 4 ω ≤ ．当 [ ]0x π∈ ， 时， [ ]0xω πω∈ ， ，由 ( )f x 恰好在区间上取得 一次最大值可得 22 5π ππω <≤ ，解得 1 2 5 2 ω≤ < ，综上所述， 1 3 2 4 ω  ∈    ， ，故选 D． 9. 【答案】BCD 【解析】A 选项，由于 ( )2 2 0 2A B π∈， ， ，且至多有一个大于π ，因此若 sin 2 sin 2A B= ， 则有 2 2A B= 或 2 2A B π+ = ，得 A B= 或 2 A B π+ = ，因此△ ABC 为等腰三角形或直角 三角形，A 错误．B 选项，在△ ABC 中， ( ) tan tantan tan tan tan 1 A BC A B A B + = − + = − ，整理得 tan tan tan tan tan tanA B C A B C= + + ，B 正确．C 选项，若△ ABC 为锐角三角形，则有 2 A B C ππ+ = − > ，故 2 A Bπ> − ，且 0 2 2 A Bπ π − ∈    ， ， ，由 siny x= 在 0 2 π      ， 上单调 递增可得 sin sin cos 2 A B Bπ > − =    ，C 正确．D 选项，( )2sin cos 1 2sin cosA A A A+ = + 1 2sin cos 5 5 A A= ⇒ = − ，由 ( )0A π∈ ， 可得 sin 0A > ，故 cos 0A < ，因此 2 A π π ∈    ， ， △ ABC 为钝角三角形，D 正确．故选 BCD． 10. 【答案】BC 【解析】作出 ( )f x 草图如图，由 ( ) ( )1 2f x f x= 可得 2 1 2 2log logx x= ，故 1 2x x= （舍去） 或 2 1 2 2log log 0x x+ = ，可得 1 2 1x x = ， 3 4x x， 关于直线 6x = 对称，由图可得 32 4x< < ， 48 10x< < ，记 4 36 6t x x= − = − ， ( )2 4t∈ ， ， ( )( ) ( )23 4 6 6 36 20 32x x t t t= − + = − ∈ ， ， 故选 BC． 11. 【答案】ACD 【解析】由1 10 10 10a b< < < 可得 0 1a b< < < ．A 选项，由 4xy = 是增函数， 5 xy −= 是 减函数，可得 4 4 5 5a b b a− −< <， ，故 4 5 4 5a b b a− −+ < + ，A 正确．B 选项，此时 1a b < ， 故 ln 0a b < ，且 sin sin 0b a− > ，因此 ln sin sina b a b < − ，B 错误．C 选项，由 0 1a b< < < 可得 0 cos cos 1b a< < < ，由 ( )cos xy a= 是减函数可得， ( ) ( )cos cosa ba a> ，由 by x= 是 增函数可得， ( ) ( )cos cosb ba b> ，因此 ( ) ( ) ( )cos cos cosa b ba a b> > ，C 正确．D 选项， 由 by x= 是增函数可得 b ba b< ，由 xy b= 是减函数可得 a bb b> ，因此 0a b bb b a> > > ， 取对数可得 lg lga b b a> ，D 正确．故选 ACD． 12. 【答案】 31 2 50 【解析】 ( )2 5 sin 1 2s 1cos cosin 2 α α α α− == − ，可得 5 s n 2 2 i 24α = ，且 ( )2 0α π∈ ⇒， 0 2 πα  ∈    ， ，因此 ( )2 5 s sin 1 si 49 7cos inn 2 cos 25 α α α α α== ++ ⇒ + = ，故 2c s 2 so coα α= ( )( )2 7cos sin cos sin 25 sin α α α α α= − + =− ， ( )2 31 2sin 2 s cin 2 2 0 os 2 4 5 πα α α  = =   +  + ． 13. 【答案】1 【 解 析 】 ( ) ( )2cos 10 303 cos10 sin10cos50 3 tan10 cos50 cos50cos10 cos10 ° + °° − ° ° − ° = ° ⋅ = ° ⋅ ° ° ( )sin 10 902sin 50 cos50 sin100 cos10 1 cos10 cos10 cos10 cos10 ° + °° ° ° ° = = = = = ° ° ° ° ． 14. 【答案】 6 2− 【解析】将 ( )f x 图象经平移和伸缩变换后变回 siny x= 的图象，具体操作为：①所有点 横坐标不变，纵坐标变为原来的 1 4 ；②所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍；③ 向右平移 ϕ 个单位．此时水平直线 y m= 的方程变为 4 my = ，设 A B C， ， 变为 A B C′ ′ ′， ， ，易知在伸缩变换过程中，虽然线段长度发生改变，但长度之比保持不变， 即 7 5 A B AB B C BC ′ ′ = = ′ ′ ．设 ( )0A x m′ ， ，则 0 7 6 B x mπ ′ +    ， ， ( )0 2 mC x π′ + ， ，A B′ ′， 关于 某条对称轴对称，可得 0 72 2 6 x kπ π π+ = + ，解得 0 12 x k kππ= − ∈Z， ，同时由于 4 m = 0sin x 可得 0sin 0x > ，故可取 11 6 21 sin sin 4 12 12 4 mk π π −= = = =， ， 6 2m = − ． 15. 【解析】 ⑴ 2 2 2 2 2 2 cosc 2sin sin cos2sin sin cos sin cos os β β β ββ β β β β β − + − + = + 2 2 5 tan 1 2 111 2 tan 2749 7 1 2tan 1 49 β β β − + = = ++ − + = ． ⑵ 由 0 2 πα β  ∈    ， ， 可得 ( )0α β π+ ∈ ， ，故 ( ) ( )2 5sin 1 cos 5 α β α β+ += − = ， ( ) 1tan 2 α β =+ ．因此 ( ) ( ) ( )2 2 tan 4tan 2 31 an 2 t α β α β α β + + + = = − ． 故 ( ) ( ) ( )( ) 4 1 tan 2 tan 3 7tan 2 tan 2 14 11 t 2 2 2 2an tan 1 3 7 α β β α β α β β α β β −− = − = + + = =  + × +  ++ 由 ( ) 2 5cos 0 5 α β+ = > 可得 0 2 πα β  + ∈    ， ，且 0 2 πβ  ∈    ， ，因此 2 2 πα β π + ∈ −    ， 因此 2 4 πα β+ = ． 16. 【解析】 ⑴ 由题意得 0 125 100 5 50tθ θ θ= = = =， ， ， ，代入可得 550 25 75 ke−= + 整理得 5 1 3 ke− = ，取对数得 1 ln 3 0.22 5 k = ≈ ． ⑵ 由题意得 0 115 95θ θ= =， ， 1 ln3 515 80 t eθ − ⋅ = + 令 60θ = ，可得 1 ln3 5 9 1 9ln 3 ln 2ln 3 4ln 2 16 5 16 t e t − ⋅ = ⇒ − ⋅ = = − 解得 ( ) ( )5 4ln 2 2ln 3 5 4 0.693 2 1.099 2.6 ln 3 1.099 t × − × × − × = ≈ ≈ 分钟． 17. 【解析】 ⑴ ( ) 21 3 1 3sin cos cos sin 2 2 2 2 3 4 f x x x x x π = + + + −    1 3 1sin 2 cos 2 sin 2 4 4 2 3 x x x π = + + +    1 1sin 2 sin 2 sin 2 2 3 2 3 3 x x xπ π π     = + + + = +            ． 最小正周期 2 2 T π π= = ． 令 2 2 2 2 3 2kx kπ π ππ π + ∈   − +  ， ，解得 5 12 12 kx k kπ ππ π ∈ ∈ −  + Z，， ． 故 ( )f x 的增区间为 5 12 12 kx k kπ ππ π ∈ ∈ −  + Z，， ． ⑵ 4 4 x π π ∈ −   ， 时 52 3 6 6 x π π π + ∈ −   ， ，故 1sin 2 1 3 2 x π   + ∈ −       ， ． 即 ( )f x 在 4 4 π π −   ， 上的值域为 1 1 2  −   ， ． ⑶ ( ) sin 3 g x x π = +    ，原不等式可化为 sin cos 2a x x− ≥ 对任意的 2 6 5x π π ∈    ， 恒成立 ( )22 2sin cos 2a x x⇔ ≥ + 对任意的 2 6 5x π π ∈    ， 恒成立 0a > ( )22 2 cos 2 1 cos x a x + ≥ − 对任意的 2 6 5x π π ∈    ， 恒成立且 0a > 记 3cos 0 2 t x t   = ∈ −    ， ， ，条件可化为 ( )22 2 2 1 t a t + ≥ − 对任意的 3 0 2 t   ∈ −    ， 成立 设 ( )2 2 2 3 0 21 t y t t  + = ∈ −  −   ， ， ， 则 2 2 2 4 4 4 51 1 1 t t ty t t + + + = = − + − − 设 4 5 5 2 3 5u t u  = + ∈ − ， ， ，则 ( ) ( )2 2 1 11 1 5 91 5 16 16 8 16 u uf u u u u = − + = − + − − − + − 11 5 1 9 8 16 u u = − +  − +    ，由 9y u u = + 在 ( )5 2 3 3− ， 上递减，( )3 5， 上递增可得， ( )f u 在 ( )5 2 3 3− ， 上递减，在 ( )3 5， 上递增 5 2 3u = − 即 3 2 t = − 时， ( ) 2 234 2 4 3 2 y   = − = −     5u = 即 0t = 时， 4y = 因此 ( )f u 的最大值为 ( )24 3− ，由题意得 ( )22 4 3a ≥ − ，故 4 3a ≥ − ． 另解：设 5tan 1 2 3 2 2 4 12 x xt tπ π   = ∈ ⇒ ∈ +     ， ， ， 2 2 2 2 2 2cos sin 2cos 2sin tan 3cos 2 32 2 2 2 2 sin 22sin cos 2 tan 2 2 2 x x x x x x t x x xx t − + + ++ + = = = 由对勾函数性质分析可得，当 2 3t = + 时右侧取得最大值为 4 3− 18. 【解析】 ⑴ 由定义可得， ( ) ( ) 1 2 2 cosh 1 cosh 2 2 2 e e e e− −+ − = =， 所以 ( ) ( ) ( )212 22cosh 2 2cosh 1 1 2 2 e ee e −− ++ − = − = − ． ⑵ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cosh cosh cosh sinh sinhx y x y x y− = − ，下证明之． 事实上， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) cosh cosh sinh sinh 4 4 x x y y x x y ye e e e e e e e x y x y − − − −+ + − − − = − 4 x y x y x y x y x y x y x y x ye e e e e e e e+ − + − − − + − + − − −+ + + − + + − = ( )cosh 2 x y y xe e x y − −+ = = − ． ⑶ 由于 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1cosh cosh 2 4 2 2 x xe ex x −+ + = = + 因此 ( ) ( )2cosh 2 2cosh 1x x= − ，设 ( )cosh 2 x xe et x −+ = = ，由均值不等式， 1t ≥ 因此 ( ) ( )( )2 22 2 1 4 4 2 4 4 4 4 4 1 1y t bt b t bt b t b t= − − + − = − + − = − + − 令 0y = ，可得 1t = 或 1t b= − ，而 ( )cosh 1x = 当且仅当 0x = ( )cosh x 可视为函数 xu e= 和 1y u u = + 的复合，由复合函数单调性， ( )cosh x 在 ( )0 + ∞， 上单调递增，在 ( )0−∞， 上单调递减 若 1 1b − > 即 2b > ，则 ( )cosh 1x b= − 有 2 解，原方程共有 3 个解； 令 1 2 x xe e b −+ = − ，设 xu e= ，方程可化为 ( )2 2 1 1 0u b u− − + = ，解得 21 2u b b b= − ± − 故另两解为 ( ) ( )2 22 3ln 1 2 ln 1 2x b b b x b b b= − + − = − − −， 若 1 1b − = 即 2b = ，此时关于 t 的方程 ( )( )1 1 0t b t− + − = 仅有一解，原方程有唯一解 0x = ； 若 1 1b − < 即 2b < ，此时 ( )cosh 1x b= − 无解，原方程有唯一解 0x = ． 综上所述， 2b ≤ 时，原函数有 1 个零点 1 0x = ； 2b > 时，原函数有 3 个零点，为 ( )21 20 ln 1 2x x b b b= = − + −， ， ( )23 ln 1 2x b b b= − − − ． 19. 【解析】 ⑴ 由题意，任意 x∈R ， ( ) ( ) ( )2 2 2x m x m n x+ + + − + = + ，整理得 ( )2 4 2x n x+ = + 解得 2n = ，m 可取任意实数． 因此 ( )f x 的“可消数对”为 ( )2m， ，m 为任意实数． ⑵ ( ) 1 sin 2 2 f x x= ，由题意得 ( ) ( )1 1 1sin 2 2 sin 2 2 sin 2 2 2 2 x m x m x+ + − = ， x∀ ∈R 整理得 1sin 2 cos 2 sin 2 2 x m x= 恒成立，因此 1cos 2 2 m = ，得 3 2 2 km k ππ ± ∈= Z， 因此 6 m kk ππ ± ∈= Z， 当m kπ= 时， ( ) ( )1 1sin 2 2 sin 2 2 sin 2 2 2 x m x m x+ + − = 恒成立 综上所述，若 ( )1m， 为函数 ( ) sin cosf x x x= 的“可消数对”，则m kkπ= ∈Z， ． ⑶ ( ) 1 cos 2 2 xf x −= ，由题意得 ( ) ( ) 0 0 1 0 0 0 2 0 2 2 3 3 f x f x n f x f x f x n f x π π π π     + + − =             + + − =        即 ( ) ( )0 0 0 1 0 0 0 2 cos 2 cos 2 1 cos 21 2 2 2 2 2cos 2 cos 2 1 cos 23 31 2 2 2 x x xn x x xn π π π π  + − − − − = ⋅      + −    −    − − = ⋅  进一步整理可得 ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 2 0 1 20 2 0 2 1 cos 2 1 cos 2 2 2cos 21 2 12 1 cos 2 1 cos 2 2 x n x n nx n nx n x  + = − − − ⇒ = =   + ++ = −     因此 1 2 4 3 2 1n n − = − + + ，可得 ( )2 1 1 3 3 12 1 4 4 2 n n n= + − = + 同时，由 0 0 4 x π ∈   ， 可得 [ )0cos 2 0 1x ∈ ， 令 1 1 20 1 2 n n − ≤ < + ，解得 1 2n ≥ ，故 2 2n ≥ ，二者可同时取等． 因此 2 2 2 21 2 2 2 8n n+ ≥ + = ．