第5讲 函数的极值与导数 讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第5讲 函数的极值与导数 [知识梳理] 一．函数的极值 （1）函数的极小值 如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作． （2）函数的极大值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作． （3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 二．求函数极值的步骤 ①先确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的解； ④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 【注意】 （1）可导函数的极值点．必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点． 即“点x0是可导函数的极值点”是“f′（x0）＝0”的充分不必要条件． 不可导的点可能是极值点也可能不是极值点． 例如：①导数为0的点是极值点：y＝x2，y′|x＝0＝0，x＝0是极值点． ②导数为0的点不是极值点：y＝x3，y′|x＝0＝0，x＝0不是极值点． ③不可导的点是极值点：y＝|sinx|，x＝0不可导，但x＝0是极值点． （2）函数的极值只是一个局部性的概念，是仅对某一点及左、右两侧区域而言的．在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大，如图， 点x1、x3是极大值点，x2、x4是极小值点，且在点x1处的极大值小于在点上x4处的极小值． （3）极值点是自变量的值，极值指的是函数值． （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点． （5）若在（a，b）内有极值，那么在（a，b）内绝对不会是单调函数，即在区间上的单调函数没有极值． [例题讲解] 题型一 求函数的极值 例1　求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； (2)f(x)＝x－aln x(a∈R)． 题型二 由极值求参数的值或取值范围 例2　(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b＝________. (2)已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围． 解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞)． 题型三 利用函数极值解决函数零点(方程根)问题 例3　已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围． [随堂练习] 训练1　(1)求函数f(x)＝－2的极值． (2)已知函数f(x)＝x＋＋1，a∈R.求此函数的极值． 训练2　(1)若函数f(x)＝ax－ln x在x＝处取得极值，则实数a的值为(　　) A. B. C．2 D. (2)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax－1. ①若函数的极大值点是－1，求a的值； ②若函数f(x)有一正一负两个极值点，求a的取值范围． 训练3　若函数f(x)＝x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是________． [课后作业] 一．单选题 1．已知函数的导函数的图象如图，则下列叙述正确的是（  ） A．函数在上单调递减 B．函数在处取得极小值 C．函数在处取得极值 D．函数只有一个极值点 2．若函数在内无极值，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3．已知函数的极值为，则实数（  ） A． B． C． D． 4．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 二.多选题 5．已知函数，且满足，则（  ） A．函数在处有极大值 B．函数在区间上是增函数 C．函数在有极大值 D．函数在区间和上是增函数 6．若函数有两个极值，则（  ） A． B． C． D． 7．如图，已知直线与曲线相切于两点，函数，则关于函数有关极值的结论错误的是（  ） A．有极小值没有极大值 B．有极大值没有极小值 C．至少有两个极小值和一个极大值 D．只有一个极小值和两个极大值 8．已知函数，则下列说法正确的有（  ） A．若是上的增函数，则 B．当时，函数有两个极值 C．当时，函数有两零点 D．当时，在点处的切线与只有唯一个公共点 三.填空题 9．函数在处有极值10，则实数 ． 10．已知函数有极值，则a的取值范围是 . 四.解答题 11．已知曲线：. (1)求在点处的切线方程； (2)求的极值. 12．已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论的单调性． 13．已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)设函数，求的单调区间； (3)指出极值点的个数，并说明理由. 14．已知函数． (1)在定义域内单调递减，求的范围； (2)讨论函数在定义域内的极值点的个数； (3)若函数在处取得极值，恒成立，求实数的取值范围． 15．给定函数. (1)判断函数的单调性，并求出函数的极值; (2)证明:当时，. [参考答案] 1．D 2．C 3．A 4．D 5．CD 6．ACD 7．ABD 8．AB 9． 10． 11．(1) (2)极大值为，极小值为 【详解】（1）因为，得 ，又因为，故切点为， 所以切线方程为，即； （2）由（1）知，令，解得或3， ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数的极大值为，极小值为． 12．(1)极小值，无极大值． (2)答案见解析 【详解】（1）解：当时，，可得， 令，则；令，则， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以函数在处取得极小值，无极大值． （2）解：由函数，可得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，则，所以当时，单调递减； 当时，单调递增，综上，当时，在上单调递增； 当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增． 13．(1) (2)在，单调递增，在单调递减 (3)2个，理由见解析 【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且， 可得直线的斜率，且，所以切线方程为，即. （2）解：由（1）知，可得， 令，即，解得或， 当，；当，；当， 所以函数在，单调递增，在单调递减. （3）解：函数有2个极值点，理由如下： 由（2）知，①当时，函数在区间上单调递增， 且，，所以存在唯一，使； ②当时，函数在区间上单调递减， 且，，所以存在唯一，使； ③当时，在区间上单调递增， 且，恒有，故该区间内无零点， 综上可得：当，；当，；当，， 所以当时取到极小值；当时取到极大值；故有2个极值点. 14．(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）函数定义域为，，因为在定义域内单调递减， 则在上恒成立，可得， 函数在单调递减，的取值范围为； （2）当时，在定义域内单调递减，∴在上没有极值点； 当时，得，得， ∴在上递减，在上递增，即在处有极小值． ∴当时在上没有极值点， 当时，在上有一个极值点． （3）∵函数在处取得极值，，∴，∴， 令，，，则， 可得在上递减，在上递增，∴，即． 15．(1)在区间上单调递减，在区间上单调递增，极小值. (2)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为.. 令，解得.当变化时，的变化情况如下表 负 0 正 单调递减 极小值 单调递增 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，有极小值. （2）要证明当时，， 即证明当时，. 令函数.则. 当时，.设函数. 则，故在上单调递增. 又，所以存在唯一的使得 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $$