精品解析：湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

湖南师大附中2024—2025学年度高一第一学期期末考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 得分：__________ 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合B，进而根据包含关系以及集合见的运算逐项分析判断. 【详解】由题可知：， 显然不是的子集，不是的子集，故AB错误； 且，C错误； 因为，所以，D正确. 故选：D. 2. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对原命题“改量词，否结论”即可得到命题的否定. 【详解】命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题， 所以其否定为. 故选：C. 3. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若角终边上有一点，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数终边定义法代入公式计算可得结果. 【详解】根据题意可知，解得. 故选：B. 4. 已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件结合二次函数的图象性质，求解实数的取值范围． 【详解】的图象开口向下，对称轴为，且， ∵函数在区间上的值域为， ∴由图可知，，即实数的取值范围是. 故选：A． 5. 很多关于大数的故事里（例如“棋盘上的学问”，“64片金片在三根金针上移动的寓言”）都涉及这个数，请你估算大致所在的区间是（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数与对数互化运算即可得出结论. 【详解】设，两边同时取常用对数得， . 故选：B. 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合诱导公式，再从充分性和必要性判断即可. 【详解】①因为，所以，所以是的充分条件； ②由，可得，即， 或得，即， 所以，或者， 所以不是的必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 已知定义在R上的函数为偶函数,记,则,的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由 为偶函数得,所以, ,所以,故选B. 考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算. 8. 对于函数，若存在使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“优美点”的定义，可得时的函数图象关于原点对称的图象的解析式与有交点，转化为方程有解，分离参数后利用基本不等式即可求得结果. 【详解】若函数存在“优美点”，则函数图象上存在关于原点对称的点， 当时，，将其图象关于原点对称， 所得图象的解析式为. 所以只要射线与的图象有公共点即可， 由得， 所以， 由基本不等式可得时等号成立， 所以，即. 故选：D. 【点睛】思路点睛：解答新定义问题的一般思路：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位，得到的图象 C. ，都有 D. 函数的单调递减区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象求出函数的解析式，利用三角函数的性质及函数的平移变换即可求解. 【详解】由图知，，即， 所以，由题意，结合图象解得， 又因为， 所以， 所以的解析式为：， 对A，，故A正确； 对B，将的图象向右平移个单位，得的图象，故B错误； 对C，由三角函数的性质知，，所以，都有，故C正确； 对D，由，得，所以函数的单调递减区间为，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知为圆周率，为自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由，可判断A；由，可判断B；利用，可判断C；由，结合不等式的性质可判断D. 【详解】为圆周率，为自然对数的底数，，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； 由，得，故D正确. 故选：CD. 11. 已知函数，若有四个不同的实数解，且满足，则下列命题正确的是（ ） A. B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项：将方程的解转化为函数与图象交点的横坐标，然后结合图象即可得到的范围；BCD选项：由题意可得，整理得，利用二次函数的对称性得到，然后利用对勾函数的单调性求范围即可. 【详解】作函数的图象如下， 有四个解，即与的图象有4个交点，， 可得，可知选项A正确； 由图象可得，则，即， 且， 令，根据“对勾”函数单调性可得在上单调递减， 故，可知选项B正确； ， 令，根据“对勾”函数单调性可得， 又，可知选项C错误； 令，根据“对勾”函数单调性可得在上单调递减， 在上单调递增，故，可知选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是画出函数的图象，二是对数的运算，三是数形结合思想的运用. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 计算：__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用指数幂与对数的运算，结合换底公式即可得解. 【详解】 故答案为：1. 13. 方程4x＋|1－2x|＝11的解为________ 【答案】x＝log23 【解析】 【分析】对进行分类讨论，去掉绝对值，利用换元法，将方程转化为一元二次方程的求解即可. 【详解】当x≥0时，原方程化为4x＋2x－12＝0，即(2x)2＋2x－12＝0. ∴(2x－3)(2x＋4)＝0， ∴2x＝3，即x＝log23. 当x＜0时，原方程化为4x－2x－10＝0. 令t＝2x，则t2－t－10＝0(0＜t＜1). 由求根公式得t＝均不符合题意， 故x＜0时，方程无解. 故答案为：. 【点睛】本题考查指数方程的求解，涉及换元法，属综合基础题. 14. 如图，函数的图象和函数的图象的连续两个交点为，若，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对称性知，即为等腰三角形，结合三角函数的周期，求出三角形的底和高，利用列不等式求解即可. 【详解】如图， 根据对称性知，即为等腰三角形， 三角函数的周期，且，取的中点，连接， 则， 由，得或， 则， 则， 因为，所以，解得， 即，解得，所以的取值范围为. 故答案为： 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）已知，求实数的取值范围. 【答案】（1），或； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据求出集合，当时求出集合，即可求； （2）由有，分或两种情况求解即可. 【小问1详解】 因为，或， 当时，， 所以，或； 【小问2详解】 因为，所以，当时，，解得； 当时，或 解得，或， 综上，实数的取值范围为或. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，求函数在上的值域. 【答案】（1）最小正周期， （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒变换化简可得，再由周期公式以及正弦函数的对称轴方程即可求得结果； （2）求出函数的解析式再由复合函数单调性即可得出其值域. 【小问1详解】 ， 函数的最小正周期. 令，解得. 所以图象的对称轴方程为. 【小问2详解】 由题知， 则， 令， 则， 当时，；当时，. 综上可知，所求值域为. 17. 某工厂更新技术开发研制了一款新产品，通过调研知，往年每年生产千件产品，获利千元，且更新技术后需要另外投入费用千元，且每千件产品比之前多盈利2千元，生产的产品供不应求，均能售完. （1）求更新技术后的利润（千元）关于年产量（千件）的函数解析式； （2）更新技术后，当年产量为多少千件时，工厂所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）当产量为3千件时，该工厂利润最大，最大利润是390千元. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由条件可得，即可得到函数关系式； （2）分别求得与的利润最大值，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由已知，， 又 所以 【小问2详解】 当时，，则当时，； 当时，， 当且仅当，即时，. 因为，所以的最大值为390，故当产量为3千件时，该工厂利润最大，最大利润是390千元. 18. 已知函数，. （1）当时，写出的单调递增区间； （2）当时，若直线与函数的图象交于A，B两点，记，求的最大值. 【答案】（1）；（2）4. 【解析】 【分析】（1）由，利用对勾函数的图象和性质求解. （2）由，时，利用对勾函数的图象，分，，讨论求解；时，易知，不成立；时，分别由 ，，求得求解. 【详解】（1）当时，，其图象如图所示： 由图象知的单调递增区间是； （2）由， 当时，函数的图象如图所示： 当，即时， 直线与函数的图象无交点，不符合题意； 当，即时， 直线与函数的图象有一个交点，不符合题意； 当，即时，直线与函数的图象有二个交点， 由，得，则 ， 当时，，直线与函数的图象有一个交点，不符合题意； 当时，函数的图象如图所示： 由 ，得， 解得， 由，得 ， 解得 ， 所以， 所以的最大值是4. 【点睛】关键点点睛：本题关键是分，，，确定函数，利用其图象求解. 19. 对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的. （1）若是由“基函数和”生成的，求的值； （2）试利用“基函数和”生成一个函数，满足为偶函数，且. ①求函数的解析式； ②已知，对于上的任意值，记，求的最大值. 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）利用给定的定义列式，借助恒等式问题列出方程组求解. （2）①利用偶函数的定义可得，再利用求出即得解析式；②利用函数单调性定义证明函数的单调性，再化简求和表达式即可求出最大值. 【小问1详解】 依题意，， 则，于是，解得， 所以实数的值为. 【小问2详解】 ①设， 由为偶函数，得，， 则， 整理得，即，于是， 即对任意恒成立，则， ， 又，则，解得以， 所以函数的解析式为. ②由①知， 在内任取，且， 则. ， 而，，则， ，于是，即， 因此函数在上是增函数，由偶函数的性质知，函数在上是减函数. 设， 则， 所以 ， 当且仅当或时，有最大值， 所以的最大值为. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师大附中2024—2025学年度高一第一学期期末考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 得分：__________ 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若角终边上有一点，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 很多关于大数的故事里（例如“棋盘上的学问”，“64片金片在三根金针上移动的寓言”）都涉及这个数，请你估算大致所在的区间是（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知定义在R上的函数为偶函数,记,则,的大小关系为 A. B. C. D. 8. 对于函数，若存在使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位，得到的图象 C. ，都有 D. 函数的单调递减区间为 10. 已知为圆周率，为自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若有四个不同的实数解，且满足，则下列命题正确的是（ ） A. B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 计算：__________. 13. 方程4x＋|1－2x|＝11的解为________ 14. 如图，函数的图象和函数的图象的连续两个交点为，若，则的取值范围为__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）已知，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，求函数在上的值域. 17. 某工厂更新技术开发研制了一款新产品，通过调研知，往年每年生产千件产品，获利千元，且更新技术后需要另外投入费用千元，且每千件产品比之前多盈利2千元，生产的产品供不应求，均能售完. （1）求更新技术后的利润（千元）关于年产量（千件）的函数解析式； （2）更新技术后，当年产量为多少千件时，工厂所获利润最大？并求出最大利润. 18. 已知函数，. （1）当时，写出的单调递增区间； （2）当时，若直线与函数的图象交于A，B两点，记，求的最大值. 19. 对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的. （1）若是由“基函数和”生成的，求的值； （2）试利用“基函数和”生成一个函数，满足为偶函数，且. ①求函数的解析式； ②已知，对于上的任意值，记，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $