第一章特殊平行四边形综合测试卷2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第一章特殊平行四边形综合测试卷 考试时间：120分钟 满分:120分 题号 一 二 三 总分 得分 第一部分(选择题 共30分) 一、选择题(共10小题，每小题3分，计30分) 1.下列命题为真命题的是( ) A.四个角相等的四边形是矩形 B.对角线垂直的四边形是菱形 C.对角线相等的四边形是矩形 D.四边相等的四边形是正方形 2.平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(-3，0),B(0，2),C(3,0),D(0,-2),则四边形ABCD是( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.以上都不对 3.如图,点O是矩形ABCD 对角线AC 的中点,交AD 于点E.若则OB的长为( ) A.4 B.5 4.平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，由下列条件不能判定这个平行四边形是正方形的是( ) A.∠BAD=90°,AB=AD C. AC⊥BD,AC=BD 5.如图,EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB,CD于点E,F,那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的( ) 6.将一张矩形纸对折再对折(如图)然后沿着图中的虚线剪下，得到①②两部分，将①展开后得到的平面图形是 ( ) A.矩形 B.三角形 C.梯形 D.菱形 7.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC 边上一点，以AE为边作正方形AEFG,若 则 的度数是( ) 8.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于 最小值的是( ) A. AB B. DE C. BD D. AF 9.点P 是正方形ABCD边AB上一点(不与A、B 重合),连接 PD并将线段PD绕点 P顺时针旋转 得线段 PE,连接BE,则 等于( ) 10.如图,在正方形ABCD中,点 E,F分别在BC,CD上, 是等边三角形,连接AC交EF 于点G,下列结论:①BE=DF;②∠DAF= ③AC垂直平分EF;④BE+DF=EF;⑤S△CEF =2S△ABE.其中正确结论有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 第二部分(非选择题 共90分) 二、填空题(共4 小题，每小题3分，计12分) 11.在矩形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，点O到两邻边的距离分别是3cm，4cm，则此矩形的周长为 cm. 12.如图，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD,若 ，则四边形 ABCD 的面积等于 cm². 13.如图,将正方形 ABCD沿BE 对折,使点 A 落在对角线BD 上的 处，连接 则 等于 . 14.如图，将矩形ABCD在直线l 上按顺时针方向无滑动翻滚，可依次得到矩形 矩形 矩形 若 那么 的长为 . 三、解答题(共11小题，计78分) 15.(本题满分5分)已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD 延长线上一点，F是DB 延长线上一点，且. 请你以 F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只须证明一组线段相等即可). (1)连接 ; (2)猜想: (3)证明：(说明：写出证明过程的重要依据) 16.(本题满分5分)如图,四边形ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,且 ，则四边形ABCD 是菱形吗?请说明理由. 17.(本题满分5分)如图，已知 ,N,M分别是AB,CD的中点，判断MN与CD 的位置关系，并说理由. 18.(本题满分5分)如图，四边形ABCD是菱形，且对角线 24，求菱形的边长和高AE 的长. 19.(本题满分7分)如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O,E,F分别在OD,OC上,且 连接DF,AE,并延长AE,其延长线交 DF于点M.求证： 20.(本题满分7分)如图,已知BA=AE=DC,AD=EC,CE⊥AE,垂足为E. (1)求证:△DCA≌△EAC; (2)只需添加一个条件，即 ，可使四边形 ABCD 为矩形.请加以证明. 21.(本题满分7分)如图,在四边形 ABCD 中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB 于点E. (1)求证:四边形 AECD是菱形; (2)若点 E是AB 的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由. 22.(本题满分7分)如图,在△ABC中,AB=AC,点O在△ABC的内部,∠BOC=90°,OB=OC,D,E,F,G分别是AB,OB,OC,AC的中点. (1)求证:四边形 DEFG是矩形; (2)若DE=2,EF=3,求△ABC的面积. 23.(本题满分8分)如图，在平行四边形ABCD中，点M，N是AD 边上的点,BM,CN交于点O,AN=DM,BM=CN. (1)求证：平行四边形ABCD 是矩形. (2)若∠BOC=90°,MN=1,BM=4 求四边形ABCD的面积. 24.(本题满分10分)如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD点P为AD 边上的一点，将正方形纸片折叠，使点B落在点P 处，点C落在点G处,PG交DC 于点H,折痕为EF,连接BP,BH. (1)求证:∠APB=∠BPH. (2)当点 P在边AD上移动(不与点A、点D 重合)时,△PDH 的周长是否发生变化?请证明你的结论. 25.(本题满分12分)如图,Rt△CEF中,∠C=90°,∠CEF,∠CFE 的外角平分线交于点A，过点 A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足. (1)求证：四边形ABCD是正方形. (2)已知AB的长为6,求(BE+6)(DF+6)的值. (3)借助上面问题的解题思路，解决下列问题：若△PQR 中，∠QPR=45°,RQ上的高PH=6,HQ=2,则 HR= . 第一章特殊平行四边形综合测试卷 考试时间：120分钟 满分:120分 题号 一 二 三 总分 得分 第一部分(选择题 共30分) 一、选择题(共10小题，每小题3分，计30分) 1.下列命题为真命题的是( A ) A.四个角相等的四边形是矩形 B.对角线垂直的四边形是菱形 C.对角线相等的四边形是矩形 D.四边相等的四边形是正方形 2.平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(-3，0),B(0，2),C(3,0),D(0,-2),则四边形ABCD是( B ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.以上都不对 3.如图,点O是矩形ABCD 对角线AC 的中点,交AD 于点E.若 则OB的长为( B ) A.4 B.5 4.平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，由下列条件不能判定这个平行四边形是正方形的是( D ) 5.如图,EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB,CD于点E,F,那么阴影部分的面积是矩形 ABCD面积的( B ) 6.将一张矩形纸对折再对折(如图)然后沿着图中的虚线剪下，得到①②两部分，将①展开后得到的平面图形是 ( D ) A. 矩形 B.三角形 C.梯形 D.菱形 7.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG,若 则 的度数是( A ) 8.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于 最小值的是( D ) A. AB B. DE C. BD D. AF 9.点P 是正方形ABCD边AB上一点(不与A、B 重合),连接 PD并将线段PD绕点 P 顺时针旋转得线段 PE,连接BE,则 等于( C ) A.75° B.60° 10.如图,在正方形ABCD中,点 E,F分别在BC,CD上, 是等边三角形,连接AC交EF 于点G,下列结论:①BE=DF;②∠DAF=15°;③AC垂直平分EF;④BE+DF=EF;⑤S△CEF =2S△ABE.其中正确结论有( C ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 第二部分(非选择题 共90分) 二、填空题(共4 小题，每小题3分，计12分) 11.在矩形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，点O到两邻边的距离分别是3cm,4cm,则此矩形的周长为 28 cm. 12.如图，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD,若 ，则四边形 ABCD 的面积等于 13.如图,将正方形 ABCD沿BE 对折,使点 A 落在对角线 BD 上的 处，连接 则 等于 14.如图，将矩形ABCD在直线l 上按顺时针方向无滑动翻滚，可依次得到矩形 矩形 矩形 若 ，那么 的长为 36 . 三、解答题(共11小题，计78分) 15.(本题满分5分)已知：如图，四边形 ABCD是菱形，E是BD 延长线上一点，F是DB 延长线上一点，且 请你以 F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只须证明一组线段相等即可). (1)连接 AF ; (2)猜想: (3)证明：(说明：写出证明过程的重要依据) 证明:∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,∴∠ABF=∠ADE, 在 △ABF 和 △ADE 中, (SAS),∴AF=AE. 16.(本题满分5分)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,且 ，则四边形 ABCD 是菱形吗?请说明理由. 解：四边形ABCD 是菱形，理由如下： ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∴四边形ABCD 是菱形. 17.(本题满分5分)如图,已知∠ACB=∠ADB=90°,N,M分别是AB,CD的中点，判断MN与CD 的位置关系，并说理由. 解:MN⊥CD.理由如下:如图,连接 ND,NC. 在 Rt△ABD 中,∠ADB=90°,N 是AB 的中点, 同理可证 NC= 是等腰三角形.在等腰三角形 NDC 中， ∵M是CD 的中点, ∴MN⊥CD. 18.(本题满分5分)如图,四边形ABCD是菱形,且对角线AC=10,BD=24，求菱形的边长和高AE的长. 解:∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AC⊥BD, 24, ∴AO=5,BO=12, ∴在 Rt△AOB 中, ∴菱形的边长为 13. ∵在菱形 ABCD 中, 19.(本题满分7分)如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O,E,F分别在OD,OC上,且DE=CF,连接DF,AE,并延长AE,其延长线交 DF于点M.求证:AM⊥DF. 证明:∵AC,BD 是正方形ABCD 的两条对角线, ∴AC⊥BD,OA =OD =OC= OB. ∴∠AOE=∠DOF=90°. ∵DE=CF, ∴OE=OF. ∴△AOE≌△DOF. ∴∠OAE=∠ODF. ∵∠DOF=90°, ∴∠DFO+∠FDO=90°. ∴∠DFO+∠FAE=90°. ∴∠AMF=90°. 即AM⊥DF. 20.(本题满分7分)如图,已知BA=AE=DC,AD=EC,CE⊥AE,垂足为E. (1)求证:△DCA≌△EAC; (2)只需添加一个条件,即 AD=BC ,可使四边形 ABCD为矩形.请加以证明. (1) 证 明: 在 △DCA 和 △EAC 中, (2)解:AD=BC.证明:∵AB=DC,AD=BC, ∴四边形ABCD 是平行四边形. ∵CE⊥AE, ∴∠E=90°. 由(1)得△DCA≌△EAC, ∴∠D=∠E=90°. ∴四边形ABCD为矩形.(答案不唯一) 21.(本题满分7分)如图,在四边形 ABCD 中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB 于点E. (1)求证:四边形AECD 是菱形; (2)若点 E是AB 的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由. (1)证明:∵AB∥CD,CE∥AD, ∴四边形AECD 是平行四边形,∠DAC=∠ACE. ∵AC 平分∠BAD, ∴∠EAC=∠DAC. ∴∠EAC=∠ACE. ∴AE=CE. ∴四边形 AECD是菱形. (2)解：△ABC是直角三角形，理由如下：∵点E是AB 的中点, ∴AE=BE. ∵AE=CE, ∴CE=BE. ∴∠EBC=∠ECB. ∵∠EBC+∠BCA+∠BAC=180°,∠EAC=∠ACE, ∴∠BCE+∠ECA=90°,即∠BCA=90°. ∴△ABC 是直角三角形. 22.(本题满分7分)如图,在△ABC中,AB=AC,点O在△ABC的内部,∠BOC=90°,OB=OC,D,E,F,G分别是AB,OB,OC,AC的中点. (1)求证:四边形 DEFG 是矩形; (2)若DE=2,EF=3,求△ABC的面积. (1)证明:如图,连接AO并延长交BC 于H, ∵AB=AC,OB=OC, ∴AH垂直平分BC,即AH⊥BC. ∵D,E,F,G分别是AB,OB,OC,AC的中点, ∴DG∥EF∥BC,DE∥AH∥GF. ∴四边形 DEFG 是平行四边形. ∵EF∥BC,AH⊥BC, ∴AH⊥EF. 又∵DE∥AH, ∴EF⊥DE. ∴四边形 DEFG是矩形. (2)解:∵D,E,F分别是AB,OB,OC的中点, ∴AO=2DE=4,BC=2EF=6. ∵△BOC 是等腰直角三角形， 23.(本题满分8分)如图，在平行四边形ABCD中，点M，N是AD边上的点,BM,CN交于点O,AN=DM,BM=CN. (1)求证:平行四边形 ABCD 是矩形. (2)若∠BOC=90°,MN=1,BM=4 求四边形ABCD的面积. (1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB=DC,AB∥DC, ∴∠A+∠D=180°. ∵AN=DM, ∴AM=DN,在△ABM 和△DCN 中, △DCN, ∴∠A=∠D=90°, ∴平行四边形 ABCD 是矩形. (2)解:∵△ABM≌△DCN, ∴∠AMB=∠DNC, ∵∠BOC=90°, ∴∠AMB+∠DNC=180°-90°=90°, ∴∠AMB=45°, 又∵∠A=90°, ∴∠ABM=∠AMB=45°, ∴AB=AM. 在 Rt△ABM中, 即AB²+AB²=(4 )², ∴AB=AM=4. ∵MN=1, ∴MD=AN=3, ∴AD=AM+MD=7, ∴四边形ABCD的面积为AD×AB=7×4=28. 24.(本题满分10分)如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD 点P为AD 边上的一点，将正方形纸片折叠，使点B落在点P 处，点C落在点G处,PG交DC于点H,折痕为EF,连接BP,BH. (1)求证:∠APB=∠BPH. (2)当点 P在边AD 上移动(不与点A、点D 重合)时,△PDH 的周长是否发生变化?请证明你的结论. (1)证明:由折叠的性质,得∠EPH=∠EBC=90°,PE=BE, ∴∠EBP=∠EPB, ∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP,即∠PBC=∠BPH. ∵AD∥BC, ∴∠APB=∠PBC, ∴∠APB=∠BPH. (2)解:△PDH 的周长不变.证明如下:如图,过点 B 作 BQ⊥PH,垂足为Q. 由(1) 知 ∠APB = ∠BPH. 在 △ABP 和 △QBP 中,QP,AB=QB. ∵AB=BC, ∴BC=BQ.在 Rt△BCH 和 Rt△BQH 中, 的周长为PD+DH+PH=PD+DH+AP+HC=AD+CD=8. 故△PDH 的周长不发生变化. 25.(本题满分12分)如图,Rt△CEF中,∠C=90°,∠CEF,∠CFE 的外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足. (1)求证:四边形ABCD 是正方形. (2)已知AB的长为6,求(BE+6)(DF+6)的值. (3)借助上面问题的解题思路，解决下列问题：若△PQR中，∠QPR=45°,RQ上的高PH=6,HQ=2,则HR= 3 . (1)证明:如右图,过点 A 作AG⊥EF 于点G. ∵AB⊥CE,AD⊥CF, ∴∠B=∠D=90°, ∴∠B=∠C=∠D=90°, ∴四边形ABCD 是矩形. ∵∠CEF,∠CFE 的外平分线交于点A, ∴AB=AG,AD=AG, ∴AB=AD, ∴四边形ABCD 是正方形. (2)解:∵四边形ABCD 是正方形, ∴BC=CD=AB=6.在 Rt△ABE 和 Rt△AGE中，AE=AE, ∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL), ∴BE=GE,同理,Rt△ADF≌Rt△AGF, ∴DF=GF, ∴BE+DF=GE+GF=EF.设BE=x,DF=y,则CE=BC-BE=6-x,CF=CD-DF=6-y,EF=x+y, 在Rt△CEF中由勾股定理得，(6-x)²+(6-y)²=(x+y)², ∴xy+6(x+y)=36, ∴(BE+6)(DF+6)=(x+6)(y+6)= xy+6(x+y)+36=36+36=72. 学科网（北京）股份有限公司 $$