精品解析：云南省大理白族自治州祥云县第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

祥云一中2027届高一年级上学期12月月考 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. -1 B. 1 C. 5 D. 14 3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是 A. B. C. D. 4. 已知，则函数的最小值是（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 5. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. B. 3 C. D. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每个小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 的最大值为2 11. —般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ） A. 若为的“跟随区间”，则 B. 函数存在“跟随区间” C. 若函数存在“跟随区间”，则 D. 二次函数存在“3倍跟随区间” 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则________. 13. 对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 ____. 14. 已知函数，则________；若关于x的方程恰有两个不同的解，则实数k的取值范围是________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算下列各式的值. （1）； （2）. 16. 已知角的终边经过点，求下列各式的值. （1）； （2）. 17. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若方程仅有一个实数解，求的最小值. 18. 设函数，且函数的最小正周期为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间； （3）求函数在区间上的最值. 19. 已知函数. （1）当时，求的值域； （2）若的最小值为，求的值； （3）在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 祥云一中2027届高一年级上学期12月月考 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，，所以， 故选：B. 2. 已知函数，则（ ） A. -1 B. 1 C. 5 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】应用分段函数求函数值即可. 【详解】根据题意，有，而，故， 故选:C. 3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义,奇函数的定义，以及二次函数和一次函数的单调性即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项. 【详解】对于定义域为，不关于原点对称， 是非奇非偶函数，选项错误； 对于是偶函数，但是是减函数，选项错误； 对于是奇函数，选项错误； 对于的定义域为，满足， 是偶函数，且在是递增的，选项正确，故选D. 【点睛】本题主要考查奇函数和偶函数的定义，以及二次函数和一次函数的单调性，属于基础题. 4. 已知，则函数的最小值是（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值是20， 故选：D. 5. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数经过定点，将此点代入幂函数中即可求出表达式，进而求出. 【详解】∵幂函数的图象过点，∴，解得，∴，所以， 故选：A. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，判断大致范围即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以. 故选：C 7. 已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次不等式恒成立问题可转化为二次方程解的情况，可得不等式，解不等式即可. 【详解】因为命题：，为真命题，所以不等式的解集为. 若，则不等式可化为，解得，不等式解集不是； 若，则根据一元二次不等式解集的形式可知：，解得， 综上可知：， 故选：D. 8. 定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数的定义可得，且时，；时，，再分别讨论，，解不等式可得所求解集. 【详解】定义在上的奇函数满足，可得， 当时，，当时，，可得时，；时，， 则等价为或，解得或，即所求解集为. 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每个小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的性质，以及作差法，判断选项. 【详解】对于A，由，，可得，，故，所以A正确； 对于B，若，则，所以B正确； 对于C，若，，则，所以，所以C正确； 对于D，因为，又因为，可得，，所以，所以，所以D错误. 故选：ABC. 10. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 的最大值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦函数周期判断A,代入判断对称轴及对称中心判断B,C,应用正弦函数的最值判断D. 【详解】对于函数，它的最小正周期为，故A正确； 由于，不是最值，故它的图象不关于直线对称，故B错误； 由于，故它的一个零点为，故C正确； 当，时，函数取得最大值为2，故D正确， 故选:ACD. 11. —般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ） A. 若为的“跟随区间”，则 B. 函数存在“跟随区间” C. 若函数存在“跟随区间”，则 D. 二次函数存在“3倍跟随区间” 【答案】CD 【解析】 【分析】根据“跟随区间”的定义对选项逐一分析，根据函数的单调性、值域等知识确定正确答案. 【详解】对于A选项，因为在其“跟随区间”单调递增， 由“跟随区间”的定义可知，解得或（舍去），故A选项错误； 对于B选项，因为函数在区间与上均为增函数， 若存在跟随区间，则有，即为的两根． 即的根，而，故方程无解，故B选项错误； 对于C选项，函数在其定义域上单调递减. 若函数存在“跟随区间”，则有， 即 ，两式作差得：， 所以， 又因为，所以，即，所以， 而，不妨设，， 所以只需，，所以，故C选项正确； 对于D选项，假设存在“3倍跟随区间”， 又在“3倍跟随区间”上单调递增，由“3倍跟随区间”的定义可知， 解方程得或， 故 存在“3倍跟随区间”使得其值域为，故D选项正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：理解新定义以及合理转换已知条件是解决问题的关键. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】由三角函数的定义求出，然后利用诱导公式化简式子计算即可. 【详解】由题意知， 所以. 故答案为：. 13. 对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 ____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先得，然后代入得，由此即可得解. 【详解】因为函数 的图象恒过定点，所以，所以， 所以， 又的图象也过点， 所以，又，解得， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数，则________；若关于x的方程恰有两个不同的解，则实数k的取值范围是________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据题干将代入得到，再将4代入即可求得；x的方程恰有两个不同的解，画出函数图像观察图像即可得到实数k的取值范围. 【详解】易知，所以； 又当时，单调递减，且， 当时，单调递减，且，作出函数的图象如图， 所以方程有两个不同解，即函数与有两个不同交点，显然. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算下列各式的值. （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算求解； （2）根据对数的运算性质求解. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式 . 16. 已知角的终边经过点，求下列各式的值. （1）； （2）. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先应用诱导公式化简再应用终边上点求出正切即可求值； （2）先应用把原式化成分式再结合弦化切计算即可. 【小问1详解】 因为角的终边经过点， 所以， 故 . 【小问2详解】 . 17. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若方程仅有一个实数解，求的最小值. 【答案】（1）或. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二次不等式的解集和二次方程的关系，结合韦达定理求解； （2）根据判别式先进行条件转化，然后结合基本不等式中“的妙用”求解. 【小问1详解】 由题意，知方程的两根为和1， 所以， 解得或. 【小问2详解】 由题意，方程仅有一个实数解， 即， 即，所以，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 18. 设函数，且函数的最小正周期为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间； （3）求函数在区间上的最值. 【答案】（1） （2），. （3）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）由函数的最小正周期为，利用，即可求得结果. （2）利用整体带入思想，令，，即可求得函数的单调递减区间. （3）由x的范围，先算出，进而求出最值. 【小问1详解】 ∵函数的最小正周期为， ∴，∴，∴ 【小问2详解】 令，， 解得，. ∴函数的单调递减区间为，. 【小问3详解】 ∵，得， ∴，得， 当时，；当时，. ∴可得函数在区间上的最大值为，最小值为. 19. 已知函数. （1）当时，求的值域； （2）若的最小值为，求的值； （3）在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用指数函数的值域，结合二次函数求出值域. （2）按分类，结合指数函数的值域及二次函数求出取得最小值的. （3）由（2）的结论，等价变形不等式，分享参数并构造函数，求出最小值即可得解. 【小问1详解】 当时，，而， 所以的值域为. 【小问2详解】 令，函数， 当，即时，在上递增，此时无最值，不满足题意； 当，即时，在上递减，在上递增， 所以，而，解得， 所以的最小值为时，. 【小问3详解】 由（2）知，， 不等式， 设，依题意，有实数解， 而，则，当且仅当，即时取等号， 因此，解得， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $