19.3正方形同步练习2024-2025学年 华东师大版数学八年级下册

19.3正方形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在正方形ABCD中，点M，N为边BC和CD上的动点（不含端点），若，，则△MNC的周长是（    ） A． B．2 C． D．3 2．下列命题错误的是（    ） A．对角线垂直且相等的四边形是正方形 B．对角线互相垂直平分的四边形为菱形 C．对角线相等且平分的四边形为矩形 D．顺次连接四边形各边中点得到的是矩形，则该四边形的对角线相互垂直 3．如图，正方形ABCD边长为2，点P是线段CD边上的动点（与点C，D不重合）， ，过点A作AE∥BP，交BQ于点E，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，有一正方形的纸片ABCD，边长为6，点E是DC边上一点且DC＝3DE，把ADE沿AE折叠使ADE落在AFE的位置，延长EF交BC边于点G，连接BF有以下四个结论： ①∠GAE＝45°； ②BG+DE＝GE； ③点G是BC的中点； ④连接FC，则BF⊥FC； 其中正确的结论序号是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③ 5．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（　　） A．cm2 B．cm2 C． cm2 D．（）ncm2 6．顺次连接平行四边形四边的中点所得的四边形是（ ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 7．如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE＝AC，连接AE交CD于点F，则∠E＝（   ） A．22.5° B．30° C．35° D．45° 8．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形EFGO绕点旋转，若两个正方形的边长相等，则两个正方形的重合部分的面积（　　） A．由小变大 B．由大变小 C．始终不变 D．先由大变小，然后又由小变大 9．下列命题中，正确的是（　　） A．菱形的对角线相等 B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．矩形的对角线不能相等 10．如图，在正方形中，连接，平分交 于点E，过点C作 交的延长线于点F．若 ，则的长为 （   ） A．5 B．6 C．7 D．8 11．将三个全等的小正方形按如图所示摆放在长方形内部，其中分别在长方形的边上，若，，则图中小正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 12．在平面直角坐标系中，正方形如图摆放，已知，，则点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 13．如图1，在正方形中，点E是边的中点，点P是对角线上一动点，设，，图2是y关于x的函数图像，则图像上最低点Q的坐标是 ． 14．如图，矩形的一个顶点落在边长为3的正方形中心（正方形对角线交点），则图中重合部分（阴影部分）的面积为 平方单位． 15．如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到，若，则的长为 ． 16．如图所示，把正方形ABCD中的∠A折叠，折痕为EF，则∠1+∠2的度数为 ． 17．如图，在边长为10的正方形中，点P为对角线上一动点，于E，于F，则的最小值为 ．    三、解答题 18．某小区要在面积为128平方米的正方形空地上建造一个休闲园地，并进行规划（如图）：在休闲园地内建一个面积为72平方米的正方形儿童游乐场，游乐场两边铺设健身道，剩下的区域作为休息区．现在计划在休息区内摆放占地面积为31.5平方米“背靠背”休闲椅（如图），并要求休闲椅摆放在东西方向上或南北方向上，请通过计算说明休息区内最多能摆放几张这样的休闲椅． 19．已知，将水平向右平移AD的长度得到其中点C与点D对应，点B与点A对应，点F与点E对应，过点E作BD的垂线，垂足为M，连接AM． (1)根据题意补全图形，并证明； (2)①用等式表示线段AM与CF的数量关系，并证明； ②用等式表示线段AM，BM，DM之间的数量关系直接写出即可 20．问题探究    (1)如图①，在四边形中，，，，，则的面积________． (2)如图②，在中，点A是平面内一动点，且始终满足，，求的最小值． (3)如图③，四边形为公园中的一片花圃，现计划在四边形内找一点P，连接，使得将四边形分成面积相等的两部分，分别用于种植两种不同品种的花，同时沿着修一条观赏的道路．为了降低成本，公园管理人员希望的和最小．以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立如图③所示的平面直角坐标系，根据测量的数据可得：，，，请探究是否存在满足要求的点P，若存在，请在图中作出点P，并求出点P的坐标；若不存在，说明理由 21．《九章算术》勾股章[一五]问“勾股容方”描述了关于图形之间关系的问题：如图，知道一个直角三角形较短直角边（“勾”）与较长直角边（“股”）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得．（我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“所容正方形”） 其文如下： 问题：一个直角三角形两直角边的长分别为和，它的“所容正方形”的边长是多少？ 答案：． 解： (1)已知：如图，在中，，若，，求“所容正方形”的边长． (2)应用（1）中的结论解决问题：如图，中山公园有一块菱形场地，其面积为，两条对角线长度之和为．现要在这个菱形场地上修建一个正方形花圃，并且要使正方形花圃的四个顶点分别落在菱形场地的四条边上，则该正方形花圃的边长为多少？ 22．如图，在四边形中，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度向终点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．    (1)当四边形是平行四边形时，求的值． (2)当____________时，四边形是矩形． (3)若，且点的运动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则点的运动速度是____________． (4)在点，运动过程中，四边形能否成为菱形，若能，请求出值；若不能，请说明理由． 23．由特殊到一般、类比、转化是数学学习和研究中经常用到的思想方法，下面是对一道几何题进行变式探究的思路，请你运用上述思想方法完成探究任务． 问题情境：在四边形中，是对角线，为边上一点，连接.以为旋转中心，将线段顺时针旋转，旋转角与相等，得到线段，连接． （1）特例分析：如图1，若四边形是正方形，则与位置关系是_________．此时可以过点作的平行线来对结论进行证明（这里不要求证明） （2）拓展探究：如图2，若四边形是菱形，当时，求的度数； 24．如图1，正方形中，点O是对角线的中点，点P是线段上（不与A、O重合）的一个动点，过点P作且交边CD于点E． (1)求证：； (2)若正方形的边长为6． ①过点E作于点F，如图2，则在点P运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，请直接写出这个不变的值；若变化，请说明理由． ②连接交于点G，在点P运动的过程中，当，求的长． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《19.3正方形》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B A B D A C C B 题号 11 12 答案 B B 1．C 【分析】先将绕点A顺时针旋转得，再根据条件证得与，得出的周长为，进而求解． 【详解】解：如图，将绕点A顺时针旋转得， 则，， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 的周长为： ， ， 的周长为． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质及旋转的应用，解题的关键是旋转图形得到全等三角形． 2．A 【分析】考查了命题与定理的知识，利用菱形、正方形的判定方法、矩形的判定的知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误，符合题意； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，不符合题意； C、对角线相等且平分的四边形为矩形，正确，不符合题意； D、顺次连接四边形各边中点得到的是矩形，则该四边形的对角线相互垂直，正确，不符合题意． 故选：A． 3．B 【详解】试题分析：连接AP，作EM⊥PB于M ，由平行线的性质可知，所以可得，再根据等腰直角三角形可求得，由此可求得. 故选B 考点：1、正方形，2、三角形的面积 4．A 【分析】先计算出DE＝2，EC＝4，再根据折叠的性质AF＝AD＝6，EF＝ED＝2，∠AFE＝∠D＝90°，∠FAE＝∠DAE，然后根据“HL”可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则GB＝GF，∠BAG＝∠FAG，所以∠GAE＝∠BAD＝45°；GE＝GF+EF＝BG+DE；设BG＝x，则GF＝x，CG＝BC﹣BG＝6﹣x，在Rt△CGE中，根据勾股定理得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3，则BG＝CG＝3，则点G为BC的中点；同时得到GF＝GC，根据等腰三角形的性质得∠GFC＝∠GCF，再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB＝∠AGF，然后根据三角形外角性质得∠BGF＝∠GFC+∠GCF，易得∠AGB＝∠GCF，根据平行线的判定方法得到CF∥AG，再证出AG⊥BF，即可得出BF∥FC． 【详解】解：连接AG，AG和BF交于H，如图所示： ∵正方形ABCD的边长为6，DC＝3DE， ∴DE＝2，EC＝4， ∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置， ∴AF＝AD＝AB＝6，EF＝ED＝2，∠AFE＝∠D＝90°，∠FAE＝∠DAE， 在Rt△ABG和Rt△AFG中， ， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）， ∴GB＝GF，∠BAG＝∠FAG， ∴∠GAE＝∠FAE+∠FAG＝∠BAD＝45°，①正确； ∴GE＝GF+EF＝BG+DE，②正确； 设BG＝x，则GF＝x，CG＝BC﹣BG＝6﹣x， 在Rt△CGE中，GE＝x+2，EC＝4，CG＝6﹣x， ∵CG2+CE2＝GE2， ∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3， ∴BG＝3，CG＝6﹣3＝3， ∴BG＝CG，即点G为BC的中点，③正确； ∴GF＝GC， ∴∠GFC＝∠GCF， 又∵Rt△ABG≌Rt△AFG， ∴∠AGB＝∠AGF， 而∠BGF＝∠GFC+∠GCF， ∴∠AGB+∠AGF＝∠GFC+∠GCF， ∴∠AGB＝∠GCF， ∴FC∥AG， ∵AB＝AF，BG＝FG， ∴AG⊥BF， ∴BF⊥FC，④正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、平行线的判定等知识；熟练掌握折叠的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 5．B 【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和． 【详解】由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是， 5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4， n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n-1）=cm2． 故选：B． 【点睛】考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积． 6．D 【详解】顺次连接四边形四边的中点所得的四边形是平行四边形， 如果原四边形的对角线互相垂直，那么所得的四边形是矩形， 如果原四边形的对角线相等，那么所得的四边形是菱形， 如果原四边形的对角线相等且互相垂直，那么所得的四边形是正方形， 因为平行四边形的对角线不一定相等或互相垂直，因此得平行四边形． 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形和特殊平行四边的判定.熟练掌握判定定理是解题的关键． 7．A 【分析】根据正方形的性质可得∠ACB＝45°，再根据等腰三角形的性质即可得到结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝45°， ∴∠E＝∠CAE=45°， ∵CE＝AC， ∴∠E＝∠CAE＝∠ACB＝22.5°． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形外角的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质． 8．C 【分析】根据正方形的性质得出OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOC=∠EOG=90°，推出∠BON=∠COM，证出△OBN≌△OCM，从而可得答案． 【详解】解：重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的． 理由如下： 如图，∵四边形ABCD和四边形OEFG都是正方形， ∴OB=OC，∠OBA=∠OCB=45°，∠BOC=∠EOG=90°， ∴∠BON=∠MOC． 在△OBN与△OCM中， ∠OBA=∠OCB，OB=OC，∠BON=∠MOC， ∴△OBN≌△OCM（ASA）， ∴四边形OMCN的面积等于△BOC的面积， 即重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的． 故选C． 【点睛】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能推出四边形OMCN的面积等于△BOC的面积是解此题的关键． 9．C 【分析】根据菱形、平行四边形、正方形、矩形的性质逐项判断即可得出答案． 【详解】解：菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，故选项A说法错误，不合题意； 平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B说法错误，不合题意； 正方形的对角线相等且互相垂直，故选项C说法正确，符合题意； 矩形的对角线一定相等，故选项D说法错误，不合题意； 故选C． 【点睛】本题考查菱形、平行四边形、正方形、矩形的性质，以及轴对称、中心对称图形的识别，属于基础题，熟练掌握特殊平行四边形的特点是解题的关键． 10．B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，延长，，相交于点P，证明，得出，可求出，证明，得出即可． 【详解】解：延长，，相交于点P， ∵，平分， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， 故选：B． 11．B 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形，设每个直角三角形的较大的直角边为，较小的直角边为，根据，列出二元一次方程组，求出和，再求出边长即可． 【详解】解：将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形， 设每个直角三角形的较大的直角边为，较小的直角边为， ，， ， 解得， 小正方形的边长为：． 故选：B． 12．B 【分析】根据题意首先过点C作轴于点E，易得，然后由全等三角形的性质，证得，，继而分析求得答案． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴顶点C的坐标为． 故选B． 【点睛】本题考查正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 13． 【分析】连接，由B、D关于对称，推出，得出，得出当D、P、E共线时，的值最小，设正方形的边长为，则，，分别求出的最小值和的长即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，设正方形ABCD的边长为， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∵正方形是轴对称图形，关于对称，点B和点D是一组对应点， ∴点B、D关于对称， ∴， ∴， ．当D、P、E共线时，的值最小，如下图： 在中，， ∴的最小值为， ∴点Q的纵坐标为， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴点Q的横坐标为， ∴点Q的为， 结合图2可知，当点P与点C重合时， ， 解得：， ∴点Q的坐标为． 【点睛】本题考查动点问题的函数图像．解答本题的关键是利用数形结合的思想，把函数图像上最低点的纵坐标转化为求两条线段长度和的最小值来解答． 14． 【详解】分析：在图形中标注字母，根据图形和题意可以推出△OBG≌△ODH，所以重合部分的面积为△OBD的面积． 详解：如图，∵四边形ABDC是正方形，OEFM是矩形，∴∠OBG=∠ODH=45°，OB=OD，∠GOH=∠BOD，∴∠BOG=∠DOH，∴△OBG≌△ODH．     又∵正方形的边长为3，∴OB=OD=，∴四边形OGBH的面积=S△OGB+S△OBH =S△OHD+S△OBH=S△OBD ==．     故答案为．      点睛：本题主要考查了正方形的性质定理、三角形的面积、全等三角形的判定和性质．解题的关键在于找到全等三角形进行代换． 15．2 【分析】根据旋转的性质可得AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF，然后根据正方形的性质和等量代换可得∠GAE=∠FAE，进而可根据SAS证明△GAE≌△FAE，可得GE=EF，设BE=x，则CE与EF可用含x的代数式表示，然后在Rt△CEF中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程即得答案． 【详解】解：∵将△绕点顺时针旋转得到△， ∴AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF， ∵，∠BAD=90°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠BAE+∠BAG=45°，即∠GAE=45°， ∴∠GAE=∠FAE， 又AE=AE， ∴△GAE≌△FAE（SAS）， ∴GE=EF， 设BE=x，则CE=6－x，EF=GE=DF+BE=3+x， ∵DF=3，∴CF=3， 在Rt△CEF中，由勾股定理，得：， 解得：x=2，即BE=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识、灵活应用方程思想是解题的关键． 16．180° 【分析】根据折叠的性质、正方形的性质以及三角形内角和、四边形内角和、邻补角的定义即可求解． 【详解】由折叠知：∠A=∠A′， ∵正方形ABCD ∴∠A=∠A′=90°， ∵∠A+∠A′+∠A′FA+∠A′EA=360°， ∴∠A′FA+∠A′EA=180°， ∵∠1=180°-∠A′FA，∠2=180°-∠A′EA， ∴∠1+∠2=360°-（∠A′FA+∠A′EA）=180°． 故答案为：180°． 【点睛】此题考查折叠的性质，角的计算的运用，解题关键在于掌握其性质． 17． 【分析】连接，，设交于点O，如图，证明四边形是矩形，得出，可得当时，最小，即最小，即为的长，根据正方形的性质求出即可． 【详解】解：连接，，设交于点O，如图， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当时，最小，即最小，即为的长， ∵， ∴， 即的最小值为； 故答案为：．    【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、垂线段最短等知识，正确理解题意,得出最小时的位置是解题的关键． 18．休息区只能摆放张这样的休闲椅． 【分析】先根据正方形的空地面积求出正方形空地的边长，根据儿童游乐场的面积求出儿童游乐场的边长，即可得出休息区东西向和南北向的边长，已知休闲椅的长和宽，利用无理数估算大小的方法，即可知休息区只能摆放几张这样的休闲椅． 【详解】如图3：由题得， 正方形空地的边长为(米) 儿童游乐场的边长为 (米) ∵ (米) ∴休息区东西向和南北向的边长分别为米，米 ∵ ∴ ∴休闲椅只能东西方向摆放，且只能摆放一排 ∵ ∴ ∴休闲椅在东西方向上可并列摆放张 综上所述，休息区只能摆放张这样的休闲椅 【点睛】本题考查了正方形的性质，已知面积可求得边长，题中应用了无理数大小的估算，要想准确的估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方，一般情况下从1到20整数的平方都应牢记． 19．(1)见解析 (2)①，理由见解析  ② 【分析】（1）如图所示，根据四边形ABCD是正方形，BD是对角线，得出，根据，可证是等腰直角三角形即可； （2）先证≌得，由知，证≌得，，由知是等腰直角三角形，从而得； 连接DE，证四边形CDEF是平行四边形得，由，知，结合，得，从而得出答案． 【详解】（1）如图所示， ∵DC=AB=AD=BC， ∴四边形ABCD为菱形， ∵∠DAE=90° ∴四边形ABCD为正方形， BD是正方形ABCD对角线， ， ， ∴∠EMB=90°，∠MEB=180°-∠EMB-∠ABD=180°-90°-45°=45°， ∴∠MEB=∠MBE=45°， 是等腰直角三角形， ； （2）①如图所示，连接CM、FM， 是等腰直角三角形， ，， ， 又， 在△AEM和△FBM中， ， ≌， ， ， ， ∵BD为对角线， ∴∠MBC=45°， ∴∠MBC=∠MEF=45°， 在△MEF和△MBC中， ， ≌， ，， ， ∴∠CMF=∠CMB-∠BMF=∠EMF-∠BMF=∠EMB=90°， ∴△CMF为等腰直角三角形， ∴CF=； ， 如图， ， ， 又且， ，， 四边形CDEF是平行四边形， ， ，， ， 又，， ， 则． 【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形与等腰直角三角形及平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点． 20．(1) (2)； (3)． 【分析】（1）根据两个三角形同底等高求出的面积即可； （2）过点作，作点关于的对称点，连接交于点，最小，再利用勾股定理求出最小值； （3）连接，，取的中点，连接，，作，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，则此时的值最小，且折线、把四边形的面积分成相等的两部分，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴ ∵ ∴点和点到的距离相等， ∴， 故答案为：； （2）过点作，作点关于的对称点，连接交于点，如下图：    ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴的最小值为； （3）连接，，取的中点，连接，，作，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，如下图：    则此时的值最小，且折线、把四边形的面积分成相等的两部分， 理由：∵ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵，，，， 设直线的解析式为，代入，可得 ，解得 ∴直线的解析式为：， ∵ 设直线：，将点代入得： 解得： ∴的解析式为： ∵关于直线对称，设 ∴，且的中点在直线上， 则，解得或（舍去） ∴ 设直线的解析式为，将，代入可得： 解得 则直线的解析式为： 由，解得 ∴． 【点睛】本题考查了四边形综合题，考查了轴对称最短问题，平行线的性质，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 21．(1)正方形边长为； (2)该正方形花圃的边长为． 【分析】本题考查的知识点是正方形的判定与性质、菱形性质，解题关键是正确理解题意、熟练掌握相关图形的性质、合理利用所求的相关结论作答． （1）连接，设正方形的边长为，即，根据面积计算的不同方式即可求得正方形边长； （2）设菱形两条对角线交于点，其长度分别为，，根据题意得到、的值，判定四边形为正方形，且为直角的“所容正方形”后结合（1）中得到的结论即可得到正方形花圃的边长． 【详解】（1）解：连接，如图，设正方形的边长为，则， 四边形是正方形， ，，， 在中，，，， ， 即， ， ． 故“所容正方形”的边长为． （2）解：如图，设菱形的两条对角线交于点，且其长度分别为，， 则，，， 根据题意可得：，整理得， 若正方形为在这个菱形场地上修建的正方形花圃，则根据菱形和正方形的对称性可得，，则四边形也为正方形，且这个正方形为直角三角形的“所容正方形”， 则由（1）的结论可得：正方形的边长， 正方形的边长为， 即在这个菱形场地上按要求修建的正方形花圃的边长为． 22．(1) (2) (3) (4)不能，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形，矩形，正方形，菱形的知识，解题的关键是掌握平行四边形，矩形，正方形，菱形的性质，根据动点的运动轨迹和运动速度，进行解答，即可． （1）根据题意，则，；根据四边形是平行四边形，则，即可； （2）根据矩形的性质，则，即可； （3）根据正方形的性质，则，设的运动速度为：，则，解出，即可； （4）根据菱形的性质，直角三角形的三边的关系，进行解答，即可． 【详解】（1）∵设运动时间为t秒，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度向终点运动， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． （2）由（1）得，； ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴ ∴ ∴． （3）∵四边形是正方形， ∴， 设的运动速度为： ∴， 解得：， ∴当点是运动速度为时，四边形是正方形． （4）四边形不能成为菱形，理由如下： 连接，，， ∵四边形中，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，， 假设四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴是直角三角形的斜边，且直角边大于斜边，即， ∴假设不成立， ∴四边形不能成为菱形．    23．（1）；（2）50°． 【分析】（1）如图1中，作EH∥AC交AB于H．只要证明△HAE≌△CEF，即可推出∠AHE=∠ECF=135°，由∠BCA=45°，推出∠ACF=90°； （2）如图2中，作EH∥AC交AB于H．只要证明△HAE≌△CEF，即可解决问题． 【详解】解：（1）证明：如图1中，作EH∥AC交AB于H．   ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠BAC=∠BCA=45°， ∵EH∥AC， ∴∠BHE=∠BAC=45°，∠BEH=∠BCA=45°， ∴∠BHE=∠BEH=45°，∠AHE=135°， ∴BH=BE， ∴AH=CE， ∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF， ∵∠AEF=∠B=90°， ∴∠HAE=∠CEF， 在△HAE和△CEF中， ∴△HAE≌△CEF， ∴∠AHE=∠ECF=135°， ∵∠BCA=45°， ∴∠ACF=90°， ∴AC⊥CF． 故答案为：AC⊥CF. （2）如图2中，过点E作EH∥AC交AB于H. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，∠BAC＝∠BCA， ∵EH∥AC， ∴∠BHE＝∠BAC，∠BEH＝∠BCA， ∴∠BHE＝∠BEH， ∴BH＝BE， ∴AH＝CE， ∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF， ∵∠AEF＝∠B， ∴∠HAE＝∠CEF， 在△HAE和△CEF中， ， ∴△HAE≌△CEF， ∴∠AHE＝∠ECF， ∵∠B＝50°， ∴∠BHE＝∠ACB＝65°， ∴∠AHE＝∠ECF＝115° ∴∠ACF＝115°﹣65°＝50°. 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形，菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题． 24．(1)见解析； (2)①的长不发生变化，为定值；②． 【分析】（1）过点P作，根据正方形的性质和同角的余角相等，证明，即可得证． （2）①连接，根据正方形的性质，对角线垂直和同角的余角相等，证明，即可得解； ②过点P作，利用正方形的性质，求出，过G作于Q，于H，利用，求出，再用即可得解． 【详解】（1）证明：如图1，过点P作，交于点M，交于点N． 则， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：①在P点运动的过程中，的长度不发生变化．理由如下： 如图2，连接． ∵四边形是边长为6的正方形， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 由（1）得：， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的长不发生变化，为定值． ②过点P作，交于点M，交于点N． 由（1）可知，，和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 过G作于Q，于H， 则，是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， 即的长为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质．根据正方形的性质添加合适的辅助线证明三角形全等是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$