第一章特殊平行四边形测试卷2024-2025学年北师大版九年级数学上册

第一章特殊平行四边形测试卷 考试时间：45分钟 满分:100分 题号 — 二 三 总分 得分 第一部分(选择题 共20分) 一、选择题(共10小题，每小题2分，计20分) 1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是( ) A.对角线相等 B.对角线平分一组对角 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 2.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是( ) A.∠ABC=90° B. AC⊥BD C. AB=CD D.∠A=∠C 3.一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为( ) A.8 B.12 C.16 D.32 4.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是( ) A. AB∥CD B. AD=BC C.∠AOB=45° D.∠ABC=90° 5.如图,在正方形ABCD中,△ABE和△CDF为直角三角形, ∠CFD=90°,AE=CF=5,BE=DF=12,则EF的长是( ) A.7 B.8 6.已知四边形ABCD的对角线AC与BD 相交于点O，有下列条件：①AB=AD;②∠DAB=90°;③AO=CO,BO=DO;④四边形 ABCD 为矩形；⑤四边形ABCD为菱形；⑥四边形 ABCD为正方形.则下列推理不成立的是( ) A.①④⇒⑥ B.①③⇒⑤ C.①②⇒⑥ D.②③⇒④ 7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,若∠A=26°,则∠BDC的度数是( ) A.26° B.38° C.42° 8.如图,在四边形 ABCD 中,. 过点 D作 于点H，则DH的长是( ) A.7.5 B.7 C.6.5 D.5.5 9.如图,在△ABC中,A ，P为边BC上一动点， AB于点E,PF⊥AC于点F,M为EF的中点,则AM的最小值为( ) 10.如图,在矩形 ABCD 内有一点 F,BF 与CF 分别平分 和∠BCD,点 E 为矩形ABCD 外一点,连接BE,CE.给出下列四个条件:①BE∥CF,CE∥BF;②BE=CE,BE=BF;③BE∥CF,CE⊥BE;④BE=CE,CE∥BF.其中能判定四边形 BFCE是正方形的共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第二部分(非选择题 共80分) 二、填空题(共4 小题，每小题3分，计12分) 11.如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋.若改变框架的形状，则 也随之变化，两条对角线长度也在发生改变.当 的度数为 时，两条对角线长度相等. 12.如图，菱形 ABCD中，点E 是对角线AC 上一点，BE 的延长线交边CD 于点 F.若 则 的度数 . 13.如图，四边形ABCD为矩形，过点 D作对角线BD 的垂线，交 BC 的延长线于点 E,取 BE的中点F,连接DF, 设 则 的值为 . 14.如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在CD,AD上,CE=DF，BE，CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形 ABCD的面积之比为2:3,则△BCG 的周长为 . 15.(本题满分4分)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是AC,BD的中点,那么 MN⊥BD 吗? 试说明理由. 请将下面解答过程补充完整： 解:MN⊥BD. 理由:连接DM,BM. ∵∠ABC=∠ADC=90°,M是AC的中点, ∴ . 又∵N为BD 的中点,∴ 三、解答题(共 11小题，计68分) 16.(本题满分4分)如图，在矩形ABCD中，已知对角线 AC与BD 相交于点O，△OBC的周长为16，且BC=7，求矩形对角线的长. 17.(本题满分4分)已知:如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AB,BC边长的一点,且AE=CF.求证:DE=DF. 18.(本题满分4分)如图，将矩形纸片ABCD沿着对角线BD 折叠，使点C落在点 处， 交AD于点E, 求DE的长. 19.(本题满分6分)如图，在 中， ，垂足分别为点E,F,且. (1)求证: 是菱形. (2)若 求 的面积. 20.(本题满分6分)如图，四边形ABCD和四边形CEFG都 是正方形.求证： 21.(本题满分6分)如图,D是△ABC中BC边上的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且BE=CF. (1)求证:△ABC是等腰三角形; (2)当∠A=90°时，试判断四边形 AEDF 是怎样的四边形，并证明你的结论. 22.(本题满分6分)如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，经过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点 F. (1)求证:OE=OF. (2)若CE=12,CF=5,求OC的长. 23.(本题满分7分)如图，已知四边形ABCD是正方形， 点 E为对角线AC上一动点，连接DE，过点 E作EF⊥DE，交射线 BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. (1)求证:矩形 DEFG是正方形. (2)探究：CE+CG是否为定值；若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 24.(本题满分9分)[阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点. 为端点的线段的中点坐标为 [运用] (1)如图,矩形ONEF 的对角线相交于点M,ON,OF分别在x 轴和y轴上，O为坐标原点，点E 的坐标为(4，3)，则点 M 的坐标为 ; (2)在平面直角坐标系中,有A(-1,2),B(3,1),C(1,4)三点,另有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，求点 D的坐标. 25.(本题满分12分)如图，在平行四边形ABCD中， cm, 点M,N分别以A,C为起点, 的速度沿AD,CB方向运动，设点 M，N运动的时间为 (1)求BC边上的高AE 的长. (2)连接AN,CM,当t为何值时,四边形 AMCN 为菱形? (3)过点M作. 于点P，过点 N作 于点Q，当t为何值时，四边形 MPNQ为正方形? 第一章特殊平行四边形测试卷 考试时间：45分钟 满分:100分 题号 — 二 三 总分 得分 第一部分(选择题 共20分) 一、选择题(共10小题，每小题2分，计20分) 1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是( C ) A.对角线相等 B.对角线平分一组对角 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 2.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是( B ) A.∠ABC=90° B. AC⊥BD C. AB=CD D.∠A=∠C 3.一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为( C ) A.8 B.12 C.16 D.32 4.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是( D ) A. AB∥CD B. AD=BC C.∠AOB=45° D.∠ABC=90° 5.如图,在正方形ABCD中,△ABE 和△CDF为直角三角形,∠AEB=∠CFD=90°,AE=CF=5,BE=DF=12,则EF的长是( C ) A.7 B.8 6.已知四边形ABCD的对角线AC与BD 相交于点O，有下列条件：①AB=AD;②∠DAB=90°;③AO=CO,BO=DO;④四边形 ABCD 为矩形；⑤四边形ABCD为菱形；⑥四边形 ABCD为正方形.则下列推理不成立的是( C ) A.①④⇒⑥ B.①③⇒⑤ C.①②⇒⑥ D.②③⇒④ 7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,若∠A=26°,则∠BDC的度数是( D ) A.26° B.38° C.42° D.52° 8.如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠ABC=∠ADC=90°,BC=2,CD=11,过点D作DH⊥AB于点H,则 DH 的长是( A ) A.7.5 B.7 C.6.5 D.5.5 9.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,M为EF 的中点,则AM的最小值为( D ) 10.如图,在矩形 ABCD 内有一点 F,BF 与CF 分别平分∠ABC 和∠BCD,点 E 为矩形ABCD 外一点,连接BE,CE.给出下列四个条件:①BE∥CF,CE∥BF;②BE=CE,BE=BF;③BE∥CF,CE⊥BE;④BE=CE,CE∥BF.其中能判定四边形 BFCE是正方形的共有( D ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第二部分(非选择题 共80分) 二、填空题(共4 小题，每小题3分，计12分) 11.如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋.若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变.当∠α的度数为 90° 时，两条对角线长度相等. 12.如图，菱形ABCD中，点E 是对角线AC 上一点，BE 的延长线交边CD 于点F.若∠1+∠2=75°,则∠3的度数 30°. 13.如图，四边形ABCD为矩形，过点 D作对角线BD 的垂线，交 BC的延长线于点E,取BE的中点F,连接DF,DF=4.设AB=x,AD=y,则 的值为 16 . 14.如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在CD,AD上,CE=DF，BE，CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形 ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为 +3 . 三、解答题(共 11小题，计68分) 15.(本题满分4分)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是AC,BD 的中点,那么 MN⊥BD 吗? 试说明理由. 请将下面解答过程补充完整： 解:MN⊥BD. 理由:连接DM,BM. ∵∠ABC=∠ADC=90°,M是AC 的中点, ∴ BM=DM . 又∵N为BD 的中点,∴ MN⊥BD(三线合一) 16.(本题满分4分)如图，在矩形ABCD中，已知对角线 AC与BD 相交于点O，△OBC的周长为16，且BC=7，求矩形对角线的长. 解:∵四边形 ABCD 为矩形,∴AC=BD=2BO=2CO.∵BO+CO+BC=16,BC=7,∴BO+CO=9.∴AC=BD=9,即矩形对角线的长为9. 17.(本题满分4分)已知:如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AB,BC边长的一点,且AE=CF.求证:DE=DF. 证明:∵四边形 ABCD 是菱形,∴DA=DC,∠A = ∠C, 在 △DAE 和 △DCF 中 E=DF. 18.(本题满分4分)如图，将矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C落在点C'处,BC'交AD 于点E,AD=8,AB=4,求 DE的长. 解:∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD∥BC,∠CBD=∠ADB,由折叠知∠CBD=∠DBE,, ∴∠DBE=∠EDB,∴DE=BE.设DE 的长为x,则 BE=x,AE=8-x, 在Rt△ABE中, 即 解得x=5,∴DE=5. 19.(本题满分6分)如图,在▱ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为点E,F,且BE=DF. (1)求证:□ABCD是菱形. (2)若AB=5,AC=6,求□ABCD的面积. (1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴∠B=∠D. ∵AE⊥BC,AF⊥CD, ∴∠AEB=∠AFD=90°, 又∵BE=DF, ∴△AEB≌△AFD, ∴AB=AD, ∴□ABCD 是菱形. (2)解:连接BD,交 AC 于点O.由(1)知四边形ABCD 是菱形, CD 20.(本题满分6分)如图，四边形 ABCD 和四边形CEFG 都是正方形.求证： (1)△BCG≌△DCE; (2)BG⊥DE. 证明:(1)∵四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形, ∴BC=DC,CE=CG,∠BCD=∠GCE=90° ∴∠BCG=∠DCE.在△BCG 和△DCE 中, △DCE. (2)设BG分别与DC,DE交于点H,O. ∵△BCG≌△DCE, ∴∠HBC=∠ODH, ∵∠BHC=∠DHO,∠HBC+∠BHC=90°, ∴∠ODH+∠DHO=90°, ∴∠DOH=90°, ∴BG⊥DE. 21.(本题满分6分)如图,D是△ABC中BC 边上的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且BE=CF. (1)求证:△ABC是等腰三角形; (2)当∠A=90°时，试判断四边形AEDF 是怎样的四边形，并证明你的结论. (1)证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴△BED 和△CFD 是直角三角形. 在 Rt△BED 和 Rt△CFD 中, △CFD,∴∠B=∠C,∴AB=AC,即△ABC 是等腰三角形. (2)解:四边形AEDF 是正方形.证明:∵Rt△BED≌Rt△CFD, ∴DE=DF. 又∵∠DEA=∠DFA=90°, ∴当∠A=90°时,四边形 AEDF 是正方形. 22.(本题满分6分)如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，经过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB 的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F. (1)求证:OE=OF. (2)若CE=12,CF=5,求OC的长. (1)证明:如图,∵MN 交∠ACB 的平分线于点E,交△ABC 的外角∠ACD 的平分线于点F, ∴∠2=∠5,∠4=∠6. ∵MN∥BC, ∴∠1=∠5,∠3=∠6, ∴∠1=∠2,∠3=∠4, ∴OE=CO,OF=CO,∴OE=OF. (2)解:∵∠2=∠5,∠4=∠6,∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°. ∴ =6.5. 23.(本题满分7分)如图，已知四边形ABCD 是正方形， 点 E为对角线AC 上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线 BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. (1)求证:矩形 DEFG是正方形. (2)探究：CE+CG是否为定值；若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. (1)证明:如图,过点 E作EM⊥BC 于点M,EN⊥CD 于点N. ∵四边形ABCD是正方形,点 E 在对角线AC 上, ∴CE平分∠BCD, ∵EM⊥BC,EN⊥CD, ∴EM=EN,∠EMF=∠END=90°, 又∵∠MCN=90°, ∴四边形 EMCN 是正方形, ∴∠MEN=90°, ∵∠NED+∠NEF=90°,∠MEF+∠NEF=90°, ∴∠MEF=∠NED, ∴△MEF≌△NED, ∴EF=DE, ∴矩形 DEFG是正方形. (2)解:CE+CG 是定值,定值为4. ∵四边形ABCD 和四边形DEFG 均为正方形, ∴AD=CD,DE=DG,∠ADC=∠EDG=90°, ∴∠ADE+∠EDC=90°,∠CDG+∠EDC=90°, ∴∠ADE=∠CDG, ∴△ADE≌△CDG, ∴AE=CG, ∴CE+ 24.(本题满分9分)[阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点 为端点的线段的中点坐标为 [运用] (1)如图,矩形ONEF 的对角线相交于点M,ON,OF 分别在x 轴和y轴上，O为坐标原点，点E 的坐标为(4，3)，则点 M 的坐标为 (2,1.5) ; (2)在平面直角坐标系中,有A(-1,2),B(3,1),C(1,4)三点,另有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，求点 D的坐标. 解:设点D的坐标为(x,y).以点A,B,C,D为顶点构成的四边形是平行四边形， ①当AB 为对角线时，∵A(-1,2),B(3,1),C(1,4), ∴x=1,y=-1.点D的坐标为(1,-1). ②当 BC为对角线时,∵A(-1,2),B(3,1),C(1,4), ∴点 D 的坐标为(5,3). ③当AC为对角线时,∵A(-1,2),B(3,1),C(1,4), ∴点D的坐标为(-3,5).综上所述,点D的坐标为(1,-1)或(5,3)或(-3,5). 25.(本题满分12分)如图，在平行四边形ABCD中， cm,∠B=45°,点M,N分别以A,C为起点,1cm/s的速度沿AD,CB方向运动,设点 M,N运动的时间为 ts(0≤t≤6). (1)求 BC边上的高AE 的长. (2)连接AN,CM,当t为何值时,四边形AMCN 为菱形? (3)过点M作MP⊥BC于点P,过点N作NQ⊥AD于点Q,当t为何值时，四边形MPNQ为正方形? 解:(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ 在Rt△ABE中,∠AEB=90°,∠B=45°, ∴AE=3cm. (2)如图1,连接AN,CM.由题意可知 AM=CN=tcm, ∵AM∥CN,∴四边形AMCN为平行四边形, ∴当AN=AM时,四边形AMCN为菱形.易知BE=AE=3cm, ∴EN=9-3-t=(6-t) cm, ∴AN²=3²+(6-t)², ∴ 解得 ∴当t为 时,四边形AMCN 为菱形. (3)∵MP⊥BC于点P,NQ⊥AD于点Q,QM∥NP, ∴四边形MPNQ为矩形, ∴当QM=QN时,四边形MPNQ为正方形.分两种情况， ①当点Q 在点M 的右侧时，如图 2.易知AM=CN=EP= tcm, ∴QM=PN=BC-BE-EP-CN=9-3-l-t=(6-2t) cm, ∴6-2t=3,解得t=1.5. ②当点Q在点M 的左侧时,如图3.易知AM=CN= tcm, ∴AQ=EN=BC-BE-CN=9-3-t=(6-t) cm, ∴QM=AM-AQ=t-(6-t)=(2t-6) cm, ∴2t-6=3,解得t=4.5.故当t为4.5或1.5时,四边形MPNQ为正方形。 学科网（北京）股份有限公司 $$