湖北省武汉市武昌区2025届高三上学期期末质量检测数学试题

2025届高三年级上学期期末质量检测 数学 本试题卷共4页，共19题。满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 3,考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x|x2<4},B={x|0<x≤4}，则A∩B= A.(0,2) B.(-2,2) C.(0,4] D.(-2,4] 2.若复数z满足i·(1+z)=1,则z+z= A.2 B.-2 C.2i D.-2i 3.已知双曲线C的渐近线方程为y=±2x,则C的离心率为 A. B.5 C. 5或5 D.不能确定 2 4.已知等差数列{a,}的前n项和为Sn,且Ss=5(a+as+a),则k= A.8 B.10 C.13 D.15 5.中国治炼铸铁的技术比欧洲早2000年左右，治炼铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代 的开始.现将一个表面积为1600πc2的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实 心铁锭（浇铸过程体积无变化），该铁锭的上、下底面的边长分别为20√元cm和40√元cm, 则该铁锭的高为 B. 7cm C.36cm D 270 A.30cm 7cm 6已知函数/)=e0s2x-5sm2x在红-受，与[-受a+月上的最小值均为-1，最大值也 相同，则实数a的取值范围为 A石 B.【-50 c骨 数学试题第1页共4页 7.已知平面向量a,b,c,满足ac=b-6d=2=2,则a-的最小值是 A.0 B.3 C.√2 D.2 8.已知函数f)在定义域(0，+∞)上单调递减，x∈(0，+∞)，均有ffU)+)=l, 则函数y=f2-4)的最小值是 A.8 B.6 C.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某射击运动员在一次训练中一共进行了10次射击，成绩依次为6,5,7,8,6,7,9， 7,9,5(单位：环)，则下列说法中正确的是 A.这组数的众数为7 B.这组数的第80百分位数为8 C,若每个数都减去2，则这组数的均值也会减去2 D.若每个数都乘以2，则这组数的方差也会乘以2 10.己知函数f(x)=x3-ax2+(a2-2)x+1,则 A.f0)20 B.若函数f(x)单调递增，则a2≥3 C.当a=3时，函数f(x)的图象关于点(1,6)中心对称 D若存在m>0,使得f(m)≤0，则a的最大值是1 11.已知非常数数列{an},其前n项和为Sn,若VkeN,ieN,i≤k,使得a,=S,则 称{an}为包容数列.下列说法错误的是 A.数列0,0,1,1，-1，-1是包容数列 B.任何包容数列的前三项中一定存在两项互为相反数 C若一个包容数列从第k项开始连续三项可以构成一个各项均为正数的等差数列，则k 的最小值为5 D.由-1,0,1三个数生成的包容数列中，如果去掉一项后依然是包容数列，这项一定 是0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.(x+√少)“展开式中只有第7项的系数最大，则n= 13.已知随机变量xY均服从0-1分布，若P01)P-且P心Y-01, 则PX= 14.设圆O:x2+y2=5与抛物线C:y2=2px(p>0)交于点A(x2),AB为圆O的直径，过 点B的直线与抛物线C交于不同于点A的两个点D,E,则直线AD与AE的斜率之积 为 数学试题第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,点D为线段AC的中点，A,C满足 (sin4-sinC)=sin2(4+C)-sin AsinC. (1)求B: (2)若△4BC的面积为√3，b=√13，求中线BD的长 16.(15分) 如图，四棱锥F-ABCD中，FA⊥平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC, AD=2BC=2. (I)已知G为AF的中点，求证：BG∥平面DCF: (2)若直线BF与平面ABCD所成的角为二，二面角 A-DC-F的余弦值为，求点B到平面DCF的 距离. 第16题图 17.(15分) 已知函数f=e(2xr-a x-1 (1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间： (2)当x<1时，f(x)<1,求实数a的取值范围. 数学试题第3页共4页 18.(17分) 已知椭圆c云+=a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，焦矩为25，点4，B分别 为C的左、右顶点，点P,Q为C上的两个动点，且分别位于x轴上、下两侧，△4Pg 和△BP2的面积分别为S,S,记=元. S2 (1)求椭圆C的方程： (2)若入=7-4W3,求证直线PQ过定点，并求出该点的坐标： 3)若入>1，设直线AP和直线B配的斜率分别为，k,求的取值范围。 19.(17分) 有五张背面完全相同的数字卡片，正面分别写着1,2,3,4,5，将它们背面朝上随机 放在桌子上（不叠放），翻开这些卡片时，要求按照从小到大的数字顺序依次翻开，如 果翻开了一张卡片其顺序不符合要求，应该立刻将它翻回至背面朝上（翻回不计入次数）， 并记住此卡片出现的数字，以保证翻卡片的次数尽可能少，直到所有卡片正面朝上为止， (1)求第三次恰好翻开数字为2的卡片且不再翻回的概率： (2)记X为需要翻开的次数，求X的分布列及数学期望： (3)将卡片数量改为n张(n∈N),并依次写上数字1,2,3，，n,记E(X)为翻开这 些卡片需要的平约次数，求证：化，)》上”2 附：数学期望具有线性可加性，即E(X+Y)=E(X)+E(Y) 数学试题第4页共4页湖北省武汉市武昌区2024-2025学年高三上期末质量检测数学答案 一、选择题 题号 2 6 8 9 10 W 答案 B AC BCD ACD 二、填空题 11.12 12. 1-3 13.2 三、解答题 15.解：(1)因为A+B+C=π， 所以，sin'A-2 sin Asin C+sin'C=sin'(π-B)-sin AsinC. 又因为a b sin A sin B sin C' 所以，a2-2ac+c2=b2-ac,得b2=a2+c2-ac, 所以，由余弦定理得cosB=a2+c2-b2 ac 1 2ac 2ac2' 所以，B=60°. …(6分) 因为△MBC的面积为√5，b=√13，B=60”, 所以，2 acsin B=5,ac=4,a2+c2=B2+ac=17. 因为BD为△MBC的中线，所以，BD=(a1+BC© 所以， e+a+20cc07xx 4 22 4. 所以， ++2acc0)+2x4x 1、21 )= 4 所以， B@-2 ……(13分) 2 16.(1)证明：取DF中点K,连GK、KC, G为AF中点，KGIAD,-KG=4D. BC∥AD,BC=2AD,KG∥BCKG=BC .四边形KGBC为平行四边形， .KC∥BG :BGa平面DCF,KCc平面DCF, ∴.BG∥平面DCF …(6分) (2)解：EA⊥平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC,:FA,AD,AB两两垂直. 以A为坐标原点，AF,AB,AD所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空 间直角坐标系 直线BF与平面ABCD所成的角为∠ABF=云，有AB=AR,设AB=AF=aa>0), 则B0,a,0,F(0,0,a,CL,a,0),D(2,0,0) 个2 ∴DC=(-l,a,0,DF=(-2,0,a),AF=(0,0,a) 设平面DCF的法向量为n=(x,yz), DC=0即w-x=0 n·DF=0,az-2x=0, 令x=4则y=2:=2,n=0,23 2 12 aa .cos <nAF > n·AF a 3 a=2,即i=1,5,BF=(0,-2,2) 0-1+2 .点B到平面DCF的距离h 2 *…(15分) 17解：(1)当a=1时，f=2-》x≠D x-1 则=c239令f)=0,解得x=0或3 2 当r<0或x>时，f>0当0<<1或1<<时，/)<0 2 所以y)在(-0,0，号+国)单调递增。了)在(0D,1孕单调递减…(6分) 2 (2)因为x<1时，f(x)<1, 所以y=e2r=<1x<D. x-1 得a<2x-x<,即a<(x-） 令hx)=2x-x- e(x<1小则h)=2-2-x=2e*+x-2 er e 令gp(x)=2e+x-2(x<1).且p(x)在(-0，lD上单调递增，且p(0)=0, 所以，当x<0时，p(x)<0,即h'(x)<0:当0<x<1时，p(x)>0,即h'(x)>0. 所以，h(x)在(-o,0)上单调递减，在(0，I)上单调递增， 所以h(x)n=h(0)=l,故a<1.…(15分） 18.解：(1)由题意，2a=2-2b,2c=23,又a2-b2=c2.a=2,b=1, 所以椭圆C的方程为： 4+小y=l.…（4分） x (2)A(-2,0),B(2,0),由图形对称性可知，定点M在x轴上， 设直线P2方程为：x=my+xaM(x0),Px,),Q(x,少 SL= M小-AM.+2-7-45. BM-州 BM 2-xo x。=-V5,即定点坐标为(-√5.0)： ……(8分) (3)设直线PQ的方程为x=my+xo,P(x1,y),Q(x2,y2) x=my+x, 联立 等+少=1可得m+4y2+2my+2-4=0, 则y1+y2= 子4语+ -2mxo 于是人=乃，.七3-2=一.m%2+。-2=出2+yx-2) k2x+2 y2 myi+xo+2 y2 m9y2+y2(x0+2) m:+.2-4 +片(x0-2) -21mx0 x0-21 m0g+5).4 2(x。+2) 6+2元' -271xo :1>10<左<1，即的范围是(0，D ……(17分) 19.解：(1)前两次一定会翻到1，否则第三次翻到2也会被翻回，故分两种情况： 如果第一张翻出了1，那么第二次一定不能翻2，因此A=*行20 =1x3x1-1 如果第二张翻出了1，那么有两种情况，第一种情况第一张翻出了2并翻回，为 了保证最优解，在第三次翻卡片时必须把2翻开：另一种情况是第一张没有翻出 113111 2,第三张恰好翻到2，因此p2=。×。+。×。×,= 545.4310 3 所以P=P十P2= 20 4（4分）8 注：也可以按照出现2的次数分类 (2)根据题意可以推断出下面两点： 首先，错误翻开的卡片即使被翻回至背面朝上，也会知道这张卡片的点数，因此 第二次翻开它时并非随机事件； 其次，如果在翻一张卡片时，点数比它小的所有卡片没有被翻开，那么这张卡片 就需要被翻两次 可以看作是考虑随机对翻开五张卡片的进行排列，从左往右依次翻开卡片，遇到 不符合顺序的进行调整，因此需要翻开的次数X可取5,6,7,8,9， ①当X5时，恰好按照从小到大的顺序翻开了所有卡片， 11.1.1.11 因此，卫=。×，×，× 54321120 ②当X=9时，点数为2-5的扑克卡片恰好全部在A之前翻开， ④_1 因此，P= 5 型 ③当X=6时，只有一张卡片没有在所有比它小的卡片翻开时翻开了， 1+2+3+41 因此，p= 龙 12 ④当X=8时，有三张卡片错误地翻开了， 1×2×3+1×2×4+1×3×4+2×3×45 因此，P= E 12 ⑤当X=7时，可以继续用插空法，亦可以利用排除法， 11157 因此p=1- 1205121224 列出分布列有 X 5 6 7 8 9 p 1 1 7 5 120 12 24 12 5 因此E(X)=5× 5 +7×24+8×写 1 +6× 120 12 +9× 12 926_463(次)…(11分） 512060 (3)基于第二问的思考，这实际上是对知晓卡片点数的顺序进行排列，当有n张卡片时， 值得注意的是写有数字n的卡片如果是最后一个知晓，那么它就只需要被翻开一次，如 果它不是最后一个知晓，那么它就一定需要被翻开两次，记Y,为需要翻开写有点数n 的纸卡片的次数 因此PY=)=，PY,=2)=”- n n 所以E0Y)=1+2m-D=2-1 n 于是E(X)=EXn-1+y,)=BXn-+E,)=BXn-+2-月 面6)L于是E,)-2n-引 故EX)-3n,-2n-氵 2 }型}非》) 当=1,2时上式等号成立，于是E(X,)≥3-1 2一得证 *(17分)