2025年中考数学一轮复习专题——线段和角的动态探究问题

专题(八)——线段中的动态探究问题 ——角的动态探究问题 线段的动态问题为各个学校期末考试的重难点，主要包括动点问题和动线段问题．主要分析步骤：(1)数形结合，画图；(2)设元，看清楚动点的速度和方向，表示线段长度；(3)根据题中的等量关系列方程，并解． 【类型一】直接计算线段的长度 1. (2024·佛山月考)(1)如图，线段AB＝4，点O是线段AB上一点，点C，D分别是线段OA，OB的中点，求CD的长； (2)小明在反思过程中突发奇想：若点O运动到AB的延长线上时，(1)中原有的结论是否仍然成立？请帮助小明画出图形并说明理由． (2)若点O运动到AB的延长线上时，(1)中原有的结论仍然成立，如图： 2. 如图，已知线段AB＝15 cm，CD＝3 cm，点E是AC的中点，点F是BD的中点． (1)若AC＝4 cm，求线段EF的长； (2)当线段CD在线段AB上从左向右或从右向左运动时，试判断线段EF的长度是否发生变化？若不变，请求出线段EF的长度；若变化，请说明理由． 解：(1)∵AC＝4 cm，CD＝3 cm，AB＝15 cm， ∴BD＝AB－AC－CD＝15－4－3＝8(cm)， ∵点E是AC的中点，点F是BD的中点， ∴EF＝EC＋CD＋DF＝2＋3＋4＝9(cm) (2)线段EF的长度不发生变化． ∵点E是AC的中点，点F是BD的中点， 【类型二】动点问题在求线段长度中的应用 3. 如图，点D是线段AB上的任意一点(不与点A和B重合)，C是线段AD的中点，AB＝4 cm. (1)若D是线段AB的中点，求线段CD的长度； (2)在图中作线段DB的中点E，当点D在线段AB上从左向右移动时，试探究线段CE长度的变化情况． 4. (2024·广州花都区模拟)如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2 cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10 cm，设点B运动时间为t秒(0≤t≤10). (1)当t＝2时，①AB＝______cm；②求线段CD的长度． (2)用含t的代数式表示运动过程中AB的长； (3)在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由． 4 解：(1)①∵B是线段AD上一动点， 沿A→D→A以2 cm/s的速度往返运动， ∴当t＝2时，AB＝2×2＝4 cm. 故答案为：4 ②∵AD＝10 cm，AB＝4 cm， ∴BD＝10－4＝6 cm， ∵C是线段BD的中点， (2)∵B是线段AD上一动点， 沿A→D→A以2 cm/s的速度往返运动， ∴当0≤t≤5时，AB＝2t； 当5<t≤10时，AB＝10－(2t－10)＝20－2t (3)不变．∵AB中点为E，C是线段BD的中点， 角的动态探究问题是数学中常见的问题类型，这类问题通常涉及到角度和距离的变化．解决这类问题的关键在于理解运动和角度之间的关系，并能够利用几何知识进行推理和计算． 1. (2024·东莞校级模拟)直角三角板ABC的直角顶点C在直线MN上，CD平分∠BCM，∠BCN＝α. (1)如图①，若α＝30°，求∠ACD的度数； (2)如图①，若α满足0<α<90°，则∠ACD＝___________；(用含α的式子表示) (3)将三角板ABC保持点C位置不变，放置在图②所示的位置，即α满足90°<α<180°，其他条件不变，(2)中的结论是否还成立？试说明理由 解：(1)∵∠BCN＝30°， ∴∠BCM＝180°－∠BCN＝180°－30°＝150°， ∵CD平分∠BCM， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝90°－75°＝15°　 (2)∵∠BCN＝α， ∴∠BCM＝180°－α， ∵CD平分∠BCM， ∵∠ACB＝90°， (3)成立，理由如下：∵∠BCN＝α， ∴∠BCM＝180°－α， ∵CD平分∠BCM， ∵∠ACB＝90°， 2. (2024·广州越秀区月考)如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一把含45°角的直角三角尺的直角顶点放在点O处，一直角边OM与直线AB重合，另一直角边ON、斜边MN都在直线AB的下方． (1)将图①中的三角尺绕点O按逆时针方向旋转60°，如图②所示，此时∠CON＝____________； 150° (2)将图①中的三角尺绕点O按逆时针方向旋转一个角度α(0°<α<360°)， ①当旋转的角度α为何值时，射线OC所在的直线是∠MON的平分线； ②是否存在相应的旋转角度α使得∠COM与∠CON互补？若存在，请直接写出α的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵∠BOC＝120°， ∴直角三角尺绕点O按逆时针方向旋转60°后，∠BON＝30°， ∴∠CON＝∠BOC＋∠BON＝150°. 故答案为：150°　 (2)①当直角三角尺绕点O按逆时针方向旋转到如图④位置时， ∵∠MON＝90°，△OMN关于直线OC对称， ∴∠MOC＝45°， ∴此时α＝120°＋45°＝165°， ∵∠BOC＝120°，∴∠BOM＝180°－120°－45°＝15°， ∴此时α＝360°－15°＝345°， 答：当旋转165°或者345°时，射线OC所在的直线是∠MON的平分线 当直角三角尺绕点O按逆时针方向旋转到如图⑤位置时， ②存在旋转角度α使得∠COM与∠CON互补． 证明：∵∠COM＝120°，∠CON＝210°， ∴120°－α＋210°－α＝180°， ∴α＝75° 解：(1)∵点C，D分别是线段OA，OB的中点， ∴OC＝ eq \f(1,2) OA，OD＝ eq \f(1,2) OB， ∵AB＝4，∴CD＝OC＋OD＝ eq \f(1,2) OA＋ eq \f(1,2) OB＝ eq \f(1,2) AB＝2， ∴CD的长为2 ∵点C，D分别是线段OA，OB的中点， ∴OC＝ eq \f(1,2) OA，OD＝ eq \f(1,2) OB， ∵AB＝4，∴CD＝OC－OD＝ eq \f(1,2) OA－ eq \f(1,2) OB＝ eq \f(1,2) AB＝2 ∴EC＝ eq \f(1,2) AC＝2 cm，DF＝ eq \f(1,2) BD＝4(cm)， ∴AE＝ eq \f(1,2) AC，BF＝ eq \f(1,2) BD， ∴EF＝AB－AE－BF＝AB－ eq \f(1,2) AC－ eq \f(1,2) BD ＝AB－ eq \f(1,2) (AC＋BD)＝15－ eq \f(1,2) ×(15－3)＝9(cm) 解：(1)∵AB＝4 cm，点D是线段AB的中点， ∴AD＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \f(1,2) ×4＝2(cm)， ∵点C是线段AD的中点， ∴CD＝ eq \f(1,2) AD＝ eq \f(1,2) ×2＝1(cm) ∴线段CE的长度不变 (2)作图略．∵点E是线段BD的中点，∴DE＝ eq \f(1,2) BD， ∵CD＝ eq \f(1,2) AD，∴CE＝CD＋DE＝ eq \f(1,2) AD＋ eq \f(1,2) BD ＝ eq \f(1,2) (AD＋BD)＝ eq \f(1,2) AB， ∵AB＝4 cm，∴CE＝2 cm， ∴CD＝ eq \f(1,2) BD＝ eq \f(1,2) ×6＝3(cm) ∴EC＝ eq \f(1,2) (AB＋BD)＝ eq \f(1,2) AD＝ eq \f(1,2) ×10＝5(cm) eq \f(α,2) ∴∠BCD＝ eq \f(1,2) ∠BCM＝75°， ∴∠BCD＝ eq \f(1,2) ∠BCM＝90°－ eq \f(1,2) α， ∴∠ACD＝90°－(90°－ eq \f(1,2) α)＝ eq \f(α,2) . 故答案为： eq \f(α,2) ∴∠BCD＝ eq \f(1,2) ∠BCM＝90°－ eq \f(1,2) α， ∴∠ACD＝90°－(90°－ eq \f(1,2) α)＝ eq \f(α,2) 故答案为： eq \f(α,2) $$