精品解析：江苏省江阴市文林中学2024-2025学年九年级上学期第二次月考九年级数学试题

江苏省江阴市文林中学2024-2025学年九年级上学期 第二次月考九年级数学试题 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 将抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（　　） A. cm B. cm C. cm D. cm 5. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 C. 各边都相等的多边形是正多边形 D. 三角形的外心到三角形三边的距离相等 7. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图所示，为的直径，，垂足为E，寸，寸，则直径长度是（ ） A. 12寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 8. 二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，G是的重心，的中点为D，以G为圆心，长为半径画⊙G，过C点作⊙G的两切线段，其中E、F为切点，则与的度数和为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D(3，0)向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF面积的最小值为( ) A. B. C. 2 D. 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若3是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值为____． 12. 如果在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是46厘米，那么、两地的实际距离是_________千米． 13. 已知圆锥的底面半径是，母线是，则圆锥的侧面积是______． 14. 抛物线的顶点坐标为_____________． 15. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B处对读数分别为，，则的度数是______°． 16. 如图，在ΔABC中放置5个大小相等的正方形，若BC=12，则每个小正方形的边长为____． 17. 如图，在中，，，，，I为的内心，则______． 18. 一个含30度角的三角板和一个含45度角的三角板按如图所示的方式拼接在一起，经测量发现，AC=CE=2，取AB中点O，连接OF.∠FCE在∠ACB内部绕点C任意转动(包括边界)，则CE在运动过程中扫过的面积为____；在旋转过程中，线段OF的长度最小时，两块三角板重叠部分的周长为____． 三．解答题（共10题，共96分） 19. 解方程： （1）； （2） 20. 甲、乙两名学生进行射击练习，两人在相同条件下各射10次，将射击结果作统计分析，如下表所示： 命中环数 平均数 众数 方差 甲命中环数的次数 乙命中环数的次数 （1）请你填上表中乙学生的相关数据； （2）根据你所学的统计知识，利用上述某些数据评价甲、乙两人的射击水平． 21. 为了响应上级教委的“海航招飞”号召，某校从九年级应届男生中抽取视力等生理指标合格的部分学生进行了文化课初检，教务处负责同志将测测试结果分为四个等级：甲、乙、丙、丁，然后将相关数据整理为两幅不完整的统计图，请依据相关信息解答下列问题： （1）本次参加文化课初检的男生人数为　 　； （2）扇形图中m的数值为　 　，把条形统计图补充完整； （3）据统计，全省生理指标过关的九年级男生有2400名左右，若规定文化课等级为“甲”“乙”的可进行文化课二检，请估计进入二检的男生有　 　； （4）本次抽检进入“甲”等的4名男生中九（1）、九（2）班各占2名，若从“甲”等学生中随机抽取两名男生进行调研，请用树形图表示抽到的两名男生恰为九（1）班的概率． 22. 如图，、交于点，，且平分． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 23. 如图，在中，以为直径的交于点D，与的延长线交于点E，的切线与垂直，垂足为点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为． （1）求抛物线的关系式； （2）现有一辆货运卡车高，宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 25. 如图，是的直径，点A在上． （1）请在图1中的上作一点（异于点），使，连接并延长交的延长线于点，过A作的垂线交于点；（作图使用没有刻度的直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹，并在图中标注必要的字母） （2）在（1）中所作的图形中，若，则的长为______．（如需画草图，请使用图2） 26. 某商店购进一批冬季保暖内衣，每套进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80套．商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20套． （1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？ （2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应该售价定为多少元？最大销售利润是多少？ 27. 已知抛物线与轴相交于A、B两点，并与直线交于B、C两点，其中点是直线与轴的交点，连接． （1）点的坐标是______，点的坐标是______． （2）求抛物线的解析式； （3）设点是线段上的一个动点（不与点B、C重合），直线轴，交抛物线与点，问点运动到何处时，线段的长最大？并求出的长的最大值， 28. 如图1，在中，，面积为40，点是射线上一动点，作的外接圆． （1）若圆心在边上，如图2，则此时的长为______； （2）当与的某一边所在的直线相切时，求此时的长； （3）随着点P的运动，与的边的公共点的个数有哪些变化？直接写出对应的长的值或取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省江阴市文林中学2024-2025学年九年级上学期 第二次月考九年级数学试题 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程，只含有一个未知数，未知数最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．是一元一次方程，故选项错误，不符合题意； B．是分式方程，故选项错误，不符合题意； C．是一元二次方程，故选项正确，符合题意； D．含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 2. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义得出且，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 3. 将抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位所得直线解析式为：； 再向下平移3个单位为：． 故选：B． 4. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（　　） A. cm B. cm C. cm D. cm 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 【详解】解：方法1：设书的宽为x， 则有， 解得cm． 方法2：书的宽为cm． 故选：A． 5. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， A项：若，则，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 C. 各边都相等的多边形是正多边形 D. 三角形的外心到三角形三边的距离相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的内心和外心、垂径定理、确定圆的条件，根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，可以判断A；根据垂径定理可以判断B；根据正多边形的定义，可以判断C；根据三角形的内心到三角形三边的矩离相等，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，可以判断D． 【详解】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，故选项A错误，不符合题意； 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦，故选项B正确，符合题意； 各边都相等各角都相等的多边形是正多边形，故选项C错误，不符合题意； 三角形的内心到三角形三边的矩离相等，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 7. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图所示，为的直径，，垂足为E，寸，寸，则直径长度是（ ） A. 12寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 设的半径为，根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理列出方程，求解半径，从而求出直径长度． 【详解】解：设的半径为， 、、， 为的直径，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 寸． 8. 二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与一次函数图象共存的问题，从二次函数图象出发逐个分析的符号以及与轴的交点位置，再与一次函数图象得出的符号进行比较，从而可得结论． 【详解】解：A、由抛物线知，，；由直线知，，都经过，故本选项正确； B、由抛物线知，，；由直线知，，故本选项错误； C、由抛物线知，，；由直线知，，故本选项错误； D、由抛物线知，，；由直线知，，故本选项错误． 故选：A． 9. 如图，中，，，G是的重心，的中点为D，以G为圆心，长为半径画⊙G，过C点作⊙G的两切线段，其中E、F为切点，则与的度数和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，，根据重心的性质得出，进而得出，根据切线长定理得出，根据三角形内角定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，， ∵是的重心，的中点为， ∴在上， ∴， ∵、是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线长定理，根据特殊角的三角函数值求角度，三角形重心的性质，三角形内角和定理，掌握三角形重心的性质是解题的关键． 10. 如图，直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D(3，0)向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF面积的最小值为( ) A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接DP，根据直线与坐标轴的交点，得出A，B的坐标，求出AB的长，即可得出⊙P的半径，证△PED≌△PFD，可得四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE，当DP⊥AP时，四边形PEDF的面积最小，利用三角函数求出DP的长，即可求得答案. 【详解】如图，连接DP， ∵直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点， 当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣2， ∴A(﹣2，0)，B(0，1)， ∴AB＝=， ∵过点D(3，0)向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F， ∴DE＝DF，PE⊥DE， ∵PE＝PF，PD＝PD， ∴△PED≌△PFD(SSS)， ∵⊙P的半径为， ∴DE＝， 当DP⊥AP时，DP最小，此时DP＝AD•sin∠BAO＝5×， ∵四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE＝DE， ∴四边形PEDF面积的最小值为． 故选A． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定，三角函数的应用等，熟练掌握相关内容是解题的关键. 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若3是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值为____． 【答案】-3 【解析】 【分析】把x=3代入方程可得关于c的方程，解这个方程即可求得答案. 【详解】把x＝3代入方程x2﹣2x+c＝0得32﹣2×3+c＝0， 解得c＝﹣3， 故答案为﹣3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键. 12. 如果在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是46厘米，那么、两地的实际距离是_________千米． 【答案】 【解析】 【分析】根据成比例的线段，列出比例式，代入数据可直接得出实际距离． 【详解】解：根据题意，设实际距离为，, ∴ 解得：厘米千米． 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换． 13. 已知圆锥的底面半径是，母线是，则圆锥的侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径是，母线是， ∴圆锥的侧面积为 故答案为：． 14. 抛物线的顶点坐标为_____________． 【答案】(3,−5) 【解析】 【分析】已知抛物线的一般式，利用配方法转化为顶点式，直接写成顶点坐标． 【详解】∵y=x2−6x+4=x2−6x+9−9+4=(x−3)2−5， ∴抛物线y=x2−6x+4的顶点坐标为(3,−5). 【点睛】本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数的顶点是解题的关键. 15. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B处对读数分别为，，则的度数是______°． 【答案】28 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理．先根据A、B的度数得到，再根据同圆中同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设量角器的中心为O，连接， ∵点A，B的读数分别为，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在ΔABC中放置5个大小相等的正方形，若BC=12，则每个小正方形的边长为____． 【答案】3 【解析】 【分析】如图，设正方形的边长为x，根据相似三角形的高之比等于相似比，列方程，即可求解． 【详解】解：过点A作，交BC于点F，交DE于点G，交MN于点P，如图， 由题可知，， ，， ，， 设正方形的边长为x，则，，，， ，， ， ， 化简得， 将代入，得， 解得． 正方形的边长为3． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，高之比等于相似比． 17. 如图，在中，，，，，I为的内心，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查勾股定理、三角形的内心的性质、正方形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 作于点于点于点，连接、、，由，求得，因为为的内心，所以，则四边形是正方形，设，则，求得，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点于点于点，连接、、， ∴四边形是矩形， ∵为的内心， ∴四边形是正方形， 设 解得， 故答案为：． 18. 一个含30度角的三角板和一个含45度角的三角板按如图所示的方式拼接在一起，经测量发现，AC=CE=2，取AB中点O，连接OF.∠FCE在∠ACB内部绕点C任意转动(包括边界)，则CE在运动过程中扫过的面积为____；在旋转过程中，线段OF的长度最小时，两块三角板重叠部分的周长为____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用扇形面积公式，两点之间线段最短即可解决问题． 【详解】解：连接．在中， ，，， ， ， ， ， 在中，，， ， 在运动过程中扫过的面积， ， ， 当CF过O点时，如图，的最小值为． 过G点做， ∵，， ∴，，，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 两块三角板重叠部分的周长为， 故答案为，． 【点睛】本题考查轨迹，扇形的面积、解三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 三．解答题（共10题，共96分） 19. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴ ∴或， 解得：； 【小问2详解】 解： ∵， ∴ 解得：． 20. 甲、乙两名学生进行射击练习，两人在相同条件下各射10次，将射击结果作统计分析，如下表所示： 命中环数 平均数 众数 方差 甲命中环数的次数 乙命中环数的次数 （1）请你填上表中乙学生的相关数据； （2）根据你所学的统计知识，利用上述某些数据评价甲、乙两人的射击水平． 【答案】（1），，， （2）甲、乙两人射击水平的评价：①从成绩的平均数与众数看，甲与乙的成绩相差不多；②从成绩的稳定性看，，乙的成绩波动小，比较稳定； 【解析】 【分析】（1）根据众数、平均数、方差的定义分别求出乙的三个量；众数是一组数据中出现次数最多的数值；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；方差是各个数据与平均数之差的平方的和的平均数． （2）根据（1）中的计算结果分析即可． 【小问1详解】 解：乙命中环的次数为； 乙所命中环数的众数为， 其平均数为； 故其方差为． 命中环数 平均数 众数 方差 甲命中环数的次数 乙命中环数的次数 【小问2详解】甲、乙两人射击水平的评价：①从成绩的平均数与众数看，甲与乙的成绩相差不多； ②从成绩的稳定性看，，乙的成绩波动小，比较稳定； 【点睛】此题考查统计计算，掌握平均数的计算公式及方差的定义，能根据已知数据作出分析，合理分析数据是解题的关键． 21. 为了响应上级教委的“海航招飞”号召，某校从九年级应届男生中抽取视力等生理指标合格的部分学生进行了文化课初检，教务处负责同志将测测试结果分为四个等级：甲、乙、丙、丁，然后将相关数据整理为两幅不完整的统计图，请依据相关信息解答下列问题： （1）本次参加文化课初检的男生人数为　 　； （2）扇形图中m的数值为　 　，把条形统计图补充完整； （3）据统计，全省生理指标过关的九年级男生有2400名左右，若规定文化课等级为“甲”“乙”的可进行文化课二检，请估计进入二检的男生有　 　； （4）本次抽检进入“甲”等的4名男生中九（1）、九（2）班各占2名，若从“甲”等学生中随机抽取两名男生进行调研，请用树形图表示抽到的两名男生恰为九（1）班的概率． 【答案】（1）40人； （2）36，补全条形统计图： （3）1080人； （4）画树状图为：（用A、B表示九（1）的两名学生；用a、b表示九（2）的两名学生） 共有12种等可能的结果数，其中抽到的两名男生恰为九（1）班的结果数为2， 所以抽到的两名男生恰为九（1）班的概率＝． 【解析】 【分析】（1）用乙等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数； （2）用360°乘以甲等级人数的百分比得到m的值，然后计算出丙等级的人数后补全条形统计图； （3）用2400乘以样本中“甲”“乙”等级所占的百分比即可； （4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽到的两名男生恰为九（1）班的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：（1）14÷35%＝40， 所以本次参加文化课初检的男生人数为40人； （2）甲等级的百分比＝×100%＝10%， 所以m°＝360°×10%＝36°， 即m的值为36； 丙等级的人数为40×25%＝10（人）， （3）2400×＝1080， 所以估计进入二检的男生有1080人； 故答案为40人；36；1080人； （4）略 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图． 22. 如图，、交于点，，且平分． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 平分． ， ， 又， ． （2）6 【解析】 【分析】（1）由，且平分可得，再由可得． （2）由可得的值，进而求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查相似三角形的判断与性质，解题关键是掌握等腰三角形及角平分线的性质． 23. 如图，在中，以为直径的交于点D，与的延长线交于点E，的切线与垂直，垂足为点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）π 【解析】 【分析】（1）连接，根据是的切线，可得，即可得，则有，根据，可得，问题得解； （2）根据，，可得，问题随之得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，求解圆弧的长度以及平行线的性质等知识，掌握切线的性质是解答本题的关键． 24. 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为． （1）求抛物线的关系式； （2）现有一辆货运卡车高，宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【答案】（1） （2）这辆货运卡车能从正中间通过该隧道， 理由如下： 当时，． ∵， ∴这辆货运卡车能从正中间通过该隧道． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． （1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的顶点式，进而可求抛物线的解析式； （2）根据题意，把代入解析式，得到，由于，于是得到货运卡车能通过． 【小问1详解】 解：根据题意可得抛物线顶点E的坐标为， 设抛物线的解析式为．由已知可得，点A的坐标为，且在此抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 【小问2详解】 略 25. 如图，是的直径，点A在上． （1）请在图1中的上作一点（异于点），使，连接并延长交的延长线于点，过A作的垂线交于点；（作图使用没有刻度的直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹，并在图中标注必要的字母） （2）在（1）中所作的图形中，若，则的长为______．（如需画草图，请使用图2） 【答案】（1） 解：如图：即为所求． （2）10 【解析】 【分析】（1）根据要求用尺规作图即可； （2）如图：过A点作于H点，先利用垂径定理可判断经过圆心O，再根据圆周角定理得到，则利用勾股定理计算出，接着证明，利用相似比计算出，所以，然后证明得到，最后证明，利用相似比求出，从而得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：过A点作于H点， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴经过圆心O， ∴是的直径， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴, ∴，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴， ∵， ∴, ∴, ∵, ∴， ∵, ∴, ∴，即，解得：， ∴． 故答案为10． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图、圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 26. 某商店购进一批冬季保暖内衣，每套进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80套．商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20套． （1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？ （2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应该售价定为多少元？最大销售利润是多少？ 【答案】 （1） （2），元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用（销售问题），有理数四则混合运算的实际应用等知识点，根据题中的数量关系正确列出函数解析式是解题的关键． （1）根据“每套利润每星期的销量每星期的销售利润”列式计算即可； （2）设应将售价定为元，则销售利润，利用二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）商家降价前每星期的销售利润为： （元）， 答：商家降价前每星期的销售利润为元； （2）设应将售价定为元， 则销售利润 ， 当时，有最大值， 答：降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应该售价定为元，最大销售利润是元． 27. 已知抛物线与轴相交于A、B两点，并与直线交于B、C两点，其中点是直线与轴的交点，连接． （1）点的坐标是______，点的坐标是______． （2）求抛物线的解析式； （3）设点是线段上的一个动点（不与点B、C重合），直线轴，交抛物线与点，问点运动到何处时，线段的长最大？并求出的长的最大值， 【答案】（1）； （2） （3）当点E运动到点时，有最大值，最大值为2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合： （1）在中分别求出自变量为0时的函数值，函数值为0时的自变量的值即可得到答案； （2）根据（1）所求利用待定系数法求解即可； （3）设出点E的坐标，进而表示出点F的坐标，则可表示出线段的长，利用二次函数的性质求出线段最长时点E的坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，，当时，， ∴，； 【小问2详解】 解：把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问3详解】 解：设， ∵直线轴， ∴， ∴， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为2， ∴此时点E的坐标为， ∴当点E运动到点时，有最大值，最大值为2． 28. 如图1，在中，，面积为40，点是射线上一动点，作的外接圆． （1）若圆心在边上，如图2，则此时的长为______； （2）当与的某一边所在的直线相切时，求此时的长； （3）随着点P的运动，与的边的公共点的个数有哪些变化？直接写出对应的长的值或取值范围． 【答案】（1） （2）6或 （3）当时，与有3个交点；当时，与有4个交点；当时，与有3个交点；当时，与有2个交点 【解析】 【分析】（1）根据直径对的圆周角是直角得到，根据平行四边形的面积求出，根据勾股定理得到． （2）当与相切时，得到 ，根据，得到，根据垂径定理得到，根据，即得；当与相切于点F，设交于点H，作于点L，推出，根据垂径定理得到，推出四边形是矩形，得到，推出，得到，设的半径为r，根据勾股定理得到，解得，得到，推出，结合，推出，得到，求得，得到；根据、都与有两个交点，得到、与都不相切． （3）分，，，四种情况，与的边的交点分别有3个，4个，3个，2个． 【小问1详解】 解：如图，当圆心在边上时，， ∵，，的面积为40， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3； 【小问2详解】 解：如图，当与相切时，与只有一个交点，此时A切点， 则，延长交于点E， ∵， ∴， ∴， 由①结论可得，， ∴， ∴； 当与相切时，设切点为F，延长线交于点H，过点A作于点L，连接， ，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 设的半径为r， 则， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当与相切，与相切时， ∵与有A、B两个交点，与有B、P两个交点， ∴、与相切都不存在． 故当与的某一边所在的直线相切时，的长为6或． 【小问3详解】 解：如图，由（2）知，当时，与有3个交点； 如图，在射线上取点M，N，使，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形，， ∴A、B、N、D四点共圆， ∴当时，与有4个交点； 当时，与有3个交点； 当时，与有2个交点． 综上所述，当时，与有3个交点；当时，与有4个交点；当时，与有3个交点；当时，与有2个交点． 【点睛】本题主要考查了圆与平行四边形，三角形综合．熟练掌握圆切线性质与判定，垂径定理及推论，圆周角定理及推论，勾股定理，矩形判定和性质，平行四边形的性质，直线与圆的位置关系，四点共圆，分类讨论，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $