2024-2025学年北师大版 数学九年级上学期第一章特殊平行四边形

01--特殊平行四边形 一．选择题（共13小题） 1．在Rt△ABC中，CD是斜边AB边的中线，若AB＝8，则CD的长是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 2．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（　　） A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分 C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等 3．平行四边形的一条边长为6cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（　　） A．8cm和3cm B．8cm和4cm C．8cm和5cm D．8cm和20cm 4．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别相交于点C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．一般的平行四边形 4题 5题 7题 6题 8题 5． 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的 周长为（　　） A．4a B．8a C．12a D．16a 6．如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，E是CD的中点，已知AB＝5，OE＝6，则AC的长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 7．如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且CE＝CO，则BE的长度为（　　） A． B． C． D．2 8．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝6，∠BAC＝60°，DE⊥AC交BC于E，则DE的长为（　　） A．2 B． C． D． 9．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在BD上，连接AE，CE，∠ABC＝60°，∠BCE＝15°，ED＝4+4，则AD＝（　　） A．4 B． C．6 D．8 9题 10题 11题 12题 13题 10．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是AD的中点，BE与CF相交于点P，设AB＝a．得到以下结论： ①BE⊥CF；②AP＝a；③CPa则上述结论正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 11．如图，已知点E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB＝6cm，∠ABC＝60°，则四边形EFGH的面积为（　　）cm2． A．6 B．6 C．9 D．18 12．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM＝（　　） A． B． C．1 D．1 二．填空题（共3小题） 14．已知正方形的一条对角线的长是，则正方形的面积为 　 　． 15．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积是　 　． 16．已知平行四边形ABCD的四个顶点都在某一个矩形上，其中BD为这个矩形的对角线，若AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，则这个矩形的周长是　 　． 15题 16题 17题 18题 三．解答题（共8小题） 17．如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的动点，连接EF，过点C作AE的平行线，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD． （1）求证：四边形DBEC是平行四边形． （2）若AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，则在点E的运动过程中： ①当BE＝　 　时，四边形DBEC是矩形； ②当BE＝　 　时，四边形DBEC是菱形． 18．如图，在矩形OABC中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA＝2，AB＝5，把△ABC沿着AC对折得到△AB′C，AB′交y轴于D点，求D点的坐标． 19．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF， （1）观察猜想 如图1，当点D在线段BC上时， ①BC与CF的位置关系为：　 　． ②BC、CD、CF之间的数量关系为：　 　．（将结论直接写在横线上） （2）数学思考 如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸 如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知，，请求出CF的长． 18．如图，四边形ABCD、AEFM都是正方形，连接BE、DM． 求证：BE＝DM． 20．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）求证：四边形ABFE是菱形． 21．已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD． （1）求证：AB＝AF； （2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论． 22．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形； （2）若AB＝2，CE，求CG的长度； （3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数． 特殊平行四边形一 参考答案与试题解析 一．选择题（共13小题） 1．在Rt△ABC中，CD是斜边AB边的中线，若AB＝8，则CD的长是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质进行计算． 【解答】解：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB边的中线， ∴CDAB． 又∵AB＝8， ∴CD＝4． 故选：C． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 2．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（　　） A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分 C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等 【分析】对菱形对角线相互垂直平分，矩形对角线平分相等，正方形对角线相互垂直平分相等的性质进行分析从而得到其共有的性质． 【解答】解：A、不正确，菱形的对角线不相等； B、不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不垂直； C、正确，三者均具有此性质； D、不正确，矩形的四边不相等，菱形的四个角不相等； 故选：C． 【点评】熟练掌握菱形，矩形，正方形都具有的性质是解决本题的关键． 3．平行四边形的一条边长为6cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（　　） A．8cm和3cm B．8cm和4cm C．8cm和5cm D．8cm和20cm 【分析】由平行四边形的对角线互相平分与三角形的三边关系，即可求得答案；注意掌握排除法在选择题中的应用． 【解答】解：如图：四边形ABCD是平行四边形，AB＝6cm， A、∵AC＝8cm，BD＝3cm， ∴OAAC＝4cm，OB＝1.5cm， ∵4+1.5＝5.5＜6， ∴不能组成三角形， 故本选项错误； B、∵AC＝8cm，BD＝4cm， ∴OAAC＝4cm，OB＝2cm， ∵4+2＝6， ∴不能组成三角形， 故本选项错误； C、∵AC＝8cm，BD＝5cm， ∴OAAC＝4cm，OB＝2.5cm， ∵4+2.5＝6.5＞6， ∴能组成三角形， 故本选项正确； D、∵BD＝8cm，AC＝20cm， ∴OBBD＝4cm，OA＝10cm， ∵4+6＝10 ∴不能组成三角形， 故本选项错误． 故选：C． 【点评】此题考查了平行四边形的性质与三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握定理的应用． 4．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别相交于点C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．一般的平行四边形 【分析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形． 【解答】解：∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D， ∴AC＝AD＝BD＝BC， ∴四边形ADBC一定是菱形， 故选：B． 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及菱形的判定，得出四边形四边关系是解决问题的关键． 5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为（　　） A．4a B．8a C．12a D．16a 【分析】由四边形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，又由E为AB的中点，且OE＝a，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得AB的长，继而求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， 即∠AOB＝90°， ∵E为AB的中点，且OE＝a， ∴AB＝2OE＝2a， ∴菱形ABCD的周长为：8a． 故选：B． 【点评】此题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质．注意掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半定理的应用是解此题的关键． 6．如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，E是CD的中点，已知AB＝5，OE＝6，则AC的长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】首先利用三角形的中位线定理求得BC的长，然后利用勾股定理求得AC的长即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴O为BD的中点， ∵E为CD的中点， ∴OE为△ABC的中位线， ∵OE＝6， ∴BC＝2OE＝12， ∵AB＝5， ∴AC13， 故选：D． 【点评】考查了矩形的性质，了解矩形的性质是解答本题的关键，难度不大． 7．如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且CE＝CO，则BE的长度为（　　） A． B． C． D．2 【分析】利用正方形的性质得到OB＝OCBC＝1，OB⊥OC，则OE＝2，然后根据勾股定理计算BE的长． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为， ∴OB＝OCBC1，OB⊥OC， ∵CE＝OC， ∴OE＝2， 在Rt△OBE中，BE． 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． 8．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝6，∠BAC＝60°，DE⊥AC交BC于E，则DE的长为（　　） A．2 B． C． D． 【分析】根据矩形的性质得出AB＝CD＝6，∠DCB＝90°，AB∥CD，根据平行线的性质得出∠DCA＝∠BAC＝60°，求出∠EDC＝30°，在Rt△DCE中解直角三角形求出DE即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝6，∠DCB＝90°，AB∥CD， ∴∠DCA＝∠BAC＝60°， ∵DE⊥AC， ∴∠DMC＝90°， ∴∠EDC＝30°， 在Rt△DCE中，DE4． 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出DC长和求出∠DCE、EDC的度数，注意：矩形的对边相等，矩形的四个角都是直角． 9．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在BD上，连接AE，CE，∠ABC＝60°，∠BCE＝15°，ED＝4+4，则AD＝（　　） A．4 B． C．6 D．8 【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝∠ACB＝60°，再由含30°角的直角三角形的性质得DOCOAO，AD＝2AO，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠ADC＝60°，∠BCD＝120°，AC⊥BD，AO＝CO，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝∠ACB＝60°， ∴DOCOAO，AD＝2AO， ∵∠BCE＝15°， ∴∠ACE＝45°， ∴∠ACE＝∠DEC＝45°， ∴EO＝CO＝AO， ∵ED＝4+4， ∴AOAO＝4+4， ∴AO＝4， ∴AD＝8， 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，掌握菱形的对角线平分每一组对角是解题的关键． 10．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是AD的中点，BE与CF相交于点P，设AB＝a．得到以下结论： ①BE⊥CF；②AP＝a；③CPa 则上述结论正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】先证明△CDF≌△BCE，可得到∠CEB＝∠CFD，继而证得∠EPC＝90°，故①正确；延长CF交BA延长线于点M，再证明△CFD和△MFA，可得CD＝MA＝AB＝a，由BP⊥CF，根据“AP为Rt△MPB斜边BM上的中线，是斜边的一半，”即可得：APBM2a＝a，故②正确；由勾股定理和面积可得：CPa，故③正确；即可得出结论． 【解答】解：在△CDF和△BCE中 ∴△CDF≌△BCE（SAS） ∴∠CEB＝∠CFD ∵∠DCF+∠CFD＝90° ∴∠DCF+∠CEB＝90° ∴∠EPC＝90° ∴①正确； 如图延长CF交BA延长线于点M， 在△CFD和△MFA中 ∴△CFD≌△MFA（ASA） ∴CD＝MA＝AB＝a， ∵BP⊥CF ∴AP为Rt△MPB斜边BM上的中线，是斜边的一半，即APBM2a＝a， ∴②正确； ∵CP⊥BE ∴CP×BE＝CE×BC ∵BE ∴CP ∴③正确 故选：D． 【点评】本题考查了正方形性质，直角三角形性质，三角形面积，勾股定理，全等三角形判定和性质等，综合性较强，解题关键是全等三角形判定定理和性质定理的应用． 11．如图，已知点E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB＝6cm，∠ABC＝60°，则四边形EFGH的面积为（　　）cm2． A．6 B．6 C．9 D．18 【分析】连接AC，BD，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EHGF是平行四边形，根据菱形的性质、矩形的判定定理得到四边形EFGH是矩形，根据直角三角形的性质、勾股定理、矩形的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：连接AC，BD，相交于点O， ∵E、F、G、H分别是菱形四边上的中点， ∴EH、FG、EF分别为△ABD、△CBD、△ABC的中位线， ∴EHBD，EH∥BD，FGBD，EH∥BD，EFAC， ∴四边形EHGF是平行四边形， ∵菱形ABCD中，AC⊥BD， ∴EF⊥EH， ∴四边形EFGH是矩形， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠ABO＝30°， ∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∴AOAB＝3， ∴AC＝6， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB3， ∴BD＝2OB＝6， ∴EHBD＝3，EFAC＝3， ∴四边形EFGH的面积＝33＝9， 故选：C． 【点评】本题考查的是菱形的性质、矩形的判定、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 12．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】延长DE，交FG于点N，交AB于点M，连接BE，交FG于点O，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出DE＝BE，再根据矩形的判定与性质可得BE＝FG，由此可判断①；先根据三角形全等的性质可得∠ABE＝∠ADE，再根据矩形的性质可得OB＝OF，然后根据等腰三角形的性质可得∠BFG＝∠ABE，由此可判断③；根据直角三角形的性质可得∠ADE+∠AMD＝90°，从而可得∠BFG+∠AMD＝90°，由此可判断②；先根据垂线段最短可得当DE⊥AC时，DE取得最小值，再解直角三角形可得DE的最小值，从而可得FG的最小值，由此可判断④． 【解答】解：如图，延长DE，交FG于点N，交AB于点M，连接BE，交FG于点O， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝4， ∴AD＝AB＝4，∠ABC＝∠BAD＝90°，∠BAE＝∠DAE＝45°， 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE，∠ABE＝∠ADE， ∵∠ABC＝90°，EF⊥AB，EG⊥BC， ∴四边形BFEG是矩形， ∴BE＝FG，OB＝OF， ∴DE＝FG，即结论①正确； ∵OB＝OF， ∴∠BFG＝∠ABE， ∴∠BFG＝∠ADE，即结论③正确； ∵∠BAD＝90°， ∴∠ADE+∠AMD＝90°， ∴∠BFG+∠AMD＝90°， ∴∠FNM＝90°，即DE⊥FG，结论②正确； 由垂线段最短可知，当DE⊥AC时，DE取得最小值， 此时在Rt△ADE中，∠BAE＝∠DAE＝45°， ， 又∵DE＝FG， ∴FG的最小值与DE的最小值相等，即为，结论④正确； 综上，正确的结论为①②③④， 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． 13．如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM＝（　　） A． B． C．1 D．1 【分析】根据正方形的性质得到AB＝AD＝BC＝CD，∠DCB＝∠COD＝∠BOC＝90°，OD＝OC，求得BDAB＝2，得到OD＝BO＝OC＝1，根据折叠的性质得到DE＝DC，DF⊥CE，求得OE1，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠DCB＝∠COD＝∠BOC＝90°，OD＝OC， ∴BDAB＝2， ∴OD＝BO＝OC＝1， ∵将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处， ∴DE＝DC，DF⊥CE， ∴OE1，∠EDF+∠FED＝∠ECO+∠OEC＝90°， ∴∠ODM＝∠ECO， 在△OEC与△OMD中，， △OEC≌△OMD（ASA）， ∴OM＝OE1， 故选：D． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 二．填空题（共3小题） 14．已知正方形的一条对角线的长是，则正方形的面积为 　9　． 【分析】由正方形的两条对角线相等，可知这个正方形的两条对角线长都是3，由正方形的两条对角线互相垂直，且对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半求出该正方形的面积即可． 【解答】解：∵正方形的两条对角线相等， ∴这个正方形的两条对角线长都是3， ∵正方形的两条对角线互相垂直， ∴该正方形的面积为339， 故答案为：9． 【点评】此题重点考查正方形的性质、正方形的面积公式等知识，证明该正方形的两条对角线长都是3是解题的关键． 15．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积是　22　． 【分析】首先设CD与AB1交于点O，由在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，可求得AE的长，继而求得△ABB1、△AEB1、△COB1的面积．则可求得答案． 【解答】解：如图，设CD与AB1交于点O， ∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高， ∴AE， 由折叠易得△ABB1为等腰直角三角形， ∴S△ABB1BA•AB1＝2，S△ABE＝1， ∴CB1＝2BE﹣BC＝22， ∵AB∥CD， ∴∠OCB1＝∠B＝45°， 又由折叠的性质知，∠B1＝∠B＝45°， ∴CO＝OB1＝2． ∴S△COB1OC•OB1＝3﹣2， ∴重叠部分的面积为：2﹣1﹣（3﹣2）＝22． 【点评】此题考查了菱形的性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 16．已知平行四边形ABCD的四个顶点都在某一个矩形上，其中BD为这个矩形的对角线，若AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，则这个矩形的周长是　7或8　． 【分析】分为两种情况，画出图形，①解直角三角形求出AG和DG，再求出矩形的候车即可；②解直角三角形求出BE和AE，再求出矩形的周长即可． 【解答】解：分为两种情况：①如图，分别过D、B作DG⊥BA，BH⊥DC，垂足分别为G、H； 则四边形BHDG为矩形， 所以BH＝DG，HC＝AG，∠HBA＝90°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠HBC＝30°， 则HC，由勾股定理得：BH； ∴矩形BHDG的周长＝2（2）＝7； ②如图，分别过B、D作BE⊥DA，DF⊥BC，垂足分别为E、F； 则四边形BEDF为矩形； 所以BE＝DF，AE＝CF，∠E＝∠EBF＝90°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ABE＝30°， 则AE＝1；BE； ∴矩形BEDF的周长＝2（1+3）＝8， 故答案为：7或8． 【点评】本题考查了解直角三角形，矩形的性质和平行四边形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 三．解答题（共8小题） 17．如图，在矩形OABC中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA＝2，AB＝5，把△ABC沿着AC对折得到△AB′C，AB′交y轴于D点，求D点的坐标． 【分析】作B′E⊥x轴，利用折叠的性质与矩形的性质不难得到∠B′AC＝∠OCA，进而可得AD＝CD；设OD＝x，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得22+x2＝（5﹣x）2，解方程可求出x的值，进而确定点D的坐标． 【解答】解：作B′E⊥x轴，如图所示． ∵∠BAC＝∠B′AC，∠BAC＝∠OCA， ∴AD＝CD， 设OD＝x，AD＝OC﹣OD＝5﹣x， 根据勾股定理列方程得：22+x2＝（5﹣x）2， 解得：x＝2.1， ∴OD＝2.1． 故D点的坐标为（0，2.1）． 【点评】本题是一道关于折叠的题目，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质与勾股定理． 18．如图，四边形ABCD、AEFM都是正方形，连接BE、DM． 求证：BE＝DM． 【分析】由正方形的性质可得AD＝AB，AE＝AM，∠EAM＝∠DAB＝90°，易得∠MAD＝∠EAB，由“SAS”可得△MAD≌△EAB，可得BE＝DM． 【解答】证明：∵四边形ABCD、AEFM都是正方形， ∴AD＝AB，AE＝AM，∠EAM＝∠DAB＝90°， ∴∠EAM+∠DAE＝∠DAB+∠DAE， 即∠MAD＝∠EAB， 在△MAD与△EAB中， ， ∴△MAD≌△EAB（SAS）， ∴BE＝DM． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用正方形的性质是本题的关键． 19．如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的动点，连接EF，过点C作AE的平行线，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD． （1）求证：四边形DBEC是平行四边形． （2）若AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，则在点E的运动过程中： ①当BE＝　1　时，四边形DBEC是矩形； ②当BE＝　2　时，四边形DBEC是菱形． 【分析】（1）由AAS证明△CDF≌△BEF，得出DF＝EF，即可证出四边形DBEC是平行四边形． （2）①由矩形的性质得出∠AEC＝90°，得出∠BCE＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出CEBC＝1即可； ②由菱形得出BE＝CE，证出△BCE是等边三角形，得出BE＝BC＝2． 【解答】（1）证明：∵CD∥AE， ∴∠CDF＝∠BEF， ∵点F是BC的中点， ∴CF＝BF， 在△CDF和△BEF中，， ∴△CDF≌△BEF（AAS）， ∴DF＝EF， ∴四边形DBEC是平行四边形． （2）解：∵AB＝BC＝2，∠ABC＝120°， ∴∠A＝∠BCA＝30°， ∴∠CBE＝30°+30°＝60°， ①若四边形DBEC是矩形， 则∠AEC＝90°， ∴∠BCE＝90°﹣60°＝30°， ∴CEBC＝1， ∴当BE＝1时，四边形DBEC是矩形； 故答案为：1； ②若四边形DBEC是菱形，则BE＝CE， ∵∠CBE＝60°， ∴△BCE是等边三角形， ∴BE＝BC＝2； ∴当BE＝2时，四边形DBEC是菱形； 故答案为：2． 【点评】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键． 20．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）求证：四边形ABFE是菱形． 【分析】（1）根据旋转角求出∠BAD＝∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等． （2）根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABFE是平行四边形，然后依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得． 【解答】（1）证明：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°， ∴∠BAC＝∠DAE＝40°， ∴∠BAD＝∠CAE＝100°， 又∵AB＝AC， ∴AB＝AC＝AD＝AE， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． （2）证明：∵∠BAD＝∠CAE＝100°AB＝AC＝AD＝AE， ∴∠ABD＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC＝40°． ∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝140°， ∴∠BFE＝360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC＝140°， ∴∠BAE＝∠BFE， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∵AB＝AE， ∴平行四边形ABFE是菱形． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、旋转的性质以及菱形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 21．已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD． （1）求证：AB＝AF； （2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论． 【分析】（1）只要证明AB＝CD，AF＝CD即可解决问题； （2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可； 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠AFC＝∠DCG， ∵GA＝GD，∠AGF＝∠CGD， ∴△AGF≌△DGC， ∴AF＝CD， ∴AB＝AF． （2）解：结论：四边形ACDF是矩形． 理由：∵AF＝CD，AF∥CD， ∴四边形ACDF是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠BCD＝120°， ∴∠FAG＝60°， ∵AB＝AG＝AF， ∴△AFG是等边三角形， ∴AG＝GF， ∵△AGF≌△DGC， ∴FG＝CG，∵AG＝GD， ∴AD＝CF， ∴四边形ACDF是矩形． 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 22．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形； （2）若AB＝2，CE，求CG的长度； （3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数． 【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根据正方形的判定定理证明即可； （2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题． （3）分两种情形考虑问题即可； 【解答】（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q， ∵∠DCA＝∠BCA， ∴EQ＝EP， ∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°， ∴∠QEF＝∠PED， 在Rt△EQF和Rt△EPD中， ， ∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA）， ∴EF＝ED， ∴矩形DEFG是正方形； （2）如图2中，在Rt△ABC中．ACAB＝2， ∵EC， ∴AE＝CE， ∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG． （3）①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，∠ADE＝30°， 则∠CDE＝90°﹣30°＝60°， 在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°， ②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝30°，如图3所示： ∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD， ∴∠EFC＝∠CDE＝30°， 综上所述，∠EFC＝120°或30°． 【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 23．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF， （1）观察猜想 如图1，当点D在线段BC上时， ①BC与CF的位置关系为：　BC⊥CF　． ②BC、CD、CF之间的数量关系为：　BC＝CF+CD　．（将结论直接写在横线上） （2）数学思考 如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸 如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知，，请求出CF的长． 【分析】（1）根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，根据余角的性质即可得到结论； （2）根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论； （3）根据等腰直角三角形的性质得到BCAB＝2，CD，由（2）可知CF＝BD＝BC+CD＝2． 【解答】解：（1）①∵正方形ADEF中，AD＝AF， ∵∠BAC＝∠DAF＝90°， ∴∠BAD＝∠CAF， 在△DAB与△FAC中， ， ∴△DAB≌△FAC（SAS）， ∴∠B＝∠ACF， ∴∠ACB+∠ACF＝90°，即BC⊥CF； 故答案为：BC⊥CF； ②∵△DAB≌△FAC， ∴CF＝BD， ∵BC＝BD+CD， ∴BC＝CF+CD； 故答案为：BC＝CF+CD； （2）CF⊥BC成立；BC＝CD+CF不成立，CD＝CF+BC．理由如下： ∵正方形ADEF中，AD＝AF， ∵∠BAC＝∠DAF＝90°， ∴∠BAD＝∠CAF， 在△DAB与△FAC中， ， ∴△DAB≌△FAC（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACF， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°． ∴∠ABD＝180°﹣45°＝135°， ∴∠BCF＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°， ∴CF⊥BC． ∵CD＝DB+BC，DB＝CF， ∴CD＝CF+BC． （3）∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴BCAB2， ∴CDBC， 由（2）可知CF＝BD＝BC+CD＝2． 【点评】本题考查了四边形综合题，需要掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，此类题目通常都是用同一种思路求解，在（1）中找出证明三角形全等的思路是解题的关键． 24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P，Q运动的时间为ts． （1）CD边的长度为 　10　cm，t的取值范围为； （2）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？ （3）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； （4）从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？ （5）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； （6）是否存在t，使得△APQ的面积是△ABC面积的一半？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； （7）是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）作DE⊥BC于点E，构造△DCE是直角三角形．时间＝路程÷速度． （2）根据平行四边形的性质知PD＝QC，然后列方程即可． （3）根据菱形四条边相等的性质进行判断． （4）根据矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是菱形进行解答． （5）根据正方形的判定：有一组邻边相等的矩形是正方形进行判断． （6）根据面积公式列方程解答即可． （7）当△DQC是等腰三角形时，需分三种情况讨论．据此进行解答． 【解答】解：（1）如图，作DE⊥BC于点E，则四边形ADEB是矩形， ∴DE＝AB＝8cm，BE＝AD＝12cm， ∴EC＝BC﹣BE＝6cm， ∴DC10cm． ∵AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，运动时间为t， ∴经过BC所用的时间9s， ∴t的取值范围为0≤t≤9． （2）如图，当PQ∥CD时，四边形PDCQ是平行四边形， 则PD＝QC， 则12﹣t＝2t， 则t＝4， 则当t＝4时，PQ∥CD． （3）不存在．理由： 要使四边形PQCD是菱形，则四边形PQCD一定是平行四边形， 由（2）当t＝4时，四边形PQCD是平行四边形， 此时DP＝12﹣t＝8≠10，即DP≠DC， 则按已知速度运动，四边形PQCD只能是平行四边形，但不可能是菱形． （4）如图， 由题意，得AP＝t，DP＝12﹣t，CQ＝2t，BQ＝18﹣2t． 要使四边形PQBA是矩形，∠B＝90°，AD∥BC，即AP∥BQ， 只需满足AP＝BQ，即t＝18﹣2t，解得t＝6． 则当t＝6s时，四边形PQBA是矩形． （5）不存在．理由： 要使四边形PQBA是正方形，则四边形PQBA一定是矩形， 由（4）当t＝6时，四边形PQBA是矩形， 此时AP＝t＝6≠8，即AP≠AB， 则按已知速度运动，四边形PQBA只能是矩形，但不可能是正方形． （6）存在．若△APQ的面积是△ABC面积的一半，则AP•ABBC•AB， ∴APBC，即y＝9． ∵t＝9满足0≤t≤9， ∴存在这样的t值． （7）存在． ①如图，当QC＝DC时，即2t＝10， 则t＝5． ②如图，当DQ＝DC时，过点D作DH⊥CQ， 则QH＝CHCQ＝t． 在Rt△DHC中，DH＝8，CH＝BC﹣AD＝6， ∴DC＝10， 则t＝6． ③如图，当QD＝QC时，过点D作DH⊥CQ，DH＝8，CH＝6，DC＝10，CQ＝QD＝2t，QH＝|2t﹣6|． 在Rt△DQH中，DH2+QH2＝DQ2， ∴82+|2t﹣6|2＝（2t）2， 解得t， 综上，当t＝5s，6s或s时，△DQC是等腰三角形． 故答案为：10． 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定，平行四边形的判定和性质等知识，构造出直角三角形是解本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/28 14:58:22；用户：杨忠伦；邮箱：yzlgll2008@163.com；学号：5809511 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$