专题7 勾股定理与平面几何最值及代数最值（8种类型）（解析版+原卷版）-2024-2025学年八年级数学下重难点专题突破及提优测试卷（人教版）

专题7 勾股定理与平面几何最值及代数最值（8种类型）（解析版） 类型一 利用垂线段最短 1．（2024•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为（　　） A． B． C．2 D．3 【分析】先利用30°的正切求出AC的长，再在Rt△ACD中，用∠CAD的正切值可求出CD的长，最后利用角平分线的性质及垂线段最短即可解决问题． 【解答】解：法一： 在Rt△ABC中， tanB， ∴AC． ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD． 在Rt△ACD中， tan∠CAD， ∴CD． ∵AD平分∠CAB，且DC⊥AC， ∴点D到AB边的距离等于线段CD的长， 即线段DE长度的最小值为2． 法二： 当DE⊥AB时，DE最小． ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DE． 令DC＝DE＝x， 则BD＝6﹣x． ∵∠DAB， ∴∠B＝∠DAB， ∴DA＝DB＝6﹣x． 在Rt△DAE中， sin∠DAB， ∴DE， 则x， 解得x＝2， ∴DE＝2． 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理、垂线段最短及含30度角的直角三角形，熟知角平分的性质及特殊角的三角函数值是解题的关键． 2．（2023春•深圳期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4，点D为线段AB上的一个动点，以BD为腰，作一个顶角为30°的等腰△BDE，其中P为DE的中点，连接CP，则线段CP的最小值为 　或　． 【分析】连接BF，依据等腰三角形的性质，即可得到点P在∠DBE的角平分线上运动；当点D在CP上时，∠CPB＝90°，根据垂线段最短可知，此时CP最短，最后根据CB的长即可得到CP的长． 【解答】解：如图所示，连接BP， 在等腰△BDE中，P是DE的中点， ∴BP⊥DE，BP平分∠DBE， ∴∠DBP＝15°，即点P在∠DBE的角平分线上运动， ∴当点D在CP上时，∠CPB＝90°，根据垂线段最短可知，此时CP最短， 又∵∠ABC＝30°， ∴∠CBP＝45°， ∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4， ∴BCAB＝2， ∴Rt△BCP中，CP＝BC×sin∠CBP＝2， ∴线段CP的最小值为． 当DE＝DB时， ∵∠ABE＝∠BED＝30°， ∵∠CAB＝60°， ∴当点D与A重合时，DE＝BD， ∵P为DE的中点， ∴CP2， ∴当CP′⊥BP时，根据垂线段最短可知，此时CP′最短， 又∵∠ABC＝30°， ∴， 故答案为：或． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，解直角三角形，连接BP，得到点P在∠DBE的角平分线上运动是解决问题的关键． 类型二 将军饮马模型 3．（2022春•黔东南州期中）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路径是 　17　km． 【分析】先作A关于MN的对称点，连接A′B，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案． 【解答】解：如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P， 则从A延AP到P再延PB到B， 此时AP+BP＝A′B， 在Rt△A′DB中，由勾股定理求得 A′B17km， 故答案为：17． 【点评】本题考查的是勾股定理和轴对称在实际生活中的运用，需要同学们联系实际，是一道比较典型的题目，难度适中． 4．（2024•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，2），过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO+PA的最小值为 　5　． 【分析】取点O'（0，4），连接O'P，O'A，推出PO+PA的最小值为O'A的长，再利用勾股定理求出O'A的长即可． 【解答】解：取点O'（0，4），连接O'P，O'A，如图， ∵B（0，2），过点B作y轴的垂线l， ∴点O'（0，4）与点O（0，0）关于直线l对称， ∴PO'＝PO， ∴PO+PA＝PO'+PA≥O'A， 即PO+PA的最小值为O'A的长， 在Rt△O'AO中， ∵OA＝3，OO'＝4， ∴由勾股定理，得O'A5， ∴PO+PA的最小值为5． 故答案为：5． 【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，平面直角坐标系，勾股定理，能用一条线段表示两线段和的最小值是解题的关键． 5．（2023秋•西青区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝60°，点P为MN上一动点，连接AP，BP． （Ⅰ）使AP+BP取最小值的动点P的位置在点C的 　左　侧．（填“左”或“右”） （Ⅱ）当AP+BP的值最小时，请直接写出∠CBP的度数 　15°　． 【分析】（Ⅰ）过点A作AD⊥MN于点D，延长AD到点A′，使得AD＝DA′，连接A′B与MN交于点P，连接AP，过B作BE⊥MN于点E，作BF⊥AA′于点F，则PA＝PA′，四边形BEDF为矩形，证明△ACD≌△CBE（AAS），得AD＝CE，CD＝BE，设BE＝x，则DF＝CD＝x，得到∠PBE＝45°，进而求得结果； （Ⅱ）根据等腰直角三角形的性质和角的和差即可得到结论． 【解答】解：（Ⅰ）使AP+BP取最小值的动点P的位置在点C的右侧； 过点A作AD⊥MN于点D，延长AD到点A′，使得AD＝DA′，连接A′B与MN交于点P，连接AP，过B作BE⊥MN于点E，作BF⊥AA′于点F，则PA＝PA′，四边形BEDF为矩形， ∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B的值最小， ∴AA′∥BE，∠ADC＝∠CEB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝∠ACD+∠CAD＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴AD＝CE，CD＝BE， 设BE＝x，则DF＝CD＝x， ∵∠BCN＝60°， ∴BCBEx，∠CBE＝30°， ∴A′D＝AD＝CEx， ∴BF＝DE＝CD+CEx， ∴A′F＝A′D+DFx， ∴A′F＝BF， ∴∠A′＝45°， ∴∠APD＝45°＞∠ACD＝30°， ∴使AP+BP取最小值的动点P的位置在点C的左侧， 故答案为：左； （2）∵AA′⊥MN，BE⊥MN， ∴AA′∥BE， ∴∠PBE＝∠A′＝45°， ∴∠CBP＝45°﹣30°＝15°， 故答案为：15°． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，等腰直角三角形的性质与判定，两点之间线段最短性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，确定PA+PB取最小值时的P点位置和证明三角形全等是解题的关键． 类型三 逆等线段模型（线段拼接） 6．（2024春•东西湖区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝6，AC＝8，D、E分别为边AC、AB上两个动点．且AE＝CD，连接BD、CE，则BD+CE的最小值是 　2　． 【分析】过点C向上作CM∥AB，使CM＝AC，连接EM，BM，过点M作MN⊥BC交BC的延长线于点N，证明△EAC≌△DCM可得CE＝MD，当点B，D，M三点在同一条直线上时，BD+MD的值最小为线段BM的长，即BD+CE的最小值为BM的长，根据勾股定理即可求出BM的长，进而可得结论． 【解答】过点C向上作CM∥AB，使CM＝AC，连接BM， 过点M作MN⊥BC交BC的延长线于点N， ∵CM∥AB， ∴∠A＝∠ACM， 在△EAC和△DCM中， ， ∴△EAC≌△DCM（SAS）， ∴CE＝MD， 当点B，D，M三点在同一条直线上时，BD+MD的值最小为线段BM的长， 即BD+CE的最小值为BM的长， ∵CM∥AB， ∴∠MCN＝∠ABC＝60°， ∵∠N＝90°，CM＝AC＝8， ∴∠CMN＝30°， ∴CNCM＝4， ∴MN＝4， ∵BC＝6， ∴BN＝BC+CN＝6+4＝10， ∴BM2， ∴BD+CE的最小值为2． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形三边关系、勾股定理、含30°角直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线，构建全等三角形和直角三角形是解题的关键． 类型四 费马点模型 7．（2024春•淮安区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点P是平面内一动点，且PA＝4，连接PB、PC，则PB+PC的最小值为 　4　． 【分析】把AP绕点A逆时针旋转120°至AM，连PM．由手拉手得得△PAC≌△MAB，故PB+BM≥PM，即PB+PC≥4，得PB+PC的最小值为4． 【解答】解：把AP绕点A逆时针旋转120°至AM，连PM． ∵∠BAC＝∠PAM＝120°， ∴∠PAC＝∠MAB． 由AB＝AC，∠PAC＝∠MAB，AP＝AM， 得△PAC≌△MAB（SAS）， ∴PC＝BM． ∵∠PAM＝120°， ∴∠HMA＝30°， ∴HAAM＝2， ∴HMHA＝2， ∴PM＝2HM＝4． ∵PB+BM≥PM， 即PB+PC≥4， ∴PB+PC的最小值为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了等腰三角形知识，利用旋转构造手拉手证明全等，以及三角形三边关系是解题关键． 8．（2022秋•江都区校级月考）【阅读理解】 （1）如图1，等边△ABC内有一点P，若PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数． 将△ABP绕顶点A旋转至△ACP'处，得△ACP'≌△ABP，可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请你写出完整的解题过程． 【基本运用】 （2）请你利用第（1）题的解答方法，解答问题： 如图2，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点，且∠EAF＝45°，BE＝3，FC＝2，求EF的长． 【能力提升】 （3）如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为Rt△ABC内一点，连接AP，BP，CP，则PA+PB+PC的最小值是 　　． 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； （2）根据旋转的性质可以得到边相等角相等，再利用相等的边证明三角形全等，最后进行等边转化，进而求出EF的长； （3）根据旋转的性质可以得到等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求出当四点共线的时候PA+PB+PC的值最大，最后根据勾股定理即可得到PA+PB+PC值． 【解答】解：（1）∵由旋转的性质可知△ACP'≌△ABP， ∴AP'＝AP＝3，CP'＝BP＝4，∠AP'C＝∠APB， ∴∠PAP'＝60°， ∴△APP'为等边三角形，PP'＝AP＝3，∠AP'P＝60°， ∴， ∴△PP'C是直角三角形， ∴∠APB＝∠AP'C＝∠AP'P+∠PP'C＝60°+90°＝150°； （2）如图2所示，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE'， 由旋转的性质可知AE'＝AE，CE'＝BE，∠CAE'＝∠BAE，∠ACE'＝∠B，∠EAE'＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠E'AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAF＝∠E'AF， ∴在△EAF和△E'AF中， ∴， ∴△EAF≌△E'AF（SAS）， ∵∠CAB＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠E'CF＝∠ACF+∠ACE＝45°+45°＝90°， ∴由勾股定理：FC2+CE'2＝E'F2， ∴FC2+CE'2＝E'F2， ∵BE＝3，CF＝2， ∴； （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2， ∴， ∵△APB绕B点瞬时针方向旋转60°， ∴△A'P'B如图3所示， ∴∠A'BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△APB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A'P'B， ∴A'B＝AB＝2，BP＝BP'，A'P'＝AP， ∴△BPP'是等边三角形， ∴BP＝PP'，∠BPP'＝∠BP'P＝60°， ∵∠APC＝∠CPB＝∠BPA＝120°， ∴∠CPB+∠BPP′＝∠BP′A'+∠BP′P＝120+60＝180°， ∴当C、P、A'、P'四点共线，PA+PB+PC的值最小， 在Rt△A'BC中，， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了几何变换综合题，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理，利用旋转构造全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 类型五 胡不归模型 9．如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，BD⊥AC交AC于点D，P为线段BD上的动点，则的最小值为 　2　． 【分析】过点P作PH⊥AB于点H，由题意易得，进而可得即为PC+PH，若使的值为最小，也就相当于PC+PH为最小，则有当点C、P、H三点共线时，PC+PH的值为最小，最后问题可求解． 【解答】解：过点P作PH⊥AB于点H，如图所示： ∵∠A＝60°，BD⊥AC， ∴∠ABD＝30°， ∴， ∴， 若使的值为最小，也就相当于PC+PH为最小， ∴当点C、P、H三点共线时，PC+PH的值为最小，如图所示： ∵AC＝4， ∴CH＝AC•sinA＝42， ∴的最小值为； 故答案为：． 【点评】本题主要考查三角函数及勾股定理，解题的关键是利用“胡不归”模型找到最小值的情况，然后进行求解即可． 类型六 根据瓜豆原理确定运动轨迹后求最值 10．（2023春•天府新区期末）如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，D为AB中点，E为直线BC上一点，以DE为边在DE右侧作等边△DEF，连接AF，则AF的最小值为 　　． 【分析】过点D作DM⊥BC于点M，点F作FN⊥AB于点N，分①点N在点D下方，②点N在点D上方，③点N与点D重合三种情况 讨论，都可以得到，重合得到点F在直线AB的右侧，且与AB距离为的直线上，这条直线与AB平行，再根据垂线段最短可知：当点N与点A重合时，AF最小，重合得解． 【解答】解：过点D作DM⊥BC于点M，过点F作FN⊥AB于点N， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60° 又∵DM⊥BC， ∴∠BDM＝30° 又∵AB＝2，D为AB中点， ∴， ∴ ∴ ∵△DEF为等边三角形， ∴∠EDF＝60°，DE＝DF， ①当点N在点D下方时，作图如下：（两图情况略有不同，但证明过程完全一致） ∵∠BDM＝30°，∠EDF＝60°， ∴∠EDF+∠BDM＝∠EDM+∠NDF＝90°， 又∵DM⊥BC， ∴∠EDM+∠MED＝90° ∴∠NDF＝∠MED， ∵∠DNF＝∠EMD＝90°，∠NDF＝∠MED，DE＝DF， ∴△DNF≌△EMD（AAS）； ∴， ∴此时，点F在直线AB的右侧，且与AB距离为的直线上，这条直线与AB平行； ②当点N在点D上方时，作图如下： ∵∠BDM＝30°，∠EDF＝60°， ∴∠EDF+∠BDM＝90°， ∴∠EDM+∠NDF＝180°﹣（∠EDF+∠BDM）＝90°， 又∵DM⊥BC， ∴∠EDM+∠MED＝90°， ∴∠NDF＝∠MED， ∵∠DNF＝∠EMD＝90°，∠NDF＝∠MED，DE＝DF， ∴△DNF≌△EMD（AAS）， ∴， ∴此时，点F在直线AB的右侧，且与AB距 离为的直线上，这条直线与AB平行； ③当点D与点N重合时，作图如下： 由图可知：， ∴此时，点F在直线AB的右侧，且与AB距 离为 的直线上，这条直线与AB平行； 综上所述：点F在直线AB的右侧，且与AB距离为的直线上，这条直线与AB平行．根据垂线段最短可知：当点N与点A重合时，AF最小，即． 故答案为：． 【点评】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，推断出“点F在直线AB的右侧，且与AB距离为的直线上，这条直线与AB平行”是解题的关键． 11．（2024春•江津区校级月考）已知△ABC是等边三角形， （1）如图1，若AB＝6，点D在线段BC上，且BD＝2，连接AD，求AD的长； （2）如图2，点E是BC延长线上一点，∠AEF＝60°，EF交△ABC的外角平分线于点F，求证：CF＝AC+CE： （3）如图3，若AB＝12，动点M从点B出发，沿射线BC方向移动，以AM为边在右侧作等边△AMN，取AC中点H，连接NH，请直接写出NH的最小值及此时的长． 【分析】（1）过点D作DE⊥AB于点E，由题意易得∠B＝60°，然后根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可进行求解； （2）在线段CF上截取一点G，使得CG＝CE，连接EG，由题意易得△CEG是等边三角形，则有CE＝GE，∠CGE＝60°，然后可证△ACE≌△FGE，进而问题可求证； （3）连接CN，由题意易证△ABM≌△ACN，则有∠ACN＝∠B＝60°，然后可得点N在△ABC的外角的角平分线上运动，进而根据垂线段最短可得NH的最小值，及此时BM的长． 【解答】（1）解：过点D作DE⊥AB于点E，如图1所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴∠BDE＝30°， ∵BD＝2， ∴，， ∵AB＝6， ∴AE＝AB﹣BE＝5， ∴在Rt△AED中，由勾股定理得：； （2）证明：在线段CF上截取一点G，使得CG＝CE，连接EG，如图2所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝120°， ∵CF平分∠ACE， ∴∠ACF＝∠ECF＝60°， ∴△CEG是等边三角形， ∴CE＝GE，∠CEG＝∠CGE＝60°， ∴∠FGE＝∠ACE＝120°，∠CEA+∠AEG＝∠GEF+∠AEG＝60°， ∴∠CEA＝∠GEF， ∴△ACE≌△FGE（ASA）， ∴AC＝FG， ∴CF＝CG+GF＝CE+AC； （3）解：连接CN，如图3所示： ∵△ABC，△AMN是等边三角形， ∴AB＝AC＝12，AM＝AN，∠B＝∠BAC＝∠ACB＝∠MAN＝60°， ∴∠BAM+∠MAC＝∠MAC+∠CAN＝60°，∠ACP＝120°， ∴∠BAM＝∠CAN， ∴△ABM≌△ACN（SAS）， ∴∠ACN＝∠B＝60°，BM＝CN， ∴， ∴点N在△ABC的外角的角平分线上运动， 由垂线段最短可知当NH⊥CN时，NH最短， ∵点H是AC的中点， ∴CH＝6， ∵∠ACN＝60°，∠HNC＝90°， ∴∠CHN＝30°， ∴． 【点评】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、垂线段最短及勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 类型七 求两项的最值 12．（2023秋•普陀区期末）小明求代数式的最小值时，采用如下方法：如图，在同一直角坐标平面内，设M（x，0）为x轴上的一个动点，选取点A（0，1）和B（4，2），根据两点的距离公式得AM，BM，通过构造，将求代数式的最小值转化为求AM+BM的最小值．由此小明求出的最小值等于 　5　． 【分析】作点A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于M，则此时AM+BM的值最小，且等于BC的长度，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：如图，作点A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于M，则此时AM+BM的值最小，且等于BC的长度， ∵点A（0，1）和B（4，2）， ∴C（0，﹣1）， ∴BC5， ∴AM+BM的最小值为5， 即的最小值等于5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 13．（2024春•沙市区期末）探究式子的最小值．小胖同学运用“数形结合”的思想：如图，取AB＝4，作AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，且AC＝1，BD＝1，点E在AB上，设AE＝x，则BE＝4﹣x，于是，，因此，可求得CE+DE的最小值为 　2　，已知，则y的最大值是 　　． 【分析】（1）根据最短路径问题的解决方法即可求得答案． （2）如图，根据三角形的三边关系，当AE与AC在一条直线时，y的值最大． 【解答】解：①作点C关于AB的对称点C′，连接DC′，则DC′的长即为CE+DE的最小值．DC′2， ②如图3，取线段BD＝5，在线段BD所在直线的同侧分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，且AB＝3，DE＝5，连接EA，并延长EA交DB的延长线于点C，则线段CE，AE，AC， 当AE与AC在一条直线上时，y有最大值（x≥0），最大值为AE的长：． 故答案为：2，． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，最值问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，中用转化的思想解决问题，属于中考压轴题． 14．已知a、b是正数，且a+b＝2，则的最小值＝　　． 【分析】由a+b＝2，用a表示出b，将表示出的b代入所求的式子中，得到关于a的表达式，作出A关于直线l的对称点C，连接BC交直线l与点P，此时利用两点之间线段最短可得AP+PB＝BC为最短，从而利用勾股定理，将表达式转化为直角三角形两斜边AP、BP的和，即BC的长，即为所求式子的最小值，故在直角三角形BCF中，由BF和CF的长，利用勾股定理求出BC即可得到结果． 【解答】解：∵a+b＝2， ∴b＝2﹣a，代入， 得：， 构造如图形，如图，其中ED＝2，AE＝2，BD＝1，AE⊥l，BD⊥l， 作出A关于直线l的对称点C，连接BC与直线l交于点P，此时AP+PB最短． 延长BD，过C作CF垂直于BC的延长线，垂足为F， 设PD＝a，可得ED＝2﹣a， 在Rt△AEP中，根据勾股定理得： AP，BP， 则AP+BP， 当B、P、C三点共线时，因为直线l为线段AC的垂直平分线， 则AP+BP＝CP+PB＝BC，此时BC的长即为所求式子的最小值， 此时在Rt△CBF中，DF＝EC＝AE＝2，故BF＝BD+DF＝1+2＝3，CF＝ED＝2， 由勾股定理可求得BC， 则的最小值为． 【点评】此题主要考查线段公理的应用，以及构造直角三角形，用勾股定理求解的策略，勾股定理的最大贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和运用都体现了数形结合的思想，运用勾股定理往往可以顺利解决某些具有平方特征的代数问题．本题的思路为：构造相应的图形，利用对称知识将所求的表达式转化为线段BC的长度，进而利用勾股定理来解决问题，充分体现了转化思想及数形结合思想． 类型八 求三项的最值 15．已知x，y为实数，则代数式的最小值是（　　） A．2 B．3 C． D． 【分析】根据两点之间的距离，设P（x，0），Q（0，y），A（﹣1，2），B（3，﹣3），则代数式表示AQ+PB+PQ，当A，Q，P，B四点共线时，AQ+PB+PQ取最小值，求出AB的长度即可． 【解答】解：如图， 设P（x，0），Q（0，y），A（﹣1，2），B（3，﹣3）， 则代数式表示AQ+PB+PQ， 当A，Q，P，B四点共线时，AQ+PB+PQ取最小值， 即AB， 故选：D． 【点评】本题考查了两点之间的距离，考查数形结合的思想方法，知道代数式表示AQ+PB+PQ是解题的关键． 16．（2024•长沙模拟）设x＞0，y＜1，则如下式子中u的最小值为 　　． 【分析】依题意得u，在平面直角坐标系的第一象限构造边长为1的正方形OABC，其中点A在x轴上，点C在y轴上，则点A（1，0），点B（1，1），点C（0，1），设点P在正方形OABC内部，其坐标为（x，y），连接PO，PB，PC，将△POC绕点O逆时针旋转90°得到△PEF，连接BF，则点F在x轴的负半轴上，且点F的坐标为（﹣1，0），△POE为等腰直角三角形，则PE＝√2PO，由两点间的距离公式得PO，PC，PB，则u＝PE+PC+PB，根据“两点之间线段最短”得PE+PC+PB≥BF，因此当B，P，E，F在同一条直线上时PE+PC+PB为最小，最小值为BF的长，也就是u的最小值为线段BF的长，由此求出BF的长即可得出答案． 【解答】解：∵ ∴u， 在平面直角坐标系的第一象限构造边长为1的正方形OABC，其中点A在x轴上，点C在y轴上，如图所示： ∴点A（1，0），点B（1，1），点C（0，1）， 设点P在正方形OABC内部，其坐标为（x，y），则x＞0，y＜1， 连接PO，PB，PC，将△POC绕点O逆时针旋转90°得到△PEF，连接BF， 则∠POE＝90°，PO＝EO，∠POC＝∠EOF，PC＝EF，OC＝OF＝1， ∴∠POC+∠COE＝90°， ∴∠EOF+∠COE＝90°， 即∠COF＝90°， ∴点F在x轴的负半轴上，且点F的坐标为（﹣1，0）， ∴AF＝OA+OF＝2， ∵∠POE＝90°，OP＝OE， ∴△POE为等腰直角三角形， 由勾股定理得：PEPO， ∵PO，PC，PB， ∴uPO+PC+PB， 即u＝PE+PC+PB， 根据“两点之间线段最短”得：PE+PC+PB≥BF， ∴当B，P，E，F在同一条直线上时，PE+PC+PB为最小，最小值为BF的长， ∴u的最小值为线段BF的长， ∴点B（1，1）， ∴AB＝1， 在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝2， ∴BF， ∴u的最小值为：． 【点评】此题主要考查了求代数式的最小值，解决此题的关键是将代数式的值转化为线段的长，再利用“两点之间线段最短”求出代数式的最小值，难点是数形结合思想在解决问题中的应用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7 勾股定理与平面几何最值及代数最值（8种类型）（原卷版） 类型一 利用垂线段最短 1．（2024•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为（　　） A． B． C．2 D．3 2．（2023春•深圳期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4，点D为线段AB上的一个动点，以BD为腰，作一个顶角为30°的等腰△BDE，其中P为DE的中点，连接CP，则线段CP的最小值为 　 ． 类型二 将军饮马模型 3．（2022春•黔东南州期中）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路径是 　 　km． 4．（2024•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，2），过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO+PA的最小值为 　 　． 类型三 逆等线段模型（线段拼接） 6．（2024春•东西湖区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝6，AC＝8，D、E分别为边AC、AB上两个动点．且AE＝CD，连接BD、CE，则BD+CE的最小值是 　 ． 类型四 费马点模型 7．（2024春•淮安区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点P是平面内一动点，且PA＝4，连接PB、PC，则PB+PC的最小值为 　 ． 8．（2022秋•江都区校级月考）【阅读理解】 （1）如图1，等边△ABC内有一点P，若PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数． 将△ABP绕顶点A旋转至△ACP'处，得△ACP'≌△ABP，可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请你写出完整的解题过程． 【基本运用】 （2）请你利用第（1）题的解答方法，解答问题： 如图2，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点，且∠EAF＝45°，BE＝3，FC＝2，求EF的长． 【能力提升】 （3）如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为Rt△ABC内一点，连接AP，BP，CP，则PA+PB+PC的最小值是 　 ． 类型五 胡不归模型 9．如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，BD⊥AC交AC于点D，P为线段BD上的动点，则的最小值为 　 ． 类型六 根据瓜豆原理确定运动轨迹后求最值 10．（2023春•天府新区期末）如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，D为AB中点，E为直线BC上一点，以DE为边在DE右侧作等边△DEF，连接AF，则AF的最小值为 　　． 类型七 求两项的最值 12．（2023秋•普陀区期末）小明求代数式的最小值时，采用如下方法：如图，在同一直角坐标平面内，设M（x，0）为x轴上的一个动点，选取点A（0，1）和B（4，2），根据两点的距离公式得AM，BM，通过构造，将求代数式的最小值转化为求AM+BM的最小值．由此小明求出的最小值等于 　 　． 13．（2024春•沙市区期末）探究式子的最小值．小胖同学运用“数形结合”的思想：如图，取AB＝4，作AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，且AC＝1，BD＝1，点E在AB上，设AE＝x，则BE＝4﹣x，于是，，因此，可求得CE+DE的最小值为 　 ，已知，则y的最大值是 　 ． 14．已知a、b是正数，且a+b＝2，则的最小值＝　 ． 类型八 求三项的最值 15．已知x，y为实数，则代数式的最小值是（　　） A．2 B．3 C． D． 16．（2024•长沙模拟）设x＞0，y＜1，则如下式子中u的最小值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$