专题6 勾股定理与三角形全等的五种模型（解析版+原卷版）-2024-2025学年八年级数学下重难点专题突破及提优测试卷（人教版）

专题6 勾股定理与三角形全等的四种模型（原卷版） 类型一 一线三等角（三垂直）模型 1．（2024秋•赣榆区期中）2024年某文化旅游品牌活动在青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA＝15km，CB＝10km，现在小明要在直线AB上找到地点E，使得： （1）若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少km处？ （2）若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少km处？ 类型二 手拉手模型 （一）直接利用手拉手模型 2．（2024•新疆）【探究】 （1）已知△ABC和△ADE都是等边三角形． ①如图1，当点D在BC上时，连接CE．请探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接CE．请再次探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由．【运用】 （2） 如图3，等边三角形ABC中，AB＝6，点E在AC上，．点D是直线BC上的动点，连接DE，以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，连接CF．当△CEF为直角三角形时，请直接写出BD的长． （二）构造手拉手模型 3．（2022秋•上虞区期中）如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC＝30°，AD＝2.4，BD＝4，则CD的长为 　 　． 4．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边上一点，连接AD． （1）如图1，将AD绕点A顺时针转90°至AE，连接BE，交AC于点F，若F为AC中点，BD＝4，求AE的长． （2）如图2．点M为AB延长线上的一点，连接DM，且AD＝DM，将DM绕点D逆时针转90°至DN，连接AN，求证ANBM． 类型三 对角互补模型 5．学习了图形的旋转等相关知识后，小李同学进行了一次拓展性研究．他发现，若一个四边形有一组对角均为90°且这组对角中有一个直角的两边相等，则连接这组对角的顶点，此对角线平分另一个直角．他的解决思路是通过作一个角等于已知角等知识证明两个三角形全等得出的结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规作图：如图，以AD为边在四边形ABCD外部作∠DAE＝∠BAC，AC＝AE，连接DE．（保留作图痕迹） （2）已知：如图，AC是四边形ABCD的对角线，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE． 求证：∠ACB＝∠ACD． 证明：∵∠BAD＝∠BCD＝90° ∴∠ABC+　 ＝180°， ∵AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE， ∴△ABC≌△ADE（SAS） ∴∠ACB＝∠AED，∠ABC＝　 　 ∴　 +　∠ADC＝180° ∴点C，D，E三点共线． 又AC＝AE， ∴∠ACD＝∠AED＝∠ACB． 即∠ACB＝∠ACD． 小李再进一步研究发现，线段CD，DE，AE存在一定的数量关系，请你根据以上信息，直接写出CD，DE，AE三者之间的数量关系 　 　 类型四 半角模型 6．（2024春•南山区期中）阅读下面的材料： 小华遇到这样一个问题：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°．若BD＝4，CE＝2，求DE的长．小华发现，将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，连接EF（如图②），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE． （1）请回答：在图②中，DE的长度为 　； （2）参考小华的思考方法，解决下列问题： ①如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别在BC，CD上，且，试探索BE，EF，DF之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图④，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC，CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝（40）米，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求出这条道路EF的长． 类型五 二倍角问题 6．（2024•滨州模拟）在△ABC中，，则BC＝　 　． 7．（2019秋•呼兰区月考）如图，在△ABC中，∠BCA＞90°，∠ACB＝2∠B，CD是∠ACB的平分线，CE⊥AB于点E，过点A作CD的垂线交CD的延长线于点H，若CH＝5，CE＝3，则△ABC的面积为　 　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6 勾股定理与三角形全等的五种模型（解析版） 类型一 一线三等角（三垂直）模型 1．（2024秋•赣榆区期中）2024年某文化旅游品牌活动在青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA＝15km，CB＝10km，现在小明要在直线AB上找到地点E，使得： （1）若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少km处？ （2）若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少km处？ 【分析】（1）先根据垂直的定义可得∠A＝∠B＝90°，再根据勾股定理可得AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝CE2，从而可得AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝x km，则BE＝（25﹣x）km，据此建立方程，解方程即可得； （2）作点D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E′，即E′到C、D站的距离之和最短，过点D′作D'F⊥CB的延长线于点F，证明D′F＝CF，由勾股定理得出CD′，E′C+E′D的最小值即为CD′，再得出∠AD′E′＝∠AE′D＝45°，根据等角对等边得出AE′＝AD＝15km． 【解答】解：（1）∵使得C，D两活动点到地点E站的距离相等， ∴DE＝CE， ∵DA⊥AB，CB⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝CE2， ∴AE2+AD2＝BE2+BC2， 设AE＝x km，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）km， ∵DA＝15km，CB＝10km， ∴x2+152＝（25﹣x）2+102， 解得：x＝10， ∴AE＝10km， 则小明所在的E站应在离A站10km处； （2）作点D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E′， 即E′到C、D站的距离之和最短，过点D′作D'F⊥CB的延长线于点F， 则∠F＝90°，D′F＝AB＝25，CF＝CB+BF＝CB+AD′＝CB+AD＝25， ∴D′F＝CF， ∴E′C+E′D的最小值即为CD′，此时∠BCE′＝45°， ∴∠AE′D′＝∠CE′B＝45°， ∴∠AD′E′＝∠AE′D＝45°， ∴AE′＝AD＝15km， 则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站15km处． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 类型二 手拉手模型 （一）直接利用手拉手模型 2．（2024•新疆）【探究】 （1）已知△ABC和△ADE都是等边三角形． ①如图1，当点D在BC上时，连接CE．请探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接CE．请再次探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由．【运用】 （2） 如图3，等边三角形ABC中，AB＝6，点E在AC上，．点D是直线BC上的动点，连接DE，以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，连接CF．当△CEF为直角三角形时，请直接写出BD的长． 【分析】（1）①根据条件易证△ABD≌△ACE（SAS），再进行线段转化易得答案；②与第①小问思路一样，证出△ABD≌△ACE（SAS）即可； （2）由△CEF为直角三角形可知，需要分类讨论确定哪个角是直角三角形，再根据点D的位置关系去讨论即可，因为点D是动点，所以按照前面两问带给我们的思路，去构造类似的全等三角形，进而讨论求解即可． 【解答】解：（1）①CE+CD＝CA．理由如下， ∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，AD＝AE＝DE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴CE＝BD ∵BD+CD＝BC， ∴CE+CD＝CA． ②CA+CD＝CE．理由如下， ∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，AD＝AE＝DE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴CE＝BD， ∵CB+CD＝BD， ∴CA+CD＝CE． （2）过E作EH∥AB，则△EHC为等边三角形． ①当点D在H左侧时，如图1， ∵ED＝EF，∠DEH＝∠FEC，EH＝EC， ∴△EDH≌△EFC（SAS）， ∴∠ECF＝∠EHD＝120°， 此时△CEF不可能为直角三角形． ②当点D在H右侧，且在线段CH上时，如图2， 同理可得∴△EDH≌△EFC（SAS）， ∴∠FCE＝∠EHD＝60°，∠FEC＝∠DEH＜∠HEC＝60°， 此时只有∠CFE有可能为90°， 当∠CFE＝90°时，∠EDH＝90°， ∴ED⊥CH， ∵CH＝CE＝2， ∴CDCH， 又∵AB＝6， ∴BD＝6． ③当点D在H右侧，且HC延长线上时，如图3， 此时只有∠CEF＝90°， ∵∠DEF＝60°， ∴∠CED＝30°， ∵∠ECH＝60°， ∴∠EDC＝CED＝30°， ∴CD＝CE＝2， ∴BD＝6+2． 综上：BD的长为6或6+2． 【点评】本题主要考查三角形综合题，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． （二）构造手拉手模型 3．（2022秋•上虞区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC＝30°，AD＝2.4，BD＝4，则CD的长为 　3.2　． 【分析】将△BCD绕点C顺时针旋转60°，点E为点D的对应点，连接DE，先根据等边三角形的性质可得∠ACB＝60°，再根据旋转的性质可得AE＝BD＝4，CE＝CD，∠DCE＝60°，然后根据等边三角形的判定与性质可得∠CDE＝60°，CD＝DE，最后在Rt△ADE利用勾股定理可得DE的长度，从而可得CD的长度． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， 如图，将△BCD绕点C顺时针旋转60°，点E为点D的对应点，连接DE， ∵∠ACB＝60°， ∴点A为点B旋转后的对应点， 由旋转的性质得：AE＝BD＝4，CE＝CD，∠DCE＝60°， ∴△DCE是等边三角形， ∴∠CDE＝60°，CD＝DE， ∵∠ADC＝30°， ∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°， 在Rt△ADE中，， ∴CD＝DE＝3.2， 故答案为：3.2． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，利用旋转的性质，构造等边三角形和直角三角形是解题关键． 4．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边上一点，连接AD． （1）如图1，将AD绕点A顺时针转90°至AE，连接BE，交AC于点F，若F为AC中点，BD＝4，求AE的长． （2）如图2．点M为AB延长线上的一点，连接DM，且AD＝DM，将DM绕点D逆时针转90°至DN，连接AN，求证ANBM． 【分析】（1）如图1中，连接CE，过点E作ET⊥AC于点T．想办法求出ET，AT，利用勾股定理，可得结论； （2）如图2中，过点D作DJ⊥DB交AB于点J，DH⊥AB于点H，连接NJ．想办法证明BM＝NJ，△ANJ是等腰直角三角形，可得结论． 【解答】（1）解：如图1中，连接CE，过点E作ET⊥AC于点T． ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE＝4，∠ABD＝∠ACE＝45°， ∵ET⊥AC， ∴CT＝ET＝2， ∵ET∥AB， ∴∠ABF＝∠TEF， ∴tan∠TEF＝tan∠ABF， ∴FTET， ∴AT＝4， ∴AE2； （2）证明：如图2中，过点D作DJ⊥DB交AB于点J，DH⊥AB于点H，连接NJ． 同法可证△MDB≌△NDJ， ∴BM＝NJ，∠DMB＝∠DNJ，∠DBM＝∠DJN＝135°， ∵∠DJB＝45°， ∴∠MJN＝90°， ∵DM＝DA， ∴∠DMB＝∠DAJ， ∴∠FAJ＝∠DNJ， ∵DN＝DM＝AD， ∴∠DAN＝∠DNA， ∴∠JNA＝∠JAN＝45°， ∴ANJNBM； 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 类型三 对角互补模型 5．学习了图形的旋转等相关知识后，小李同学进行了一次拓展性研究．他发现，若一个四边形有一组对角均为90°且这组对角中有一个直角的两边相等，则连接这组对角的顶点，此对角线平分另一个直角．他的解决思路是通过作一个角等于已知角等知识证明两个三角形全等得出的结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规作图：如图，以AD为边在四边形ABCD外部作∠DAE＝∠BAC，AC＝AE，连接DE．（保留作图痕迹） （2）已知：如图，AC是四边形ABCD的对角线，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE． 求证：∠ACB＝∠ACD． 证明：∵∠BAD＝∠BCD＝90° ∴∠ABC+　∠ADC　＝180°， ∵AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE， ∴△ABC≌△ADE（SAS） ∴∠ACB＝∠AED，∠ABC＝　∠ADE　 ∴　∠ADE+　∠ADC＝180° ∴点C，D，E三点共线． 又AC＝AE， ∴∠ACD＝∠AED＝∠ACB． 即∠ACB＝∠ACD． 小李再进一步研究发现，线段CD，DE，AE存在一定的数量关系，请你根据以上信息，直接写出CD，DE，AE三者之间的数量关系 　CD+DEAE　 【分析】（1）根据作图方法作图即可； （2）结合（1）即可完成填空；然后证明△ACE是等腰直角三角形，即可得结论． 【解答】（1）解：如图，∠DAE，DE即为所求； （2）证明：∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴∠ACB＝∠AED，∠ABC＝∠ADE， ∴∠ADE+∠ADC＝180°， ∴点C，D，E三点共线， 又AC＝AE， ∴∠ACD＝∠AED＝∠ACB， 即∠ACB＝∠ACD． 故答案为：∠ADC，∠ADE，∠ADE+； 研究发现：CD+DEAE，理由如下： ∵∠BAD＝90°＝∠BAC+∠DAC，∠BAC＝∠DAE， ∴∠DAE+∠DAC＝∠CAE＝90°， ∵AC＝AE， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴CEAE， ∴CD+DEAE． 故答案为：CD+DEAE． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，等腰直角三角形，旋转的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 类型四 半角模型 6．（2024春•南山区校级期中）阅读下面的材料： 小华遇到这样一个问题：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°．若BD＝4，CE＝2，求DE的长．小华发现，将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，连接EF（如图②），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE． （1）请回答：在图②中，DE的长度为 　2　； （2）参考小华的思考方法，解决下列问题： ①如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别在BC，CD上，且，试探索BE，EF，DF之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图④，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC，CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝（40）米，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求出这条道路EF的长． 【分析】（1）根据旋转的性质可以得到△ADB≌△AFC，证明∠FCE＝90°，再证明△ADE≌△AFE，利用勾股定理即可解决问题； （2）①延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案； ②利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE＝AB＝80米．把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，只要再证明∠BAD＝2∠EAF即可得出EF＝BE+FD． 【解答】解：（1）由旋转可知：△ADB≌△AFC， ∴AD＝AF，∠B＝∠ACF，DB＝FC， 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠FCE＝90°， 由旋转可知：∠BAC＝∠DAF＝90°， ∵∠DAE＝45°， ∴∠FAE＝45°， ∴∠DAE＝∠FAE， 在△ADE和△AFE中， ， ∴△ADE≌△AFE（SAS）． ∴DE＝FE， ∵CF＝BD＝4，CE＝2， ∴EF2， ∴DE＝2； （2）①EF＝BE+DF，理由如下： 如图③，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM， ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°， ∴∠D＝∠ABM， 在△ABM和△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM， ∵， ∴∠BAD＝2∠EAF， ∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF， ∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF， 在△FAE和△MAE中， ， ∴△FAE≌△MAE（SAS）， ∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF， 即EF＝BE+DF； ②如图④，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF，过A作AH⊥GD，垂足为H， ∵∠BAD＝150°，∠DAE＝90°， ∴∠BAE＝60°． 又∵∠B＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴BE＝AB＝80米， 根据旋转的性质得到：∠ADG＝∠B＝60°， 又∵∠ADF＝120°， ∴∠GDF＝180°，即点G在CD的延长线上． 由旋转可得△ADG≌△ABE， ∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE， 又∵AH＝8040（米），HDAG＝40米，DF＝（40）米， ∴HF＝HD+DF＝40+4040＝40（米）， ∴∠HAF＝45°， ∴∠DAF＝∠HAF﹣∠HAD＝45°﹣30°＝15°， 从而∠EAF＝∠EAD﹣∠DAF＝90°﹣15°＝75°， 又∵∠BAD＝150°＝2×75°＝2∠EAF， ∴根据上述推论有：EF＝BE+DF＝80+4040＝40（1）（米）， 即这条道路EF的长为40（1）米． 【点评】本题考查的是四边形综合题，掌握旋转变换的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 类型五 二倍角问题 7．（2024•滨州模拟）在△ABC中，，则BC＝　11　． 【分析】在BC取点D，使AD＝AB＝5，过点A作AE⊥BC于点E，则BE＝DE，根据∠B＝2∠C，可得CD＝AD＝5，设DE＝x，则CE＝5+x，根据勾股定理可得关于x的方程，求出x的值，即可求解． 【解答】解：如图，在BC取点D，使AD＝AB＝5，过点A作AE⊥BC于点E，则BE＝DE， ∴∠ADB＝∠B， ∵∠B＝2∠C，∠ADB＝∠C+∠CAD， ∴∠C＝∠CAD， ∴CD＝AD＝5， 设DE＝x，则CE＝5+x， ∵AE2＝AC2﹣CE2，AE2＝AD2﹣DE2， ∴AC2﹣CE2＝AD2﹣DE2， 即， 解得：x＝3， 即BD＝2DE＝6， ∴BC＝CD+BD＝11． 故答案为：11． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 8．（2019秋•呼兰区校级月考）如图，在△ABC中，∠BCA＞90°，∠ACB＝2∠B，CD是∠ACB的平分线，CE⊥AB于点E，过点A作CD的垂线交CD的延长线于点H，若CH＝5，CE＝3，则△ABC的面积为　15　． 【分析】如图，延长BC到M，使得CM＝CA，作CN⊥AM于N．首先证明AM＝AB，证明四边形AH是矩形，推出AM＝2CH，求出AB即可解决问题． 【解答】解：如图，延长BC到M，使得CM＝CA，作CN⊥AM于N． ∵CA＝CM， ∴∠M＝∠CAM， ∴∠ACB＝∠M+∠CAM＝2∠A， ∵∠ACB＝2∠B， ∴∠M＝∠B， ∴AM＝AB， ∵CH平分∠ACB， ∴∠ACH∠ACB＝∠CAM， ∴CH∥AM， ∵AH⊥CH， ∴AH⊥AM， ∴∠H＝∠HAN＝∠ANC＝90°， ∴四边形AHCN是矩形， ∴CH＝AN（这里可以证明△ANC≌△CHA得出结论）， ∴CA＝CM，CN⊥AM， ∴AN＝NM＝CH＝5， ∴AB＝AM＝10， ∵CE⊥AB， ∴S△ABC•AB•CE10×3＝15， 故答案为15． 【点评】本题考查等腰三角形的性质和判定，矩形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$