专题5 勾股定理中的四种数学思想（解析版+原卷版）-2024-2025学年八年级数学下重难点专题突破及提优测试卷（人教版）

专题5 勾股定理中的四种数学思想（原卷版） 类型一 方程思想 （一）单勾股列方程 1．（2024•东莞市一模）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•宁津县月考）小明将一副三角板按如图所示方式摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长．若已知CD＝2，则AC＝　 ． 3．（2024春•西华县期末）如图所示，OA⊥OB，OA＝45cm，OB＝15cm，一机器人在B处发现有一个小球自A点出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从B处出发以相同的速度匀速直线前进去拦截小球，在点C处截住了小球，求机器人行走的路程BC． （二）双勾股列方程 4．（2024秋•湖州期中）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定 5．（2024•南山区开学）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长AD＝5，BE＝2，则斜边AB的长为（　　） A．2 B． C．2 D． 6．（2024秋•仪征市期中）我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上高的差．如图1，△ABC中，CD为BA边上高，边BA的“线高差”等于BA﹣CD，记为h（BA）． （1）如图2，若△ABC中AB＝AC，AD⊥BC垂足为D，AD＝6，BD＝4，则h（BC）＝　2　； （2）若△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，则h（AC）＝　　； （3）如图3，△ABC中，AB＝21，AC＝20，BC＝13，求h（AB）的值． 7．（2022秋•柞水县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处， （1）求∠ECF的度数； （2）若CE＝4，B′F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积． 8．（2024秋•晋江市期末）如图①，现有一张三角形ABC纸片，沿BC边上的高AE所在的直线翻折，使得点C与BC边上的点D重合． （1）填空：△ADC是　 　三角形； （2）若AB＝15，AC＝13，BC＝14，求BC边上的高AE的长； （3）如图②，若∠DAC＝90°，试猜想：BC、BD、AE之间的数量关系，并加以证明． 类型二 分类讨论思想 9．（2019春•自贡期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，AD＝2，AB⊥BC，CD⊥AD，连接AC，点P是在四边形ABCD边上的一点；若点P到AC的距离为，这样的点P有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．（2023春•大观区期末）在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则BC的长为 　 　． 11．（2022•通辽）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为 　 ． 12．（2023秋•南昌期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F，连接AF，CD．设点D运动时间为t秒．当△ABF是等腰三角形时，则t＝　 秒． 13．（2024•江西模拟）在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cm，宽为16 cm的长方形纸板上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）．请你帮助同学们设计出不同类型的，你认为符合条件的等腰三角形，（分别在下列矩形中画出示意图）并分别计算剪下的等腰三角形的面积．（位置不同，形状全等的将视为一种结果） 14．设计师要用四条线段CA，AB，BD，DC首尾相接组成如图所示的两个直角三角形图案，∠C与∠D为直角，已知其中三条线段的长度分别为1cm，9cm，5cm，第四条长为xcm，试求出所有符合条件的x的值． 类型三 数形结合思想 15．（2024秋•拱墅区期末）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，OC长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为（　　） A． B．4 C．5 D．2.5 16．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝1，则CD的长度是（　　） A． B． C．1 D． 17．（2023秋•历下区期末）已知a、b均为正数，且、、是一个三角形的三条边的长，求这个三角形的面积． 18．（20245秋•海州区月考）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用． （1）探究的几何意义：如图①，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则P点坐标为（x，0），Q点坐标为（0，y），即OP＝|x|，OQ＝|y|，在△OPM中，PM＝OQ＝|y|，则MO，因此，的几何意义可以理解为点M（x，y）与点O（0，0）之间的距离OM． ①的几何意义可以理解为点N1　 　（填写坐标）与点O（0，0）之间的距离N1O； ②点N2（5，﹣1）与点O（0，0）之间的距离ON2为　 ． （2）探究的几何意义：如图②，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究（1）可知，A′O，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5），因为AB＝A′O，所以AB，因此的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（1，5）之间的距离． （3）探究的几何意义：请仿照探究二（2）的方法，在图③中画出图形，那么的几何意义可以理解为点C　 　（填写坐标）与点D（x，y）之间的距离． （4）拓展应用： ①的几何意义可以理解为：点A（x，y）与点E（1，﹣4）的距离与点A（x，y）与点F　 　（填写坐标）的距离之和． ②的最小值为　 （直接写出结果） 类型四 转化思想 19．（2019•柯桥区模拟）如图，已知在Rt△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，AEAB，AFAC，分别以BE、EF、FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（　　） A．S1+S3＝2S2 B．S1+S3＝4S2 C．S1＝S3＝S2 D．S2（S1+S3） 20．（2020秋•玄武区期中）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC＝8，BE＝2，则AB2﹣AC2的值为（　　） A．10 B．16 C．6 D．4 21．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2的值为（　　） A．16 B．18 C．20 D．24 22．（2023春•大安市期末）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点B在EF上，S1＝140，S2＝124，EB的长为 　 　． 23．（2021春•钦州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝6，分别以AB，AC，BC为边在AB的同侧作正方形ABEF，ACPQ，BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1﹣S2+S3+S4的值是（　　） A．12 B．24 C． D． 24．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC边上任意一点，求证：BD2+CD2＝2AD2． 25．【操作发现】 如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上． （1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B'，点C的对应点为C'，连接BB'； （2）求∠AB'B的度数； 【问题解决】 如图②，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB，PC＝1．求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长； 【灵活运用】 如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA，BP，PC＝1，求∠BPC的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5 勾股定理中的四种数学思想（解析版） 类型一 方程思想 （一）单勾股列方程 1．（2024•东莞市一模）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】先设CE＝x，再根据图形翻折变换的性质得出AE＝BE＝8﹣x，再根据勾股定理求出x的值． 【解答】解：设CE＝x，则AE＝8﹣x， ∵△BDE是△ADE翻折而成， ∴AE＝BE＝8﹣x， 在Rt△BCE中，BE2＝BC2+CE2， 即（8﹣x）2＝62+x2， 解得x． 故选：A． 【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，熟知“折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等”的知识是解答此题的关键． 2．（2024春•宁津县月考）小明将一副三角板按如图所示方式摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长．若已知CD＝2，则AC＝　　． 【分析】先求出两个直角三角形的公共边BC．在直角△BDC中根据勾股定理得到BC的长，进而在直角△ABC中，根据勾股定理，求出AC的长即可． 【解答】解：∵BD＝CD＝2，∠D＝90°， ∴， 在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∠ABC＝90°， ∴AC＝2AB， 设AB＝x，则AC＝2x， ∴， ∴x2+8＝4x2， ∴3x2＝8， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 3．（2024春•西华县期末）如图所示，OA⊥OB，OA＝45cm，OB＝15cm，一机器人在B处发现有一个小球自A点出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从B处出发以相同的速度匀速直线前进去拦截小球，在点C处截住了小球，求机器人行走的路程BC． 【分析】小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，得出BC＝AC，由勾股定理可求得BC的长． 【解答】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC＝CA，设AC为x，则OC＝（45﹣x）， 由勾股定理可知OB2+OC2＝BC2， 又∵OA＝45，OB＝15， 把它代入关系式152+（45﹣x）2＝x2， 解方程得出x＝25（cm）． 答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25cm． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，理解题意找出等量关系是解题关键，再由勾股定理即可得到答案． （二）双勾股列方程 4．（2024秋•湖州期中）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定 【分析】根据题意利用勾股定理得出AD2+AE2＝BE2+BC2，进而求出即可． 【解答】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km， ∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等， ∴AD2+AE2＝BE2+BC2， 故242+x2＝（40﹣x）2+162， 解得：x＝16， 则煤栈E应距A点16km． 故选：B． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意DE＝EC，进而利用勾股定理得出是解题关键． 5．（2024•南山区开学）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长AD＝5，BE＝2，则斜边AB的长为（　　） A．2 B． C．2 D． 【分析】设BC＝x，AC＝y，根据已知列方程组，从而可求得斜边的平方，即求得斜边的长． 【解答】解：设BC＝x，AC＝y， 根据题意运用勾股定理，得， 整理得，，即x2+y2＝52， ∴斜边的长是2． 故选：A． 【点评】此题考查勾股定理，注意此题的解题技巧：根据已知条件，在两个直角三角形中运用勾股定理列方程组．求解的时候，注意不必分别求出未知数的值，只需求出两条直角边的平方和，运用勾股定理即可． 6．（2024秋•仪征市期中）我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上高的差．如图1，△ABC中，CD为BA边上高，边BA的“线高差”等于BA﹣CD，记为h（BA）． （1）如图2，若△ABC中AB＝AC，AD⊥BC垂足为D，AD＝6，BD＝4，则h（BC）＝　2　； （2）若△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，则h（AC）＝　　； （3）如图3，△ABC中，AB＝21，AC＝20，BC＝13，求h（AB）的值． 【分析】（1）求出BC的长即可解决问题； （2）如图4中，求出高BH即可解决问题； （3）如图3中，作CD⊥AB于D，求出CD即可解决问题． 【解答】解：（1）如图2中， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝DC＝8， ∴h（BC）＝BC﹣AD＝8﹣6＝2． 故答案为2． （2）如图4中，作BH⊥AC于H． ∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC10， ∵•AC•BH•AB•BC， ∴BH， ∴h（AC）＝AC＝BH＝10． 故答案为． （3）如图3中，作CD⊥AB于D．设BD＝x，则AD＝21﹣x． ∵CD2＝AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2， ∴202﹣（21﹣x）2＝132﹣x2， 解得x＝5， ∴CD12， ∴h（AB）＝AB﹣CD＝21﹣12＝9． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 7．（2022秋•柞水县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处， （1）求∠ECF的度数； （2）若CE＝4，B′F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积． 【分析】（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE∠ACD，∠BCF＝∠B'CF∠BCB'，再根据∠ACB＝90°，即可得出∠ECF＝45°； （2）在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC，设AE＝x，则AB＝x+5，根据勾股定理可得AE2+CE2＝AB2﹣BC2，即x2+42＝（x+5）2﹣41，求得x，得出AE的长和AB的长，再由三角形面积公式即可得出S△ABC． 【解答】解：（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE∠ACD，∠BCF＝∠B'CF∠BCB'， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCB'＝90°， ∴∠ECD+∠FCD90°＝45°， 即∠ECF＝45°； （2）由折叠可得：∠DEC＝∠AEC＝90°，BF＝B'F＝1， ∴∠EFC＝45°＝∠ECF， ∴CE＝EF＝4， ∴BE＝4+1＝5， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC， 设AE＝x，则AB＝x+5， ∵Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2， Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2， ∴AE2+CE2＝AB2﹣BC2， 即x2+42＝（x+5）2﹣41， 解得：x， ∴AE，AB＝AE+BE5 ∴S△ABCAB×CE4． 【点评】本题主要考查了折叠变换的性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 8．（2024秋•晋江市期末）如图①，现有一张三角形ABC纸片，沿BC边上的高AE所在的直线翻折，使得点C与BC边上的点D重合． （1）填空：△ADC是　等腰　三角形； （2）若AB＝15，AC＝13，BC＝14，求BC边上的高AE的长； （3）如图②，若∠DAC＝90°，试猜想：BC、BD、AE之间的数量关系，并加以证明． 【分析】（1）根据折叠得到AD＝AC，所以△ADC是等腰三角形； （2）设CE＝x，利用勾股定理得到方程132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2解得：x＝5，在Rt△AEC中，由勾股定理即可解答； （3）猜想BC、BD、AE之间的数量关系为：BC﹣BD＝2AE．由△ADC是等腰三角形，又∠DAC＝90°，得到△ADC是等腰直角三角形又AE是CD边上的高，所以△AED与△AEC都是等腰直角三角形，即可得到CD＝2AE．由BC﹣BD＝CD，即可解答． 【解答】解：（1）∵三角形ABC纸片，沿BC边上的高AE所在的直线翻折，使得点C与BC边上的点D重合． ∴AD＝AC， ∴△ADC是等腰三角形； 故答案为：等腰． （2）设CE＝x，则BE＝14﹣x， 在Rt△AEC中，由勾股定理得：AE2＝AC2﹣CE2， ∴AE2＝132﹣x2 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2＝AB2﹣BE2， ∴AE2＝152﹣（14﹣x）2 ∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2 解得：x＝5， 在Rt△AEC中，由勾股定理得：． （3）猜想BC、BD、AE之间的数量关系为：BC﹣BD＝2AE． 证明如下： 由（1）得：△ADC是等腰三角形，又∠DAC＝90°， ∴△ADC是等腰直角三角形 又AE是CD边上的高， ∴DE＝CE，， ∴△AED与△AEC都是等腰直角三角形， ∴DE＝AE＝EC，即CD＝2AE． ∵BC﹣BD＝CD ∴BC﹣BD＝2AE． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质定理与判定定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解决本题的根据是判定△ADC是等腰三角形和勾股定理的应用． 类型二 分类讨论思想 9．（2019春•自贡期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，AD＝2，AB⊥BC，CD⊥AD，连接AC，点P是在四边形ABCD边上的一点；若点P到AC的距离为，这样的点P有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据已知条件得到∠BAC＝∠ACB＝45°，∠DAC＝60°，∠ACD＝30°，根据点P到AC的距离为，于是得到结论． 【解答】解：∵AB＝BC＝2，AD＝2，AB⊥BC，CD⊥AD， ∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠DAC＝60°，∠ACD＝30°， ∵点P到AC的距离为， ∴AP＝CP， ∴在AB和BC边上存在这样的P点， ∵AD＝2， ∴D到AC的距离为， ∴当点P与点D重合时，P到AC的距离为， ∴这样的点P有3个， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键． （一）根据三角形高位置的不确定性分类讨论 10．（2023春•大观区校级期末）在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则BC的长为 　10或6　． 【思路引领】分两种情况考虑，如图所示，分别在Rt△ABC与Rt△ACD中，利用勾股定理求出BD与CD的长，即可求出BC的长． 【解答】解：根据题意画出图形，如图所示， 如图1所示，AB＝10，AC＝2，AD＝6， 在Rt△ABD和Rt△ACD中， 根据勾股定理得：BD8，CD2， 此时BC＝BD+CD＝8+2＝10； 如图2所示，AB＝10，AC＝2，AD＝6， 在Rt△ABD和Rt△ACD中， 根据勾股定理得：BD8，CD2， 此时BC＝BD﹣CD＝8﹣2＝6， 则BC的长为6或10． 故答案为：10或6． 【总结提升】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 11．（2022•通辽）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为 　，9或3　． 【分析】题中60°的锐角，可能是∠A也可能是∠B；∠PCB＝30°可以分为点P在线段AB上和P在线段AB的延长线上两种情况；直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，同时借助勾股定理求得AP的长度． 【解答】解：当∠A＝30°时， ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠CBA＝60°，BCAB6＝3， 由勾股定理得，AC＝3， ①点P在线段AB上， ∵∠PCB＝30°，∠CBA＝60° ∴∠CPB＝90°， ∴∠CPA＝90°， 在Rt△ACP中，∠A＝30°， ∴PCAC3． ∴在Rt△APC中，由勾股定理得AP． ②点P在线段AB的延长线上， ∵∠PCB＝30°， ∴∠ACP＝90°+30°＝120°， ∵∠A＝30°， ∴∠CPA＝30°． ∵∠PCB＝30°， ∴∠PCB＝∠CPA， ∴BP＝BC＝3， ∴AP＝AB+BP＝6+3＝9． 当∠ABC＝30°时， ∵∠C＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠A＝60°，ACAB6＝3， 由勾股定理得，BC＝3， ①点P在线段AB上， ∵∠PCB＝30°， ∴∠ACP＝60°， ∴△ACP是等边三角形 ∴AP＝AC＝3． ②点P在线段AB的延长线上， ∵∠PCB＝30°，∠ABC＝30°， ∴CP∥AP 这与CP与AP交于点P矛盾，舍去． 综上所得，AP的长为，9或3． 故答案为：，9或3． 【点评】本题的考点是直角三角形，本题中涉及到勾股定理、含30°角的直角三角形的三边关系、等边三角形的判定，用分类讨论思想考虑所有可能的情况． 12．（2023秋•南昌期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F，连接AF，CD．设点D运动时间为t秒．当△ABF是等腰三角形时，则t＝　5或或4　秒． 【分析】先根据勾股定理求出BC，再分FA＝FB、AF＝AB、BF＝AB三种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20， 由勾股定理得：， 当FA＝FB时，DF⊥AB， ∴， ∴t＝10÷2＝5； 当AF＝AB＝20时，∠ACB＝90°， 则BF＝2BC＝24， ∴，即， 解得：， 由勾股定理得：， ∴； 当BF＝AB＝20时， ∵BF＝20，BC＝12， ∴CF＝BF﹣BC＝8， 由勾股定理得：， ∵BF＝BA，FD⊥AB，AC⊥BF， ∴DF＝AC＝16， ∴， ∴t＝8÷2＝4； 综上所述，△ABF是等腰三角形时，t的值为5或或4， 故答案为：5或或4． 【点评】本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算、等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 13．（2024•江西模拟）在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cm，宽为16 cm的长方形纸板上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）．请你帮助同学们设计出不同类型的，你认为符合条件的等腰三角形，（分别在下列矩形中画出示意图）并分别计算剪下的等腰三角形的面积．（位置不同，形状全等的将视为一种结果） 【分析】（1）在BA、BC上分别截取BE＝BF＝10cm； （2）在BA上截取BE＝10，以E为圆心，10长为半径作弧，交AD于F； （3）在BC上截取BF＝10，以F为圆心10为半径作弧，交CD于E． 【解答】解：如图所示： （1）10×10÷2＝50cm2； （2）AE＝16﹣10＝6cm， AF8cm， 10×8÷2＝40cm2； （3）CF＝17﹣10＝7cm， ECcm， 102＝5cm2． 画出一个且面积计算正确得（3分），两个得（6分），三个得（8分）． 【点评】本题需仔细分析题意，结合图形即可解决问题． 14．设计师要用四条线段CA，AB，BD，DC首尾相接组成如图所示的两个直角三角形图案，∠C与∠D为直角，已知其中三条线段的长度分别为1cm，9cm，5cm，第四条长为xcm，试求出所有符合条件的x的值． 【分析】显然AB是四条线段中最长的线段，分AB＝x或AB＝9两种情况来讨论． 【解答】解：显然AB是四条线段中最长的线段，分AB＝x或AB＝9两种情况来讨论． 把AB平移至ED（如图所示）． ①若AB＝x， 当CD＝9时，则； 当CD＝5时，则； 当CD＝1时，则． ②若AB＝9， 当CD＝5时，由（x+1）2+52＝92，得； 当CD＝1时，由（x+5）2+12＝92，得； 当CD＝x时，由x2+（1+5）2＝92，得． （以上每种情况2分）…（12分） 【点评】本题考查勾股定理的知识，解题关键是分AB＝x或AB＝9两种情况进行讨论，注意不要漏解． 类型三 数形结合思想 15．（2024秋•拱墅区期末）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，OC长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为（　　） A． B．4 C．5 D．2.5 【分析】先利用等腰三角形的性质得到OC⊥AB，则利用勾股定理可计算出OC，然后利用画法可得到OM＝OC，于是可确定点M对应的数． 【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，OA＝OB＝3， ∴OC⊥AB， 在Rt△OBC中，OC， ∵以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M， ∴OM＝OC， ∴点M对应的数为． 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．也考查了等腰三角形的性质． 16．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝1，则CD的长度是（　　） A． B． C．1 D． 【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理求出AB＝2，BC，再根据平行线的性质得出BM的长，得出CM的长，根据等腰直角三角形的性质即可推出结果． 【解答】解：如图，过点B作BM⊥FD于点M， 在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10， ∴∠ABC＝30°，AB＝2，BC， ∵AB∥CF， ∴BM， ∴CM， 在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°， ∴∠EDF＝45°， ∴MD＝BM， ∴CD＝CM﹣MD， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 17．（2020秋•历下区期末）已知a、b均为正数，且、、是一个三角形的三条边的长，求这个三角形的面积． 【分析】构造矩形ABCD，E、F分别为AD、AB的中点，设AD＝2b，AB＝2a，将所求三角形面积转化为S△CEF＝S矩形ABCD﹣S△AEF﹣S△BCF﹣S△CDE即可求解． 【解答】解：如图： 在矩形ABCD中，E、F分别为AD、AB的中点， 设AD＝2b，AB＝2a， ∴EF，CE，CF， ∴S△CEF＝S矩形ABCD﹣S△AEF﹣S△BCF﹣S△CDE＝（2a）•（2b）ab2ba2baab． 【点评】本题考查二次根式的应用；能够通过构造矩形及直角三角形，将所求三角形的面积转化为矩形和直角三角形的面积是解题的关键． 18．（20245秋•海州区月考）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用． （1）探究的几何意义：如图①，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则P点坐标为（x，0），Q点坐标为（0，y），即OP＝|x|，OQ＝|y|，在△OPM中，PM＝OQ＝|y|，则MO，因此，的几何意义可以理解为点M（x，y）与点O（0，0）之间的距离OM． ①的几何意义可以理解为点N1　（﹣2，3）或（3，﹣2）　（填写坐标）与点O（0，0）之间的距离N1O； ②点N2（5，﹣1）与点O（0，0）之间的距离ON2为　　． （2）探究的几何意义：如图②，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究（1）可知，A′O，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5），因为AB＝A′O，所以AB，因此的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（1，5）之间的距离． （3）探究的几何意义：请仿照探究二（2）的方法，在图③中画出图形，那么的几何意义可以理解为点C　（﹣2，3）　（填写坐标）与点D（x，y）之间的距离． （4）拓展应用： ①的几何意义可以理解为：点A（x，y）与点E（1，﹣4）的距离与点A（x，y）与点F　（﹣2，﹣3）　（填写坐标）的距离之和． ②的最小值为　　（直接写出结果） 【分析】（1）①构造直角三角形利用勾股定理即可得出答案； ②由两点间的距离即可得出答案； （3）设点D′的坐标为（x+2，y﹣3），由两点间的距离和平移的性质即可得出结论； （4）①由（3）即可得出答案； ②根据三角形的三边关系即可求出答案． 【解答】解：（1）①的几何意义可以理解为点N1 （﹣2，3）或（3，﹣2）与点O（0，0）之间的距离N1O， 故答案为：（﹣2，3）或（3，﹣2）； ②点N2（5，﹣1）与点O（0，0）之间的距离ON2为：， 故答案为：； （3）设点D′的坐标为（x+2，y﹣3），如图③所示： 由探究（2）可知，D′O， 将线段D′O先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到线段CD， 此时，D的坐标为（x，y），点C的坐标为（﹣2，3）， ∵CD＝D'O， ∴CD， ∴的几何意义为点C（﹣2，3）到点D（x，y）之间的距离； 故答案为：（﹣2，3）； （4）①由（2）可知：的几何意义可以理解为： 点A（x，y）与点E（1，﹣4）的距离与点A（x，y）与点F（﹣2，﹣3）的距离之和， 故答案为：（﹣2，﹣3）； ②当A（x，y）位于直线EF外时， 此时点A、E、F三点组成△AEF， ∴由三角形三边关系可知：EF＜AF+AE， 当点A位置线段EF之间时，此时EF＝AF+AE， ∴的最小值为EF的距离， ∴EF， 故答案为：． 【点评】本题是三角形综合题，主要考查学生的阅读理解能力以及两点间距离公式的运用，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案，本题考查学生综合能力，属于中等题型． 类型四 转化思想 19．（2019•柯桥区模拟）如图，已知在Rt△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，AEAB，AFAC，分别以BE、EF、FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（　　） A．S1+S3＝2S2 B．S1+S3＝4S2 C．S1＝S3＝S2 D．S2（S1+S3） 【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S3＝4S2． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，AEAB，AFAC， ∴AEBE，AFCF，EF2＝AE2+AF2， ∴EF2BE2CF2． ∴π•EF2π•（BE2CF2），即S2（S1+S3）． ∴S1+S3＝4S2． 故选：B． 【点评】考查了勾股定理，注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． 20．（2020秋•玄武区期中）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC＝8，BE＝2，则AB2﹣AC2的值为（　　） A．10 B．16 C．6 D．4 【分析】根据折叠的性质得到AE＝AC，DE＝CD，AD⊥BC，由勾股定理得到AB2＝AD2+BD2，AC2＝AD2+CD2，两式相减，通过整式的化简即可得到结论． 【解答】解：∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处， ∴AE＝AC，DE＝CD，AD⊥BC， ∴AB2＝AD2+BD2，AC2＝AD2+CD2， ∴AB2﹣AC2＝AD2+BD2﹣AD2﹣CD2＝BD2﹣CD2＝（BD+CD）（BD﹣CD）＝BC•BE， ∵BC＝8，BE＝2， ∴AB2﹣AC2＝8×2＝16． 故选：B． 【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，勾股定理，整式的化简，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 21．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2的值为（　　） A．16 B．18 C．20 D．24 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【解答】解：∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2， AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2， ∴AB2+CD2＝AD2+BC2， ∵AD＝2，BC＝4， ∴AB2+CD2＝22+42＝20． 故选：C． 【点评】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 22．（2023春•大安市期末）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点B在EF上，S1＝140，S2＝124，EB的长为 　4　． 【分析】设△ABE的面积为S，则S正方形ABCD＝S+140，S正方形AEFG＝S+124，再根据正方形的面积公式得到S正方形ABCD＝AB2，S正方形AEFG＝AE2，所以AB2﹣AE2＝16，然后利用勾股定理计算BE的长． 【解答】解：设△ABE的面积为S， ∵S正方形ABCD＝S+S1＝S+140，S正方形AEFG＝S+S2＝S+124， 而S正方形ABCD＝AB2，S正方形AEFG＝AE2， ∴AB2﹣AE2＝140﹣124＝16， 在Rt△ABE中，BE2＝AB2﹣AE2＝16， ∴BE＝4． 故答案为4． 【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． 23．（2021春•钦州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝6，分别以AB，AC，BC为边在AB的同侧作正方形ABEF，ACPQ，BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1﹣S2+S3+S4的值是（　　） A．12 B．24 C． D． 【分析】过F作AM的垂线交AM于D，通过证明S2＝SRt△ABC；S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC；S4＝SRt△ABC，进而即可求解． 【解答】解：过F作AM的垂线交AM于D， 在Rt△ABC中，BC， 由题意可得：Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT， 所以S2＝SRt△ABC． 由Rt△DFK≌Rt△CAT可得Rt△FPT≌Rt△EMK， ∴S3＝S△FPT， 又∵Rt△AQF≌Rt△ACB， ∴S1+S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC． 由题意可得：Rt△ABC≌Rt△EBN， ∴S4＝SRt△ABC， ∴S1﹣S2+S3+S4 ＝（S1+S3）﹣S2+S4 ＝SRt△ABC﹣SRt△ABC+SRt△ABC ＝SRt△ABC ＝4， 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理，正方形的性质，有一定难度，掌握正方形的性质及全等三角形的判定和性质是解题关键． 24．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC边上任意一点，求证：BD2+CD2＝2AD2． 【分析】作AE⊥BC于E，首先证明AE＝BE＝CE，根据BD2+CD2＝（BE+DE）2+（CE﹣DE）2＝2AE2+2DE2＝2AD2即可解决问题； 【解答】证明：作AE⊥BC于E，如图所示： ∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴BE＝CE＝AEBC， ∴BD2+CD2＝（BE+DE）2+（CE﹣DE）2＝2AE2+2DE2＝2AD2． 【点评】本题考查的是勾股定理，关键在于找出直角三角形利用勾股定理求证，本题主要运用“等量代换”求出BD、CD、AD三者之间的关系． 25．【操作发现】 如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上． （1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B'，点C的对应点为C'，连接BB'； （2）求∠AB'B的度数； 【问题解决】 如图②，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB，PC＝1．求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长； 【灵活运用】 如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA，BP，PC＝1，求∠BPC的度数． 【分析】（1）只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可； （2）根据等边三角形的性质得到∠ABC＝60°，根据旋转的性质得到AP'＝CP＝1，BP'＝BP，∠PBC＝∠P'BA，∠AP'B＝∠BPC，推出△BPP'是等边三角形，得到PP'，∠BP'P＝60°．根据勾股定理的逆定理得到△PP'A是直角三角形，于是得到结论； （3）仿照（2）中的思路，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A，然后连接PP′，根据旋转的性质结合勾股定理的逆定理可得△AP′P是直角三角形，可得从而得出结论． 【解答】解：（1）如图1，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°， ∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°， ∴∠AB′B＝45°； 故答案为：45°； （2）如图2， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， 将△BPC绕点B逆时针旋转60°得出△ABP'， ∴AP'＝CP＝1，BP'＝BP，∠PBC＝∠P'BA，∠AP'B＝∠BPC， 又∵∠PBP'＝60°， ∴△BPP'是等边三角形， ∴PP'，∠BP'P＝60°． ∵AP'＝1，AP＝2， ∴AP′2+PP′2＝12+（）2＝4，AP2＝22＝4， ∴AP'2+PP'2＝AP2， ∴∠AP'P＝90°，则△PP'A是直角三角形， ∴∠BPC＝∠AP'B＝∠AP'P+∠PBP'＝90°+60°＝150°； 过点B作BM⊥AP′延长线于点M， ∴∠M′PB＝30°，BM， 根据勾股定理，得P′M， ∴AM＝1， ∴AB． （3）如图3， 将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′， 则BP′＝BP，∠PBP′＝90°， 故PP′2，∠BP′P＝∠BPP′＝45°， ∵PA，P′P＝2，PC＝AP′＝1， ∴P′P2+AP′2＝PA2， ∴△AP′P是直角三角形， ∴∠AP′B＝∠BPC＝45°+90°＝135°， 即∠BPC＝135°． 【点评】本题考查几何变换综合题、旋转的性质，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，属于中考压轴题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$