专题4 利用勾股定理解决最短路径问题（解析版+原卷版）-2024-2025学年八年级数学下重难点专题突破及提优测试卷（人教版）

专题4 利用勾股定理解决最短路径问题（解析版） 类型一 平面图形中的最值问题 （一）垂线段最短 1．（20224秋•仓山区期末）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为（　　） A． B．3 C．3 D．2 【分析】过C作CF⊥AB交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，根据等边三角形的性质得到BFAB6＝3，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：过C作CF⊥AB交AD于E， 则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF， ∵△ABC为等边三角形，边长为6， ∴BFAB6＝3， ∴CF3， ∴CE+EF的最小值为3， 故选：C． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形． 2．（2022春•赞皇县期中）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直的铁路经过A，B两地，则A，B间的距离为 　20　km，C到AB的距离为 　18　km． 【分析】根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；由垂线段最短即可求得C到AB的距离． 【解答】解：由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴， ∴AB＝12﹣（﹣8）＝20； （2）过点C作l⊥AB于点E， 则CE＝1﹣（﹣17）＝18， 故答案为：20，18． 【点评】本题考查了坐标确定位置，解题的关键是根据A、B、C三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题型． （2） 将军饮马问题 3．（2022春•连平县期末）如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A、B距河岸的距离AC、BD的长分别为500米和700米，且C、D两地的距离为1600米，天黑前牧童从A点将马牵引到河边去饮水后再赶回家，那么牧童至少要走的距离是（　　） A．2600米 B．2300米 C．2000米 D．1200米 【分析】将此题转化为轴对称问题，作出A点关于河岸的对称点A′，根据两点之间线段最短得出BA′的长即为牧童要走的最短路程，利用勾股定理解答即可． 【解答】解：作A点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P，则PB+PA＝PB+PA′＝BA′最短， 作DB′＝CA′，且DB′⊥CD， ∵DB′＝CA′，DB′⊥CD，BB′∥A′A， ∴四边形A′B′BA是矩形， ∴B'A'＝CD， 在Rt△BB′A′中， 连接A′B′，则BB′＝BD+DB′＝1200， BA′2000（米）， 故选：C． 【点评】此题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题在生活中的应用，要将轴对称的性质和勾股定理灵活应用，体现了数学在解决简单生活问题时的作用． 4．（2024•槐荫区三模）如图，在边长为4米的正方形场地ABCD内，有一块以BC为直径的半圆形红外线接收“感应区”，边AB上的P处有一个红外线发射器，红外线从点P发射后，经平面镜AD、CD反射后到达“感应区”，若AP＝1米，红外线途经的最短路线长 　（2）　米． 【分析】根据题意画出相应的辅助线，然后根据两点之间线段最短，找出最短路径，再根据正方形的性质和勾股定理，可以求得红外线途经的路线最短距离． 【解答】解：作点P关于AD的对称点P′，作半圆O关于CD的对称半圆O′，连接P′O′，与AD交于点M，与CD交于点N，与半圆O′交于点Q，则P′Q的长就是红外线途经的最短路线， ∵正方形ABCD的边长为4米，AP＝1米， ∴∠P′BO′＝90°，AP′＝1米，AB＝4米，BC＝4米，CO′＝QO′＝2米， ∴P′B＝5米，BO′＝6米， ∴P′O′（米）， ∴P′Q＝（2）米， 答：红外线途经的最短路线长为（2）米， 故答案为：（2）． 【点评】本题考查轴对称﹣最短路径问题、正方形的性质，解答本题的关键是正确地作出辅助线，利用数形结合的思想解答． 类型二 几何体中的最短路径问题 （一）正方体或长方体中的最短路径问题 5．请你根据下列所给的重要条件求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．如图，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处； 【分析】根据正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处，即展开正方体，蚂蚁爬△ACC1的对角线，求出即可． 【解答】解： 【点评】此题主要考查了平面展开图中最短路径问题，这是中考中热点问题，找出展开图的与原图形对应情况是解决问题的关键． 6．（2024春•饶平县期末）如图，长方体的底面边长均为3cm，高为5cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要　13　cm． 【思路引领】把立体图形转化为平面图形解决即可． 【解答】解：将长方体展开，连接AB， 根据两点之间线段最短，AB13cm； 故答案为：13 【总结提升】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决． （二）圆柱中的最短距离 7．（十堰中考）如图，已知圆柱的底面直径BC，高AB＝3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解． 【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长． 在RT△ADC中，∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD为底面半圆弧长，AD＝3， 所以AC＝3， ∴从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为2AC＝6， 故选：D． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答． 8．（2024秋•驿城区期中）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（　　）cm（杯壁厚度不计）． A．22cm B．21cm C．20cm D．27cm 【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【解答】解：如图： 将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，交EF于点F，此时点A′、F、B在同一条直线上， 则AF+BF为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即A′B的长度， 依题意，A′D＝32÷2＝16（cm），BD＝3+（14﹣5）＝12（cm） 此时． ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm， 故选：C． 【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 9．（2024秋•兴平市期中）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是（　　）尺 A．15 B．20 C．25 D．30 【分析】将圆柱体展开，利用两点之间线段最短和勾股定理进行计算即可． 【解答】解：把圆柱的侧面展开五次，如图： AB表示葛藤的最短长度，AC＝5×3＝15（尺），BC＝20尺， ∴， 即葛藤的最短长度是25尺； 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理的应用．将立体图形展开成平面图形，确定最短距离，是解题的关键． （三）台阶中的最短距离 10．（2022秋•沈河区期末）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽，高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是 　25dm　． 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（3+2）×3dm， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x dm， 由勾股定理得：x2＝202+[（3+2）×3]2＝625， 解得x＝25． 故答案为：25dm． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键． 11．（2021秋•通川区期中）如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20，宽AD＝10，中间整有一堵砖墙高MN＝2，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（　　） A．20 B．24 C．25 D．26 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可． 【解答】解：如图所示，将图展开，图形长度增加2MN， 原图长度增加4米，则AB＝20+4＝24， 连接AC， ∵四边形ABCD是长方形，AB＝24，宽AD＝10， ∴AC26， ∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走26的路程． 故选：D． 【点评】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键． 12．（2022秋•包头期末）在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 　　分米． 【分析】根据题意把图形的侧面展开，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：情形1：平面展开图所示， AB13（分米）． 情形2：平面展开图如图所示： AB（分米）， ∵13， 答：它需要爬行的最短路径的长是分米． 【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短，在平面图形上构造直角三角形解决问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4 利用勾股定理解决最短路径问题（原卷版） 类型一 平面图形中的最值问题 （一）垂线段最短 1．（20224秋•仓山区期末）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为（　　） A． B．3 C．3 D．2 2．（2022春•赞皇县期中）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直的铁路经过A，B两地，则A，B间的距离为 　 　km，C到AB的距离为 　 　km． （2） 将军饮马问题 3．（2022春•连平县期末）如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A、B距河岸的距离AC、BD的长分别为500米和700米，且C、D两地的距离为1600米，天黑前牧童从A点将马牵引到河边去饮水后再赶回家，那么牧童至少要走的距离是（　　） A．2600米 B．2300米 C．2000米 D．1200米 4．（2024•槐荫区三模）如图，在边长为4米的正方形场地ABCD内，有一块以BC为直径的半圆形红外线接收“感应区”，边AB上的P处有一个红外线发射器，红外线从点P发射后，经平面镜AD、CD反射后到达“感应区”，若AP＝1米，红外线途经的最短路线长 　 　米． 类型二 几何体中的最短路径问题 （一）正方体或长方体中的最短路径问题 5．请你根据下列所给的重要条件求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．如图，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处； 6．（2024春•饶平县期末）如图，长方体的底面边长均为3cm，高为5cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要　 　cm． （二）圆柱中的最短距离 7．（十堰中考）如图，已知圆柱的底面直径BC，高AB＝3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D． 8．（2024秋•驿城区期中）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（　　）cm（杯壁厚度不计）． A．22cm B．21cm C．20cm D．27cm 9．（2024秋•兴平市期中）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是（　　）尺 A．15 B．20 C．25 D．30 （三）台阶中的最短距离 10．（2022秋•沈河区期末）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽，高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是 　． 11．（2021秋•通川区期中）如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20，宽AD＝10，中间整有一堵砖墙高MN＝2，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（　　） A．20 B．24 C．25 D．26 12．（2022秋•包头期末）在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 分米 1 学科网（北京）股份有限公司 $$